Prisilne oscilacije

Ako je zadana vanjska sila po jedinici duljine $f(x,t),$ onda treba riješiti sljedeći rubni problem

$$% latex2html id marker 35478 \begin{cases}\frac{\textstyle{\... ...artial u(x,0)}}{\textstyle{\partial t}} = \beta(x), \end{cases}$$ (2.28)

gdje je $h(x,t) = \frac{f(x,t)}{\rho}.$

Uzimajući u obzir rezultate prethodne točke, 2.3.3, rješenje (2.29) možemo pretpostaviti u obliku

$$u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} D_n(t)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x.$$

Ovom formom rješenja pretpostavljamo da se rješenje može razviti u red po vlastitim funkcijama rubnog problema. Neodređene funkcije $D_n(t)$ određujemo pomoću jednadžbe i početnih uvjeta. Kad uvrstimo $u(x,t)$ u jednadžbu, dobivamo

$$\sum_{n=1}^{\infty} D_n''(t)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x = -\sum_{... ...D_n(t)\, \left(\frac{n\,\pi}{\ell}\right)^2 \sin\frac{n\,\pi}{\ell}x + h(x,t),$$

odnosno

$$\sum_{n=1}^{\infty} \left[D''_n(t) + \left(c\,\frac{n\,\pi}{\ell}\right)^2D_n(t)\right] \,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x = h(x,t).$$

Za svaki $t$ ovo je Fourierov red po sinusima za funkciju $h(x,t),$ shvaćenu kao funkciju od $x.$ Neka je

$$h(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n(t)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x,$$

gdje je

$$A_n(t) = \frac{2}{\ell}\int_0^{\ell}\,h(x,t)\,\sin\frac{n\,\pi\,x}{\ell}\,dx.$$

Slijedi

$$D''_n(t) + \left(c\,\frac{n\,\pi}{\ell}\right)^2D_n(t) = A_n(t).$$

Nadalje

$$u(x,0) = \alpha(x) = \sum_{n=1}^{\infty} D_n(0)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x,$$

pa je

$$D_n(0) = \frac{2}{\ell}\int_0^{\ell}\, \alpha(x)\,\sin\frac{n\,\pi\,x}{\ell}\,dx.$$

Analogno

$$\frac{{\partial u(x,0)}}{{\partial t}} = \beta(x) = \sum_{n=1}^{\infty} D'_n(0)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x,$$

pa je

$$D'_n(0) = \frac{2}{\ell}\int_0^{\ell}\, \beta(x)\,\sin\frac{n\,\pi\,x}{\ell}\,dx.$$

Tako imamo familiju diferencijalnih jednadžbi s početnim uvjetima

$$% latex2html id marker 35512 \begin{array}{l} D''_n(t) + \l... ...space{1cm}D'_n(0) = \beta_n \end{array}\qquad n=1,2,3,\ldots$$

i svaka daje jedno rješenje $D_n(t),$ što zatim uvrstimo u formulu za $u(x,t).$

Primjer 2.17   Riješiti rubno-početni problem

$$% latex2html id marker 35519 \begin{cases} \frac{\textsty... ...e{\partial u(x,0)}}{\textstyle{\partial t}} = 0. \end{cases}$$

Rješenje. Imamo

$$A_n(t) = \frac{2}{\ell}\int_0^{\ell}\,\cos t\,\sin\frac{n\,\pi\,x... ...t\vert _0^{\ell} = {\frac{2\,\left(\cos n\,\pi - 1 \right) \,\cos t}{n\,\pi }}.$$

Dakle diferencijalne jednadžbe za koeficijent $D_n(t)$ glase

$$D''_n(t) + \left(c\,\frac{n\,\pi}{\ell}\right)^2D_n(t) = {\frac{2\,\left( \cos n\,\pi -1 \right) \,\cos t}{n\,\pi }},\qquad n=1,2,3,\ldots\ .$$

Budući da su početni uvjeti homogeni, početni uvjeti za ovu familiju diferencijalnih jednadžbi su također homogeni

$$D_n(0) = 0,\qquad D'_n(0) = 0.$$

Rješenja su

$$D_n(t) = {\frac{4\,{\ell^2}\,\left( \cos t - \cos {\frac{c\,n\,\... ...}{n\,\pi \,\left( c\,n\,\pi -\ell \right) \,\left( c\,n\,\pi +\ell \right) }},$$

pa je rješenje problema

$$u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} {\frac{4\,{\ell^2}\,\left( \cos t - ... ...\pi-\ell \right) \,\left( c\,n\,\pi+\ell \right) }}\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x.$$