Varijacijski princip

Rješavamo rubni problem

$$% latex2html id marker 37107 \begin{cases}-\Delta\,u(x,y) = ... ...\bar{\Omega}$\ \\ u\vert _{\partial \Omega} = 0. & \end{cases}$$ (2.55)

Svaku funkciju $v$ klase $C^1(\Omega{})$ takvu da je $v\vert _{\partial\Omega{}} = 0$ zovemo dopustivom funkcijom.

Pretpostavimo da je $u(x,y)$ ravnotežni položaj membrane, tj. rješenje gornjeg problema. Da bi se membrana pomakla iz tog položaja, potrebno je izvršiti neki rad. Taj rad ovisi o veličini perturbacije $v(x,y).$ Budući da je u novom položaju membrana i dalje učvršćena na rubu, mora i $v$ biti dopustiva funkcija. Rad, koji izvrši vanjska sila uslijed pomaka $v,$ je

$$\iint_{\Omega}\,f\,v\,dxdy,$$

dok je unutrašnji rad membrane

$$\iint_{\Omega}\,v\,\Delta\,u\,dxdy.$$

Ako jednadžbu u (2.57) pomnožimo s $v$ i integriramo po $\Omega{},$ dobivamo

$$\iint_{\Omega}\,v\,\Delta\,u\,dxdy + \iint_{\Omega}\,f\,v\,dxdy = 0.$$

Ova jednakost izražava Bernoullijev princip sačuvanja rada (energije). Iz prve Greenove formule

$$\iint_{\Omega{}} \left({\rm grad\,}v... ...ht)\,dxdy = \int_{\partial\Omega{}} v\,\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}\,ds$$

slijedi

$$\iint_{\Omega{}} v\,\Delta u\,dxdy = -\iint_{\Omega{}} {\rm grad\,} v\cdot{\rm grad\,}u\,dxdy,$$

jer je $v$ dopustiva funkcija, pa iščezava na rubu od $\Omega{},$ a s njom i krivuljni integral. Kad to uvrstimo u gornju jednakost, dobivamo

$$\iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v\cdot{\rm grad\,}u\,dxdy = \iint_{\Omega}\,f\,v\,dxdy.$$ (2.56)

Možemo zaključiti sljedeće. Ako funkcija $u$ rješava rubni problem (2.57), onda za svaku dopustivu funkciju $v$ vrijedi (2.58). Također vrijedi i obrat. Ako $u$ sa svojstvom $u\vert _{\partial \Omega} = 0$ zadovoljava (2.58) za svaku dopustivu funkciju $v,$ onda $u$ rješava rubni problem (2.57).

Prvi dio smo dokazali. Treba dokazati obrat. Neka vrijedi (2.58) za svaku dopustivu funkciju $v,$ i neka je $u\vert _{\partial \Omega} = 0.$ Tada je prema prvoj Greenovoj formuli

$$\iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v\cdot{\... ...,\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}\,ds - \iint_{\Omega{}} v\,\Delta u\,dxdy.$$

Krivuljni integral iščezava, jer je $v$ dopustiva funkcija. Tako je

$$\iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v\cdot{\rm grad\,}u\,dxdy = - \iint_{\Omega}\,v\,\Delta u\,dxdy.$$

Uvrstimo u (2.58), dobivamo

$$\iint_{\Omega}\,v\,\Delta u\,dxdy + \iint_{\Omega}\,f\,v\,dxdy = 0,$$

$$\iint_{\Omega}\,\left[\Delta u + f\right]\,v\,dxdy = 0,$$

za svaku dopustivu funkciju $v.$ Po osnovnoj lemi slijedi

$$-\Delta\,u = f.$$

Kao i u jednodimenzionalnom slučaju sada dokazujemo da je Bernoullijev princip ekvivalentan problemu minimizacije funkcionala energije.

Neka je dan funkcional

$$F(w) = \frac{1}{2}\,\iint_{\Omega}\,({\rm grad\,}w)^2dxdy - \iint_{\Omega}\,f\,w\,dxdy.$$

Pogledajmo čime se odlikuje $F(u),$ ako $u$ zadovoljava Bernoullijev princip, tj. zadovoljava (2.58). U tu svrhu stavimo $w=u+v,$ gdje je $v$ perturbacija ravnotežnog položaja (dopustiva funkcija). Kako je $u$ ravnotežni položaj, $u$ je dopustiva funkcija, pa je i $w$ dopustiva. Imamo

$$F(w) = F(u+v) = \frac{1}{2}\,\iint_{\Omega}\,({\rm grad\,}u + {\rm grad\,}v)^2dxdy - \iint_{\Omega}\, f\,(u+v)\,dxdy$$

$$= \frac{1}{2}\,\iint_{\Omega}\,({\rm grad\,}u)^2dxdy + \iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}u\cdot{\rm grad\,}v\,dxdy$$

$$+ \frac{1}{2}\,\iint_{\Omega}\, ({\rm grad\,}v)^2dxdy - \iint_{\Omega}\,f\,u\,dxdy - \iint_{\Omega}\,f\,v\,dxdy$$

$$= F(u) + \frac{1}{2}\,\iint_{\Omega}\,({\rm grad\,}v)^2dxdy \geqslant F(u).$$

Dakle $F(w)\geqslant{}F(u),$ i pri tom je $F(w)=F(u)$ samo ako je ${\rm grad\,}v=\vec{0},$ a to znači $v=$ konst.$,$ a kako je na rubu $v=0,$ slijedi da je $F(w)=F(u)$ samo ako je $w=u.$ Dakle $u$ je jedinstvena funkcija sa svojstvom $u\vert _{\partial \Omega} = 0$ koja minimizira funkcional $F.$

Dokažimo sada obrat, tj. da funkcija $u$ koja minimizira funkcional $F,$ i zadovoljava rubni uvjet $u\vert _{\partial \Omega} = 0,$ mora zadovoljavati Bernoullijev princip, tj. (2.58). Pretpostavimo da $u$ ima tražena svojstva, i stavimo $w=u+\lambda{v},$ gdje je $v$ perturbacija (funkcija iz klase dopustivih). Funkcional $F$ poprima minimum na funkciji $u,$ pa prema tome funkcija

$$h(\lambda{}) = F(u + \lambda{}\,v)$$

poprima minimum za $\lambda{}=0.$ Imamo

$$h(\lambda{}) = F(u + \lambda{}\,v) = \frac{1}{2}\iint_{\Omega}\,({\rm grad\,}u + \lambda\,{\rm grad\,}v)^2dxdy - \iint_{\Omega}\,f\,(u+\lambda\,v)\,dxdy$$

$$= \frac{1}{2}\,\iint_{\Omega}\,({\rm grad\,}u)^2dxdy - \iint_{\Omega}\,f\,u\,dxdy$$

$$+ \lambda{}\left[\iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}u\cdot{\rm grad\,}v\,dxdy - \iint_{\Omega}\, f\,v\,dxdy\right]$$

$$+ \frac{1}{2}\,\lambda{}^2\,\iint_{\Omega}\,({\rm grad\,}v)^2dxdy.$$

Ovo je polinom drugog stupnja u $\lambda{},$ koeficijent uz $\lambda{}^2$ je pozitivan, pa funkcija doista ima minimum u tjemenu. Apscisa tjemena parabole, koja je graf funkcije

$$a\,\lambda{}^2 + b\,\lambda{} + c$$

je

$$-\frac{b}{2\,a},$$

pa ako se minimum dostiže u $\lambda{}=0,$ tj. u točki s apscisom $0,$ onda mora biti $b = 0.$ U našem slučaju slijedi

$$\iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}u\cdot{\rm grad\,}v\,dxdy - \iint_{\Omega}\,f\,v\,dxdy = 0$$

za svaku dopustivu funkciju $v.$ Tako smo dokazali da $u$ zadovoljava (2.58). Iz svega rečenog možemo zaključiti da vrijedi sljedeće.

Teorem 21 (Varijacijski princip)   Da bi funkcija $u$ bila rješenje rubnog problema

$$% latex2html id marker 37276 \begin{cases}-\Delta\,u = f,\hs... ...na }\Omega{},& \\ u\vert _{\partial\Omega{}} = 0,& \end{cases}$$ (2.57)

nužno je i dovoljno da funkcija $u$ zadovoljava taj rubni uvjet i da minimizira funkcional

$$F(w) = \frac{1}{2}\,\iint_{\Omega}\,({\rm grad\,}w)^2\,dxdy - \iint_{\Omega}\,f\,w\,dxdy.$$