Plohe. Plošni integral 1. vrste

Pojam glatke plohe

Umjesto da definiramo glatku plohu radije promotrimo kako se ploha može zadati. Primjeri, koje ćemo raditi, bit će primjeri glatkih ploha ili po dijelovima glatkih ploha. Napomenimo da jedno od važnih svojstava glatke plohe je da ima u svakoj točki tangencijalnu ravninu. Po dijelovima glatka ploha je neprekidna ploha, koja se sastoji od konačno mnogo glatkih ploha.

Zadavanje plohe eksplicitno.

Neka je $\Omega$ područje u $R^2,$ i neka $f:\Omega\rightarrow R$ ima neprekidne parcijalne derivacije po $x$ i $y$ na $\Omega.$ Graf takve funkcije $f$ zovemo glatkom plohom. Jednadžba takve plohe je

$$z=f(x,y).$$

Primjer 5.1   Graf funkcije $f(x,y)=x^2+y^2$ je rotacijski paraboloid, čija je jednadžba $z=x^2+y^2.$ (v. sliku 1.1.3)

Primjer 5.2   Graf funkcije $f(x,y)=x^2-y^2$ je hiperbolički paraboloid (sedlasta ploha), čija je jednadžba $z=x^2-y^2.$ (v. sliku 4)

U daljnjem izlaganju će nam biti važan vektor normale na tangencijalnu ravninu u točki $P_0$ ovako zadane plohe

$$\vec{n}\,(P_0)={\rm grad\,}\,(z-f(x,... ...al x}\,\vec{\imath} -\frac{\partial f(P_0)}{\partial y} \,\vec{\jmath}+\vec{k}.$$

Zadavanje plohe implicitno.

Na opisani način ne možemo zadati sferu, već samo neke njezine dijelove. Općenitije zadavati glatku plohu može se implicitno.

Neka je $\Omega$ područje u $R^3$ i $F:\Omega\rightarrow R$ funkcija klase $C^1(\Omega).$ Tada je jednadžbom

$$F(x,y,z)=0,$$ (5.1)

uz uvjet da ova jednadžba ima bar jedno rješenje $(x_0,y_0,z_0)$ i da je

$$\frac{\partial{}F(x_0,y_0,z_0)}{\partial{}z}\neq{}0,$$

zadana funkcija $f$ klase $C^1$ na nekom području $D$ u ravnini $xy$ takva da vrijedi

$$F(x,y,f(x,y))=0,$$

tj. varijablu $z$ možemo shvatiti kao funkciju od $x$ i $y.$ (To je zapravo teorem o implicitno zadanoj funkciji; v. 1.4.3.)

Uz neke druge uvjete može se $x$ shvatiti kao funkcija od $y$ i $z,$ ili $y$ kao funkcija od $x$ i $z.$ Ostajući, međutim, na jednadžbi (5.1), i zahtijevajući da je

$$\left(\frac{\partial{}F(x,y,z)}{\partial{}x}\right)^2 + \left(\fr... ...rtial{}y}\right)^2 + \left(\frac{\partial{}F(x,y,z)}{\partial{}z}\right)^2 > 0,$$

dobivamo skup točaka $\Sigma{}$ u prostoru čiji su pojedini dijelovi grafovi funkcija od dvije varijable, jer zadnja nejednakost osigurava da je u svakoj točki bar jedna parcijalna derivacija različita od $0.$ Skup $\Sigma{}$ zovemo glatkom plohom.

Primjer 5.3   Sfera sa središtem u ishodištu i radiusom $R$ se implicitno zadaje jednadžbom

$$x^2+y^2+z^2=R^2.$$

Rješenje. U ovom slučaju je $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-R^2,$ pa je

$$\left(\frac{\partial{}F(x,y,z)}{\partial{}x}\right)^2 + \left(\fr... ...c{\partial{}F(x,y,z)}{\partial{}z}\right)^2 = 4\,(x^2 + y^2 + z^2) = 4\,R^2 > 0$$

Tako je gornjom jednadžbom doista zadana glatka ploha.

Ako je ploha zadana na taj način, onda se vektor normale računa po formuli

$$\vec{n}=\frac{\partial F(P_0)}{\partial x}\,\vec{\imath} +\frac{\... ...(P_0)}{\partial y} \,\vec{\jmath}+ \frac{\partial F(P_0)}{\partial z}\,\vec{k}.$$

Zadavanje plohe parametarski.

Također, glatku plohu možemo zadati parametrizacijom.

Neka je $\Omega$ područje u $R^2,$ i $\vec{r}:\Omega\rightarrow X_O(E)$ vektorska funkcija klase $C^1(\Omega),$ takva da je

$$\vec{r}\,(u,v)=x(u,v)\,\vec{\imath}+y(u,v)\,\vec{\jmath}+ z(u,v)\,\vec{k}.$$ (5.2)

U tom slučaju plohu čini skup točaka u prostoru

$$\Sigma=\{(x(u,v),y(u,v),z(u,v));\;(u,v)\in \Omega\}.$$

Uređeni par $(\Omega,\vec{r}\,)$ područja $\Omega$ i vektorske funkcije $\vec{r}$ zove se parametrizacija plohe $\Sigma{}$.

Podsjetimo se, $\vec{r}\,(u,v)$ predstavlja radijvektor do točke na plohi, a $r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ je točka na plohi, tj. vrh radijvektora.

Ako u formulu (5.2) stavimo $v=$konst.$,$ onda $\vec{r}$ postaje vektorska funkcija jedne varijable. Pomoću takvih funkcija se parametriziraju krivulje. Tako dobivene krivulje (za razne vrijednosti od $v$) se zovu $u$-krivulje. Ako stavimo $u=$konst.$,$ onda na isti način dobivamo drugu familiju krivulja. Te krivulje zovemo $v$-krivuljama.

Primjer 5.4   Sfera sa središtem u ishodištu, radiusa $R.$

Rješenje. Ova sfera u sfernom koordinatnom sustavu ima jednadžbu $r=R.$ Prema tome parametrizacija je dana s

$$x(\vartheta,\varphi)=R\,\sin \vartheta\cos \varphi,\;\; y(\varthe... ...phi)=R\,\sin \vartheta\sin \varphi,\;\; z(\vartheta,\varphi)=R\,\cos \vartheta,$$

gdje je područje $\Omega$ određeno s $0\leqslant \vartheta\leqslant \pi,$ $0\leqslant\varphi<2\,\pi.$

Primjer 5.5   Torus s velikim radiusom $a$ i malim radiusom $b.$

Rješenje.

Slika lijevo dolje je torus gledan s vrha osi $z,$ dok desna predstavlja poprečni presjek jednog dijela torusa. Prema ovim slikama koordinate točke $T$ su dane s

$$x = \overline{OT'}\,\cos\varphi{},\quad y = \overline{OT'}\,\sin\varphi{},\quad z = b\,\sin\psi{}.$$

Prema desnoj slici

$$\overline{OT'} = a + b\,\cos\psi.$$

Tako imamo parametrizaciju torusa

$$r(\varphi,\psi)=\left((a+b\,\cos \psi)\,\cos \varphi,\; (a+b\,\cos \psi)\,\sin \varphi,\;b\,\sin \psi\right),$$

gdje je područje $\Omega$ određeno sa $0\leqslant \varphi <2\, \pi,$ $0\leqslant\psi<2\,\pi.$

Primjer 5.6   Helikoidalna ploha, tj. ploha koja nastaje kad se od osi $z$ povuku zrake okomito na os $z$ kroz točke helikoide.

Rješenje.

Za parametrizaciju nam može poslužiti parametrizacija helikoide

$$r(t)=(a\,\cos t,a\,\sin t,b\,t),\hspace{1cm} t\in R.$$

Iz definicije slijedi da je dovoljno shvatiti $a$ kao varijablu. Dakle

$$\vec{r}\,(s,t)=s\,\cos t\,\vec{\imath}+ s\,\sin t\,\vec{\jmath}+b\,t\,\vec{k},$$

gdje je područje $\Omega$ određeno sa $0< s < \infty,$ $t\in R.$

Ako je ploha zadana parametarski, vektor normale se računa kao vektorski produkt.

$$% latex2html id marker 41739 \frac{\partial \vec{r}}{\partia... ...,\vec{\jmath} + \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \,\vec{k},$$

gdje je

$$% latex2html id marker 41741 \frac{\partial(y,z)}{\partial(u... ...ial x(u,v)}}{\textstyle{\partial v}} \end{array} \right\vert,$$

$$% latex2html id marker 41743 \frac{\partial(x,y)}{\partial(... ...ial y(u,v)}}{\textstyle{\partial v}} \end{array} \right\vert.$$

Da ploha parametarski zadana bude glatka, nužan uvjet je

$$\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}\neq \vec{0}.$$

Pojam plošnog integrala 1. vrste

Problem mase plohe.

Neka je $\Sigma{}$ glatka ploha, i neka je na plohi definirana gustoća mase $\rho.$ Interesira nas masa te plohe.

Podijelimo $\Sigma{}$ na manje dijelove $\Delta{}\Sigma{}_i, i=1,2,\ldots,n$ (v. 5.1.2). Na svakom od dijelova $\Delta{}\Sigma{}_i$ odaberemo proizvoljnu točku $P_i.$ Masa dijela $\Delta{}\Sigma{}_i$ je približno

$$\Delta{}m_i\approx{}\rho{}(P_i)\,\Delta{}S_i,$$

gdje $\Delta{}S_i$ označava površinu dijela $\Delta{}\Sigma{}_i$ plohe $\Sigma{}.$ Ukupna masa plohe je približno

$$m\approx{}\sum_{i}\rho{}(P_i)\,\Delta{}S_i.$$

Sada dijelimo plohu na sve manje dijelove tako da $n\rightarrow{}\infty{},$ i da se pri tom dijelovi $\Delta{}\Sigma{}_i$ stežu na točke. Ako tada

$$\sum_{i}\rho{}(P_i)\,\Delta{}S_i$$

teži prema nekom broju $\mu{},$ onda je taj broj masa plohe $\Sigma{}.$

Plošni integral 1. vrste.

Neka je $\Sigma{}$ glatka ploha, i neka je na plohi definirana funkcija $h:\Sigma{}\rightarrow{}R.$ Podijelimo $\Sigma{}$ na manje dijelove $\Delta{}\Sigma{}_i, i=1,2,\ldots,n,$

i na svakom od dijelova $\Delta{}\Sigma{}_i$ odaberemo proizvoljnu točku $P_i.$ Uočimo broj

$$s_n = \sum_{i} h(P_i)\,\Delta{}S_i,$$

gdje $\Delta{}S_i$ označava površinu dijela plohe $\Delta{}\Sigma{}_i.$ Sada dijelimo plohu na sve manje dijelove tako da $n\rightarrow{}\infty{},$ i da se pri tom dijelovi $\Delta{}\Sigma{}_i$ stežu na točke. Ako tada $s_n$ teži prema nekom broju $J,$ onda taj broj zovemo plošnim integralom 1. vrste funkcije $h$ po plohi $\Sigma{}.$ Pišemo

$$J = \iint_{\Sigma} h(x,y,z)\,dS=\iint_{\Sigma} h\,dS.$$

Računanje plošnog integrala 1. vrste

Ploha eksplicitno zadana.

Neka je $I=[a,b]\times [c,d],$ neka je ploha $\Sigma{}$ zadana kao graf funkcije $f:I\rightarrow R,$ jednadžbom

$$z=f(x,y),$$

i neka je na plohi definirana funkcija $h.$ Podijelimo $I$ na male pravokutnike dijeleći segmente $[a,b],[c,d]$ na podsegmente.

$$a=x_0<x_1<x_2<\ldots <x_{n-1}<x_n=b,$$

$$c=y_0<y_1<y_2<\ldots <y_{m-1}<y_m=d.$$

Ova podjela čini mrežu malih pravokutnika $I_{ij}=[x_{i-1},x_i]\times [y_{j-1},y_j]$ na $I,$ koja inducira mrežu $\Delta \Sigma_{ij}$ dijelova plohe $\Sigma{}.$

Slika 5.1: Podjela pravokutnika.

Uočimo jedan vrh dijela $\Delta \Sigma_{ij},$ i označimo ga s $P_{ij}.$ Postavimo tangencijalnu ravninu na plohu u točki $P_{ij}.$

Površina dijela tangencijalne ravnine nad $I_{ij}$ približno je jednaka površini $\Delta{}S_{ij}$ dijela plohe $\Delta \Sigma_{ij}.$ Osim toga izaberimo na dijelu $\Delta \Sigma_{ij}$ proizvoljnu točku $Q_{ij}$ za svaki $i,j.$ Tada suma, koja se pojavljuje kod definicije plošnog integrala 1. vrste, postaje

$$s = \sum_{i,j} f(Q_{ij})\,\Delta{}S_{ij} \approx{} \sum_{i,j} f(Q_{ij})\,\Delta{}{S'}_{ij},$$

gdje je $\Delta{}{S'}_{ij}$ površina onog dijela tangencijalne ravnine na plohu $\Sigma{}$ u točki $P_{ij},$ koji se nalazi iznad $I_{ij}.$ Taj dio tangencijalne ravnine je paralelogram, pa je njegova površina jednaka duljini vektorskog produkta vektora duž njegovih stranica s početkom u točki $P_{ij}.$ Ti vektori su

$$\vec{a} = \Delta x_i\,\vec{\imath}+ \frac{\partial f(P_{ij})}{\pa... ... y_j\,\vec{\jmath}+ \frac{\partial f(P_{ij})}{\partial y}\,\Delta y_j\,\vec{k}.$$

Vektorski produkt je

$$\left(-\frac{\partial f(P_{ij})}{\partial x}\,\vec{\imath} -\frac... ... f(P_{ij})}{\partial y} \,\vec{\jmath}+\vec{k}\right)\, \Delta x_i\,\Delta y_j,$$

a njegova duljina

$$\Delta{}{S'}_{ij} = \sqrt{1+\left(\frac{\partial f(P_{ij})}{\part... ...al f(P_{ij})}{\partial y}\right)^2}\, \vert\Delta x_i\vert\vert\Delta y_j\vert.$$

Ovdje je $\Delta{}x_i=x_i-x_{i-1}>0,$ $\Delta{}y_j=y_j-y_{j-1}>0,$ pa je tako

$$s\approx \sum_{i,j} h(Q_{ij})\, \sqr... ...\left(\frac{\partial f(P_{ij})}{\partial y}\right)^2}\, \Delta x_i\,\Delta y_j.$$

Ova suma se može shvatiti kao integralna suma dvostrukog integrala funkcije

$$h(x,y,f(x,y))\,\sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2}$$

po pravokutniku $I.$ Prema tome, ako je ploha $\Sigma{}$ dana jednadžbom $z=f(x,y),$ i na njoj definirana funkcija $h,$ onda plošni integral 1. vrste računamo po formuli

$$\iint_{\Sigma} h(x,y,z)\,dS= \iint_I h(x,y,f(x,y))\,\sqrt{1+\left... ...}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2}\,dx\,dy.$$

Ako je ploha definirana na zatvorenom području $\Omega,$ onda, postupkom sličnom onom kod dvostrukog integrala (v. 2.1.3), možemo zaključiti da je formula za računanje plošnog integrala 1. vrste

$$\iint_{\Sigma} h(x,y,z)\,dS= \iint_{\Omega}\, h(x,y,f(x,y))\,\sqr... ...}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2}\,dx\,dy.$$

Primijetimo na kraju da se ova formula može kraće zapisati kako slijedi

$$\iint_{\Sigma} h(x,y,z)\,dS= \iint_{\Omega}\, h(x,y,f(x,y))\,\vert\vec{n}\,\vert\,dx\,dy,$$ (5.3)

pri čemu je $\vec{n}$ vektor normale na plohu, i to upravo onaj koji se dobije iz jednadžbe plohe kao

$$\vec{n} = {\rm grad\,}(z-f(x,y)) = -... ...x}\,\vec{\imath} -\frac{\partial f(P_{ij})}{\partial y} \,\vec{\jmath}+\vec{k}.$$

Primjer 5.7   Izračunati $\iint_{\Sigma} z^2\,dS$ po dijelu plohe $x^2+z^2=1$ odsječene valjkom $x^2+y^2=1,$ a koja se nalazi iznad ravnine $x\,y.$

Rješenje. Imamo

$$z=f(x,y)=\sqrt{1-x^2},\hspace{1cm}h(x,y,z)=z^2,$$

$$\sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2}=\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}},$$

$$h(x,y,f(x,y))\,\sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2}= \sqrt{1 - x^2},$$

pa je

$$\iint_{\Sigma} z^2\,dS=\int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \sqrt{1 - x^2}\,dy\,dx= \int_{-1}^1 2\,(1 - x^2)\,dx= \frac{8}{3}.$$

Ploha zadana parametarski.

Ako je ploha zadana parametarski, i njezina parametrizacija je $(\Omega,\vec{r}\,),$ onda je vektor normale

$$\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v},$$

pa je formula za računanje

$$\iint_{\Sigma} h(x,y,z)\,dS= \iint_{\Omega}\, h(x(u,v),y(u,v),z(u... ...c{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}\right\vert\,dx\,dy.$$

Duljina vektorskog produkta se može izračunati iz sljedeće formule

$$\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert^2=\vert\vec{a}\vert^2\vert\vec{b}\vert^2 -(\vec{a}\cdot\vec{b})^2.$$

Dakle, ako uvedemo sljedeće oznake

$$E=\left\vert\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}\right\vert^2 = \l... ...artial y}{\partial u} \right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial u}\right)^2,$$

$$F=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \cdot \frac{\partial \vec{r... ...y}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial u} \,\frac{\partial z}{\partial v},$$

$$G=\left\vert\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}\right\vert^2 = \l... ...rtial y}{\partial v} \right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial v}\right)^2,$$

onda je duljina vektora normale

$$\left\vert\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}\right\vert= \sqrt{E\,G-F^2},$$

pa se plošni integral 1. vrste računa po formuli

$$\iint_{\Sigma}h(x,y,z)\,dS= \iint_{\Omega}\, h(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) \,\sqrt{E\,G-F^2}\,du\,dv.$$

Primjer 5.8   Izračunati $\iint_{\Sigma}(x^2+y^2)\,dS$ po sferi $x^2+y^2+z^2=R^2.$

Rješenje. Parametrizacija sfere je

$$r(\vartheta,\varphi)=\left(R\,\cos \varphi\,\sin \vartheta, R\,\s... ...vartheta\right),\;\;0\leqslant\vartheta\leqslant\pi, 0\leqslant\varphi <2\,\pi.$$

Odatle

$$E=R^2,\;\;F=0,\;\;G={R^2}\,{{\sin^2 \vartheta}}, \;\;\sqrt{E\,G-F^2}={R^2}\,\sin \vartheta,$$

$$x^2+y^2={R^2}\,{{\sin^2 \vartheta}}.$$

Tako je

$$\iint_{\Sigma}(x^2+y^2)\,dS= \int_0^{2\,\pi} \int_0^{\pi} {R^4}\,{{\sin^3 \vartheta}} \,d\vartheta\,d\varphi = \frac{8\,\pi \,{R^4}}{3}.$$

Svojstva plošnog integrala 1. vrste.

Formule za računanje pokazuju da plošni integral 1. vrste ima ista svojstva kao dvostruki integral.

Površina plohe.

Specijalno, ako je $h(x,y,z)=1,$ onda plošni integral funkcije $h$ po plohi $\Sigma{}$ možemo shvatiti kao masu materijalne plohe čija je gustoća mase konstantna i jednaka $1,$ pa je masa brojčano jednaka površini plohe. Tako imamo sljedeće formule za računanje površine plohe.

Ako je ploha $\Sigma{}$ zadana eksplicitno, $z=f(x,y),$ onda je površina

$$\iint_{\Sigma}dS= \iint_{\Omega}\, \sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2}\,dx\,dy.$$

Ako je ploha $\Sigma{}$ zadana parametarski,

$$r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),$$

onda je površina

$$\iint_{\Sigma}dS= \iint_{D} \sqrt{E\,G-F^2}\,du\,dv.$$

Primjer 5.9   Naći površinu sfere radiusa $R.$

Rješenje. U prethodnom primjeru smo našli da je

$$\sqrt{E\,G-F^2}={R^2}\,\sin \vartheta,$$

pa je

$$\iint_{\Sigma}dS= \int_0^{2\,\pi} \int_0^{\pi} {R^2}\,{{\sin \vartheta}} \,d\vartheta\,d\varphi = 4\,\pi \,{R^2}.$$

Primjer 5.10   Naći površinu torusa.

Rješenje. Parametrizacija torusa je

$$\vec{r}\,(\varphi,\psi)=(a+b\,\cos \psi)\,\cos \varphi\,\vec{\imath} + (a+b\,\cos \psi)\,\sin \varphi\,\vec{\jmath} +b\,\sin \psi\,\vec{k}.$$

$$\frac{\partial \vec{r}}{\partial \varphi}= -\left( a + b\,\cos \p... ...phi\,\vec{\imath} + \cos \varphi\,\left(a + b\,\cos \psi\right)\,\vec{\jmath},$$

$$\frac{\partial \vec{r}}{\partial \psi}= - b\,\cos \varphi\, \sin ... ...vec{\imath} - b\,\sin \varphi\,\sin \psi\,\vec{\jmath} + b\,\cos \psi\,\vec{k},$$

pa je

$$E={{\left( a + b\,\cos \psi \right) }^2},\;\;F=0,\;\;G={b^2},$$

$$\sqrt{E\,G-F^2}=b\,\left( a + b\,\cos \psi \right).$$

Tako je površina torusa

$$O= \int_0^{2\,\pi}\int_0^{2\,\pi} b\,\left( a + b\,\cos \psi \right)\,d\psi\,d\varphi=4\,a\,b\,{{\pi }^2}.$$

Pitanja

1.

Na koje načine se može zadati glatka ploha, i kako se u tim slučajevima računa vektor normale?

2.

Kako se definira plošni integral 1. vrste? Koji problem rješava?

3.

Kako se računa plošni integral 1. vrste ako je ploha zadana eksplicitno?

4.

Kako se računa plošni integral 1. vrste ako je ploha zadana parametarski?

5.

Što predstavljaju veličine $E,F,G$?

6.

Koju ulogu ima vektor normale na plohu? Da li plošni integral 1. vrste ovisi o smjeru vektora normale?

7.

Kako se može izračunati površina plohe?

Riješeni zadaci

1.

Naći središte mase gornje polusfere $z=\sqrt{R^2-x^2-y^2},$ ako je gustoća mase jednaka udaljenosti od osi $z.$

Rješenje. Zbog simetrije problema, očito je $x_s=0,y_s=0.$

$$z_s=\frac{M_{xy}}{m},$$

gdje je $m$ masa plohe, a $M_{xy}$ statički moment u odnosu na ravninu $x\,y.$

$$\rho(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2},\hspace{1cm}\sqrt{1+\left(\frac{\parti... ...\left(\frac{\partial h}{\partial y}\right)^2}=\frac{R}{\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}},$$

pa je, prelaskom u cilindrični koordinatni sustav,

$$m=\iint_{D}\frac{R\,\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}}\,dx\,... ...phi\int_0^R\frac{R\,r^2\,dr}{\sqrt{R^2 - r^2 }}= {\frac{{{\pi }^2}\,{R^3}}{2}}$$

$$M_{xy}=\iint_{D}\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}\,\frac{R\,\sqrt{x^2+y^2}}{... ...x\,dy = \int_0^{2 \,\pi}d\varphi\int_0^R R\,r^2\,dr={\frac{2\,\pi \,{R^4}}{3}}.$$

Tako je

$$z_s=\frac{4\,R}{3\,\pi}.$$

2.

Naći površinu dijela sfere $x^2+y^2+z^2=R^2$ isječenog cilindrom $x^2+y^2=R\,x.$ (v. sliku 2.14)

Rješenje. Ploha se sastoji od dva dijela, koji su jedan drugom simetrični u odnosu na ravninu $x\,y,$ pa je dovoljno izračunati površinu jednog dijela, na pr. onog određenog formulom $z=\sqrt{R^2-x^2-y^2},$ i područjem

$$D=\left\{(x,y);\;\left(x-\frac{R}{2}\right)^2+y^2\leqslant \left(\frac{R}{2}\right)^2\right\}.$$

$$P=2\,\iint_{\Sigma}dS = 2\,\iint_{D} \sqrt{1+\left(\frac{\partial... ...al y}\right)^2}\,dx\,dy = \iint_{D}\frac{2\,R}{\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}}\,dx\,dy.$$

Prelaskom na polarne koordinate u ravnini imamo

$$P=2\,\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi \int_0^{R\,\cos\varphi} \frac{R\,r\,dr}{\sqrt{R^2 -r^2}}=2\,\left( \pi -2 \right) \,{R^2} .$$