next up previous contents index
Next: Vlastite vrijednosti i vlastiti Up: Problem vlastitih ... Previous: Hamilton-Cayleyev teorem za simetrične   Sadržaj   Indeks


Ortogonalne matrice

Pogledajmo kako djeluje ortogonalna matrica $ Q$ na prostoru $ {\cal R}_{n}.$ Iz

$\displaystyle Q\boldsymbol{x}\cdot Q\boldsymbol{y}= (Q\boldsymbol{x})^T\,Q\bold...
...dsymbol{y}= \boldsymbol{x}^T\,\boldsymbol{y}= \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}$

slijedi da $ Q$ čuva skalarni produkt. Ako stavimo $ \boldsymbol{y}=\boldsymbol{x},$ dobivamo

$\displaystyle Q\,\boldsymbol{x}\cdot Q\,\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{x},$

odakle

$\displaystyle \Vert Q\boldsymbol{x}\Vert=\Vert\boldsymbol{x}\Vert,$

tj. ortogonalna matrica čuva duljinu vektora. Također

$\displaystyle \cos\angle(Q\boldsymbol{x},Q\boldsymbol{y})=\frac{Q\boldsymbol{x}...
...l{x}\Vert\,\Vert\boldsymbol{y}\Vert}=\cos\angle(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}),$

pa prema tome ortogonalna matrica čuva i kuteve do na predznak, jer je kosinus kao parna funkcija neosjetljiv na predznak.

Budući da je $ Q^TQ=I,$ ortogonalna matrica je regularna i $ Q^{-1}=Q^T.$ Nadalje, iz svojstava determinante (Binet-Cauchyjevog teorema) slijedi

$\displaystyle \det (Q^TQ)=\det Q^T\,\det Q=(\det Q)^2=\det I=1.$

Prema tome je $ \det Q=\pm 1.$



Subsections

2001-10-26