Zvjezdasti oktaedri (Stellae Octangulae) u pokretu - ponovno razmatranje

Dobro je poznato da dva tetraedra T₁ i T₂ koji tvore zvjezdasti oktaedar (Stella Octangula) dopuštaju neprekidno gibanje tetraedra T₂ s obzirom na tetraedar T₁ takvo da svaki brid tetraedra T₂ klizi duž brida tetraedra T₁. Nedavno je isto svojstvo potvrđeno za parove (T₁, T₂) indirektno sukladnih tetraedara općeg oblika. Pokazuje se da taj prenapregnuti kinematički sustav, osim nekih posebnih jednoparametraskih gibanja, dopušta i dvoparametarska gibanja. Dajemo sintetičku analizu problema. Na temelju uključenih kvadrika detaljno proučavamo dvoparametarska gibanja i njihove granice. Osim toga, predstavljamo neka poopćenja zvjezdastih oktaedara.

Ključne riječi: tetraedar, zvjezdasti oktaedar (Stella Octangula), euklidsko gibanje, dvoparametarski pomaci

Article in PDF.

Poopćenje Arhimedovih kružnica na arbelosu

O Fussovim relacijama za bicentrične poligone s neparnim brojem vrhova

U radu su izvedeni analitički oblici Fussovih relacija za bicentrične poligone s neparnim brojem stranica i višim brojevima rotacije. Metoda se temelji na Ponceletovom teoremu te Radićevom teoremu i slutnji u vezi s povezanošći Fussovih relacija za različite brojeve rotacije. Dobiveni su eksplicitni analitički izrazi za bicentrični trinaesterokut s rotacijskim brojem k = 2,4,6 i za bicentrični petnaesterokut s rotacijskim brojem k = 2, dok su uspostavljeni kompletni skupovi relacija za bicentrični sedamneasterokut (za k = 1,2,3, 4,5,6,7,8) i devetnaesterokut (za k=1,2,3,4,5,6,7,8,9). Predloženi pristup pojednostavljuje izvođenje i omogućuje sustavno proširenje poznatih Fussovih relacija na bicentrične poligone višeg reda i nove brojeve rotacije, čime se potvrđuje valjanost Radićeve slutnje.

Ključne riječi: bicentrični poligon, Fussova relacija, rotacijski broj, trinaesterokut, petnaesterokut, sedamnaesterokut, devetnaesterokut

Article in PDF.

Poopćenje Arhimedovih kružnica blizanaca

U radu proučavamo arbelose i dajemo poopćenje Arhimedovih kružnica i Arhimedovih kružnica blizanaca.

Ključne riječi: arbelos, Arhimedova kružnica, k-Arhimedova kružnica, Arhimedove kružnice blizanci, k-Arhimedovi blizanci

Article in PDF.

Granične vrijednosti središta trokuta

Konstrukcija središta trokuta uvijek stvara središnje trokute koji ponovno omogućavaju konstrukciju odgovarajućeg središta. Ponavljanje ovog postupka beskonačno mnogo puta može u pojedinim slučajevima dovesti do poznatog središta trokuta, ali u velikoj većini slučajeva pojavit će se novo središte. Simbolički računski pristup je ograničen u mnogim slučajevima zbog složenosti izračuna. Kako bismo prevladali te teškoće, započet ćemo s numeričkim pristupima prema graničnim vrijednostima nekoliko središta. To dovodi do nekih pretpostavki koje kasnije omogućavaju točno određživanje granične vrijednosti središta trokuta.

Ključne riječi: središte trokuta, iterativne konstrukcije, numeričke simulacije, granična vrijednost

Article in PDF.

Geometrijska konstrukcija familije Keplerovih elipsa

Istražujemo jednoparametarsku familiju Keplerovih elipsa u ravnini koje imaju isto žarište F₁ i prolaze kroz danu točku P jednakom trenutnom brzinom. Pomoću čisto geometrijske konstrukcije – refleksija zrake F₁P na tangenti u točki P – drugo žarište F₂ leži na kružnici f₂, dobivaju se geometrijska mjesta središta M i sporednih tjemena C, D (dvije kružnice) i glavnih tjemena A, B (konhoide kružnice). Familija elipsi ima envelopu, također elipsu, čije su poluosi dobivene u zatvorenoj formi. Ova konfiguracija pruža izravno geometrijsko tumačenje vis-viva relacije: Svi članovi dijele istu veliku glavnu poluos a, pa onda i isti orbitni period. Kada rotiraju oko osi F₁P , elipse envelope tvore familiju konfokalnih rotacijskih elipsoida, čime se ravninska Keplerova konstrukcija povezuje s klasicnom geometrijom kvadrika.

Ključne riječi: Keplerove elipse, elipsa envelopa, konhoida, puž, vis-viva relacija, jednadžba energije

Article in PDF.

Projektivne paralelijane i s njima povezane porizme

Dajemo projektivno poopćenje konstrukcije paralelijana i tako definiranih konika. Za bilo koju dobro odabranu točcku P i pravac g u ravnini trokuta Δ = ABC konstruiramo šest točaka koje uvijek leže na jednoj konici P, paralelijanskoj konici P točke P s obzirom na trokut Δ. Nadalje, nalazimo paralelijansku tangentnu koniku T , paralelijansku upisanu koniku I i dvije daljnje konike D i J koje su prirodno povezane s Δ i P. Bilo koji par ovih konika rezultira određženom porizmom, pa čak i lancem porizmi pomoću polarizacije. Proučavamo regularnost i singularnost kao i posebne položaje ovih konika prema pravcu g ovisno o izboru polazne točke P i pravca g. Takođžer, dajemo detaljno istraživanje skupova mogućih polaznih točaka koje mijenjaju trokutaste ili šesterokutne porizme bilo kojeg para konika u porizme s jednoparametarskim familijama četverokuta i peterokuta.

Ključne riječi: paralelijana, paralelijanska konika, porizma, kubika trokuta, središte trokuta, algebarska transformacija

Article in PDF.

O izuzetnim svojstvima broja 2025

U ovom članku proučava se broj 2025 i vizualizira njegova regularnost. Ovaj broj je potpuni kvadrat, a dubljim uvidom otkrivamo bogatu strukturu i povezujemo je s prebrojavanjem cjelobrojnih točcaka u poligonalnim domenama. Također dajemo osvrt na frekvenciju pojave kvadratnih i regularnih godina te jedinstvenost ovakve regularne godine.

Ključne riječi: poligonalni broj, trigonalni broj, tetredralni broj

Article in PDF.