Metoda separacije varijabli za nestacionarne probleme

Nestacionarni problemi su opisani valnom jednadžbom

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2\,\Delta\,u,$$

ili jednadžbom provođenja

$$\frac{\partial u}{\partial t} = c^2\,\Delta\,u$$

na nekom području $\Omega{}$ u $\\ R^3.$ Ovdje smo radi jednostavnosti uzeli da su gustoća mase $\rho,$ i specifična toplina $\gamma{}$ konstante. Također smo pretpostavili da nema vanjskog utjecaja, tj. da je $f=0.$

Pretpostavimo da je rubni uvjet Dirichletov

$$\left.u(P,t)\right\vert _{\partial{\Omega}} = 0.$$

Ovdje je, zbog kratkoće zapisa, stavljeno $P$ umjesto $(x,y,z).$^2.4 Početni uvjeti za valnu jednadžbu neka su

$$u(P,0) = \phi{}(P),\hspace{1cm}\frac{\partial{}u(P,0)}{\partial{}t} = \psi{}(P),$$

za $P \in \bar{\Omega{}}.$ Ovdje $\bar{\Omega{}}$ označava područje $\Omega{}$ zajedno s rubom $\partial{}\Omega{}.$

Osnovna pretpostavka je da se rješenje može predstaviti u obliku produkta

$$u(P,t) = v(P)\,T(t).$$

Uvrstimo u jednadžbu, na pr. valnu

$$v(P)\,T''(t) = c^2\,T(t)\,\Delta\,v(P),$$

i podijelimo s $c^2T(t)v(P)$

$$\frac{1}{c^2}\,\frac{T''(t)}{T(t)} = \frac{\Delta\,v(P)}{v(P)} = a.$$

Budući da smo separirali varijable, i da su one nezavisne, $a$ je konstanta.

$$\Delta\,v(P) = a\,v(P).$$

Pomnožimo ovu jednadžbu s $v(P),$ i integriramo po $\Omega{}$

$$\iiint_{\Omega}\,v(P)\,\Delta\,v(P)\,dV = \iiint_{\Omega}\,a\,v(P)^2\,dV.$$

Imamo, zbog (2.53),

$$\iiint_{\Omega} v\,\Delta v\,dV = \i... ...iint_{\Omega} ({\rm grad\,}v)^2\,dV = - \iiint_{\Omega} ({\rm grad\,}v)^2\,dV,$$

jer se $v$ poništava na $\partial{}\Omega{}.$ Tako je

$$a = -\frac{\iiint_{\Omega} ({\rm grad\,}v(P))^2\,dV}{\iiint_{\Omega}\,v(P)^2\,dV} < 0.$$

Dakle možemo staviti $a = -\lambda{}^2.$ Tako se početna jednadžba raspada na dvije jednadžbe

$$\Delta\,v(P) + \lambda{}^2\,v(P) = 0,$$

$$T''(t) + (c\,\lambda{})^2\,T(t) = 0.$$

Rubni uvjet je sada

$$u(P,t) = v(P)\,T(t) = 0,$$    za $$P\in\partial{}\Omega{}.$$

Kako to vrijedi za svaki $t,$ mora biti $v(P)=0$ na $\partial{}\Omega{}.$ Tako imamo rubni problem

$$\begin{cases} \Delta\,v(P) + \lambda... ...r{\Omega{}},$} \\ v(P) = 0,& \mbox{ za $P\in\partial{}\Omega{}.$} \end{cases}$$

Oni $\lambda{}^2$ za koje postoji netrivijalno rješenje ovog problema zovu se vlastite vrijednosti, a pripadne funkcije vlastite funkcije ovog rubnog problema.

Neka su $\alpha{}$ i $\beta{}$ dvije međusobno različite vlastite vrijednosti, i $v$ odnosno $w$ pripadne vlastite funkcije. Tada

$$\iiint_{\Omega} (v\,\Delta\,w - w\,\Delta\,v)\,dV = \iiint_{\Omeg... ...{}\,v\,w - \beta{}\,v\,w)\,dV = (\alpha{} - \beta{})\,\iiint_{\Omega} v\,w\,dV.$$

S druge strane, prema drugoj Greenovoj formuli, koja se izvodi iz (2.53),

$$\iiint_{\Omega} (w\,\Delta\,v - v\,\Delta\,w)\,dV = \iint_{\parti... ... v}{\partial \vec{n}} - v\,\frac{\partial w}{\partial \vec{n}}\right)\,dS = 0,$$

jer je $v(P) = w(P) = 0$ za $P\in\partial{}\Omega{}.$ Tako je

$$(\alpha{} - \beta{})\,\iiint_{\Omega} v\,w\,dV = 0.$$

Budući da je $\alpha{}\neq\beta,$ slijedi

$$\iiint_{\Omega} v\,w\,dV = 0.$$

Zbog ovog svojstva kažemo da su vlastite funkcije, koje pripadaju različitim vlastitim vrijednostima, međusobno okomite. Opravdanje leži u činjenici da produkt

$$f\cdot g = \iiint_{\Omega} f\,g\,dV,$$

koji paru funkcija pridružuje broj (skalar), ima sva svojstva skalarnog produkta.

Pretpostavimo sada da su $\lambda{}_n^2,\,n=1,2,3,\ldots$ vlastite vrijednosti, a $v_n,\,n=1,2,3,\ldots$ vlastite funkcije rubnog problema. Tada vremenska jednadžba glasi

$$T_n''(t) + (c\,\lambda{}_n)^2\,T_n(t) = 0.$$

Rješenja su

$$T_n(t) = A_n\,\cos c\lambda{}_nt + B_n\,\sin c\lambda{}_nt.$$

Rješenje cijelog rubno-početnog problema tražimo u obliku

$$u(P,t) = \sum_{n=0}^{\infty} T_n(t)\,v_n(P) = \sum_{n=0}^{\infty} \left(A_n\,\cos c\lambda{}_nt + B_n\,\sin c\lambda{}_nt\right)\,v_n(P).$$

Neodređene konstante $A_n,B_n,\,n=1,2,3,\ldots$ računamo iz početnih uvjeta, pomoću Fourierovih redova.

Kod jednadžbe provođenja jedina je razlika u vremenskoj jednadžbi. Ona u tom slučaju glasi

$$T_n'(t) + (c\,\lambda{}_n)^2\,T_n(t) = 0,$$

pa je

$$T_n(t) = C_n\,e^{-(c\,\lambda{}_n)^2\,t}.$$

Rješenje cijelog problema se tada traži u obliku

$$u(P,t) = \sum_{n=0}^{\infty} C_n\,e^{-(c\,\lambda{}_n)^2\,t}\,v_n(P),$$

a neodređene konstante $C_n$ se određuju iz početnog uvjeta pomoću Fourierovog reda.