Vlastite vrijednosti i vlastiti vektori

Definicija 13   Neka je $A$ kvadratna matrica reda $n.$ Za broj $\lambda$ kažemo da je vlastita (svojstvena) vrijednost matrice $A,$ a za vektor $\boldsymbol{x}\neq \textbf{0}$ kažemo da je vlastiti (svojstveni) vektor matrice $A,$ ako vrijedi

$$A\,\boldsymbol{x}=\lambda\,\boldsymbol{x}.$$

Skup svih vlastitih vrijednosti matrice $A$ se zove spektar matrice $A.$

Na slici 1.15 je prikazano nekoliko vektora i njihovih slika dobivenih djelovanjem matrice $$% latex2html id marker 31951 \left[ \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{array}\right].$$ Uočite razliku između djelovanja na vektore $\boldsymbol{x}_3,\boldsymbol{x}_4$ i na ostale vektore. Slike vektora $\boldsymbol{x}_3$ i $\boldsymbol{x}_4$ su ostale na pravcima određenim s tim vektorima (original i slika su kolinearni), dok druge vektore matrica zakreće.

Slika 1.15: Djelovanje matrice drugog reda na vektore u ravnini.

Neka je

$$A\,\boldsymbol{x}=\lambda\,\boldsymbol{x}.$$

Tada je također

$$A\,(\alpha\,\boldsymbol{x}) = \alpha\,A\,\boldsymbol{x}= \alpha\,\lambda\,\boldsymbol{x}= \lambda\,(\alpha\,\boldsymbol{x}).$$

Dakle, ako je $\boldsymbol{x}$ vlastiti vektor za vlastitu vrijednost $\lambda,$ onda je i svaki s njim kolinearan vektor također vlastiti vektor koji pripada istoj vlastitoj vrijednosti. (Na slici 1.15 su crticama označeni pravci čija svaka točka predstavlja vrh nekog vlastitog vektora. Na jednom pravcu leže vlastiti vektori koji pripadaju vlastitoj vrijednosti $1,$ a na drugom oni koji pripadaju vlastitoj vrijednosti $3.$)

Jednadžba ${A}\boldsymbol{x}=\lambda\,\boldsymbol{x}$ se može drukčije napisati kao

$$({A}-\lambda\, {I})\,\boldsymbol{x}=\textbf{0}.$$

Da se nađe vlastiti vektor, potrebno je riješiti ovu matričnu jednadžbu. Ako je $A=[a_{ij}],$ i $\boldsymbol{x}=[x_i],$ ta jednadžba se može napisati kao sustav linearnih algebarskih jednadžbi

$$(a_{11}-\lambda)\,x_1+a_{12}\,x_2+\cdots+a_{1n}\,x_n =$$ 0

$$a_{21}\,x_1+(a_{22}-\lambda)\,x_2+\cdots +a_{2n}\,x_n =$$ 0 (1.5)

$$\cdots$$

$$a_{n1}\,x_1+a_{n2}\,x_2+\cdots +(a_{nn}-\lambda)\,x_n = 0.$$

Ovo je homogen sustav i on ima netrivijalno rješenje, ako i samo ako je determinanta sustava jednaka nuli. Dakle,

$$\det(A-\lambda\, I)=\left\vert \begi... ...dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}-\lambda \end{array} \right\vert=0.$$

Ako raspišemo ovu determinantu i jednadžbu pomnožimo s $(-1)^n,$ dobivamo algebarsku jednadžbu $n$-tog reda

$$\lambda^n - \sigma_1\,\lambda^{n-1} - \cdots - \sigma_{n-1}\,\lambda - \sigma_n=0.$$

Ova jednadžba se zove karakteristična jednadžba matrice $A.$ Polinom na lijevoj strani se zove karakteristični polinom matrice $A.$ Pri tom je $\sigma_1 = {\rm tr\,}A,\sigma_n = (-1)^{n-1}\,\det A.$

Poznato je da algebarska jednadžba $n$-tog reda ima $n$ općenito kompleksnih rješenja, računajući njihovu kratnost. Ta rješenja su vlastite vrijednosti.

Uvrštavanjem pojedinog rješenja u gornji homogeni sustav, dobivamo sustav jednadžbi koji, zbog toga što je homogen i što je determinanta jednaka nuli, ima beskonačno mnogo rješenja. To je u skladu s činjenicom da je svaki vektor, kolinearan s vlastitim vektorom, također vlastiti. Budući da vlastite vrijednosti mogu biti kompleksni brojevi, kao rješenja tog sustava možemo dobiti vektore čije su komponente kompleksni brojevi. Nas će prvenstveno interesirati slučaj kada su vlastite vrijednosti i vlastiti vektori realni.

Primjer 1.24   Nađimo vlastite vrijednosti i vlastite vektore matrice

$$A=\left[ \begin{array}{ccc} 3 & -2 & -4 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \end{array} \right].$$

Rješenje. Karakteristična jednadžba je

$$\det(A-\lambda\, I)=\left\vert\begin... ... & -2 & -2-\lambda \end{array}\right\vert=-\lambda^3+2\,\lambda^2+\lambda-2=0.$$

Vlastite vrijednosti su dakle $\lambda_1=1,\lambda_2=-1,\lambda_3=2.$

Za $\lambda_1=1$ pripadni vlastiti vektor dobivamo (iz (1.5)) kao rješenje sustava

$$2\,x_1-2\,x_2-4\,x_3 =$$ 0

$$-x_1\hspace{1.5cm}+x_3 =$$ 0

$$x_1-2\,x_2-3\,x_3 =$$ 0

Iz druge jednadžbe imamo $x_3=x_1.$ Uvrstimo u treću i dobivamo $x_2=-x_1.$ Tako je vlastiti vektor

$$\left[\begin{array}{c} x_1 \\ -x_1... ...nd{array}\right]=x_1\left[\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right].$$

Za $\lambda_2=-1$ imamo sustav

$$4\,x_1-2\,x_2-4\,x_3 =$$ 0

$$-x_1+2\,x_2+x_3 =$$ 0

$$x_1-2\,x_2-\,x_3 =$$ 0

Rješenja su $x_2=0, x_3=x_1,$ pa je vlastiti vektor

$$\left[\begin{array}{c} x_1 \\ 0 \\... ...end{array}\right]=x_1\left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right].$$

Za $\lambda_3=2$ imamo sustav

$$x_1-2\,x_2-4\,x_3 =$$ 0

$$-x_1-x_2+x_3 =$$ 0

$$x_1-2\,x_2-4\,x_3 =$$ 0

Rješenja su $x_1=-2\,x_2, x_3=-x_2,$ pa je vlastiti vektor

$$\left[\begin{array}{c} -2\,x_2 \\ ... ...d{array}\right]=x_2\left[\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right].$$

Na slici 1.16 se vide vlastiti vektori i njihove slike.

Slika 1.16: Vlastiti vektori i njihove slike (različite vlastite vrijednosti).

Prvi vektor je preslikan u samog sebe. Isto se događa sa svakim drugim radijvektorom, kolinearnim s prvim vektorom. Drugi se preslika u sebi suprotan, što se događa i sa svakim s njim kolinearnim radijvektorom. Treći se preslika u dvostruko dulji (rastegne se), što se događa i sa svakim s njim kolinearnim radijvektorom. Vektor koji ne leži niti na jednom od pravaca određenih ovim vektorima, biva preslikan u vektor koji nije kolinearan sa svojim originalom.

Teorem 8   (Hamilton-Cayley) Ako je polinom

$$P_A(\lambda)=\lambda^n-\sigma_1\,\lambda^{n-1}-\cdots-\sigma_n$$

karakteristični polinom matrice $A,$ onda je $P_A(A)=O,$ tj.

$$A^n-\sigma_1\,A^{n-1}-\cdots-\sigma_n\,I=O.$$

Dokaz. $\heartsuit$