Dijagonalizacija simetrične matrice. Opći slučaj.

U općem slučaju se može dogoditi da neke vlastite vrijednosti budu višestruke. Razmotrimo sljedeći primjer.

Primjer 1.25   Naći vlastite vrijednosti i vlastite vektore matrice

$$A=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{array} \right].$$

Rješenje. Vlastite vrijednosti su $\lambda_1=1, \lambda_2=1, \lambda_3=3.$

Za $\lambda_3=3$ imamo vlastiti vektor

$$\left[\begin{array}{c} 0 \\ x_2 \\... ...nd{array}\right]=x_2\left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right],$$

tj. vlastitih vektora ima beskonačno mnogo ali su svi međusobno kolinearni.

Za $\lambda_1=\lambda_2=1$ imamo (iz (1.5))

$$=$$ 0 0

$$x_2-x_3 =$$ 0

$$-x_2+x_3 = 0.$$

Odavde $x_1$ je proizvoljan, i $x_3=x_2,$ pa je vlastiti vektor

$$\left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \... ...{array}\right]+\,x_2\, \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right],$$ (1.6)

tj. vlastitih vektora ima beskonačno mnogo ali sada su oni linearne kombinacije od dva linearno nezavisna vektora. Kako imamo slobodu izbora, možemo izabrati bilo koja dva međusobno okomita vektora, tako da i u slučaju višestrukih vlastitih vrijednosti imamo međusobno okomite vlastite vektore.

Formula (1.6) se može shvatiti kao parametarske jednadžbe ravnine u prostoru, koja prolazi ishodištem i razapeta je vektorima

$$\left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ ... ...], \quad \quad \quad \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right].$$

Dakle svaki radijvektor u toj ravnini je vlastiti, s vlastitom vrijednošću $\lambda = 1.$

Na slici 1.17 je šatirana ravnina u kojoj je svaki vektor vlastiti s vlastitom vrijednošću $1,$ i također je povučen pravac na kojem je svaki vektor vlastiti s vlastitom vrijednošću $3.$

Slika 1.17: Vlastiti vektori i njihove slike (višestruke vlastite vrijednosti).

Općenito se događa sljedeće. $k$-struka vlastita vrijednost simetrične matrice vodi na sustav jednadžbi koji ima beskonačno mnogo rješenja određenih pomoću $k$ parametara. Izborom ovih parametara tako da jedan bude $1,$ a ostali $0,$ dobivamo $k$ linearno nezavisnih vektora. Ako tako napravimo za svaku višestruku vlastitu vrijednost, i dodamo vlastite vektore koji pripadaju jednostrukim vlastitim vrijednostima, dobit ćemo $n$ linearno nezavisnih vlastitih vektora simetrične matrice $A.$ Od njih kao stupaca formiramo matricu $X.$ Ona je regularna, i vrijedi

$$A\,X = X\, [\lambda_j\,\delta_{ij}].$$

Pomnožimo s lijeva matricom $X^{-1},$ i dobit ćemo, kao i prije

$$X^{-1}A\,X=[\lambda_j\,\delta_{ij}].$$

Definicija 14   Neka je $X$ regularna matrica i neka je

$$B= X^{-1}\,A\,X.$$

Tada kažemo da su matrice $A$ i $B$ slične.

Ako među matricama sličnim matrici $A$ postoji dijagonalna, onda kažemo da se matrica $A$ može dijagonalizirati. Dijagonalizacija matrice je postupak nalaženja one regularne matrice $X,$ koja ima svojstvo da je $X^{-1}A\,X$ dijagonalna matrica.

U skladu s ovom definicijom, možemo zaključiti da se proizvoljna simetrična matrica $A$ može dijagonalizirati. U slučaju kad su vlastite vrijednosti međusobno različite, dijagonalizacija se vrši pomoću matrice čiji su stupci međusobno okomiti vlastiti vektori matrice $A.$

No, i u slučaju višestrukih vlastitih vrijednosti matrica $X$ se može izabrati tako da su joj stupci međusobno okomiti. Doista, ako su $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\ldots,\boldsymbol{x}_k,$ linearno nezavisni vlastiti vektori, onda su vektori $\boldsymbol{y}_1,\boldsymbol{y}_2,\ldots,\boldsymbol{y}_k,$ dobiveni po formulama

$$\boldsymbol{y}_1 = \boldsymbol{x}_1$$

$$\boldsymbol{y}_2 = \boldsymbol{x}_2-\left(\boldsymbol{x}_2\cdot\frac{\boldsymbol{y}_... ...dsymbol{y}_1\Vert}\right)\, \frac{\boldsymbol{y}_1}{\Vert\boldsymbol{y}_1\Vert}$$

$$\boldsymbol{y}_3 = \boldsymbol{x}_3 -\left(\boldsymbol{x}_3\cdot\frac{\boldsymbol{y}... ...dsymbol{y}_2\Vert}\right)\, \frac{\boldsymbol{y}_2}{\Vert\boldsymbol{y}_2\Vert}$$

$$\ldots$$

$$\boldsymbol{y}_k = \boldsymbol{x}_k -\left(\boldsymbol{x}_k\cdot\frac{\boldsymbol{y}... ...k-1}\Vert}\right)\, \frac{\boldsymbol{y}_{k-1}}{\Vert\boldsymbol{y}_{k-1}\Vert}$$

međusobno okomiti, i svaki od njih je vlastiti pripadajući istoj vlastitoj vrijednosti. Ovaj postupak se zove Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije.

Ideja Gram-Schmidtovog postupka ortogonalizacije je jednostavna i prirodna. Prvi vektor ostavimo na miru. Njime je određen pravac. Drugi vektor projiciramo ortogonalno na taj pravac, i zatim tu projekciju odbijemo od drugog vektora. Time naravno dobivamo vektor koji je okomit na vektor na koji smo projicirali (sl. 1.18). S tako dobivenim vektorima razapnemo ravninu. Treći vektor projiciramo ortogonalno na tu ravninu, i odbijemo projekciju od njega. Time smo dobili vektor okomit na ravninu (sl. 1.19), itd.

Slika 1.18: Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije u ravnini.

Slika 1.19: Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije u prostoru.

Ako međusobno okomite vlastite vektore normiramo (podijelimo s njihovom duljinom), onda matrica $X=[x_{ij}],$ čiji su stupci vektori $\boldsymbol{x}_1,$ $\boldsymbol{x}_2,$ $\ldots,$ $\boldsymbol{x}_n,$ postaje ortogonalna. U tom slučaju je $X^{-1}=X^T,$ pa je

$$X^TA\,X=[\lambda_j\, \delta_{ij}].$$