Trapezna formula

U slučaju $n=1,$ iz formule (3.20) imamo $t_0=-1,t_1=1,$ pa su ponderi

$$w_0 = \int_{-1}^1 \frac{t-t_1}{t_0-t_1}\,dt = \int_{-1}^1 \frac{t... ..._1 = \int_{-1}^1 \frac{t-t_0}{t_1-t_0}\,dt = \int_{-1}^1 \frac{t+1}{2}\,dt = 1.$$

Prema tome formula glasi

$$\int_a^b f(x)\,dx \approx{} \frac{b-a}{2}\,\left[f(a)+f(b)\right],$$ (3.21)

uz ocjenu greške

$$\vert R_1\vert \leqslant{} \max_{x \in [a,b]} \left\vert f''(x)\right\vert\frac{(b-a)^3}{12}.$$

Općenito je greška ove aproksimacije velika. Zato dijelimo segment $[a,b]$ na podsegmente, i na svakom od njih posebno koristimo ovu formulu. Radi jednostavnosti uzimamo ekvidistantnu podjelu. Neka je dakle

$$\frac{b-a}{m}=h,$$   i $$\hspace{1cm} a=x_0<x_1<x_2<\ldots{}<x_{m-1}<x_m=b,$$

gdje je $x_i=a+ih.$ Ako na svaki od podsegmenata, čija je duljina $h,$ primijenimo formulu (3.21), dobivamo

$$\int_a^b f(x)\,dx \approx{} \frac{h}... ...ft[f(x_1)+f(x_2)\right] + \cdots{} + \frac{h}{2}\,\left[f(x_{m-1})+f(b)\right],$$

odnosno

$$\int_a^b f(x)\,dx \approx{} \frac{h}... ...eft\{f(a)+2\,\left[f(x_1) + f(x_2) + \cdots{} + f(x_{m-1})\right]+f(b)\right\}.$$ (3.22)

Formula (3.22) se zove trapezna formula.

Ocjena greške se dobije zbrajanjem grešaka na pojedinim podsegmentima. Tako imamo

$$\vert R_T\vert \leqslant{} \sum_{j=1}^m \frac{M_j\,h^3}{12},$$

gdje je

$$M_j = \max_{x \in [x_{j-1},x_j]} \left\vert f''(x)\right\vert,\hspace{1cm}j=1,2,\ldots{},m.$$

Za ovu ocjenu trebalo bi mnogo puta ($m$ puta) ocjenjivati drugu derivaciju i to na raznim podsegmentima, što nije jednostavno. Zato radije ocjenu napravimo jednom za cijeli segment $[a,b],$ i uzmemo u obzir da je za svaki $j$

$$M_j \leqslant{} M = \max_{x \in [a,b]} \left\vert f''(x)\right\vert.$$

Tako imamo ocjenu

$$\vert R_T\vert \leqslant{} \sum_{j=1}^m \frac{M\,h^3}{12} = \frac{M\,h^3}{12}\,m = \frac{M\,(b-a)^3}{12\,m^2}.$$