Gaussova kvadratura

Trapezna i Simpsonova formula su koristile ekvidistantnu podjelu. Točke podjele su bile jednoliko razmještene na segmentu. Te formule u pravilu računaju točno integrale polinoma najviše onog stupnja kojeg je bio interpolacioni polinom. Tako trapezna formula računa točno integrale polinoma do uključivo prvog stupnja.

Postavlja se pitanje da li postoje formule koje računaju točno integrale polinoma stupnja višeg nego što je interpolacioni polinom. Takve formule postoje i zovu se Gaussove kvadraturne formule. U tim formulama točke podjele nisu više ekvidistantno raspoređene. Točke podjele ćemo u daljnjem zvati čvorovima.

Kvadraturna formula općenito je oblika

$$\int_{a}^{b}\,f(x)\,dx\approx \frac{b-a}{2}\,\sum_{j=1}^n c_j\,f(x_j).$$ (3.23)

Zbog svojstva linearnosti integrala, kvadraturna formula koja računa točno potencije do uključivo stupnja $m,$ računat će točno i njihove linearne kombinacije, tj. polinome do uključivo $m$-tog stupnja. Dakle, pretpostavimo da greška prilikom računanja potencija do uključivo stupnja $m$ iščezava

$$R_n(x^k)=\int_{a}^{b}\,x^k\,dx- \frac{b-a}{2}\, \sum_{j=1}^n c_j\,x^k_j=0,\hspace{1cm}k=0,1,2,\ldots,m.$$

Tako imamo $m+1$ jednadžbu za $2n$ nepoznanica $c_1,c_2,\ldots,c_n,x_1,x_2,\ldots,x_n.$ Općenito sustav treba imati onoliko jednadžbi koliko ima nepoznanica, da bismo imali jedinstveno rješenje. Ne ulazeći dublje u tu problematiku, primijetimo da u ovom slučaju to znači da treba biti $m= 2n-1.$ Dakle, u principu, s $n$ kvadraturnih točaka $x_1, x_2, \ldots, x_n$ se mogu rješavati točno integrali polinoma stupnja najviše $2n-1.$

Umjesto rješavanja gornjeg sustava, za određivanje čvorova $x_1, x_2, \ldots, x_n$ i težina $c_1,c_2,\ldots,c_n$ koristimo ideju koja potječe od C. F. Gaussa, a osniva se na sljedećem razmatranju.

Neprekidne funkcije na $[a,b]$ čine vektorski prostor obzirom na uobičajene operacije zbrajanja funkcija i množenja funkcije brojem. Svakom paru $f,g$ takvih funkcija možemo pridružiti broj

$$f\cdot g=\int_a^b f(x)\,g(x)\,dx.$$

Funkcija, koja uređenom paru $(f,g)$ pridružuje $f\cdot{}g,$ ima svojstva

1. $(f+g)\cdot h = \int_a^b (f(x)+g(x))\,h(x)\,dx$ $= \int_a^b f(x)\,h(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,h(x)\,dx = f\cdot h + g\cdot h,$
2. $(\lambda\,f)\cdot{}g = \int_a^b \lambda{}f(x)\,g(x)\,dx = \lambda{}\int_a^b f(x)\,g(x)\,dx = \lambda{}f\cdot g,$
3. $f\cdot g=\int_a^b f(x)\,g(x)\,dx = \int_a^b g(x)\,f(x)\,dx = g\cdot f,$
4. $f\cdot f=\int_a^b [f(x)]^2\,dx \geqslant{} 0,$
5. $f\cdot f=\int_a^b [f(x)]^2\,dx = 0\hspace{1cm}\Leftrightarrow \hspace{1cm}f=0.$

pa se zato zove skalarni produkt. To nam omogućava da govorimo o međusobno ortogonalnim funkcijama, njihovoj duljini itd.

Vratimo se sada na naš problem. Da diskusija ne bi ovisila o području integracije, prijeđimo na segment $[-1,1]$ supstitucijom

$$x = \frac{b-a}{2}\,t + \frac{b+a}{2}.$$

Tada je

$$\int_{a}^{b}\,f(x)\,dx = \frac{b-a}{2}\,\int_{-1}^{1}\,f\left(\fr... ...\,t + \frac{b+a}{2}\right)\,dt = \frac{b-a}{2}\,\int_{-1}^{1}\,\varphi(t)\,dt,$$

gdje je

$$\varphi(t) = f\left(\frac{b-a}{2}\,t + \frac{b+a}{2}\right) = f(x).$$

Iz formule (3.23) slijedi

$$\int_{-1}^{1}\,\varphi(t)\,dt \appro... ...ft(\frac{b-a}{2}\,t_j + \frac{b+a}{2}\right) = \sum_{j=1}^n c_j\,\varphi(t_j).$$

Neka su $t_1,t_2,\ldots,t_n$ tražene kvadraturne točke. Po pretpostavci, kvadraturna formula je točna za polinome do uključivo $2n-1$-og stupnja. Prema tome

$$\int_{-1}^1 (t-t_1)(t-t_2)\cdots(t-t_n)t^k\,dt- \sum_{j=1}^n c_j(t_j-t_1)(t_j-t_2)\cdots(t_j-t_n)t_j^k=0,$$

za $k=0,1,2,\ldots,n-1.$ S druge strane suma iščezava, jer se za svaki $j$ jedan faktor poništava. To znači, da je polinom

$$P_n(t)=(t-t_1)(t-t_2)\cdots(t-t_n)$$

okomit na polinome $1,t,t^2,\ldots,t^{n-1},$ a prema tome i na njihove linearne kombinacije, tj. na sve polinome stupnja najviše $n-1.$ Takvi polinomi se zovu Legendreovi polinomi. Točke Gaussove kvadrature su upravo korijeni (nule) tih polinoma. Nađimo Legendreove polinome. U tu svrhu ortogonalizirajmo polinome $1,t,t^2,\ldots$ Gram-Schmidtovim postupkom

$$P_0(t) = 1,$$

$$P_1(t) = t - \frac{t\cdot{}P_0}{P_0\cdot{}P_0}\,P_0 = t - \frac{\int_{-1}^{1}\, t\,dt}{\int_{-1}^{1}\,dt}= t,$$

$$P_2(t) = t^2 - \frac{t^2\cdot{}P_0}{P_0\cdot{}P_0}\,P_0 - \frac{... ...\frac{\int_{-1}^{1}\,t^3\,dt}{\int_{-1}^{1}\,t^2\,dt}\,t = {t^2}-{\frac{1}{3}},$$

$$P_3(t) = t^3 - \frac{t^3\cdot{}P_0}{P_0\cdot{}P_0}\,P_0 - \frac{... ...frac{t^3\cdot{}P_2}{P_2\cdot{}P_2}\,P_2 = \ldots{} = {t^3} - {\frac{3\,t}{5}},$$

$$P_4(t) = \ldots{} = {t^4} - {\frac{6\,{t^2}}{7}} + {\frac{3}{35}},$$

$$\ldots{}$$

Tako na segmentu $[-1,1]$ imamo točke kvadrature

$n$	$t_1$	$t_2$	$t_3$	$t_4$
$1$	0
$2$	$-0.57735$	$0.57735$
$3$	$-0.774597$	0	$0.774597$
$4$	$-0.861136$	$-0.339981$	$0.339981$	$0.861136$

Težine $c_j$ jednostavno možemo izračunati na sljedeći način. Gaussova kvadratura računa točno polinome do uključivo $2n-1$-og stupnja. Neka su $L_k^{(n)}, k=1,2,3,\ldots,n$ polinomi sa svojstvom

$$L_k^{(n)}(t_j) = \delta_{k\,j},\hspace{1cm}k,j=1,2,\ldots,n.$$

To su polinomi koji su se pojavili prilikom Lagrangeove interpolacije. Njihov stupanj je $n-1,$ pa Gaussova kvadratura računa njihove integrale točno. To znači

$$\int_{-1}^{1}\,L_k^{(n)}(t)\,dt = \sum_{j=1}^n c_j\,L_k^{(n)}(t_j) = c_k,\hspace{1cm} k=1,2,\ldots,n,$$

tj.

$$c_k = \int_{-1}^{1}\,L_k^{(n)}(t)\,dt,\hspace{1cm} k=1,2,\ldots,n.$$

$n$	$c_1$	$c_2$	$c_3$	$c_4$
$1$	$2.000000$
$2$	$1.000000$	$1.000000$
$3$	$0.555556$	$0.888889$	$0.555556$
$4$	$0.347855$	$0.652145$	$0.652145$	$0.347855$

Nultočke Legendreovihovih polinoma uglavnom su iracionalni brojevi, pa uzimajući vrijednosti iz gornje tablice, činimo grešku zamjenjujući iracionalan broj decimalnim. Tako ipak ne dobivamo apsolutnu točnost. No, barem smo uklonili grešku koja se odnosi na zamjenu integrala kvadraturnom formulom.