Dijagonalizacija simetrične matrice

Kako smo ranije definirali, matrica $A=[a_{ij}]\in{\cal M}_{n}$ je simetrična, ako je $A^T=A,$ tj. ako je

$$a_{ij}=a_{ji},\hspace{1cm}\forall i,j.$$

Ako je matrica $A$ simetrična, onda vrijedi

$$A\,\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}= \boldsymbol{y}^T\,A\,\bolds... ...}= (A\,\boldsymbol{y})^T\,\boldsymbol{x}= \boldsymbol{x}\cdot A\,\boldsymbol{y}$$

za svaki par vektora $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in{\cal R}_{n}.$

Teorem 9   Vlastite vrijednosti simetrične matrice $A\in{\cal M}_{n}$ su realni brojevi.

Dokaz. Neka je $A\in{\cal M}_{n}$ simetrična matrica, $\lambda$ njezina vlastita vrijednost, i $\boldsymbol{x}$ pripadni vlastiti vektor. Tada je

$$A\,\boldsymbol{x}=\lambda\,\boldsymbol{x}.$$

Ako konjugiramo ovu jednakost, i uzmemo u obzir da je $\bar{A}=A,$ jer su elementi matrice $A$ realni brojevi, dobivamo

$$A\,\bar{\boldsymbol{x}}=\bar{\lambda}\,\bar{\boldsymbol{x}}.$$

Odatle

$$A\,\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}}= \lambda\,\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}},$$

$$\boldsymbol{x}\cdot A\,\bar{\boldsymbol{x}}= \bar{\lambda}\,\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}}.$$

Zbog simetričnosti matrice $A$ imamo

$$A\,\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}}= \boldsymbol{x}\cdot A\,\bar{\boldsymbol{x}}.$$

Tako je

$$\lambda\,\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}} = \bar{\lambda}\,\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}},$$

tj.

$$(\lambda-\bar{\lambda})\,\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}} = 0.$$

Zbog $\boldsymbol{x}\neq \textbf{0},$ skalarni produkt $\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}}$ ne može biti jednak nuli, pa slijedi $\lambda=\bar{\lambda}.$ $\heartsuit$

Teorem 10   Vlastiti vektori simetrične matrice $A\in{\cal M}_{n},$ koji pripadaju različitim vlastitim vrijednostima, su međusobno okomiti.

Dokaz. Neka je $\lambda$ vlastita vrijednost, i $\boldsymbol{x}$ njoj pripadni vlastiti vektor matrice $A.$ Također, neka je $\mu$ vlastita vrijednost, i $\boldsymbol{y}$ njoj pripadni vlastiti vektor. Neka je $\lambda\neq \mu.$ Tada je $A \boldsymbol{x}=\lambda\,\boldsymbol{x},$ i $A \boldsymbol{y}=\mu\,\boldsymbol{y}.$ Odatle

$$A\,\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}= \lambda\,\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y},$$

$$\boldsymbol{x}\cdot A\,\boldsymbol{y}= \mu\,\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}.$$

Zbog simetričnosti matrice $A$ imamo

$$A\,\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}= \boldsymbol{x}\cdot A\,\boldsymbol{y}.$$

Tako je

$$\lambda\,\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}= \mu\,\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y},$$

tj.

$$(\lambda-\mu)\,\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}= 0.$$

Kako je $\lambda\neq \mu,$ slijedi

$$\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}= 0,$$

tj. vlastiti vektori su međusobno okomiti. $\heartsuit$

Primjer 1.24 pokazuje da ovaj teorem ne vrijedi općenito. U tom primjeru kosinusi kuteva između vlastitih vektora iznose približno $0.816497,$ $-0.866025,$ $-0.942809,$ a kutevi u radijanima iznose približno $0.61548,$ $2.61799,$ $2.80176,$ odnosno $35^{\circ}15'8'',$ $149^{\circ}57'16'',$ $160^{\circ}30'17''.$