Trostruki integral

Problem mase

Neka materijalno tijelo $T$ zauzima u prostoru područje $K=[a_1,a_2]\times [b_1,b_2]\times [c_1,c_2],$ koje predstavlja kvadar sa stranicama paralelnim koordinatnim ravninama. Neka je gustoća mase tijela $T$ u točki $(x,y,z)\in K$ jednaka $\rho(x,y,z).$ Problem je izračunati masu $m(T)$ tijela $T.$

Načinimo proizvoljne subdivizije segmenata $[a_1,a_2],[b_1,b_2],[c_1,c_2].$

$$a_1=x_0<x_1<x_2<\ldots <x_{n-1}<x_n=a_2,$$

$$b_1=y_0<y_1<y_2<\ldots <y_{m-1}<y_m=b_2,$$

$$c_1=z_0<z_1<z_2<\ldots <z_{p-1}<z_p=c_2.$$

Subdivizijama smo kvadar $K$ podijelili na manje kvadre $K_{ijk}=[x_{i-1},x_i]\times [y_{j-1},y_j]\times [z_{k-1},z_k].$ Neka je

$$M_{ijk}=\sup\{{\rho}(x,y,z);\;(x,y,z)\in K_{ijk}\},\hspace{2mm} m_{ijk}=\inf\{{\rho}(x,y,z);\;(x,y,z)\in K_{ijk}\}.$$

Tada vrijedi

$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^p m_{ijk}(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})(z_k-z_{k-1})\leqslant m(T)\leqslant$$

$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^p M_{ijk}(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})(z_k-z_{k-1}).$$

Tim sumama smo približno odredili masu. Očekujemo da ćemo sa sve finijim podjelama dobivati sve bolje aproksimacije mase $m(T).$ Ova konstrukcija nas vodi na pojam trostrukog integrala.

Trostruki integral

Trostruki integral po kvadru

Pretpostavimo da je dana ograničena funkcija $f$ na zatvorenom kvadru $K=[a_1,a_2]\times [b_1,b_2]\times [c_1,c_2].$ Podsjetimo se da ograničenost funkcije znači da je slika funkcije

$$\{f(x,y,z);\;(x,y,z)\in [a_1,a_2]\times [b_1,b_2]\times [c_1,c_2]\}$$

ograničen skup u $R.$ Neka su

$$a_1=x_0<x_1<x_2<\ldots <x_{n-1}<x_n=a_2,$$

$$b_1=y_0<y_1<y_2<\ldots <y_{m-1}<y_m=b_2,$$

$$c_1=z_0<z_1<z_2<\ldots <z_{p-1}<z_p=c_2.$$

subdivizije segmenata $[a_1,a_2],[b_1,b_2],[c_1,c_2].$ Neka je

$$K_{ijk}=[x_{i-1},x_i]\times [y_{j-1},y_j]\times [z_{k-1},z_k].$$

Ograničenost funkcije na $K$ povlači njenu ograničenost na $K_{ijk}$ za svaki $i,j,k.$ To znači da postoje supremum i infimum skupa $\{f(x,y,z);\;(x,y,z)\in K_{ijk}\}.$ Stavimo

$$M_{ijk}=\sup\{f(x,y,z);\;(x,y,z)\in K_{ijk}\},\quad m_{ijk}=\inf\{f(x,y,z);\;(x,y,z)\in K_{ijk}\}.$$

Ako je funkcija $f$ neprekidna na $K_{ijk},$ onda se supremum poklapa s maksimumom, a infimum s minimumom funkcije na $K_{ijk}.$

Formirajmo sljedeće sume.

$$s=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^p m_{ijk}(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})(z_k-z_{k-1}),$$

$$S=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^p M_{ijk}(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})(z_k-z_{k-1}).$$

Broj $s$ se zove donja Darbouxova suma, a broj $S$ se zove gornja Darbouxova suma. Neka je $(u_i,v_j,w_k)\in K_{ijk}$ proizvoljan. Broj

$$\sigma=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^p f(u_i,v_j,w_k)(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})(z_k-z_{k-1})$$

se zove integralna suma. Zbog očigledne nejednakosti

$$m_{ijk}\leqslant f(u_i,v_j,w_k)\leqslant M_{ijk},$$

imamo

$$s\leqslant \sigma\leqslant S.$$ (2.3)

Sve što smo do sada uradili proizašlo je iz jedne subdivizije. Sada zamislimo sve moguće subdivizije. Svaka od njih daje po jednu donju i jednu gornju Darbouxovu sumu, i beskonačno mnogo integralnih suma, ali uvijek vrijedi nejednakost (2.3). Označimo s $\mathcal{D}$ skup svih donjih Darbouxovih suma, a s $\mathcal{G}$ skup svih gornjih Darbouxovih suma. Neka je $s\in \mathcal{D},\;S'\in \mathcal{G}.$ Uzmimo novu subdiviziju, koja sadrži sve točke jedne i druge subdivizije, i neka su $s'',\;S''$ njezina donja i gornja Darbouxova suma. Tada vrijedi

$$s\leqslant s''\leqslant S''\leqslant S'.$$

Odatle slijedi da je bilo koja donja Darbouxova suma manja ili jednaka bilo kojoj gornjoj Darbouxovoj sumi. To znači da je skup $\mathcal{D}$ odozgo, a skup $\mathcal{G}$ odozdo ograničen, pa prema tome postoje $\sup \mathcal{D}$ i $\inf \mathcal{G},$ i vrijedi

$$\sup \mathcal{D}\leqslant \inf \mathcal{G}.$$

Definicija 19   Kažemo da je funkcija $f:K\rightarrow R$ integrabilna ili Riemann-integrabilna na $K,$ ako je $\sup \mathcal{D} = \inf \mathcal{G}.$ U tom slučaju broj $\sup \mathcal{D} = \inf \mathcal{G}$ zovemo trostrukim integralom funkcije $f$ na $K=[a_1,a_2]\times [b_1,b_2]\times [c_1,c_2].$ Pišemo

$$\sup\mathcal{D} = \inf\mathcal{G} =\iiint_K f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.$$

Funkcija $f$ se zove podintegralna funkcija, kvadar $K=[a_1,a_2]\times [b_1,b_2]\times [c_1,c_2]$ područje integracije.

Nije svaka ograničena funkcija integrabilna, kao što pokazuje sljedeći primjer.

Primjer 2.4   Neka je $f:[0,1]\times[0,1]\times[0,1]\rightarrow R$ funkcija definirana formulom

$$% latex2html id marker 37476 f(x,y,z)= \begin{cases} 1, & \... ...ko su $x,y,z$ racionalni} \\ 0, & \text{inače.} \end{cases}$$

Ova funkcija nije integrabilna u smislu Riemanna.

Zaista, uzmemo li proizvoljnu subdiviziju, proizvoljni subkvadar sadrži i točke s racionalnim koordinatama i one druge. To znači da je uvijek $m_{ijk}=0$ i $M_{ijk}=1.$ Odatle, za proizvoljnu subdiviziju,

$$s=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^p m_{ijk}(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})(z_k-z_{k-1})=0,$$

$$S=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^p M_{ijk}(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})(z_k-z_{k-1})=1.$$

Tako je $\mathcal{D}=\{0\}$ i $\mathcal{G}=\{1\},$ pa je

$$\sup \mathcal{D}=0<1= \inf \mathcal{G}.$$

Trostruki integral po proizvoljnom zatvorenom području

Neka je $\Omega$ zatvoreno ograničeno područje u $R^3,$ i neka je $f:\Omega\rightarrow R$ ograničena funkcija. Oko $\Omega$ opišemo minimalni kvadar $K=[a_1,a_2]\times [b_1,b_2]\times [c_1,c_2]$ i definiramo novu funkciju

$$% latex2html id marker 37503 \tilde{f}(x,y,z)= \begin{cases}... ... 0, & \text{ako je $(x,y,z)\in K\setminus\Omega.$} \end{cases}$$

Definicija 20   Kažemo da je $f$ integrabilna funkcija na $\Omega,$ ako je $\tilde{f}$ integrabilna na $K$ i broj

$$\iiint_{\Omega}\,f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz= \iiint_K \tilde{f}(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.$$

zovemo trostrukim integralom funkcije $f$ po području $\Omega.$

Vratimo se na problem mase. Neka je $\rho$ gustoća mase materijalnog tijela $T,$ koje u prostoru zauzima područje $\Omega.$ Neka je $\rho$ ograničena funkcija na području $\Omega,$ i neka je $\rho(x,y,z)\geqslant 0,\;\forall (x,y,z)\in\Omega$ Na temelju do sada rečenog prirodno je reći da tijelo $T$ ima masu, ako je $\rho$ integrabilna na $I,$ i da je u tom slučaju masa od $T$ jednaka

$$m(T)=\iiint_{\Omega}\,\rho(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.$$

Svojstva trostrukog integrala

1.

Ako su $f$ i $g$ integrabilne funkcije na $\Omega$ i $\alpha,\beta$ proizvoljni realni brojevi, onda je $\alpha f+\beta g$ integrabilna na $\Omega,$ i

$$\iiint_{\Omega}\,(\alpha f+\beta g)=\alpha \iiint_{\Omega}\,f+\beta \iiint_{\Omega}\,g.$$

2.

Ako je $f(x,y,z)\leqslant g(x,y,z),$ za svaki $(x,y,z)\in\Omega,$ onda je

$$\iiint_{\Omega}\,f\leqslant \iiint_{\Omega}\,g.$$

3.

Neka je $\Omega=\Omega_1\cup\Omega_2,$ gdje su $\Omega_1$ i $\Omega_2$ zatvorena područja čiji je presjek ploha (skup volumena nula). Tada je

$$\iiint_{\Omega}\,f=\iiint_{\Omega_1} f+\iiint_{\Omega_2} f.$$

4.

$\vert\iiint_{\Omega}\,f\vert\leqslant \iiint_{\Omega}\,\vert f\vert.$

5.

Teorem srednje vrijednosti (integralni). Neka je $f$ neprekidna funkcija integrabilna na zatvorenom ograničenom području $\Omega.$ Tada postoji $P_0\in \Omega$ tako da je

$$\iiint_{\Omega}\,f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=f(P_0)\,\mu(\Omega),$$

gdje je $\mu(\Omega)$ volumen područja $\Omega.$
Dokaz. Neprekidna funkcija na zatvorenom ograničenom području dostiže svoju najmanju i svoju najveću vrijednost, tj. postoje točke $P_m$ i $P_M$ takve da je

$$f(P_m)\leqslant{}f(P)\leqslant{}f(P_M)$$

za svaki $P\in\Omega.$ Odatle slijedi

$$f(P_m)\,\mu(\Omega)\leqslant{} \iiint_{\Omega}\,f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz \leqslant{}f(P_M)\,\mu(\Omega),$$

tj.

$$f(P_m)\leqslant{} \frac{1}{\mu(\Omega)}\,\iiint_{\Omega}\,f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz \leqslant{}f(P_M).$$

Osim toga neprekidna funkcija na zatvorenom ograničenom području dostiže svaku međuvrijednost, što znači da postoji $P_0\in \Omega$ takav da je

$$f(P_0) = \frac{1}{\mu(\Omega)}\,\iiint_{\Omega}\,f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.$$

$\heartsuit$

Računanje trostrukih integrala

Integral po kvadru

Pretpostavimo da je $f$ integrabilna na kvadru $K=[a_1,a_2]\times [b_1,b_2]\times [c_1,c_2].$ Kao kod dvostrukog integrala, možemo se uvjeriti da za bilo koji $\varepsilon >0$ postoji subdivizija takva, da za svaku pripadnu integralnu sumu $\sigma$ vrijedi

$$\sigma\approx \iiint_K f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz \leqslant S,$$

s točnošću $\varepsilon,$ tj. da vrijedi

$$\sum_{i,j,k=1}^{n,m,p} f(u_i,v_j,w_k)(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})(z_k-z_{k-1})\approx \iiint_K f(x,y)dxdydz$$ (2.4)

s točnošću $\varepsilon .$

Formulu (2.4) možemo prepisati na više načina. Na primjer

$$\iiint_K f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\approx$$

$$\sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^m \left(\sum_{k=1}^p f(u_i,v_j,w_k)(z_k-z_{k-1})\right)(y_j-y_{j-1})\right)(x_i-x_{i-1})=$$

$$\sum_{j=1}^m \left(\sum_{k=1}^p \left(\sum_{i=1}^n f(u_i,v_j,w_k)(x_i-x_{i-1})\right)(z_k-z_{k-1})\right)(y_j-y_{j-1}).$$

Na temelju ovih prikaza zaključujemo da vrijede formule

$$\iiint_K f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz= \int_{a_1}^{a_2}\left(\int_{b_1}^{b_2}\left(\int_{c_1}^{c_2} f(x,y,z)\,dz\right)\,dy\right)\,dx=$$

$$\int_{b_1}^{b_2}\left(\int_{c_1}^{c_2}\left(\int_{a_1}^{a_2} f(x,y,z)\,dx\right)\,dz\right)\,dy.$$

Tako se računanje trostrukog integrala po kvadru svodi na sukcesivno računanje tri jednostruka integrala. Ako je još $f(x,y,z)=\varphi(x)\psi(y)\chi(z),$ onda se trostruki integral svodi na produkt tri jednostruka integrala

$$\iiint_K \varphi(x)\psi(y)\chi(z)\,dx\,dy\,dz= \left(\int_{a_1}^{... ...t_{b_1}^{b_2} \psi(y)\,dy\right)\!\! \left(\int_{c_1}^{c_2} \chi(z)\,dz\right).$$

Primjer 2.5   Neka je $K=[0,1]\times[0,1]\times[0,1].$

$$\iiint_K xyz\,dx\,dy\,dz= \left(\int_0^1 x\,dx\right)\left(\int_0... ...y\right) \left(\int_0^1 z\,dz\right)=\left(\int_0^1 x\,dx\right)^3=\frac{1}{8}.$$

Integral po proizvoljnom području

Neka je $f:\Omega\rightarrow R,$ i neka je $K=[a_1,a_2]\times [b_1,b_2]\times [c_1,c_2]$ minimalni kvadar koji sadrži $\Omega.$ Neka je dalje područje $\Omega$ takvo da se njegov rub sastoji od dvije plohe, koje su grafovi funkcija od $x\,y$ i to donji rub neka je graf funkcije $g_1(x,y),$ a gornji graf funkcije $g_2(x,y).$

Neka je pravokutnik $I$ projekcija kvadra $K$ na ravninu $xy.$ Tada je

$$\iiint_{\Omega}\,f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz= \iiint_K \tilde{f}(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=$$

$$\iint_I \left(\int_{c_1}^{c_2} \tilde{f}(x,y,z)\,dz\right)\,dx\,dy= \iint_I \left(\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\right)\,dx\,dy.$$

Dvostruki integral, koji je ostao izvan zagrada se može računati kao što je ranije objašnjeno. Tako imamo

$$\iiint_{\Omega}\,f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz= \int_{a_1}^{a_2}\left(\int... ...}^{h_2(x)}\left(\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\right)\,dy\right)\,dx,$$

gdje su $h_1(x)$ i $h_2(x)$ funkcije, čiji grafovi čine rub područja u ravnini $xy$ koje se dobije kad se tijelo $T$ projicira na ravninu $xy.$

Ako za neko područje nije moguće gornji i donji rub shvatiti kao grafove funkcija, onda ga podijelimo na manja područja koja imaju to svojstvo.

Volumen tijela

Trostruki integral se može koristiti za izračunavanje volumena tijela. Ako nad tijelom $D$ integriramo funkciju $f(x,y,z)=1,$ onda time računamo masu tijela, čija je gustoća mase $1.$ Tako je masa brojčano jednaka volumenu tijela, tj.

$$\mu(D)=\iiint_{D} dx\,dy\,dz.$$

Primjer 2.6   Naći volumen tijela što ga određuje presjek dva valjka

$$x^2+z^2=a^2$$    i $$\hspace{1cm}y^2+z^2=a^2.$$

Slika: Na lijevoj slici su zadani valjci, a na desnoj je onaj dio njihovog presjeka, koji se nalazi iznad ravnine $x\,y.$

Rješenje.

$$V=16\int_0^a dx\int_0^x dy\int_0^{\sqrt{a^2-x^2}}dz= 16\int_0^a dx\int_0^x\sqrt{a^2-x^2}\,dy=$$

$$16\int_0^a x\,\sqrt{a^2-x^2}\,dx=\frac{16}{3}\,a^3.$$

Pitanja

1.

Koji problem rješava trostruki integral?

2.

Koje su osnovne pretpostavke na funkciju i na područje da bi se uopće moglo govoriti o trostrukom integralu?

3.

Kako se definira trostruki integral po kvadru čije su stranice paralelne koordinatnim ravninama?

4.

Što su to donja, gornja Darbouxova suma i integralna suma?

5.

Kad kažemo za neku funkciju da je integrabilna na nekom području?

6.

Da li je svaka ograničena funkcija integrabilana?

7.

Kako se definira trostruki integral po proizvoljnom zatvorenom ograničenom području?

8.

Navedite svojstva trostrukog integrala.

9.

Kako glasi teorem srednje vrijednosti za trostruke integrale? Da li ga znate dokazati?

10.

Kako se računa trostruki integral po kvadru? Objasnite zašto.

11.

Kako se računa trostruki integral po proizvoljnom području?

12.

Da li se pomoću trostrukog integrala može računati volumen?

Riješeni zadaci

1.

Treba izračunati

$$I=\iiint_D \frac{dx\,dy\,dz}{(x+y+z+1)^3},$$

gdje je $D$ područje omeđeno plohama $x=0,y=0,z=0,x+y+z=1.$

Rješenje.

$$I=\int_0^1dx\int_0^{1-x}dy\int_0^{1-x-y} \frac{dz}{(1+x+y+z)^3}=$$

$$-\frac{1}{2}\int_0^1dx\int_0^{1-x}\left.\frac{1}{(1+x+y+z)^2}\right\vert _{z=0} ^{z=1-x-y}dy=$$

$$-\frac{1}{2}\int_0^1dx\int_0^{1-x} \left[\frac{1}{4}-\frac{1}{(1+... ...frac{1}{2}\int_0^1 \left[\frac{1}{4}y+\frac{1}{1+x+y}\right]_{y=0}^{y=1-x}\,dx=$$

$$-\frac{1}{2}\int_0^1\left(\frac{1-x}{4}y\frac{1}{2}-\frac{1}{1+x}\right)\,dx= =\frac{1}{2}\ln 2-\frac{5}{16}.$$

2.

$$\int_5^6\!\!\int_3^4\!\!\int_1^2 \frac{dx\,dy\,dz}{(x+y+z)^3}= \int_5^6\!\!\int_3^4\left(\int_1^2 \frac{dz}{(x+y+z)^3}\right)dx\,dy$$

$$=\int_5^6\!\!\int_3^4 \left(\frac{-1}{2(x+y+z)^2}\right)_{z=1}^{z=2}\,dx\,dy$$

$$=\frac{1}{2}\int_5^6\!\!\int_3^4\left(\frac{1}{(x+y+1)^2}- \frac{1}{(x+y+2)^2}\right)\,dy\,dx=$$

$$\frac{1}{2}\int_5^6\left(-\frac{1}{x+y+1}+ \frac{1}{x+y+2}\right)_{y=3}^{y=4}\,dx=$$

$$\frac{1}{2}\int_5^6 \left(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x+6}- \frac{1}{x+5}\right)\,dx=$$

$$\frac{1}{2}\left[\ln\vert x+4\vert-\ln\vert x+5\vert+\ln\vert x+6\vert-\ln\vert x+5\vert\right]_{x=5}^{x=6}= \frac{1}{2}\ln \frac{4000}{3993}.$$

3.

Naći masu tijela omeđenog plohama $x=0,y=0,z=0,x+y+z=1,$ ako je gustoća mase proporcionalna udaljenosti od osi $z.$

Rješenje. Gustoća je $\rho=\lambda z,$ pa je

$$M=\int_0^1dx\int_0^{1-x}dy\int_0^{1-x-y} \lambda z\,dz= \lambda\int_0^1dx\int_0^{1-x}(1-x-y)^2dy=$$

$$\frac{\lambda}{6}\int_0^1(1-x)^3\,dx=\frac{\lambda}{24}.$$