Računanje integrala supstitucijom

Polarni koordinatni sustav u ravnini

Neka je u ravnini dana točka $O$ i zraka (polupravac) kojoj je vrh točka $O.$ Odredimo na polupravcu točku $E$ koja je različita od $O.$ Na poznati način (kao na brojevnom pravcu) možemo na polupravac nanijeti nenegativne realne brojeve. Svakoj točki $T$ u ravnini možemo pridružiti broj $r$ udaljenost točke $T$ od $O.$ Ako je $T\neq O,$ onda točki $T$ možemo također pridružiti kut $\varphi$ što ga dužina $\overline{OT}$ zatvara s polupravcem.

Slika 2.10: Polarni koordinatni sustav u ravnini.

Taj kut smatramo pozitivnim, ako se od polupravca do dužine $\overline{OT}$ ide kruženjem protivnim kruženju kazaljke na satu. U drugom slučaju kut smatramo negativnim. Za $T=O$ kut $\varphi$ nije određen. Točka $O$ je jednoznačno određena time da je $r=0.$ Tako točki $T\neq O$ možemo pridružiti uređeni par brojeva $(r,\varphi).$ Pri tom je $r>0,$ a $\varphi \in R.$ Ako je

$$T\mapsto (r,\varphi),\;\;T\mapsto (r_1,\phi),$$

onda je

$$r=r_1,\hspace{1cm}\varphi-\phi=2k\pi,\;\;k\in Z.$$

Dakle, jednoj točki $T\neq O$ je pridruženo beskonačno mnogo uređenih parova $(r,\varphi).$

Obratno, svakom uređenom paru realnih brojeva $(r,\varphi),$ tako da je $r>0$ i $\varphi \in R$ je pridružena jedna točka $T$ u ravnini različita od $O.$

Ovo pridruživanje se zove polarni koordinatni sustav u ravnini. Imamo sljedeće oznake. Točka $O$ se zove pol, polupravac se zove polarna os, brojevi $r$ i $\varphi$ se zovu polarne koordinate.

Ako u ravnini zadamo Kartezijev pravokutni koordinatni sustav i polarni sustav tako da se ishodište poklopi s polom, a polarna os s nenegativnim polupravcem osi $x,$ onda je veza između jednih i drugih koordinata dana formulama

$$x=r\cos \varphi, \hspace{1cm}y=r\sin \varphi ,$$

odnosno

$$r=\sqrt{x^2+y^2},\hspace{1cm}{\rm tg}\,\varphi=\frac{y}{x}.$$

Primjer 2.7   Neka je dana točka $T$ s Kartezijevim koordinatama $(-\sqrt{3},-1).$ Naći polarne koordinate.

Rješenje.

$$r=\sqrt{1+3}=2,\hspace{1cm}{\rm tg}\,\varphi=\frac{-1}{-\sqrt{3}}= \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Odatle slijedi $\varphi=\frac{\pi}{6}+k\pi,\;k\in Z.$ Budući da se točka nalazi u trećem kvadrantu, $\varphi=\frac{7\pi}{6}+2k\pi,\;k\in Z.$

Primjer 2.8   U polarnom koordinatnom sustavu naći jednadžbu krivulje, koja u Kartezijevom sustavu ima jednadžbu $x^2-y^2=1.$

Rješenje

$$r^2\cos^2\varphi-r^2\sin^2\varphi=1,$$

$$r^2\cos 2\varphi=1,$$

$$r=\frac{1}{\sqrt{\cos 2\varphi}}.$$

Cilindrični i sferni koordinatni sustav u prostoru

Cilindrični koordinatni sustav

Točka u prostoru je u cilindričnom sustavu dana s tri koordinate $r,\varphi,z.$ Pri tom je $r$ udaljenost projekcije $T'$ točke $T$ na ravninu $xy$ od ishodišta, $\varphi$ je kut što ga dužina $\overline{OT'}$ zatvara s osi $x,$ $z$ ima isto značenje kao u Kartezijevom koordinatnom sustavu.

Slika 2.11: Cilindrični koordinatni sustav u prostoru.

Iz ovoga proizlaze formule

$$% latex2html id marker 37884 \begin{array}{lcl} x=r\cos \va... ...=\frac{y}{r}\right) \\ z=z & \hspace{1cm} & z=z. \end{array}$$

Osim toga vrijedi $0\leqslant r<\infty,$ $0\leqslant \varphi<2\pi,$ $-\infty<z<\infty.$ Koordinatne plohe se dobiju kad se neka koordinata pretpostavi konstantnom. Tako za $r=konst.$ imamo kružni cilindar, čija je os os $z,$ osim u slučaju $r=0$ kad se radi o osi $z.$ Ploha $\varphi=konst.$ je poluravnina okomita na ravninu $xy,$ čiji je rub os $z.$ Ploha $z=konst.$ je ravnina paralelna s ravninom $xy.$

Primjer 2.9   Točka $(1,1,1)$ u kartezijevom koordinatnom sustavu ima u cilindričnom sustavu koordinate $(\sqrt{2},\pi/4,1).$

Primjer 2.10   Jednokrilni kružni hiperboloid $x^2+y^2-z^2=a^2$ ima u cilindričnom sustavu jednadžbu $r^2-z^2=a^2.$

Sferni koordinatni sustav

Točka u prostoru je u sfernom sustavu dana s tri koordinate $r,\vartheta,\varphi.$ Pri tom je $r$ udaljenost točke $T$ od ishodišta, $\vartheta$ je kut što ga dužina $\overline{OT}$ zatvara s osi $z,$ $\varphi$ je kut što ga projekcija $\overline{OT'}$ dužine $\overline{OT}$ na ravninu $xy$ zatvara s osi $x.$

Slika 2.12: Sferni koordinatni sustav u prostoru.

Iz ovoga proizlaze formule

$$% latex2html id marker 37948 \begin{array}{lcl} x=r\,\sin \... ...c{y}{x}\;\;\left(\sin \varphi= \frac{y}{r}\right) \end{array}$$

Osim toga vrijedi $0\leqslant r<\infty,$ $0\leqslant \vartheta\leqslant \pi,$ $0\leqslant \varphi<2\pi.$ Ploha $r=konst.$ je sfera sa središtem u ishodištu i radiusom $r.$ Ploha $\varphi=konst.$ je poluravnina okomita na ravninu $xy,$ čiji je rub os $z.$ Ploha $\vartheta=konst.$ je stožasta ploha čija je os os $z,$ a kut izvodnice prema pozitivnom dijelu osi $z$ je $\vartheta.$

Primjer 2.11   Točka $(1,1,1)$ u kartezijevom koordinatnom sustavu ima u sfernom sustavu koordinate $(\sqrt{3},{\rm Arccos}\,\frac{\sqrt{3}}{3},\pi/4).$

Primjer 2.12   Jednokrilni kružni hiperboloid $x^2+y^2-z^2=a^2$ ima u sfernom sustavu jednadžbu $r^2\sin^2\vartheta-r^2\cos^2\vartheta=a^2,$ tj.

$$r^2=-\frac{a^2}{\cos 2\vartheta}.$$

Računanje dvostrukih i trostrukih integrala supstitucijom

Polarni koordinatni sustav u ravnini

Oblik podintegralne funkcije ili oblik područja integracije nam neki puta sugeriraju prelazak iz Kartezijevog u neki drugi koordinatni sustav. Za definiciju dvostrukog i trostrukog integrala bile su važne površine pravokutnika $I_{ij}$ i kvadra $K_{ijk}.$ Pravokutnik $I_{ij}$ je lik, koji se nalazi između koordinatnih linija $x=x_{i-1},$ $x=x_i,$ $y=y_{j-1}$ i $y=y_j.$ Tome u polarnom koordinatnom sustavu u ravnini odgovara lik omeđen koordinatnim linijama $r=r_{i-1},$ $r=r_i,$ $\varphi=\varphi_{j-1}$ i $\varphi=\varphi_j.$ To je lik kao na slici, s tim da smo upotrebili oznake $r_i-r_{i-1}=\Delta r_i, \varphi_j-\varphi_{j-1}=\Delta \varphi_j.$

Površina tog lika je približno

$$(r_i-r_{i-1})\,r_{i-1}\,(\varphi_j-\varphi_{j-1}) = r_{i-1}\,\Delta r_i\,\Delta \varphi_i.$$

Tako, ako želimo dvostruki integral računati prelaskom u polarni sustav u ravnini, onda koristimo formulu

$$\iint_{\Omega}\,f(x,y)\,dx\,dy= \iint_{\Delta} f(r\cos\varphi,r\sin\varphi)\,r\,dr\,d\varphi= \iint_{\Delta} \Phi(r,\varphi)\,r\,dr\,d\varphi.$$

Ovdje je $\Delta$ isto područje, no kako se nalazimo u drugom koordinatnom sustavu, njegove su granice drugačije.

Primjer 2.13   Izračunati

$$\int_0^{\infty} e^{-x^2}\,dx.$$

Rješenje. Prema jednom prethodnom primjeru

$$I=\int_0^{\infty}\int_0^{\infty} e^{-x^2-y^2}\,dx\,dy= \left(\int_0^{\infty} e^{-x^2}\,dx\right)^2.$$

Prelaskom na polarni sustav u ravnini imamo

$$I=\int_0^{\pi/2}d\varphi\int_0^{\infty} e^{-r^2}r\,dr= \frac{\pi}{2}\int_0^{\infty} e^{-r^2}r\,dr=\frac{\pi}{4}.$$

Tako je

$$\int_0^{\infty} e^{-x^2}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.$$

Cilindrični koordinatni sustav

Kod definicije trostrukog integrala podjelu smo vršili na manje kvadre. Kvadar $K_{ijk}$ je omeđen koordinatnim plohama $x=x_{i-1},$ $x=x_i,$ $y=y_{j-1},$ $y=y_j$ i $z=z_{k-1},$ $z=z_k.$ Takvom kvadru u cilindričnom koordinatnom sustavu u prostoru odgovara tijelo omeđeno koordinatnim plohama $r=r_{i-1},$ $r=r_i,$ $\varphi=\varphi_{j-1},$ $\varphi=\varphi_j$ i $z=z_{k-1},$ $z=z_k.$ To je tijelo prikazano na slici, gdje smo koristili sljedeće oznake $r_i-r_{i-1}=\Delta r_i, \varphi_j-\varphi_{j-1}=\Delta \varphi_{j}, z_k-z_{k-1}=\Delta z_k$

Volumen tog tijela je približno

$$(r_i-r_{i-1})\,r_{i-1}\,(\varphi_j-\varphi_{j-1})(z_k-z_{k-1}) = r_{i-1}\,\Delta r_i\,\Delta \varphi_{j}\,\Delta z_k.$$

Tako, ako želimo trostruki integral računati prelaskom u cilindrični sustav u prostoru, onda koristimo formulu

$$\iiint_{\Omega}\,f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz= \iiint_{\Delta} f(r\cos\v... ...)\,r\,dr\,d\varphi\,dz= \iiint_{\Delta} \Phi(r,\varphi,z)\,r\,dr\,d\varphi\,dz.$$

Ovdje je $\Delta$ isto područje, no kako se nalazimo u drugom koordinatnom sustavu, njegove su granice drugačije.

Primjer 2.14   Naći volumen tijela omeđenog plohama

$$x^2+y^2+z^2=a^2,\quad x^2+y^2=ax.$$

Rješenje. Prelaskom u cilindrični koordinatni sustav imamo

$$V=2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}d\varphi\int_0^{a\cos\varphi} r\,dr \int_0^{a^2-r^2}dz=2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}d\varphi\int_0^{a\cos\varphi} r(a^2-r^2)\,dr=$$

$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left(a^4\cos^2\varphi-\frac{1}{2}a^4\cos\varphi^4\right)\,d\varphi= \frac{5}{16}a^4\pi.$$

Sferni koordinatni sustav

Kvadru $K_{ijk}$ u sfernom koordinatnom sustavu u prostoru odgovara tijelo omeđeno koordinatnim plohama $r=r_{i-1},$ $r=r_i,$ $\vartheta=\vartheta_{j-1},$ $\vartheta=\vartheta_j,$ $\varphi=\varphi_{k-1},$ i $\varphi=\varphi_k.$ To tijelo je dano na slici, gdje smo uveli oznake $r_i-r_{i-1}=\Delta r_i, \vartheta_j-\vartheta_{j-1}=\Delta \vartheta_j, \varphi_k-\varphi_{k-1}=\Delta \varphi_k.$

Volumen tog tijela je približno

$$(r_i-r_{i-1})\,r_{i-1}\,(\varphi_k-\varphi_{k-1})\, r_{i-1}\sin\vartheta_{j-1}\,(\vartheta_j-\vartheta_{j-1})=$$

$$r_{i-1}^2\,\sin\vartheta_{j-1}\,(r_i-r_{i-1})\,(\vartheta_j- \var... ...r_{i-1}^2\sin\vartheta_{j-1}\,\Delta r_i\,\Delta \vartheta_j\,\Delta \varphi_k.$$

Tako, ako želimo trostruki integral računati prelaskom u sferni koordinatni sustav u prostoru, onda koristimo formulu

$$\iiint_{\Omega}\,f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=$$

$$\iiint_{\Delta} f(r\sin\vartheta\cos\varphi,r\sin\vartheta\sin\varphi,r\cos\vartheta)\, r^2\sin\vartheta\,dr\,d\vartheta\,d\varphi=$$

$$\iiint_{\Delta} \Phi(r,\vartheta,\varphi)\, r^2\sin\vartheta\,dr\,d\vartheta\,d\varphi.$$

Ovdje je $\Delta$ isto područje, no kako se nalazimo u drugom koordinatnom sustavu, njegove su granice drugačije.

Primjer 2.15   Volumen kugle radiusa $R$ je

$$V=\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^{\pi}d\vartheta\int_0^R r^2\sin\var... ...varphi\int_0^{\pi}\sin\vartheta\,d\vartheta\int_0^R r^2\,dr= \frac{4}{3}R^3\pi.$$

Jacobijan

U gornjim razmatranjima smo za računanje integrala u novom koordinatnom sustavu trebali naći formulu za površinu odnosno volumen u novom koordinatnom sustavu. Ako je dana općenita transformacija u novi koordinatni sustav u ravnini, na pr.

$$x=\varphi(u,v),\hspace{1cm}y=\psi(u,v),$$

onda se faktor, kojim pod integralom treba množiti $du\,dv$ računa kao apsolutna vrijednost determinante

$$% latex2html id marker 38114 J=\left\vert \begin{array}{cc} ... ...ray}\right\vert = \frac{\partial(\varphi,\psi)}{\partial(u,v)}.$$

Da bismo objasnili zašto se pojavljuje taj faktor, uočimo lik koji je omeđen koordinatnim linijama $u=u, u=u+\Delta u, v=v, v=v+\Delta v.$

Njegovi vrhovi su točke

$$P_1 = (\varphi(u,v), \psi(u,v)),\quad P_2 = (\varphi(u+\Delta u,v), \psi(u+\Delta u,v))$$

$$P_3 = (\varphi(u+\Delta u,v+\Delta v), \psi(u+\Delta u,v+\Delta v)),\quad P_4 = (\varphi(u,v+\Delta v), \psi(u,v+\Delta v)).$$

Površinu ovog lika ćemo izračunati približno, tako da izračunamo površinu paralelograma čiji su vrhovi

$${P_1}' = P_1,\quad {P_2}' = (\varphi(u,v) +\frac{\partial\varphi}{\partial u}\,\Delta u, \psi(u,v) +\frac{\partial\psi}{\partial u}\,\Delta u)$$

$${P_3}' = (\varphi(u,v) +\frac{\partial\varphi}{\partial u}\,\Delt... ...}{\partial v}\,\Delta v, \psi(u,v) +\frac{\partial\psi}{\partial v}\,\Delta v).$$

Taj paralelogram je razapet vektorima $\overrightarrow{{P_1}'{P_2}'}$ i $\overrightarrow{{P_1}'{P_4}'}.$ čije su komponente

$$\left(\frac{\textstyle{\partial \varphi}}{\textstyle{\partial u}}... ...,\frac{\textstyle{\partial \psi}}{\textstyle{\partial v}}\,\Delta v,\,0\right).$$

Njegova je površina jednaka duljini vektorskog produkta tih vektora, a to je apsolutna vrijednost sljedeće determinante

$$% latex2html id marker 38133 \left\vert \begin{array}{cc} \... ...rac{\partial(\varphi,\psi)}{\partial(u,v)}\,\Delta u\,\Delta v.$$

Primjer 2.16   Naći površinu lika koji omeđuje elipsa $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

Rješenje. Uvedimo novi koordinatni sustav u ravnini

$$x=a\,r\cos\varphi,\hspace{1cm}y=b\,r\sin\varphi,$$

$$0\leqslant r\leqslant 1,\hspace{1cm}0\leqslant \varphi\leqslant 2\pi.$$

$$% latex2html id marker 38142 J= \left\vert \begin{array}{cc}... ... b\sin\varphi & b\,r\cos\varphi \end{array}\right\vert=a\,b\,r.$$

$$P=\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^1 a\,b\,r\,dr=a\,b\,\pi.$$

Ako je dana općenita transformacija u novi koordinatni sustav u prostoru, na pr.

$$x=\varphi(u,v,w),\hspace{.5cm}y=\psi(u,v,w),\hspace{.5cm} z=\chi(u,v,w),$$

onda se faktor, kojim pod integralom treba množiti $du\,dv\,dw$ računa kao apsolutna vrijednost determinante

$$% latex2html id marker 38150 J=\left\vert \begin{array}{ccc}... ...ght\vert = \frac{\partial(\varphi,\psi,\chi)}{\partial(u,v,w)}.$$

Determinanta $J$ se zove Jacobijan.

Objašnjenje je slično onome kod istog problema za dvije varijable. Sada su ključne točke

$$P_1=(\varphi,\,\psi,\,\chi),\;\;\; P_2=\left(\varphi +\frac{\tex... ...hi +\frac{\textstyle{\partial \chi}}{\textstyle{\partial u}}\,\Delta u\right),$$

$$P_3=\left(\varphi +\frac{\textstyle{\partial \varphi}}{\textstyle... ...\chi+\frac{\textstyle{\partial \chi}}{\textstyle{\partial v}}\,\Delta v\right),$$

$$P_4=\left(\varphi +\frac{\textstyle{\partial \varphi}}{\textstyle... ...\chi+\frac{\textstyle{\partial \chi}}{\textstyle{\partial w}}\,\Delta w\right).$$

Vektori $\overrightarrow{P_1P_2},\, \overrightarrow{P_1P_3}$ i $\overrightarrow{P_1P_4}$ imaju komponente

$$\left(\frac{\textstyle{\partial \varphi}}{\textstyle{\partial u}}... ... v,\,\frac{\textstyle{\partial \chi}}{\textstyle{\partial v}}\,\Delta v\right),$$

$$\left(\frac{\textstyle{\partial \varphi}}{\textstyle{\partial w}}... ... w,\,\frac{\textstyle{\partial \chi}}{\textstyle{\partial w}}\,\Delta w\right).$$

Apsolutna vrijednost mješovitog produkta tih vektora daje upravo volumen paralelepipeda koji je s njima razapet, a to je približno ono što tražimo.

Primjer 2.17   Naći volumen tijela omeđenog elipsoidom

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.$$

Rješenje. Stavimo

$$x = a\,r\sin \vartheta\cos \varphi$$

$$y = b\,r\sin \vartheta\sin \varphi$$

$$z = c\,r\cos \vartheta$$

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=r^2,$ pa je elipsoid u zadatku koordinatna ploha $r=1.$ Jacobijan je

$$% latex2html id marker 38194 J=\left\vert \begin{array}{ccc}... ...vartheta & 0 \end{array}\right\vert=a\,b\,c\,r^2\sin\vartheta.$$

Dakle

$$V=\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^{\pi}d\vartheta\int_0^1 abcr^2\sin\vartheta\,dr=\frac{4}{3}a\,b\,c\,\pi.$$

Pitanja

1.

Opišite cilindrični i sferni koordinatni sustav u prostoru.

2.

Kako izgleda formula za integriranje u polarnom koordinatnom sustavu u ravnini? Objasnite.

3.

Kako izgleda formula za integriranje u cilindričnom koordinatnom sustavu u prostoru? Objasnite.

4.

Kako izgleda formula za integriranje u sfernom koordinatnom sustavu u prostoru? Objasnite.

5.

Objasnite što je Jacobijan, kako se računa i koja je njegova uloga prilikom integriranja.

Riješeni zadaci

1.

Naći površinu lika što ga omeđuje asteroida

$$\left(\frac{x}{a}\right)^{2/3}+\left(\frac{y}{a}\right)^{2/3}=1.$$

Slika 2.13: Lik omeđen asteroidom.

Uvedimo novi koordinatni sustav u ravninu

$$x=a\,r\cos^3\varphi,\hspace{1cm}y=a\,r\sin^3\varphi.$$

Područje koje omeđuje asteroida je u tim koordinatama dano s

$$0\leqslant r\leqslant 1,\hspace{1cm}0\leqslant \varphi\leqslant 2\pi.$$

$$% latex2html id marker 38215 \left\vert \begin{array}{cc} a... ...os\varphi \end{array}\right\vert=\frac{3}{4}a^2r\sin^22\varphi.$$

$$P=\frac{3}{4}a^2\int_0^{2\pi}\sin^22\varphi\,d\varphi\int_0^1 r\,dr= \frac{3}{8}a^2\pi.$$

2.

Naći masu tijela omeđenog plohama

$$x^2+y^2+z^2=R^2,\quad x^2+z^2=y^2,\quad y\geqslant 0,$$

ako je gustoća mase $\rho(x,y,z)=1+\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$

Rješenje. Taj zadatak je ekvivalentan zadatku u kojem je $x^2+z^2=y^2$ zamijenjeno s $x^2+y^2=z^2.$ Na slici se ta zamjena realizira tako da osi $z,x,y$ postaju redom osi $x,y,z.$ U tom slučaju granice integracije su jednostavnije.

$$M=\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^{\pi/4}d\vartheta\int_0^R (1+r)r^2\sin\vartheta\,dr=$$

$$2\pi\int_0^{\pi/4}\sin\vartheta\,d\vartheta\int_0^R (r^2+r^3)\,d... ... \,\pi \,{R^3}}{3}} + {\frac{\left( 2 - {\sqrt{2}} \right) \,\pi \,{R^4}}{4}}.$$