Next: Trapezna formula
Up: Aproksimacija funkcije i numerička
Previous: Metoda najmanjih kvadrata
  Sadržaj
  Indeks
Numerička integracija
Zadatak je izračunati integral
Umjesto da integriramo podintegralnu funkciju, što često nije
moguće, ili zahtijeva puno posla, integriramo polinom,
koji interpolira funkciju u odgovarajućim točkama.
Numerički to radimo na sljedeći način. Segment podijelimo
na podsegmente točkama
Radi jednostavnosti i
određenosti postupka podjela se uzme ekvidistantnom. U tim točkama
interpoliramo funkciju Lagrangeovim polinomom, i zatim integriramo
polinom. Tako dobiven broj predstavlja približnu vrijednost zadanog
integrala. Dakle
Ako uvrstimo Lagrangeov polinom (3.14), imamo
|
(3.19) |
Da bismo razmatranje učinili neovisnim o segmentu svedimo
ga supstitucijom na fiksni segment To možemo učiniti
afinom funkcijom (polinomom prvog stupnja) čiji je graf pravac kroz
točke i
Jednadžba tog
pravca je
odnosno
Supstitucija čuva
ekvidistantnost, pa je
ekvidistantna podjela segmenta na podsegmenata. Tom
supstitucijom formula (3.19) prelazi u
gdje je
|
(3.20) |
Vidimo da ponderi ne
ovise o segmentu niti o funkciji, već samo o broju
Iz formule (3.15) slijedi da je greška koju pri tom činimo
gdje je
Točka nam nije poznata, pa za ocjenu greške moramo uzeti
maksimum ove derivacije na segmentu
gdje je
Specijalno za imamo
Zatim,
pa je
gdje je
Za imamo tri točke podjele
Pretpostavimo da
je podjela ekvidistantna, tj. da je
Tada je
Kad bismo ponovili
postupak kao gore, dobili bismo u ocjeni No, ta
se ocjena može poboljšati. Zbog činjenice da je funkcija
simetrična u odnosu na točku
(graf je neparan u odnosu na tu točku), njezin integral po
segmentu iščezava. U tom slučaju se funkcija može
interpolirati s polinomom 4. stupnja, tako da se točka
uzme kao dvostruka. O tome kako se to radi ovdje
nećemo govoriti. Primijetimo samo da se zbog integriranja polinoma 4.
stupnja u ocjeni pojavi Može se pokazati de
je ona
gdje je
Subsections
Next: Trapezna formula
Up: Aproksimacija funkcije i numerička
Previous: Metoda najmanjih kvadrata
  Sadržaj
  Indeks
2001-10-26