Jednadžbe

Poprečne oscilacije žice

Promatrat ćemo gibanje napete žice duljine $\ell,$ koje nastaje uslijed nekog vanjskog djelovanja. Pretpostavit ćemo da vanjsko djelovanje nije tako veliko da dolazi do plastičnih deformacija ili do kidanja žice. Ako se progib ne mijenja s vremenom, onda govorimo o ravnoteži žice. U protivnom govorimo o oscilacijama žice.

Slika 2.1: Polje pomaka

U vezi s gibanjem žice imamo sljedeća vektorska polja od dvije varijable, definirana na $[0,\ell]\times R$ s vrijednostima u $X_O(E).$ Prva varijabla je varijabla položaja $x\in [0,\ell]\,$ a druga varijabla vremena $t\in R.$

$\vec{\,u}(x,t)$ - progib žice u točki $x,$ u čas $t$ (polje pomaka),

$\vec{\,\varphi}(x,t)$ - ukupna količina gibanja po jedinici duljine, u točki $x,$ u čas $t,$ (gustoća (linearna) količine gibanja)

$\vec{\,\psi}(x,t)$ - količina gibanja, koja se u točki $x,$ prenese s desna na lijevo u jedinici vremena u čas $t$ (kontaktna sila),

$\vec{\,f}(x,t)$ - količina gibanja po jedinici duljine, koja se u jedinici vremena izvana prenese na žicu u točki $x,$ u čas $t$ (gustoća (linearna) vanjske sile).

Prvo vektorsko polje $\vec{\,u}$ se zove kinematičko polje, i ono opisuje progib žice. Ostala tri polja $\vec{\,\varphi},\vec{\,\psi},\vec{\,f}$ se zovu dinamička polja. Pri tom drugo vektorsko polje opisuje ukupnu količinu gibanja. Treće vektorsko polje opisuje količinu gibanja koja nastaje tako što se uslijed neprekidnosti žice i njezine napetosti količina gibanja desnog dijela žice preko točke $x$ prenosi na lijevi dio. Četvrto vektorsko polje opisuje količinu gibanja koja nastaje uslijed djelovanja vanjske sile (gravitacija i sl.).

Zakon održanja količine gibanja

Uočimo proizvoljan komad žice $D=[x_1,x_2].$

Ukupna količina gibanja tog dijela žice u čas $t$ je

$$\int_{x_1}^{x_2}\vec{\,\varphi}(x,t)\,dx,$$

a ukupna količina gibanja komada žice $D$ po jedinici vremena je derivacija ukupne količine gibanja po vremenu

$$\frac{d}{dt}\,\int_{x_1}^{x_2} \vec{\,\varphi}(x,t)\,dx.$$

Količina gibanja po jedinici vremena komada žice $D$ u čas $t$ uslijed djelovanja vanjske sile je

$$\int_{x_1}^{x_2}\vec{\,f}(x,t)\,dx.$$

Količina gibanja koja se po jedinici vremena prenese na $D$ u čas $t$ na desnom rubu, u točki $x_2,$ je

$$\vec{\,\psi}(x_2,t),$$

a količina gibanja koja se po jedinici vremena prenese na $D$ u čas $t$ na lijevom rubu, u točki $x_1,$ je

$$-\vec{\,\psi}(x_1,t),$$

jer smo za pozitivan smjer prenošenja količine gibanja duž žice izabrali smjer s desna na lijevo.

Slika 2.2: Kontaktna sila na rubovima

Ukupna količina gibanja po jedinici vremena komada $D$ jednaka je zbroju količina gibanja po jedinici vremena uslijed djelovanja preostalog dijela žice i uslijed djelovanja vanjske sile. Dakle

$$\frac{d}{dt}\,\int_{x_1}^{x_2} \vec{\,\varphi}(x,t)\,dx = \vec{\,\psi}(x_2,t) -\vec{\,\psi}(x_1,t) + \int_{x_1}^{x_2}\vec{\,f}(x,t)\,dx.$$

Ova jednadžba se zove jednadžba balansa ili zakon održanja količine gibanja. (Uočite da se ovdje radi o poznatom fizikalnom zakonu da je promjena količine gibanja nekog tijela u jedinici vremena jednaka zbroju sila koje djeluju na tijelo.)

Pretostavka da je ukupna količina gibanja po jedinici vremena

$$\frac{\partial\vec{\,\varphi}(x,t)}{\partial t}$$

neprekidna funkcija, što fizikalno znači da se brzina promjene količine gibanja neprekidno mijenja (neprekidnost sile), omogućava da primijenimo Leibnizovo pravilo za deriviranje pod znakom integrala. Zatim, ako još

$$\vec{\,\psi}(x_2,t)-\vec{\,\psi}(x_1,t)$$

shvatimo kao jednu stranu Newton-Leibnizove formule (osnovne formule integralnog računa), onda imamo

$$\int_{x_1}^{x_2} \frac{\partial\vec{\,\varphi}(x,t)}{\partial t}\... ...partial\vec{\,\psi}(x,t)}{\partial x}\,dx + \int_{x_1}^{x_2}\vec{\,f}(x,t)\,dx,$$

odnosno

$$\int_{x_1}^{x_2} \left[\frac{\partial\vec{\,\varphi}(x,t)}{\parti... ...\partial\vec{\,\psi}(x,t)}{\partial x} - \vec{\,f}(x,t)\right]\,dx = \vec{\,0}.$$

Naglasimo da ovaj izvod vrijedi za proizvoljan segment žice $[x_1,x_2].$

Lema 1   (Osnovna lema) Neka je skalarna funkcija $h:\langle a,b\rangle \rightarrow R$ neprekidna na $\langle a,b\rangle ,$ i neka je

$$\int_{x_1}^{x_2} h(x)\,dx=0$$

za svaki par brojeva $x_1,x_2\in \langle a,b\rangle.$

Tada je $h=0,$ tj. $h(x)=0$ za svaki $x\in \langle a,b\rangle .$

Dokaz. Pretpostavimo suprotno, da postoji $x_0$ takav da je $h(x_0)>0.$ (Slično ide dokaz uz pretpostavku $h(x_0)<0.$) Zbog neprekidnosti funkcije $h,$ postoji $\delta>0$ takav da

$$\vert x-x_0\vert<\delta\Rightarrow h(x)>0.$$

To znači da je $h(x)>0$ za $x\in \langle x_0-\delta,x_0+\delta\rangle.$

Ako izaberemo $x_1,x_2\in \langle x_0-\delta,x_0+\delta\rangle,$ onda je

$$\int_{x_1}^{x_2} h(x)\,dx>0,$$

što je u kontradikciji s pretpostavkom u teoremu. $\heartsuit$

Podintegralna funkcija

$$\frac{\partial\vec{\,\varphi}(x,t)}{\partial t} - \frac{\partial\vec{\,\psi}(x,t)}{\partial x} - \vec{\,f}(x,t)$$

je vektorska. Iščezavanje njezinog integrala na proizvoljnom segmentu $[x_1,x_2]$ povlači iščezavanje integrala svake skalarne komponente na tom segmentu. To, prema osnovnoj lemi povlači da je svaka skalarna komponenta nulfunkcija. Slijedi

$$\frac{\partial\vec{\,\varphi}(x,t)}{\partial t} - \frac{\partial\vec{\,\psi}(x,t)}{\partial x} - \vec{\,f}(x,t) = \vec{\,0}.$$ (2.1)

Ova jednadžba predstavlja zakon održanja količine gibanja u diferencijalnom obliku.

Ovo je opća jednadžba koja vrijedi za bilo kako napetu žicu od bilo kakvog materijala. Karakteristike materijala i način na koji je žica napeta opisuju se vezama između gore navedenih vektorskih polja. Te veze se zovu zakoni ponašanja.

Zakoni ponašanja

Označimo s $\rho(x)$ linearnu gustoću mase žice u točki $x$ u čas $t.$ Linearna gustoća mase je masa po jedinici duljine. Tada je količina gibanja po jedinici duljine u točki $x$ u čas $t$ jednaka umnošku mase po jedinici duljine u točki $x$ i brzine u točki $x$ u čas $t.$ Tako imamo prvi zakon ponašanja

$$\vec{\,\varphi}(x,t) = \rho(x)\,\frac{\partial\vec{\,u}(x,t)}{\partial{}t}.$$

Usvojimo sada sljedeća pojednostavljenja. Pretpostavljamo da se gibanje odvija u ravnini $xy,$ i to tako da je

$$\vec{\,u}(x,t) = u(x,t)\,\vec{\,\jmath},$$

tj. tako da je komponenta progiba u smjeru osi $x$ jednaka nuli. U skladu s ovom pretpostavkom možemo progib smatrati skalarnim poljem $u(x,t).$

Promatrat ćemo male progibe žice, tako da možemo pretpostaviti da je

$$\left\vert\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right\vert\ll 1,$$   za svaki $$x\in \langle 0,\ell\rangle.$$

U tom slučaju ćemo reći da je deformacija mala. Odatle

$$\vert u(x,t)-u(0,t)\vert = \left\vert\int_0^x \frac{\partial u(\x... ...al u(\xi,t)}{\partial \xi}\right\vert\,d\xi \ll \int_0^x d\xi = x\leqslant\ell,$$

odnosno

$$\frac{\vert u(x,t)-u(0,t)\vert}{\ell} \ll 1.$$

To znači da je apsolutni prirast progiba u odnosu na progib u ishodištu vrlo malen prema duljini žice.

Slika 2.3: Kontaktna sila pri malim deformacijama

Budući da je deformacija mala, možemo pretpostaviti da je kontaktna sila $\vec{\,\psi}(x,t)$ u točki $P(x,t)$ kolinearna s jediničnim tangencijalnim vektorom na progib žice $u(x,t)$ u točki $P(x,t),$ tj.

$$\vec{\,\psi}(x,t) = p(x,t)\,\vec{\,T}(x,t).$$

Funkcija $p(x,t)$ se zove napetost žice u točki $P(x,t)$ u čas $t.$ U daljnjem ćemo pretpostavljati da napetost ne ovisi o vremenu, i da je u svakoj točki pozitivna, tj. da je

$$p(x,t) = p(x) > 0,$$   za svaki $$x\in [0,\ell].$$

Tako je

$$\vec{\,\psi}(x,t) = p(x)\,\vec{\,T}(x,t).$$

Progib možemo shvatiti kao krivulju u ravnini s parametrizacijom $([0,\ell],\vec{\,r}),$ gdje je

$$\vec{\,r}(x,t) = x\,\vec{\,\imath}+ u(x,t)\,\vec{\,\jmath}.$$

Slika 2.4: Progib kao krivulja u ravnini.

Tada je

$$\vec{\,T}(x,t)= \frac{\frac{\partial \vec{\,r}(x,t)}{\partial x}}... ...}\,\vec{\,\jmath}}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right)^2}}.$$

Budući da je $\vert\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\vert\ll 1,$ možemo zanemariti $(\frac{\partial u(x,t)}{\partial x})^2,$ pa imamo

$$\vec{\,T}(x,t) = \vec{\,\imath}+ \frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\,\vec{\,\jmath},$$

odnosno imamo drugi zakon ponašanja

$$\vec{\,\psi}(x,t) = p(x)\,\vec{\,\imath} + p(x)\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\,\vec{\,\jmath}.$$

Vanjska sila po jedinici duljine djeluje u ravnini $x\,y,$ pa možemo pisati

$$\vec{\,f}(x,t) = f_x(x,t)\,\vec{\,\imath} + f_y(x,t)\,\vec{\,\jmath}.$$

Slika 2.5: Vanjska sila po jedinici duljine

Ako se s ovim vratimo u diferencijalnu jednadžbu (2.1), imamo

$$\rho(x)\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2}\vec{\,\jmath} - \f... ...)\vec{\,\jmath} - f_x(x,t)\vec{\,\imath} - f_y(x,t)\vec{\,\jmath} = \vec{\,0},$$

što se raspada na dvije skalarne jednadžbe

$$\frac{dp(x)}{dx} + f_x(x,t) = 0,$$

$$\rho(x)\,\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(p(x)\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right) + f_y(x,t).$$

Prva jednadžba omogućava izračunavanje napetosti žice. Da bi napetost bila neovisna o vremenu, nužno mora $f_x$ biti neovisno o vremenu. Tako imamo

$$p'(x) + f_x(x) = 0.$$ (2.2)

Integrirajmo ovu jednadžbu

$$\int_x^{\ell} p'(\xi)\,d\xi + \int_x^{\ell} f_x(\xi)\,d\xi = 0,$$

$$p(\ell) - p(x) + \int_x^{\ell} f_x(\xi)\,d\xi = 0,$$

$$p(x) = p(\ell) + \int_x^{\ell} f_x(\xi)\,d\xi.$$

Ako vanjska sila djeluje poprečno na žicu, onda je $f_x(x) = 0,$ pa je $p(x) = p(\ell),$ tj. napetost je konstantna, i jednaka napetosti na desnom rubu. Ako vanjska sila ima komponentu u smjeru osi $x$ različitu od nule, onda napetosti na desnom rubu treba dodati još doprinos od vanjske sile po jedinici duljine.

Druga jednadžba

$$\rho(x)\,\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(p(x)\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right) + f_y(x,t)$$ (2.3)

se zove valna jednadžba. To je parcijalna diferencijalna jednadžba. Napetost izračunamo iz prve jednadžbe, $f_y$ je zadano time što je zadana vanjska sila po jedinici duljine. $\rho$ je zadana linijska gustoća mase žice. Nepoznanica u jednadžbi je progib $u(x,t).$ Osnovni problem je, dakle, izračunati $u(x,t)$ iz valne jednadžbe. Ako pretpostavimo da je napetost konstantna duž žice, valna jednadžba poprima oblik

$$\rho(x)\,\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = p\,\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} + f_y(x,t).$$

Također je prirodno pretpostaviti da je $\rho(x)>0.$ Tada možemo podijeliti jednadžbu s $\rho(x),$ pa imamo

$$\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = a(x)^2\,\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} + b_y(x,t),$$

gdje je $b_y$ sila po jedinici duljine i po jedinici gustoće mase u smjeru osi $y.$ (U ovom slučaju to je akceleracija vanjske sile u smjeru osi $y.$) Ako žica oscilira u nekom sredstvu koje pruža otpor gibanju, onda treba uzeti u obzir silu otpora. Budući da su oscilacije male, može se pretpostaviti da sredstvo reagira kao elastično, tj. da je sila otpora po jedinici duljine proporcionalna progibu i suprotnog smjera $F_{otp}=-q(x)\,u(x,t),$ gdje je $q(x)\geq 0,$ za $x\in [0,\ell]\,$ faktor proporcionalnosti. U tom slučaju imamo jednadžbu oscilacija

$$\rho(x)\,\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = \frac{\partial... ...left(p(x)\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right) - q(x)\,u(x,t) + f_y(x,t).$$

Primjer 2.1   Homogena teška žica, gustoće mase $\rho,$ duljine $\ell,$ razapeta je između točaka $A$ na zemlji i $B$ na visini $h$ kao na slici.

Naći napetost žice u svakoj točki, ako je žica napeta u točki $A$ napetošću $p_0.$

Rješenje. Kad kažemo teška žica, mislimo na to da se njezina težina ne može zanemariti. To znači da na žicu djeluje vanjska sila, sila teža. U izvodu jednadžbi mi smo koristili linearnu gustoću vanjske sile (silu po jedinici duljine). Ona je ovdje u svakoj točki po iznosu $\rho\,g,$ a po smjeru okomita je prema površini zemlje.

Postavimo koordinatni sustav tako da os $x$ prolazi žicom. Gustoća sile se može rastaviti na komponentu koja djeluje duž žice i onu drugu koja je okomita na žicu. Napetosti pridonosi samo komponenta duž žice.

Iz slike vidimo (pomoću sličnosti trokuta) da je

$$f_x = -\rho\,g\,\frac{h}{\ell}.$$

Integrirajmo jednadžbu (2.2) od 0 do $x$

$$\int_0^x p'(\xi)\,d\xi + \int_0^x f_x(\xi)\,d\xi = 0,$$

$$p(x) - p(0) + \int_0^x f_x(\xi)\,d\xi = 0,$$

$$p(x) = p(0) - \int_0^x f_x(\xi)\,d\xi,$$

$$p(x) = p_0 + \int_0^x \rho\,g\,\frac{h}{\ell}\,d\xi,$$

$$p(x) = p_0 + \rho\,g\,\frac{h}{\ell}\,x.$$

Ako žica nije homogena, onda treba znati gustoću mase kao funkciju od $x,$ tj. tada $\rho$ nije konstanta, već funkcija od $x,$ pa je tada

$$p(x) = p_0 + g\,\frac{h}{\ell}\,\int_0^x \rho(x)\,d\xi.$$

Primjer 2.2   Izvesti jednadžbu malih oscilacija napete žice u sredstvu s otporom, koji je proporcionalan brzini. Rješenje. Budući da se radi o malim oscilacijama, možemo usvojiti ona pojednostavnjenja i zanemarivanja, koja smo usvojili kod izvoda valne jednadžbe (2.3). Dakle, možemo pretpostaviti da žica oscilira u smjeru okomitom na njezin ravnotežni položaj. U tom smjeru se javlja i sila otpora, no kako se ona opire kretanju, ona djeluje suprotno od smjera kretanja. Postavimo koordinatni sustav tako da žica u ravnoteži leži na osi $x.$ Tada se kretanje događa u smjeru osi $y,$ pa imamo jednadžbu za napetost

$$p'(x) + f_x(x) = 0.$$

U smjeru osi $y$ osim vanjske sile po jedinici duljine i kontaktne sile imamo još i silu otpora po jedinici duljine

$$f_{otp} = -k^2\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}.$$

Prema tome sada valna jednadžba glasi

$$\rho(x)\,\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = \frac{\partial}... ...u(x,t)}{\partial x}\right) -k^2\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial t} + f_y(x,t),$$

odnosno

$$\rho(x)\,\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} + k^2\,\frac{\pa... ...{\partial x} \left(p(x)\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right) + f_y(x,t).$$

Ravnoteža žice.

Ako vanjsko djelovanje ne ovisi o vremenu, ili ako se ono mijenja s vremenom tako sporo da žica poprimi konačni položaj prije nego se djelovanje izmijeni, onda je ustvari

$$\frac{\partial u(x,t)}{\partial t} = 0,$$

tj. $u$ ne ovisi o vremenu, i žica zauzima ravnotežni položaj. Jednadžba ravnoteže žice je

$$\left(p(x)\,u'(x)\right)' + f_y(x) = 0.$$

Ako se žica nalazi u nekom sredstvu, onda je jednadžba ravnoteže

$$\left(p(x)\,u'(x)\right)' - q(x)\,u(x) + f_y(x) = 0.$$

Jednadžbe ravnoteže su obične linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda, pa imaju beskonačno mnogo rješenja koja ovise o dvije proizvoljno odabrane konstante. O uvjetima koje treba zadati da bismo dobili rješenje u skladu s konkretnim problemom govorit ćemo kasnije.

Primjer 2.3   Naći jednadžbu ravnote9nog položaja homogene teške žice, gustoće mase $\rho,$ napete silom od $p=20\,N$ u polju sile teže, koja djeluje okomito na žicu.

Rješenje. Jednadžba ravnoteže žice je

$$\left(p(x)\,u'(x)\right)' + f_y(x) = 0.$$

Pri tom je $f_y(x)=f(x)=-\rho\,g,$ a $p(x)=20.$ Prema tome jednadžba je

$$u''(x) = \frac{\rho\,g}{20}.$$

Sada ćemo bez izvoda dati matematičke modele za još neke jednodimenzionalne fizikalne pojave.

Longitudinalne oscilacije grede (štapa)

Promatrat ćemo longitudinalne oscilacije grede koje nastaju djelovanjem longitudinalne sile na gredu. Greda je kruto tijelo, pa nije nužno da bude napeta da bi oscilirala. Budući da su sve sile, pa i pomaci u smjeru središnje osi grede, koja neka bude os $x,$ vektorska polja možemo zamijeniti skalarnima. Imamo ova polja u vidu

$u(x,t)$ - longitudinalni pomak poprečnog presjeka grede u točki $x$ u čas $t,$

$\varphi(x,t)$ - ukupna količina gibanja po jedinici duljine, u točki $x,$ u čas $t,$

${\psi}(x,t)$ - količina gibanja, koja se kroz poprečni presjek u točki $x,$ prenese u jedinici vremena s desna na lijevo u čas $t,$

${f}(x,t)$ - količina gibanja po jedinici duljine, koja se u jedinici vremena izvana prenese na gredu u točki $x,$ u čas $t.$

Zakoni ponašanja.

Prvi zakon ponašanja je isti kao kod žice

$$\varphi(x,t) = \rho(x)\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial t},$$

a drugi zakon ponašanja je zapravo Hookeov zakon

$${\psi}(x,t) = E\,S(x)\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x},$$

gdje je $E$ Youngov modul elastičnosti, a $S(x)$ površina poprečnog presjeka grede. U ovom slučaju je

$$p(x) = E\,S(x),$$

pa imamo jednadžbu longitudinalnih oscilacija grede

$$\rho(x)\,\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(E\,S(x)\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right) + f(x,t).$$

Jednadžba ravnoteže grede uslijed uzdužnog djelovanja vanjske sile je

$$\left(E\,S(x)\,u'(x)\right)' + f(x) = 0.$$

Torzijske oscilacije valjka

Pretpostavljamo da os valjka ostaje na miru, a da se poprečni presjeci zakreću u svojoj ravnini. Imamo ova polja u vidu

$u(x,t)$ - kut zakreta poprečnog presjeka valjka u točki $x$ u čas $t,$

$\varphi(x,t)$ - zakretni moment po jedinici duljine valjka u točki $x,$ u čas $t,$

${\psi}(x,t)$ - zakretni moment, koji se u jedinici vremena prenese s desna na lijevo kroz poprečni presjek u točki $x,$ u čas $t,$

${f}(x,t)$ - zakretni moment po jedinici duljine, koji se u jedinici vremena izvana prenese na gredu u točki $x,$ u čas $t.$

Zakretni moment također zadovoljava zakon održanja, pa na sličan način kao kod oscilacija žice dolazimo do jednadžbe

$$\frac{\partial \varphi(x,t)}{\partial t} = \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial x} + f(x,t).$$

Zakoni ponašanja.

Prvi zakon ponašanja je u ovom slučaju formula koja opisuje zakretni moment pomoću kuta, odnosno preciznije pomoću kutne brzine

$$\varphi(x,t) = I(x)\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}.$$

$I(x)$ je moment inercije poprečnog presjeka u odnosu na točku u kojoj os valjka probada poprečni presjek.

Drugi zakon ponašanja glasi

$${\psi}(x,t) = \mu\,I(x)\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x},$$

gdje je $\mu$ modul smicanja. Tako je

$$I(x)\, \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\mu\,I(x)\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right) + f(x,t)$$

jednadžba torzijskih oscilacija valjka kružnog presjeka.

U slučaju valjka kružnog presjeka radiusa $R$ imamo

$$I(x) = \frac{R^4\,\pi}{2}$$

Provođenje topline kroz štap

Provođenje topline kroz štap je pojava koju ne vidimo. Informaciju o provođenju topline dobivamo mjerenjem temperature. Temperaturu mjerimo metrom, kao duljinu dužine. To nam omogućava fizikalna pojava da se tijela prilikom zagrijavanja šire, pa ono što mi mjerimo kao temperaturu je mjerenje duljine stupca žive u termometru. Tako u vezi s provođenjem topline kroz štap imamo sljedeća polja.

$u(x,t)$ - temperatura poprečnog presjeka štapa u točki $x$ u čas $t,$

$\varphi(x,t)$ - ukupna količina topline po jedinici duljine, u točki $x,$ u čas $t,$

${\psi}(x,t)$ - količina topline, koja se u jedinici vremena prenese s desna na lijevo kroz poprečni presjek u točki $x,$ u čas $t,$

${f}(x,t)$ - količina topline po jedinici duljine, koja se u jedinici vremena izvana prenese na gredu u točki $x,$ u čas $t.$

Toplina je jedan oblik energije, pa zadovoljava zakon o održanju energije. Tako i u ovom slučaju vrijedi opća jednadžba

$$\frac{\partial \varphi(x,t)}{\partial t} = \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial x} + f(x,t).$$

Zakoni ponašanja.

Količina topline po jedinici duljine štapa je proporcionalna temperaturi

$$\varphi(x,t) = \gamma(x)\,u(x,t),$$

gdje je faktor proporcionalnosti $\gamma$ toplinski kapacitet jedinice duljine štapa.

Drugi zakon ponašanja je poznat kao Fourierov zakon, koji kaže da je količina topline koja u jedinici vremena prijeđe s desna na lijevo proporcionalna razlici temperature po jedinici duljine

$${\psi}(x,t) = \delta(x)\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x},$$

gdje je $\delta(x)$ koeficijent provođenja. Iz ove formule slijedi da je $\delta(x)>0.$

Ako sve to uzmemo u obzir, dobivamo iz opće jednadžbe

$$\gamma(x)\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\delta(x)\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right) + f(x,t).$$

Primijetimo da je ova jednadžba drukčija od prethodnih po tome što se ovdje pojavljuje prva parcijalna derivacija po $t$ umjesto druge.

Filtracija kroz cijev

Cijev je ispunjena poroznom sredinom. Izvana nailazi određena masa fluida, u cijevi se također nalazi neki fluid, pa nas interesira kretanje fluida u takvim uvjetima kroz cijev. Ta pojava se zove filtracija. Kretanje je moguće zato jer je sredina porozna. Poroznost se mjeri omjerom volumena praznog prostora u poroznoj sredini i ukupnog volumena porozne sredine. Taj omjer označavamo s $\gamma,$ i zovemo ga poroznošću materijala. Filtracija koja nas zanima događa se obično duboko pod površinom zemlje (kretanje podzemnih voda, crpljenje nafte utiskivanjem vode pod pritiskom u jednoj bušotini da bi se na drugoj crpila), pa se proces može mjeriti tako da spustimo sondu u cijev i da mjerimo tlak u poprečnom presjeku cijevi. Tako imamo ova polja.

$u(x,t)$ - tlak u poprečnom presjeku cijevi u točki $x$ u čas $t,$

$\varphi(x,t)$ - ukupna masa fluida po jedinici duljine, u točki $x,$ u čas $t,$

${\psi}(x,t)$ - masa fluida, koja se u jedinici vremena prenese s desna na lijevo kroz poprečni presjek u točki $x,$ u čas $t,$

${f}(x,t)$ - masa fluida po jedinici duljine, koja se u jedinici vremena izvana unese u cijev u točki $x,$ u čas $t.$

Budući da je ovdje u igri masa, i da vrijedi zakon o održanju mase, i u ovom slučaju vrijedi opća jednadžba

$$\frac{\partial \varphi(x,t)}{\partial t} = \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial x} + f(x,t).$$

Zakoni ponašanja.

Ako s $\rho$ označimo linearnu gustoću fluida, imamo

$$\varphi(x,t) = \gamma(x)\,\rho(u(x,t)),$$

gdje je $\gamma$ poroznost. $\rho$ općenito ovisi o tlaku, no za različite fluide ta ovisnost je vrlo različita. Na primjer imamo nestlačive fluide (voda, nafta), slabo stlačive, pa do idealnih plinova kod kojih je $\rho(u)=\frac{\rho_0}{u_0}\,u.$

Drugi zakon kaže da je masa fluida koja po jedinici vremena prijeđe s desna nalijevo proporcionalna razlici tlakova po jedinici duljine

$${\psi}(x,t) = p(x)\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x},$$

gdje je $p(x) = \frac{\kappa\,\rho(u)}{\mu}.$ Ovdje je $\mu$ viskoznost fluida, a $\kappa$ je permeabilnost (propustljivost) porozne sredine. Ova formula je poznata kao Darcyjev zakon.

Jednadžba.

Uvrstimo li zakone ponašanja u opću jednadžbu, dobivamo

$$\gamma(x)\, \frac{\partial \rho(u(x,t))}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(p(x)\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right) + f(x,t),$$

$$\gamma(x)\,\rho'(u(x,t))\, \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} = ... ...rac{\kappa\,\rho(u)}{\mu}\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right) + f(x,t).$$

Bitna razlika u odnosu na jednadžbe kod prethodnih pojava je u tome da je to nelinearna parcijalna diferencijalna jednadžba. Nelinearnost se ogleda u tome da se $u$ i njegove derivacije ne pojavljuju u jednadžbi u linearnoj kombinaciji, već se pojavljuje i $\rho(u)$ i $\rho'(u).$ No u određenim slučajevima se jednadžba pojednostavnjuje.

Nestlačivi fluid.

$\rho(u)=$konst.$,$ pa je $\rho'(u)=0.$ Tako imamo

$$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\kappa\,\rho}{\mu}\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right) + f(x,t) = 0.$$

Ovdje se ne pojavljuje derivacija po vremenu, što je odraz činjenice da se u nestlačivom fluidu tlak prostire trenutno.

Slabo stlačiv fluid.

Kod slabo stlačivog fluida je $\rho(u) = \rho_0\,(1+\alpha\,u),$ gdje je $\alpha$ recipročna vrijednost prostornog modula elastičnosti. Pri tom je $0<\alpha\ll 1.$ Tada je

$$\rho'(u) = \rho_0\,\alpha$$

$$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\kappa\,\rho(u)}{\mu}\,\fr... ...c{\kappa}{\mu}\rho_0\,(1+\alpha\,u)\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right)$$

$$= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\kappa}{\mu}\rho_0\,\fra... ...frac{\kappa}{\mu}\rho_0\,\alpha\,u\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right).$$

Kad se radi o malim promjenama polja tlaka, $\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}$ je mala veličina, pa se $\alpha\,u\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}$ može zanemariti. Tako imamo jednadžbu

$$\gamma(x)\,\rho_0\,\alpha\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial t} = \... ...frac{\kappa\,\rho_0}{\mu}\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right) + f(x,t).$$

Idealni plin.

Kod idealnog plina je $\rho(u)=\frac{\rho_0}{u_0}\,u,$ pa nakon uvrštenja u jednadžbu imamo

$$\frac{\gamma(x)\,\rho_0}{u_0}\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial t... ...\rho_0}{\mu\,u_0}\,u(x,t)\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right) + f(x,t),$$

odnosno

$$\gamma(x)\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial t} = \frac{\partial}{... ...(x,t)\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right) + \frac{u_0}{\rho_0}\,f(x,t).$$