Funkcije više varijabli

Skupovi u $\boldsymbol {R}^n$

Osnovni pojmovi

Podsjetimo se

$$R^2=\{(x,y);\,x,y\in R\}.$$

$$R^3=\{(x,y,z);\,x,y,z\in R\}.$$

$$\ldots$$

$$R^n=\{(x_1,x_2,\ldots,x_n);\,x_1,x_2,\ldots,x_n\in R\}.$$

$$\ldots$$

Domena funkcije igra važnu ulogu u proučavanju funkcije. Kad se radilo o funkciji jedne varijable, ograničili smo se na intervale i segmente. Domene funkcija više varijabli su skupovi u $R^2,R^3,\ldots.$ Razmotrimo zato skupove u $R^n,$ kako bismo odredili adekvatne analogone intervalima odnosno segmentima u $R.$

Neka su $P=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ i $Q=(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ dvije točke u $R^n.$ Njihova udaljenost je dana formulom

$$d(P,Q)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}.$$

Za $n=2$ i $n=3$ to se svodi na poznate formule za udaljenost točaka u ravnini i prostoru. Na pr., ako je $P_1=(x_1,y_1)$ i $P_2=(x_2,y_2),$ onda je

$$d(P_1,P_2)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2},$$

ili ako je $P_1=(x_1,y_1,z_1)$ i $P_2=(x_2,y_2,z_2),$ onda je

$$d(P_1,P_2)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2},$$

Otvoreni i zatvoreni skupovi

Definicija 1   Neka je $P_0=(x_0,y_0),$ i neka je $r>0.$ Skup

$$K(P_0;r)=\{P\in R^2;\,d(P,P_0)<r\}$$

zove se otvoreni krug radiusa $r,$ sa središtem u točki $P_0.$

Neka je $P_0=(x_0,y_0,z_0),$ i neka je $r>0.$ Skup

$$K(P_0;r)=\{P\in R^3;\,d(P,P_0)<r\}$$

zove se otvorena kugla radiusa $r,$ sa središtem u točki $P_0.$

Slično, ako je $P_0\in R^n$ i $r>0,$ onda otvorenom kuglom u $R^n$ sa središtem u $P_0,$ i radiusom $r$ zovemo skup

$$K(P_0;r)=\{P\in R^n;\,d(P,P_0)<r\}.$$

Skup $\Omega\subset R^n$ zovemo otvorenim skupom, ako se oko svake njegove točke kao središta može opisati otvorena kugla, koja je sadržana u skupu $\Omega$.

Primjer 1.1   Otvorena kugla $K((3,1);2)=\{(x,y)\in R^2;\,d((x,y),(3,1))<2\}$ je otvoren skup.

Rješenje. Točke tog skupa su dane nejednadžbom

$$\sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2}<2,$$

$$(x-3)^2+(y-1)^2<4.$$

Ako je $(x_0,y_0)\in K((3,1);2),$ onda je

$$\delta=2-\sqrt{(x_0-3)^2+(y_0-1)^2}>0.$$

Tvrdimo da je $K((x_0,y_0);\delta)\subset K((3,1);2).$

Figure 1.1: Otvorena kugla je otvoren skup.

Zaista, neka je $(x,y)$ proizvoljna točka iz $K((x_0,y_0);\delta).$ Tada je, zbog svojstva udaljenosti (nejednakost trokuta),

$$d((x,y),(3,1))\leqslant d((x,y),(x_0,y_0)) +d((x_0,y_0),(3,1))<\delta+2-\delta=2.$$

Tako je $(x,y)\in K((3,1);2).$ Zbog proizvoljnosti $(x,y),$ slijedi $K((x_0,y_0);\delta)\subset K((3,1);2)$ i prema tome $K((3,1);2)$ je otvoren skup.

Definicija 2   Skup $\Omega\subset R^n$ zovemo zatvorenim skupom, ako je njegov komplement $R^n\setminus\Omega$ otvoren.

Definicija 3   Neka je $P_0\in R^n, r>0.$ Skup

$$\overline{K}(P_0;r) = \{P\in R^n;\;d(P,P_0)\leqslant{}r\}$$

zovemo zatvorenom kuglom u $R^n.$

Primjer 1.2   Zatvorena kugla ${\bar K}((3,1);2)=\{(x,y)\in R^2;\,d((x,y),(3,1))\leqslant2\}$ je zatvoren skup.

Rješenje. Točke komplementa su dane nejednadžbom

$$\sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2}>2,$$

tj.

$$(x-3)^2+(y-1)^2>4.$$

Ako je $(x_0,y_0)\in R^2\setminus {\bar K}((3,1);2),$ onda je

$$\delta=\sqrt{(x_0-3)^2+(y_0-1)^2}-2>0.$$

Tvrdimo da je $K((x_0,y_0);\delta)\subset R^2\setminus {\bar K}((3,1);2).$ Zaista, neka je $(x,y)$ proizvoljna točka iz $K((x_0,y_0);\delta).$ Tada je, zbog svojstva udaljenosti,

$$d((x,y),(3,1))\geqslant d((x_0,y_0),(3,1))-d((x,y),(x_0,y_0))>\delta+2-\delta=2.$$

Tako je $(x,y)\in R^2\setminus {\bar K}((3,1);2).$ Zbog proizvoljnosti elementa $(x,y),$ slijedi $K((x_0,y_0);\delta)\subset R^2\setminus {\bar K}((3,1);2)$ i prema tome ${\bar K}((3,1);2)$ je zatvoren skup.

Figure 1.2: Zatvorena kugla je zatvoren skup.

Zatvoreni krug smo dobili tako da smo otvorenom krugu dodali njegov rub, kružnicu. Ako se otvorenom skupu doda samo dio ruba, onda se dobije skup koji nije niti otvoren niti zatvoren.

Spojnica, konveksan skup, područje

Neka su $P=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ i $Q=(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ dvije točke u $R^n.$ Spojnica točaka $P$ i $Q$ je skup točaka na pravcu kroz $P$ i $Q$ a između $P$ i $Q.$ Radi jednostavnosti razmotrimo na koji način se mogu opisati točke na spojnici u ravnini. Neka je $P=(x_1,y_1),$ $P=(x_2,y_2).$ Iz slike

Figure 1.3: Spojnica točaka $P$ i $Q.$

se vidi da za koordinate točke $C=(x,y)$ na spojnici vrijedi

$$\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = t,$$   za $$0\leqslant{}t\leqslant{}1.$$

Odatle^1.1

$$x = x_1 + (x_2-x_1)\,t,\qquad y = y_1 + (y_2-y_1)\,t,$$

odnosno

$$x = (1-t)\,x_1 + t\,x_2,\quad y = (1-t)\,y_1 + t\,y_2,\qquad 0\leqslant{}t\leqslant{}1.$$

Slično, u prostoru, točke

$$((1-t)\,x_1 + t\,x_2,(1-t)\,y_1 + t\,y_2,(1-t)\,z_1 + t\,z_2),\qquad 0\leqslant{}t\leqslant{}1$$

leže na spojnici točaka $(x_1,y_1,z_1)$ i $(x_2,y_2,z_2).$ Općenito, u $R^n,$ imamo da točke

$$((1-t)x_1+ty_1,(1-t)x_2+ty_2,\ldots,(1-t)x_n+ty_n),\qquad 0\leqslant{} t\leqslant{} 1$$

leže na spojnici točaka $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ i $(y_1,y_2,\ldots,y_n).$

Skup $S\subset R^n$ zovemo konveksnim, ako sadrži spojnicu svake dvije svoje točke.

Primjer 1.3   Trokut $\triangle{}ABC$ u ravnini s vrhovima $A=(0,0),$ $B=(1,0),$ $C=(0,1)$ je konveksan skup.

Rješenje. Očito je

$$\triangle{}ABC = \{(x,y);\,x\geqslant 0, y\geqslant 0, x+y\leqslant 1\}$$

Neka je $A=(x_1,y_1)\in S$ i $B=(x_2,y_2)\in S.$ To znači

$$x_1\geqslant 0,\quad y_1\geqslant 0,\quad x_1+y_1\leqslant 1,$$

$$x_2\geqslant 0,\quad y_2\geqslant 0,\quad x_2+y_2\leqslant 1.$$

Točka na spojnici je

$$C = (x_C,y_C) = ((1-t)x_1+tx_2,(1-t)y_1+ty_2),\quad 0\leqslant{}t\leqslant{}1.$$

Za takav $t$ je

$$((1-t)\,x_1\geqslant 0,\quad t\,x_2\geqslant 0)\Rightarrow (x_C = (1-t)\,x_1+t\,x_2\geqslant 0),$$

$$((1-t)\,y_1\geqslant 0,\quad t\,y_2\geqslant 0)\Rightarrow (y_C = (1-t)\,y_1+t\,y_2\geqslant 0),$$

$$x_C + y_C = (1-t)\,x_1+t\,x_2+(1-t)\,y_1+t\,y_2$$

$$= (1-t)(x_1+y_1)+t\,(x_2+y_2)\leqslant (1-t)+t=1.$$

Dakle $S$ je konveksan skup.

Primjer 1.4   Skup $S=\{(x,y);\,1<x^2+y^2<4\}$ nije konveksan skup, jer točke $(-1,1)$ i $(1,-1)$ pripadaju skupu, dok točka $(0,0),$ koja se nalazi na spojnici (za $t=\frac{1}{2}$), ne pripada skupu (v. sl. 1.4).

Figure 1.4: Skup koji nije konveksan.

Definicija 4   Otvoren skup $S\subset R^n$ je povezan, ako se bilo koje dvije njegove točke mogu spojiti s konačno mnogo spojnica. Otvoren i povezan skup se zove područje.

Figure 1.5: Područje.

Primjer 1.5   Skup $S=\{(x,y);\,1<x^2+y^2<4\}$ je otvoren i povezan. Prema tome skup $S$ je područje.

Figure 1.6: Skupovi: a) otvoren, povezan, ali ne konveksan, b) otvoren, ali ne povezan, c) otvoren, konveksan, d) zatvoreno područje, e) niti otvoren, niti zatvoren, niti povezan, f) konveksan, niti otvoren niti zatvoren.

Pojam funkcije više varijabli

Definicija 5   Neka je $S\subset R^n.$ Funkcija $f:S\rightarrow R,$ se zove realna funkcija od $n$ realnih varijabli.

Funkcije od dvije, tri, $\ldots$ varijabli zovemo realnim funkcijama od više realnih varijabli, ili kraće funkcijama više varijabli.

Ako je funkcija zadana formulom, onda se skup svih $n$-torki, za koje dana formula prima realne vrijednosti, zove prirodna domena.

Ako je funkcija zadana samo formulom, smatrat ćemo da je domena funkcije prirodna domena.

Kao i kod funkcija jedne realne varijable, imamo pojmove kao što su slika funkcije, slika elementa, restrikcija funkcije, proširenje funkcije.

Tako je slika funkcije skup

$$R(f) = \{y\in R;\;y=f(P)$$ za neki $$P\in D(f)\}.$$

Pri tom je $y$ slika ili preciznije f-slika elementa $P\in D(f),$ ako je $y=f(P).$

Za funkciju $g:D(g)\rightarrow R$ kažemo da je restrikcija funkcije $f:D(f)\rightarrow R,$ ako je $D(g)\subset D(f),$ i ako je $g(P)=f(P),$ za svaki $P\in D(g).$

Za funkciju $g:D(g)\rightarrow R$ kažemo da je proširenje funkcije $f:D(f)\rightarrow R,$ ako je $D(g)\supset D(f),$ i ako je $g(P)=f(P),$ za svaki $P\in D(f).$

Primjer 1.6   Evo nekoliko funkcija više varijabli zadanih formulom

$$f(x,y)=x+y,$$

$$f(x,y)=xy,$$

$$f(x,y)=x^2+y^2,$$

$$f(x,y,z)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2},$$

$$f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}.$$

Primjer 1.7   Naći prirodnu domenu funkcije

$$f(x,y)={\rm Arcsin}\,\frac{2x-4y-4}{x^2+y^2}.$$

Rješenje.

$$D(f)=\{(x,y);\,-1\leqslant \frac{2x-4y-4}{x^2+y^2}\leqslant 1\}.$$

$$(-1\leqslant \frac{2x-4y-4}{x^2+y^2}\leqslant 1)\Rightarrow ((x+1)^2+(y-2)^2\geqslant 9\;$$ i $$\;(x-1)^2+(y+2)^2\geqslant 1).$$

Dakle prirodna domena funkcije je osjenčani dio ravnine na slici

Grafičko predočavanje funkcija više varijabli

Grafičko prikazivanje funkcija više varijabli je ograničeno time što nemamo metode za crtanje skupova u $R^n$ ako je $n>3.$

Definicija 6   Neka je $S\subset{}R^n,$ i neka je $f:S\rightarrow R.$ Grafom funkcije $f$ zovemo skup

$$\Gamma_f=\{(P,f(P));\,P\in D(f)\}.$$

Budući da je $P$ $n$-torka realnih brojeva, a $f(P)$ realni broj, elementi grafa su $n+1$-orke, dakle $\Gamma_f\subset R^{n+1}.$

Tako je graf funkcije od dvije varijable

$$\Gamma_f=\{(x,y,f(x,y));\,(x,y)\in D(f)\}\subset R^3,$$

graf funkcije od tri varijable

$$\Gamma_f=\{(x,y,z,f(x,y,z));\,(x,y,z)\in D(f)\}\subset R^4.$$

Dakle, ako je dana funkcija od dvije varijable, onda njezin graf možemo prikazati u prostoru tako da elemente domene nanosimo u ravninu $xy,$ a vrijednosti funkcije na os $z.$ Pri tom, da bismo lakše skicirali graf, siječemo graf koordinatnim ili nekim drugim ravninama.

Primjer 1.8   Nacrtati graf funkcije

$$f(x,y)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}.$$

Rješenje. Nađimo presjeke s koordinatnim ravninama

$$(y=0\Rightarrow z=\frac{x^2}{a^2}),\;\; (x=0\Rightarrow z=\frac{y^2}{b^2}),\;\;(z=1\Rightarrow 1=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}).$$

Dakle to je eliptički paraboloid, koji postaje kružni ili rotacijski, ako je $a=b.$

Drugi način crtanja grafa funkcija od dvije varijable jeste crtanje nivokrivulja. Nivokrivulja je skup točaka u domeni u kojima funkcija ima istu vrijednost. Primjer su izohipse, izobare, $\ldots$ . Izohipsa 200 je krivulja koja povezuje točke u kojima funkcija `nadmorska visina' ima vrijednost 200. Ovaj način omogućava crtanje funkcija od dvije varijable u ravnini.

Primjer 1.9   Nacrtati graf funkcije

$$f(x,y)=x^2-y^2.$$

Rješenje. Nađimo neke nivokrivulje

$$(z=0)\Rightarrow (y=x\;{\rm ili }\;y=-x),$$

$$(z=1)\Rightarrow (x^2-y^2=1),$$

$$(z=-1)\Rightarrow (-x^2+y^2=1).$$

Dakle

Šatirano je na taj način da je područje to svjetlije što je na većoj visini. Kako ova ploha izgleda u prostoru vidi se na slici 4.

Kad se radi o funkcijama od tri varijable, onda skup točaka u kojima funkcija ima istu vrijednost predstavlja neku plohu. Takva ploha se zove nivoploha. To omogućava prikazivanje funkcija od tri varijable u prostoru.

Primjer 1.10   Nacrtajmo nivoplohe funkcije

$$f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2.$$

Rješenje.

$$(u=f(x,y,z)=-1)\Rightarrow (-x^2-y^2+z^2=1),$$

$$(u=f(x,y,z)=0)\Rightarrow (x^2+y^2=z^2),$$

$$(u=f(x,y,z)=1)\Rightarrow (x^2+y^2-z^2=1).$$

Ova slika predstavlja samo onaj dio nivoploha koji se nalazi iznad ravnine $xy.$ Zbog toga što u formuli varijable dolaze na kvadrat, nivoplohe su simetrične u odnosu na koordinatne ravnine $x=0,y=0,z=0.$ Prema tome s donje strane ravnine $xy$ plohe se simetrično nastavljaju. Gornja nivoploha (za $u=-1$) se sastoji od dva dijela, koji u presjeku s ravninom kroz os $z$ daju hiperbolu, pa se zato zove dvokrilni kružni hiperboloid. Srednja nivoploha je stožac, koji se dodiruje vrhom s drugim stošcem ispod ravnine $xy.$ Treća nivoploha je jednokrilni kružni hiperboloid.

Pitanja

1.

Što su elementi skupova $R,R^2,R^n$?

2.

Kako se definira udaljenost dvije točke u $R^n$?

3.

Što je spojnica dviju točaka u $R^n$?

4.

Napišite koordinate proizvoljne točke $C$ na spojnici točaka $P=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ i $Q=(y_1,y_2,\ldots,y_n).$

5.

Definirajte otvorenu i zatvorenu kuglu u $R^n.$

6.

Definirajte otvoreni skup, zatvoreni skup, konveksan skup, područje.

7.

Što znači kad se kaže da je $f$ realna funkcija od više realnih varijabli?

8.

Što je prirodna domena funkcije više varijabli?

9.

Što je graf funkcije više varijabli?

10.

Kako se mogu grafički prikazivati funkcije više varijabli?

11.

Što je nivokrivulja, a što nivoploha?

12.

Napišite jednadžbe sljedećih ploha i skicirajte ih: kružni (rotacijski) paraboloid, eliptički paraboloid, hiperbolički paraboloid, jednokrilni hiperboloid, dvokrilni hiperboloid.

Riješeni zadaci

1.

Skup $S=\{(x,y);\,1<x<3, 1<y<5\}$ je otvoren skup.

Rješenje. Uočimo najprije da je $1<x<3$ ekvivalentno s $\vert x-2\vert<1,$ a $1<y<5$ s $\vert y-3\vert<2.$

Neka je $(x_0,y_0)$ proizvoljan element iz $S.$ Neka je

$$\delta=\min\{1-\vert x_0-2\vert,2-\vert y_0-3\vert\}.$$

Očito je $\delta>0.$ Tvrdimo da je $K((x_0,y_0);\delta)\subset S.$ Zaista, neka je $(x,y)$ proizvoljna točka iz $K((x_0,y_0);\delta).$ Tada je

$$\vert x-2\vert\leqslant \vert x-x_0\vert+\vert x_0-2\vert<\delta+1-\delta=1,$$

$$\vert y-3\vert\leqslant \vert y-y_0\vert+\vert y_0-3\vert<\delta+1-\delta=1.$$

Tako je $1<x<3,$ a $1<y<5.$ Zbog proizvoljnosti elementa $(x,y),$ slijedi $K((x_0,y_0);\delta)\subset S$ i prema tome $S$ je otvoren skup.

2.

Otvoren krug $S$ u ravnini, radiusa $r,$ je konveksan skup. Rješenje. Postavimo Kartezijev koordinatni sustav tako da središte kruga bude u ishodištu. Neka su $A=(x_1,y_1),$ i $B=(x_2,y_2)$ dvije točke u $S.$ Tada postoje $r_1<r,r_2<r,\varphi$ i $\psi$ takvi da je

$$x_1 = r_1\,\cos{}\varphi,\quad y_1 = r_1\,\sin{}\varphi,$$

$$x_2 = r_2\,\cos{}\psi,\quad y_2 = r_2\,\sin{}\psi.$$

Neka je pri tom $r_1\leqslant{}r_2<r.$

Figure 1.7: Krug je konveksan skup.

Koordinate točke $C$ na spojnici su

$$x_C = r_1\,(1 - t)\,\cos \varphi + r_2\,t\,\cos \psi,\quad y_C = r_1\,(1 - t)\,\sin \varphi + r_2\,t\,\sin \psi.$$

Nađimo udaljenost te točke od središta kruga.

$$x_C^2 + y_C^2 = {{\left( r_1\,\left( 1 - t \right) \,\cos \varphi... ...left( r_1\,\left( 1 - t \right) \, \sin \varphi + r_2\,t\,\sin \psi\right) }^2}$$

$$={{r_1}^2}\,{{\left( -1 + t \right) }^2} + {{r_2}^2}\,{t^2} - 2\... ...1 + t \right) }^2} - 2\,r_1\,r_2\, \left( -1 + t \right) \,t + {{r_2}^2}\,{t^2}$$

$${{\left( r_1\,\left( -1 + t \right) - r_2\,t \right) }^2}\leqslant {\left( r_2\,\left( -1 + t \right) - r_2\,t \right) }^2 = r_2^2 < r^2.$$

Dakle, $S$ je doista konveksan skup.

3.

Naći prirodnu domenu funkcije

$$f(x,y)=\frac{\sqrt{x^2-y^2}}{\ln xy}.$$

Rješenje.

$$D(f)=\{(x,y);\,x^2-y^2\geqslant 0, xy>0, xy\neq 1\}.$$

$$(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\geqslant 0)\Righ... ...\rm i }\;y\geqslant -x)\;{\rm ili }\; (y\geqslant x\;{\rm i }\;y\leqslant -x)),$$

$$(xy>0)\Rightarrow ((x>0\;{\rm i }\;y>0)\;{\rm ili }\;(x<0\;{\rm i }\;y<0)),$$

$$(xy\neq 1)\Rightarrow (y\neq \frac{1}{x}).$$

Figure: Prirodna domena funkcije $f(x,y)=\frac{\sqrt{x^2-y^2}}{\ln xy}.$

4.

Nacrtati graf funkcije

$$f(x,y)=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}.$$

Rješenje. Nađimo presjeke s koordinatnim ravninama

$$(y=0\Rightarrow z=\frac{x^2}{a^2}),\;\; (x=0)\Rightarrow (z=-\frac{y^2}{b^2}),\;\;(z=1\Rightarrow 1=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}).$$

Ova ploha se zove hiperbolički paraboloid.