Plošni integral 2. vrste

Tok vektorskog polja

Orijentacija plohe.

Neka je $\Sigma{}$ glatka ploha. U svakoj točki na plohi postoji tangencijalna ravnina, pa prema tome u svakoj točki na plohu mogu se postaviti dva jedinična vektora normale.

Izborom u svakoj točki jednoga od njih kažemo da je dana orijentacija plohe. To se može učiniti na beskonačno mnogo načina, no nas će interesirati samo oni od njih u kojima je tako određeno polje vektora normala neprekidno. Plohe koje je moguće na taj način orijentirati zovu se orijentabilne plohe. Postoje plohe kod kojih to nije moguće učiniti.

Ova ploha se zove Möbiusova vrpca. Ako krenemo po srednjoj liniji ove plohe iz jedne točke, izabravši u njoj jedan od dva moguća jedinična vektora normale, stići ćemo ponovno u tu točku, ali s druge strane plohe. To pokazuje da se na toj plohi ne može izabrati neprekidna orijentacija. Takve se plohe zovu neorijentabilne plohe. Nas će zanimati samo orijentabilne plohe. Orijentiranu plohu $\Sigma{}$ ćemo označavati s $\overset{\curvearrowright}{\Sigma}.$

Tok fluida kroz plohu.

Neka se u nekom području u prostoru giba fluid. Njegovo gibanje je određeno vektorskim poljem brzina $\vec{v}.$ Pretpostavimo da je gibanje stacionarno tj. da se vektorsko polje brzina ne mijenja s vremenom (brzine u pojedinim točkama ne ovise o vremenu). Zamislimo u području gibanja orijentiranu plohu $\Sigma,$ i neka je $\vec{n}_0$ vektorsko polje jediničnih normala na plohu $\Sigma{}.$ Interesira nas ukupan tok fluida kroz plohu $\Sigma{}$ u jedinici vremena. Za protok količine fluida, osim brzine potrebno je znati i masu fluida. Neka je dakle dana gustoća mase fluida $\rho,$ i neka ona također ne ovisi o vremenu. Nađimo tok fluida kroz jedan djelić plohe. Uočimo sljedeću sliku.

Čestica fluida u točki $P$ prijeđe u jedinici vremena put od točke $P$ do vrha vektora $\vec{v}\,(P).$ Budući da se, zbog neprekidnosti brzine, bliske čestice gibaju približno paralelno i približno jednako daleko, kroz mali dio plohe $\Delta \Sigma$ prođe u jedinici vremena količina fluida koji ispuni približno ovu kvaziprizmu na slici. Njezin volumen je produkt površine baze i visine, koja je jednaka duljini projekcije vektora brzine $\vec{v}\,(P)$ na pravac kroz vektor normale $\vec{n}_0(P).$ Kako je vektor $\vec{n}_0(P)$ jediničan, visina je apsolutna vrijednost skalarnog produkta

$$\vec{v}\,(P)\cdot\vec{n}_0(P).$$

No, osim količine fluida, nas interesira i smjer gibanja. Zato nećemo uzeti apsolutnu vrijednost, već samo skalarni produkt. Njegova pozitivnost znači da fluid protječe na onu stranu na kojoj je vektor normale, a negativnost da fluid protječe na suprotnu stranu. Masa fluida koja protekne u jedinici vremena kroz uočeni djelić plohe približno je jednaka umnošku volumena i gustoće mase u točki $P,$ dakle

$$\Delta m\approx{}\rho\,\Delta V\approx{}\rho(P)\,\vec{v}\,(P)\cdot\vec{n}_0\,(P) \,\Delta S,$$

gdje je $\Delta{}S$ površina dijela plohe $\Delta{}\Sigma{}.$ Greška će biti to manja što je promatrani djelić plohe manji. Da dobijemo ukupni tok, podijelimo plohu $\Sigma{}$ na mnogo malih dijelova $\Delta{}\Sigma{}_i.$ Ukupni tok kroz plohu je tada približno jednak

$$m\approx \sum_i \rho(P_i)\,\vec{v}\,(P_i)\cdot\vec{n}_0\,(P_i) \,\Delta S_i.$$

Očekujemo da će suma na desnoj strani biti to bliža pravoj masi fluida protekloj kroz plohu, što je podjela plohe na dijelove finija.

Plošni integral 2. vrste

Neka je dana orijentirana ploha $\overset{\curvearrowright}{\Sigma},$ tj. neka je na plohi $\overset{\curvearrowright}{\Sigma}$ definirano neprekidno vektorsko polje jediničnih vektora normala $\vec{n}_0.$ Neka je, osim toga, na plohi $\overset{\curvearrowright}{\Sigma}$ zadano vektorsko polje $\vec{a}.$ Podijelimo plohu $\Sigma{}$ na manje dijelove $\Delta \Sigma_{ij}.$ Odaberimo na $\Delta \Sigma_{ij}$ točku $P_{ij}.$ Uočimo sumu

$$s_n = \sum_{ij} \vec{a}\,(P_{ij})\cdot\vec{n}_0\,(P_{ij})\,\Delta S_{ij},$$ (5.4)

gdje je $\Delta{}S_{ij}$ površina dijela plohe $\Delta \Sigma_{ij}.$ Broj $s_n$ ovisi o broju dijelova plohe i načinu dijeljenja. Pustimo sada da broj dijelova $n\rightarrow{}\infty{},$ tako da se dijelovi plohe stežu na točku. Ako u tom slučaju $s_n$ teži k nekom broju $J,$ onda taj broj zovemo plošnim integralom 2. vrste vektorskog polja $\vec{a}$ na plohi $\Sigma{}.$ U tom slučaju pišemo

$$J = \iint_{\overset{\curvearrowright}{\Sigma}}\vec{a}\cdot d\vec{S}.$$

Računanje plošnog integrala 2. vrste.

Primijetimo da se $s_n$ u (5.4) može shvatiti kao integralna suma plošnog integrala 1. vrste ali skalarne funkcije $\vec{a}\,(P_{ij})\cdot\vec{n}_0\,(P_{ij}).$ Zahvaljujući formuli (5.3), plošni integral 2. vrste možemo zapisati drukčije

$$J = \iint_{{\Sigma}}(\vec{a}\cdot\vec{n}_0)\, d{S} = \iint_{\Omeg... ..._0\,\vert\vec{n}\,\vert\,dx\,dy = \iint_{\Omega}\, \vec{a}\cdot\vec{n}\,dx\,dy,$$ (5.5)

gdje je $\vec{n}$ vektorsko polje normala na plohu koje se dobiva iz jednadžbe plohe bez ikakvog normiranja. Jedino na što treba paziti je orijentacija plohe.

Ploha zadana eksplicitno.

Neka je ploha $\Sigma{}$ zadana eksplicitno jednadžbom

$$z=f(x,y),$$

gdje je $f:[a,b]\times [c,d] \rightarrow R.$ Orijentaciju plohe možemo izabrati tako da vektor normale zatvara s vektorom $\vec{k}$ oštar ili tupi kut. U prvom slučaju vektorsko polje normala $\vec{n}$ je dano formulom

$$\vec{n} = {\rm grad\,}(z-f(x,y)).$$

U drugom slučaju umjesto $z-f(x,y)$ treba uzeti $f(x,y)-z.$ Neka je dano vektorsko polje $\vec{a}=a_x\,\vec{\imath}+a_y\,\vec{\jmath}+a_z\,\vec{k}$ na plohi $\overset{\curvearrowright}{\Sigma}.$ U tom slučaju je

$${\rm grad\,}(z-f(x,y)) = -\frac{\par... ...vec{\imath{}} - \frac{\partial{}f(x,y)}{\partial{}y}\,\vec{\jmath{}} + \vec{k}.$$

Dakle, plošni integral 2. vrste se računa po formuli

$$\iint_{\overset{\curvearrowright}{\Sigma}}\vec{a}\cdot d\vec{S} =... ...\partial f}{\partial x} -a_y\,\frac{\partial f}{\partial y} + a_z\right)dx\,dy.$$

Predznak $+$ dolazi ako jedinični vektor normale zatvara s vektorom $\vec{k}$ oštar kut, a $-$ u suprotnom slučaju.

Primjer 5.11   Izračunati $\iint_{\overset{\curvearrowright}{\Sigma}}\vec{a}\cdot d\vec{S},$ ako je $\vec{a}=y\,z\,\vec{\imath}+ z\,x\,\vec{\jmath} + x\,y\,\vec{k},$ a $\overset{\curvearrowright}{\Sigma}$ dio plohe $z=1-x^2-y^2$ iznad ravnine $x\,y,$ orijentirane tako da vektor normale zatvara oštar kut s vektorom $\vec{k}.$

Rješenje. Budući da je ploha orijentirana tako da vektor normale zatvara oštar kut s vektorom $\vec{k},$ u formuli treba uzeti ${\rm grad\,}(z-f(x,y)).$ Tako imamo

$${\rm grad\,}(z-f(x,y))=2\,x\,\vec{\imath}+2\,y\,\vec{\jmath}+\vec{k},$$

$$\vec{a}\cdot{\rm grad\,}(z-f(x,y))=x\,y\,\left(5-4\,x^2-4\,y^2\right),$$

$$\iint_{\overset{\curvearrowright}{\Sigma}}\vec{a}\cdot d\vec{S}= ... ...t_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}x\,y\,\left(5- 4\,x^2- 4\,y^2\right)\,dy\,dx=0.$$

Ploha zadana parametarski.

Ako je ploha zadana parametarski, onda je vektorsko polje normala

$$\vec{n} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v},$$

Ako se orijentacija plohe poklapa s onom koju određuje parametrizacija, onda imamo formulu za računanje

$$\iint_{\overset{\curvearrowright}{\Sigma}}\vec{a}\cdot d\vec{S}=\... ...ial \vec{r}}{\partial u}, \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}\,\right]\,du\,dv,$$

gdje tri vektora u uglatim zagradama predstavlja mješoviti produkt u tom poretku ili u nekoj cikličkoj permutaciji.

Ako je orijentacija plohe suprotna onoj koju daje parametrizacija, onda treba uzeti $-\vec{n}$ umjasto $\vec{n}.$

Primjer 5.12   Izračunati $\iint_{\overset{\curvearrowright}{\Sigma}}\vec{a}\cdot d\vec{S},$ ako je $\vec{a}=x\,\vec{\imath}+ y\,\vec{\jmath}+ z\,\vec{k},$ a $\overset{\curvearrowright}{\Sigma}$ dio središnje sfere radiusa $1,$ u prvom oktantu, orijentirane tako da vektor normale zatvara oštar kut s vektorom $\vec{k}.$

Rješenje. Sferu možemo parametrizirati

$$\vec{r}= \cos \varphi\,\sin \vartheta\,\vec{\imath}+ \sin \vartheta\,\sin \varphi\,\vec{\jmath}+\cos \vartheta\,\vec{k}.$$

Promatrani dio sfere se dobije, ako se uzme $0\leqslant\vartheta\leqslant \frac{\pi}{2},$ $0\leqslant\varphi\leqslant \frac{\pi}{2}.$ Tada je

$$\vec{a}=\vec{r}= \cos \varphi\,\sin \vartheta\,\vec{\imath}+ \sin \vartheta\,\sin \varphi\,\vec{\jmath}+\cos \vartheta\,\vec{k},$$

$$\frac{\partial \vec{r}}{\partial \vartheta} = \cos \varphi\,\cos ... ...ec{\imath}+\cos \vartheta\,\sin \varphi\,\vec{\jmath} -\sin \vartheta\,\vec{k}$$

$$\frac{\partial \vec{r}}{\partial \varphi} = -\sin \varphi\,\sin \vartheta\,\vec{\imath}+ \cos \varphi\,\sin \vartheta\,\vec{\jmath}.$$

Da bismo plohu orijentirali u skladu sa zahtjevom, pomnožimo vektorski ove vektore

$$\frac{\partial \vec{r}}{\partial \vartheta} \times \frac{\partia... ...i\,{{\sin^2 \vartheta}}\,\vec{\jmath}+ {\frac{\sin 2\,\vartheta}{2}}\,\vec{k}.$$

Budući da je komponenta uz vektor $\vec{k}$ pozitivna kad se $\vartheta$ mijenja od 0 do $\frac{\pi}{2},$ ovo je vektor normale u skladu sa zahtijevanom orijentacijom. Tako je

$$% latex2html id marker 42253 \left[\vec{a}, \frac{\partial ... ...hi\,\sin \vartheta & 0 \end{array} \right\vert=\sin \vartheta.$$

Dakle,

$$\iint_{\overset{\curvearrowright}{\Sigma}} \vec{a}\cdot d\vec{S}=... ...2}}d\varphi\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin \vartheta\,d\vartheta = {\frac{\pi }{2}}.$$

Veza plošnih integrala 1. i 2. vrste.

Veza između plošnih integrala 1. i 2. vrste dana je formulom

$$\iint_{\overset{\curvearrowright}{\Sigma}}\vec{a}\cdot d\vec{S}=\iint_{\Sigma} \vec{a}\cdot\vec{n}_0\,dS.$$

Na lijevoj strani je integral 2. vrste vektorskog polja $\vec{a},$ dok je na desnoj strani integral 1. vrste skalarnog polja $\vec{a}\cdot\vec{n}_0.$ Integral 1. vrste doduše ne ovisi o orijentaciji plohe, međutim o orijentaciji plohe ovisi skalarno polje $\vec{a}\cdot\vec{n}_0.$ Prilikom suprotne orijentacije vektor $\vec{n}_0$ mijenja znak, pa i skalarno polje također.

Polazeći od ove formule, možemo izvesti još jednu formulu za računanje plošnog integrala 2. vrste. Neka je

$$\vec{a}=P\,\vec{\imath}+Q\,\vec{\jmath}+R\,\vec{k},$$

$$\vec{n}_0=\cos\alpha\,\vec{\imath}+ \cos\beta\,\vec{\jmath}+ \cos\gamma\,\vec{k}.$$

Tada je

$$\iint_{\Sigma}\vec{a}\cdot\vec{n}_0\,dS= \iint_{\Sigma} \left(P\,\cos\alpha+ Q\,\cos\beta+ R\,\cos\gamma\right) \,dS.$$

Brojevi $\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma$ su kosinusi smjera jediničnog vektora normale na plohu, dakle,

$$\cos\alpha=\vec{\imath}\cdot\vec{n}_0,\;\; \cos\beta=\vec{\jmath}\cdot\vec{n}_0,\;\; \cos\gamma =\vec{k}\cdot\vec{n}_0.$$

Svojstva plošnog integrala 2. vrste.

Formule za računanje pokazuju da plošni integral 2. vrste ima ista svojstva kao dvostruki integral. Osim tih svojstava, plošni integral 2. vrste mijenja znak kad se promijeni orijentacija plohe.

Teorem o divergenciji. Stokesov teorem

Teorem o divergenciji

Teorem 22   (Teorem o divergenciji) Neka je $\Omega$ zatvoreno područje u prostoru, čiji je rub orijentabilna, po dijelovima glatka ploha $\Sigma,$ koja samu sebe ne presijeca. Neka je na $\Sigma{}$ zadano vektorsko polje vanjskih jediničnih normala. Neka je $\vec{a}:\Omega \rightarrow X_O(E)$ vektorsko polje klase $C^1(\Omega).$ Tada vrijedi formula

$$\iint_{\Sigma}\vec{a}\cdot \vec{n}_0\,dS = \iiint_{\Omega}\,{\rm div\,}\vec{a}\,dV.$$

Dokaz. Dokažimo teorem u jednom jednostavnom slučaju. Neka je područje kvadar $K$ čije su stranice $\Sigma_{x_1}, \Sigma_{x_2}, \Sigma_{y_1}, \Sigma_{y_2}, \Sigma_{z_1}, \Sigma_{z_2}$ paralelne koordinatnim ravninama.

Slika 5.2: Dokaz teorema o divergenciji.

Označimo s $D$ projekciju kvadra $K$ na ravninu $x\,y.$

$$\iiint_K \frac{\partial a_z}{\partial z}\,dx\,dy\,dz = \iint_D \left[a_z(x,y,z_2) - a_z(x,y,z_1)\right]\,dx\,dy = \iint_D a_z(x,y,z_2)\,dx\,dy$$

$$- \iint_D a_z(x,y,z_1)\,dx\,dy = \iint_{\Sigma_{z_2}} a_z\,\vec{k}\cdot\vec{n}_0\,dS + \iint_{\Sigma_{z_1}} a_z\,\vec{k}\cdot\vec{n}_0\,dS.$$

Na isti način dobivamo

$$\iiint_K \frac{\partial a_x}{\partial x}\,dx\,dy\,dz = \iint_{\Si... ...\cdot\vec{n}_0\,dS + \iint_{\Sigma_{x_1}} a_z\,\vec{\imath}\cdot\vec{n}_0\,dS.$$

$$\iiint_K \frac{\partial a_y}{\partial y}\,dx\,dy\,dz = \iint_{\Si... ...\cdot\vec{n}_0\,dS + \iint_{\Sigma_{y_1}} a_y\,\vec{\jmath}\cdot\vec{n}_0\,dS.$$

Zbrojimo li ove tri jednakosti, dobivamo

$$\iiint_K \left(\frac{\partial a_x}{\partial x} + \frac{\partial a... ...z}\right)\,dx\,dy\,dz = \iint_{\Sigma} \vec{a}\cdot\vec{n}_0\,dS.\;\;\heartsuit$$

Ovaj teorem se naziva još Green-Gaussov ili Ostrogradski-Green-Gaussov teorem.

Primjer 5.13   Neka je $T$ tijelo omeđeno dijelovima ravnina, koje su tangencijalne ravnine na kuglu radiusa $R.$ Naći tok vektorskog polja $\vec{r}=x\,\vec{\imath}+ y\,\vec{\jmath}+ z\,\vec{k}$ kroz rub $\Pi$ tijela $T.$

Rješenje. Tok vektorskog polja je

$$\iint_{\overset{\curvearrowright}{\Pi}}\vec{r}\cdot d\vec{S}=\iint_{\Pi} \vec{r}\cdot\vec{n}_0\,dS=\sum_i\iint_{\Pi_i} \vec{r}\cdot\vec{n}_0\,dS,$$

gdje su $\Pi_i$ stranice tijela.

Slika 5.3: Primjer upotrebe teorema o divergenciji.

Iz slike se vidi da je za proizvoljnu stranicu $\Pi_i$

$$\vec{r}\cdot\vec{n}_0=R.$$

Tako je

$$\iint_{\overset{\curvearrowright}{\Pi}}\vec{r}\cdot d\vec{S}=R\,\sum_i\iint_{\Pi_i} dS =R\,O,$$

gdje $O$ označava oplošje tijela $T.$

Time smo riješili zadatak, no ako primijenimo teorem o divergenciji dobivamo usput jedan interesantan rezultat.

$$R\,O=\iint_{\Pi}\vec{r}\cdot\vec{n}_0\,dS= \iiint_{T} {\rm div\,}\vec{r}\,dV= 3\, \iiint_{T} dV=3\,V,$$

gdje je s $V$ označen volumen tijela $T.$ Dakle, kod takvih tijela omjer oplošja $O$ i volumena $V$ ovisi samo o radiusu upisane kugle.

$$\frac{O}{V}=\frac{3}{R}.$$

Da li nešto slično vrijedi u ravnini?

Stokesov teorem

Neka je dana orijentabilna ploha $\Sigma,$ čiji je rub po dijelovima glatka krivulja $\Gamma.$ Kažemo da su ploha i njezin rub koherentno orijentirani, ako, gledano s vrha vektora normale na plohu u nekoj točki, orijentacija krivulje nalaže kretanje po krivulji u pozitivnom smjeru, tj. protivno kazaljci na satu.

Teorem 23   (Stokesov teorem) Neka je $\vec{a}$ vektorsko polje klase $C^2$ na nekom otvorenom skupu, koji sadrži plohu $\Sigma{}.$ Neka je rub plohe $\Sigma{}$ po dijelovima glatka krivulja $\Gamma.$ Neka su $\Sigma{}$ i $\Gamma {}$ koherentno orijentirane. Tada vrijedi

$$\iint_{\overset{\curvearrowright}{\S... ...} {\rm rot\,}\vec{a}\cdot d\vec{S} = \int_{\vec{\Gamma}} \vec{a}\cdot d\vec{s},$$

odnosno

$$\iint_{\Sigma} {\rm rot\,}\vec{a}\cdot\vec{n}_0\, dS = \int_{\Gamma} \vec{a}\cdot\vec{T}\,ds.$$

Pitanja

1.

Što znači orijentirati glatku plohu?

2.

Kad kažemo za plohu da je orijentabilna?

3.

Da li je svaka ploha orijentabilna? Dajte primjer.

4.

Definirajte plošni integral 2. vrste. Koji problem rješava?

5.

Navedite formule za računanje u ovisnosti o načinu zadavanja plohe.

6.

Koja je veza između plošnih integrala 1. i 2. vrste?

7.

Kako glasi teorem o divergenciji? Dokažite ga.

8.

Kako glasi Stokesov teorem? Što znači da su ploha i njezin rub koherentno orijentirani?

Riješeni zadaci

1.

Neka je tijelo $T$ ograničeno po dijelovima glatkom plohom $\Sigma,$ koja samu sebe ne presijeca. Dokazati da je volumen tijela $T$ dan formulom

$$V = \frac{1}{3}\,\iint_{\Sigma} \vec{r}\cdot\vec{n}_0\,dS,$$

gdje je $\vec{r}=x\,\vec{\imath{}}+y\,\vec{\jmath{}}+z\,\vec{k}.$

Rješenje. ${\rm div\,}\vec{r} = 3,$ pa po teoremu o divergenciji

$$\iint_{\Sigma} \vec{r}\cdot\vec{n}_0\,dS = \iiint_{T} {\rm div\,} \vec{r}\,dV = 3\,\iiint_{T} dV = 3\,V.$$

2.

Naći volumen torusa.

Rješenje. Prema primjeru 5.10, parametrizacija torusa je

$$\vec{\rho}\,(\varphi,\psi)=(a+b\,\cos \psi)\,\cos \varphi\,\vec{\imath} + (a+b\,\cos \psi)\,\sin \varphi\,\vec{\jmath} +b\,\sin \psi\,\vec{k},$$

a prema prethodnom primjeru

$$V = \frac{1}{3}\,\iint_{\Sigma} \vec{r}\cdot\vec{n}_0\,dS.$$

Iz formule za vezu između plošnih integrala 1. i 2. vrste i formule za računanje plošnog integrala 2. vrste po parametarski zadanoj plohi, slijedi

$$V = \iint_{D} \left[\vec{r}, \frac{\partial \vec{\rho}}{\partial u}, \frac{\partial \vec{\rho}}{\partial v}\,\right]\,du\,dv.$$

Integrira se po torusu, pa je $\vec{r}=\vec{\rho}.$ Tako je

$$\left[\vec{r}, \frac{\partial \vec{\rho}}{\partial u}, \frac{\par... ...b^2} \right) \,\cos \psi + a\,b\,\left( 3 + \cos 2\,\psi \right) \right)}{2}},$$

i prema tome

$$V = \frac{1}{3}\,6\,a\,{b^2}\,{{\pi }^2} = 2\,a\,{b^2}\,{{\pi }^2}.$$

Primijetite da je taj broj jednak volumenu kružnog valjka radiusa baze $b$ i visine jednake duljini srednje linije torusa.