Krivulje u prostoru

Prirodna parametrizacija krivulje

Krivulju $\Gamma {}$ možemo parametrizirati tako da za segment uzmemo $[0,\ell(\Gamma)],$ gdje je $\ell(\Gamma)$ duljina krivulje $\Gamma,$ a za parametar duljinu luka od jedne rubne točke. Neka je $S$ ona točka na krivulji, za koju je duljina luka $\stackrel{\frown}{AS}$ upravo jednaka $s.$ Tada stavimo $S=\pi(s),\;\;s\in [0,\ell(\Gamma)].$ Dakle, $\pi(s)$ je ona točka na krivulji, čija je `udaljenost' od točke $A$ (početne točke) po luku krivulje jednaka $s.$

Definicija 29   Parametrizacija $([0,\ell(\Gamma)],\vec{\pi})$ krivulje $\Gamma {}$ se zove prirodna parametrizacija.

Nađimo vezu između parametrizacije $([a,b],r)$ i prirodne parametrizacije $([0,\ell(\Gamma)],\pi).$

Iz formule za duljinu luka krivulje slijedi da je duljina luka od točke $r(a)=\pi(0)$ do točke $S=\pi(s)=r(t)$ dana formulom

$$s(t)=\int_a^t \vert\vec{r}\,'(\tau)\vert\,d\tau,$$

tako da je

$$r(t)=\pi\left(\int_a^t \vert\vec{r}\,'(\tau)\vert\,d\tau \right)=\pi(s(t)),$$

$$\vec{r}\,(t)=\vec{\pi}\,(s(t)).$$

Iz ove druge formule slijedi

$$\vec{r}\,'(t)=\vec{\pi}\,'(s)\,s'(t)=\vec{\pi}\,'(s)\,\vert\vec{r}\,'(t)\vert.$$

Dakle, $\vec{\pi}\,'(s)=\frac{\vec{r}\,'(t)}{\vert\vec{r}\,'(t)\vert}$ i to je jedinični vektor u smjeru tangente.

Definicija 30   Vektor $\vec{\pi}\,'(s)=\frac{\vec{r}\,'(t)}{\vert\vec{r}\,'(t)\vert}$ se zove jedinični vektor tangente i označava s $\vec{T}(s).$

Primjer 3.18   Nađimo prirodnu parametrizaciju luka kružnice radiusa $a$ u prvom kvadrantu.

Rješenje.

$$% latex2html id marker 40334\begin{cases} x(t) = a\,\cos t, & \\ y(t) = a\,\sin t, & \end{cases}\qquad t\in [0,\pi/2],$$

$$s(t)=\int_0^t \sqrt{a^2\sin^2\tau+a^2\cos^2\tau}\,d\tau=a\,t,$$

pa je $t=s/a,$ i prirodna parametrizacija je

$$% latex2html id marker 40340\begin{cases} x(s) = a\,\cos ... ... = a\,\sin \frac{s}{a}, & \end{cases}\qquad s\in [0,a\,\pi/2].$$

Primjer 3.19   Kako treba izrezati dva jednaka pravokutna lima na jednom rubu, da bi savijeni u valjke i spojeni činili oluk pod pravim kutem?

Rješenje. Dovoljno je riješiti problem za jedan lim. Neka stranica koju želimo rezati ima duljinu $\ell.$ Poprečni presjek takvog lima nakon savijanja u valjak je kružnica polumjera $r=\frac{\ell}{2\,\pi}.$ Pretpostavimo da je jedan valjak postavljen tako da mu je os simetrije os $z,$ a drugi tako da mu je os simetrije os $y.$ Ako se sijeku pod pravim kutem, onda se presjek nalazi u ravnini čija jednadžba je $y+z=0.$ Tako je krivulja presjeka dana kao presjek dvije plohe, i to

$$x^2+y^2 = \frac{\ell^2}{4\,\pi^2},$$

$$y+z = 0.$$

Da bismo našli kako treba rezati lim, treba poprečni presjek $x^2+y^2=\frac{\ell^2}{4\,\pi^2}$ parametrizirati prirodno i zatim ustanoviti kako $z$ ovisi o prirodnom parametru. Prirodna parametrizacija je

$$x(s) = \frac{\ell}{2\,\pi}\,\cos \frac{2\,\pi\,s}{\ell},$$

$$y(s) = \frac{\ell}{2\,\pi}\,\sin \frac{2\,\pi\,s}{\ell},$$

$$z(s) = -y=-\frac{\ell}{2\,\pi}\,\sin \frac{2\,\pi\,s}{\ell}, \hspace{2cm} s\in [0,\ell].$$

Iz formule za $z$ se vidi da lim treba rezati tako da gornji rub predstavlja sinusoidu, čiji je period

$$\tau = \frac{2\,\pi}{\frac{2\,\pi}{\ell}} = \ell.$$

Zakrivljenost i torzija

Vektorska funkcija $\vec{T}(s)$ ima jedinične vektore kao slike, pa je

$$\vec{T}(s)\cdot \vec{T}(s)=1,\hspace{1cm}\forall s,$$

i odatle

$$\frac{d}{ds}(\vec{T}(s)\cdot \vec{T}(s))= 2\frac{d}{ds}(\vec{T}(s))\cdot \vec{T}(s)=0.$$

Tako je vektor $\frac{d\vec{T}(s)}{ds}=\vec{T}\,'(s)$ okomit na $\vec{T}(s).$

Definicija 31   Vektor

$$\vec{N}(s)=\frac{\vec{T}\,'(s)}{\vert\vec{T}\,'(s)\vert}$$

zovemo jediničnim vektorom normale, a broj $\vert\vec{T}\,'(s)\vert=\kappa(s)$ zakrivljenošću krivulje u točki $\pi(s).$ Broj $R(s)=\frac{1}{\kappa(s)}$ zovemo radiusom zakrivljenosti

Za proizvoljnu vrijednost prirodnog parametra $s$ definiramo

$$\vec{B}(s)=\vec{T}(s)\times \vec{N}(s).$$

Budući da su vektori $\vec{T}(s)$ i $\vec{N}(s)$ jedinični i međusobno okomiti, vektor $\vec{B}(s)$ je jediničan, i okomit na $\vec{T}(s)$ i $\vec{N}(s).$

Definicija 32   Vektor $\vec{B}(s)$ zovemo jediničnim vektorom binormale.

Vektori $\vec{T}(s),\vec{N}(s),\vec{B}(s)$ čine desnu ortonormiranu bazu u svakoj točki krivulje, no kako idemo po krivulji, ona rotira.

Kao i ranije zaključujemo da je $\frac{d\vec{B}(s)}{ds}=\vec{B}\,'(s)$ okomit na $\vec{B}(s).$ Zatim,

$$\vec{B}\,'(s)=\vec{T}\,'(s)\times \vec{N}(s)+\vec{T}(s)\times \vec{N}\,'(s)$$

$$=\kappa(s) \vec{N}(s)\times \vec{N}(s)+\vec{T}(s)\times \vec{N}\,'(s)=\vec{T}(s)\times \vec{N}\,'(s).$$

Odatle izlazi da je $\vec{B}\,'(s)$ okomit i na $\vec{T}(s).$ Tako je

$$\vec{B}\,'(s)=-\tau(s)\vec{N}(s).$$

Definicija 33   Broj $\tau(s)$ zovemo torzijom krivulje u točki $\pi(s).$

Prirodna parametrizacija ima značajnu teorijsku važnost, no u praktičnom računanju može biti komplicirano s njom računati. Zato su nam važne formule, koje koriste bilo koju parametrizaciju. Tako se za zakrivljenost može izvesti formula

$$\kappa=\frac{\vert\vec{r}\,'(t)\times \vec{r}\,''(t)\vert}{\vert\vec{r}\,'(t)\vert^3}.$$

Doista, iz

$$\frac{d\vec{r}}{ds} = \vec{T},\qquad \frac{d^2\vec{r}}{ds^2} = \kappa{}\vec{N},$$

slijedi

$$\frac{d\vec{r}}{ds}\times\frac{d^2\vec{r}}{ds^2} = \kappa{}\vec{B},$$

odnosno

$$\kappa{} = \left\vert\frac{d\vec{r}}{ds}\times\frac{d^2\vec{r}}{ds^2}\right\vert.$$ (3.1)

Ako je krivulja parametrizirana nekim parametrom $t,$ onda je

$$\frac{d\vec{r}}{ds} = \frac{d\vec{r}}{dt}\,\frac{dt}{ds},\quad \f... ...r}}{dt^2}\,\left(\frac{dt}{ds}\right)^2 + \frac{d\vec{r}}{dt}\,\frac{d^2t}{ds}.$$

Odatle

$$\left\vert\frac{d\vec{r}}{ds}\times\frac{d^2\vec{r}}{ds^2}\right\... ...\times\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}\right\vert\,\left\vert\frac{dt}{ds}\right\vert^3.$$

No,

$$\frac{dt}{ds} = \frac{1}{\frac{ds}{dt}} = \frac{1}{\vert\vec{r}\,'(t)\vert}.$$

Ako ovo uvrstimo u (3.1), dobivamo upravo formulu za zakrivljenost pomoću proizvoljnog parametra.

Na sličan način se može izvesti formula za torziju

$$\tau=\frac{(\vec{r}\,'(t)\times \vec{r}\,''(t))\cdot \vec{r}\,'''(t)} {\vert\vec{r}\,'(t)\times \vec{r}\,''(t)\vert^2}.$$

Primjer 3.20   Naći zakrivljenost ravninske krivulje koja je graf funkcije $f.$

Rješenje. Za parametar možemo uzeti $x,$ pa imamo (v. sliku 3.2.3)

$$\vec{r}(x) = x\,\vec{\imath{}} + f(x)\,\vec{\jmath{}}.$$

Odatle

$$\vec{r}\,'(x) = \vec{\imath{}} + f'(x)\,\vec{\jmath{}},\quad \vec{r}\,''(x) = f''(x)\,\vec{\jmath{}},$$

$$\vec{r}\,'(x)\times\vec{r}\,''(x) = f''(x)\,\vec{k},\quad \vert\vec{r}\,'(x)\times\vec{r}\,''(x)\vert = \vert f''(x)\vert,$$

$$\vert\vec{r}\,'(x)\vert^3 = \left(\sqrt{1+(f'(x))^2}\right)^3,$$

pa je formula za zakrivljenost

$$\kappa{}(x) = \frac{\vert f''(x)\vert}{\sqrt{\left(1+(f'(x))^2\right)^3}}.$$

Primjer 3.21   Naći zakrivljenost helikoide.

Rješenje.

$$\vec{r}\,'(t)=-a\,\sin t\,\vec{\imath}+a\,\cos t\,\vec{\jmath}+b\,\vec{k},$$

$$\vec{r}\,''(t)=-a\,\cos t\,\vec{\imath}-a\,\sin t\,\vec{\jmath},$$

$$\vert\vec{r}\,'(t)\times \vec{r}\,''(t)\vert=a\,\sqrt{a^2+b^2},\;\; \vert\vec{r}\,'(t)\vert=\sqrt{a^2+b^2},$$

pa je

$$\kappa=\frac{a}{a^2+b^2}.$$

Primjer 3.22   Brzina i akceleracija duž prostorne krivulje.

Rješenje. Ako se po krivulji giba materijalna točka, i parametar $t$ predstavlja vrijeme, onda je brzina

$$\vec{r}\,'(t)= \frac{d\,\vec{r}\,(t)}{d\,t} = \frac{d\,\vec{\pi}\,(s)}{d\,s}\, \frac{d\,s}{d\,t} = \frac{d\,s}{d\,t}\,\vec{T}(s).$$

Vektor $\vec{T}(s)$ je jediničan i on daje smjer brzine, dok je $\frac{d\,s}{d\,t}= v(t)$ iznos brzine.

Akceleracija je derivacija brzine, pa je

$$\vec{r}\,''(t) = \frac{d\,\vec{r}\,'(t)}{d\,t} = \frac{d}{d\,t}\l... ...\,\vec{T}(s) + \frac{d\,s}{d\,t}\,\frac{d\,\vec{T}(s)}{d\,s}\,\frac{d\,s}{d\,t}$$

$$=\frac{d^2s}{d\,t^2}\,\vec{T}(s) + \left(\frac{d\,s}{d\,t}\right)^2\,\kappa(t)\,\vec{N}(s).$$

Dakle, akceleracija se rastavlja na komponentu u smjeru tangente

$$\frac{d^2s}{d\,t^2} = \frac{d\,v(t)}{d\,t} = a(t),$$

koja predstavlja linijsku akceleraciju, i na komponentu u smjeru normale

$$\left(\frac{d\,s}{d\,t}\right)^2\,\kappa(t) = \left(\frac{d\,s}{d\,t}\right)^2\,\frac{1}{R(t)} = \frac{v^2(t)}{R(t)},$$

gdje je $R(t)$ radius zakrivljenosti. To je ustvari centripetalna akceleracija, koja u slučaju jednolikog gibanja po kružnici iznosi

$$\frac{v^2}{r},$$

jer je u tom slučaju $R(t)=r$ radius kružnice, a $v(t)= v.$

Primjer 3.23   Naći torziju helikoide.

Rješenje.

$$\vec{r}\,'''(t)=a\,\sin t\,\vec{\imath}-a\,\cos t\,\vec{\jmath},$$

$$% latex2html id marker 40526 (\vec{r}\,'(t)\times \vec{r}\,'... ...0 \\ a\,\sin t & -a\,\cos t & 0 \end{array}\right\vert=a^2b,$$

$$\vert\vec{r}\,'(t)\times \vec{r}\,''(t)\vert^2=a^2(a^2+b^2),$$

pa je tako

$$\tau=\frac{b}{a^2+b^2}.$$

Primjer 3.24   Torzija ravninske krivulje je 0.

Rješenje. Doista,

$$% latex2html id marker 40533 (\vec{r}\,'(t)\times \vec{r}\,'... ...'(t) & 0 \\ x'''(t) & y'''(t) & 0 \end{array}\right\vert=0.$$

Trobrid pratilac

Definicija 34   Vektori $\vec{T}(s),\vec{N}(s),\vec{B}(s)$ čine desnu ortonormiranu bazu i zovu se trobrid pratilac krivulje. Ravnine, koje oni razapinju su važne za danu krivulju i zovu se kako slijedi

1.

normalna ravnina razapeta s $\vec{N}(s),\vec{B}(s),$ a vektor normale je $\vec{T}(s).$

2.

rektifikacijska ravnina razapeta s $\vec{B}(s),\vec{T}(s),$ a vektor normale je $\vec{N}(s).$

3.

oskulacijska ravnina razapeta s $\vec{T}(s),\vec{N}(s),$ a vektor normale je $\vec{B}(s).$

Bilo da želimo naći vektore $\vec{T}(s),\vec{N}(s),\vec{B}(s)$ ili jednadžbe ovih ravnina, dovoljno je naći vektore u smjeru vektora trobrida pratioca, jer je nakon toga lako normirati ih.

a)

$$\vec{T}(s)=\frac{1}{\vert\vec{r}\,'(t)\vert}\,\vec{r}\,'(t),$$

pa je $\vec{r}\,'(t)$ vektor u smjeru vektora $\vec{T}(s).$

b) Zatim

$$\vec{r}\,'(t)=\vert\vec{r}\,'(t)\vert\,\vec{T}(s),$$

$$\vec{r}\,''(t) = \alpha\,\vec{T}(s) + \vert\vec{r}\,'(t)\vert\,\f... ...T}(s)}{dt},\qquad \alpha = \frac{ds}{dt}\,\left(\vert\vec{r}\,'(t)\vert\right),$$

$$\frac{d\vec{T}(s)}{dt} = \frac{d\vec{T}(s)}{ds}\,\frac{ds}{dt} = ... ...\frac{ds}{dt} = \left\vert\vec{T},'(s)\right\vert\,\vert\vec{r}\,'(t)\vert > 0.$$

Dakle

$$\vec{r}\,''(t)=\alpha\,\vec{T}(s)+\gamma\,\vec{N}(s), \qquad \gamma = \beta\,\vert\vec{r}\,'(t)\vert > 0,$$

$$\vec{r}\,'(t)\times \vec{r}\,''(t)=\delta\,\vec{B}(s), \qquad \delta = \gamma\,\vert\vec{r}\,'(t)\vert > 0.$$

Tako je $\vec{r}\,'(t)\times \vec{r}\,''(t)$ vektor u smjeru vektora $\vec{B}(s).$

c) Konačno,

$$(\vec{r}\,'(t)\times \vec{r}\,''(t))\times \vec{r}\,'(t) = \delt... ...ec{T}(s) = \eta\,\vec{N}(s), \qquad \eta = \delta\,\vert\vec{r}\,'(t)\vert > 0,$$

pa je $(\vec{r}\,'(t)\times \vec{r}\,''(t))\times \vec{r}\,'(t)$ vektor u smjeru vektora $\vec{N}(s).$

Primjer 3.25   Naći normalnu, rektifikacijsku i oskulacijsku ravninu na helikoidu u točki $t=\frac{\pi}{4}.$

Rješenje.

$$T=(a\frac{\sqrt{2}}{2},a\frac{\sqrt{2}}{2},b\frac{\pi}{4}).$$

a)

$$\vec{r}\,'(\frac{\pi}{4})=-a\frac{\sqrt{2}}{2}\,\vec{\imath}+ a\frac{\sqrt{2}}{2}\,\vec{\jmath}+b\,\vec{k},$$

pa je jednadžba normalne ravnine

$${\frac{-\left( {b^2}\,\pi \right) }{4}} + {\frac{a\,\left( -x + y \right) }{{\sqrt{2}}}} + b\,z=0.$$

b)

$$\vec{r}\,''(\frac{\pi}{4})=-a\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,\vec{\imath}- a\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,\vec{\jmath},$$

$$\vec{r}\,'(t)\times \vec{r}\,''(t)=a\,b\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,\vec{\imath}- a\,b\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,\vec{\jmath}+a^2\,\vec{k},$$

pa je jednadžba oskulacijske ravnine

$$2\,{\sqrt{2}}\,b\, \left( -x + y \right) + a\,\left( b\,\pi - 4\,z \right)=0.$$

c)

$$(\vec{r}\,'(t)\times \vec{r}\,''(t))\times \vec{r}\,'(t)= -(a\,b^... ...rac{\sqrt{2}}{2}\,\vec{\imath}- (a\,b^2+a^3)\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,\vec{\jmath},$$

pa je jednadžba rektifikacijske ravnine

$$2\,a - {\sqrt{2}}\,\left( x + y \right)=0.$$

Pitanja

1.

Objasnite pojam parametrizacija krivulje. Koju parametrizaciju zovemo prirodnom?

2.

Kako se definiraju zakrivljenost i torzija glatke krivulje? Kojim formulama se računaju?

3.

Što je trobrid pratilac?

4.

Definirajte oskulacijsku, normalnu i rektifikacijsku ravninu. Kako se mogu naći njihove jednadžbe?

Riješeni zadaci

1.

Što predstavlja helikoida kad se valjak, na koji je namotana razreže po jednoj izvodnici i izravna?

Rješenje. Parametrizacija helikoide je

$$\vec{r}\,(t)=a\,\cos t\,\vec{\imath}+a\,\sin t\,\vec{\jmath}+b\,t\,\vec{k}, \hspace{1cm} t\in [0,2\pi]$$

Da bismo riješili zadatak, treba prijeći na prirodni parametar poprečnog presjeka $\vec{r}\,(t)=a\,\cos t\,\vec{\imath}+a\,\sin t\,\vec{\jmath},$ i ustanoviti kako $z$ ovisi o njemu. Lako se izračuna da je $s=a\,t,$ pa je parametrizacija helikoide tim parametrom

$$\vec{r}\,(s)=a\,\cos \frac{s}{a}\,\vec{\imath}+a\,\sin \frac{s}{a}\,\vec{\jmath}+b\,\frac{s}{a}\,\vec{k}, \hspace{1cm} t\in [0,2\,a\,\pi].$$

Odatle imamo

$$z(s)=b\,\frac{s}{a},$$

tj. helikoida, kad se razmota, postaje pravac s koeficijentom smjera $\frac{b}{a}.$

2.

Prirodno parametrizirati prvi zavoj helikoide.

Rješenje. Koristeći parametrizaciju iz zadatka 1 imamo

$$s = \int_0^t \sqrt{x'(\tau{})^2 + y'(\tau{})^2 + z'(\tau{})^2}\,d\tau{} = \left( {a^2} + {b^2} \right) \,t.$$

Odatle

$$t = \frac{s}{{a^2} + {b^2}},\qquad \ell(\Gamma{}) = \left.s\right\vert _{t=2\pi} = 2\,\left( {a^2} + {b^2} \right) \,\pi.$$

Tako je prirodna parametrizacija prvog zavoja helikoide

$$% latex2html id marker 40626\begin{cases} \displaystyle x(... ...& \end{cases}\qquad s\in [0,2\left( {a^2} + {b^2} \right)\pi].$$

3.

Naći oskulacijsku, normalnu i rektifikacijsku ravninu Vivianijeve krivulje u točki $P=\left(\frac{R}{2},\cdot{},\cdot{}\right)$.

Rješenje. Parametrizacija Vivianijeve krivulje glasi (v. zadatak 2)

$$% latex2html id marker 40630\begin{cases} x(\vartheta)=R\... ...rtheta, & \end{cases} \qquad \vartheta{}\in [0,\frac{\pi}{2}].$$

Iz $x(\vartheta)=\frac{R}{2}$ slijedi $\vartheta{}=\frac{\pi}{4},$ pa je $P=(\frac{R}{2},\frac{R}{2},\frac{R\sqrt{2}}{2}).$

Imamo

$$\vec{r}\,'(\vartheta) = 2\,R\,\cos \vartheta\, \sin \vartheta\,\v... ...} - R\,{{\sin^2 \vartheta}} \right)\,\vec{\jmath} - R\,\sin \vartheta\,\vec{k},$$

$$\vec{r}\,''(\vartheta) = 2\,R\,\left( {{\cos^2 \vartheta}} - {{\s... ...\,R\,\cos \vartheta\,\sin \vartheta\,\vec{\jmath} - R\,\cos \vartheta\,\vec{k},$$

pa je

$$\vec{T} \sim 2\,R\,\cos \vartheta\, \sin \vartheta\,\vec{\imath} ... ...} - R\,{{\sin^2 \vartheta}} \right)\,\vec{\jmath} - R\,\sin \vartheta\,\vec{k},$$

$$\vec{N} \sim - \frac{R^3}{4}\,\left( 3 - 12\,\cos 2\vartheta + \c... ...heta + \sin 4\vartheta \right)\,\vec{\jmath} - {R^3}\,\cos \vartheta \,\vec{k},$$

$$\vec{B} \sim {R^2}\,\cos \vartheta\,\left( -2 + \cos 2\vartheta \... ...\vec{\imath} + 2\,{R^2}\,{{\sin^3 \vartheta}}\,\vec{\jmath} -2\,{R^2}\,\vec{k}.$$

Skalarni produkti ovih vektora, uzetih u točki $P,$ s vektorom

$$\left( {\frac{-R}{2}} + x \right)\,\vec{\imath} + \left( {\frac{-... ...+ y \right)\,\vec{\jmath} + \left( -{\frac{R}{{\sqrt{2}}}} + z \right)\,\vec{k}$$

izjednačeni s nulom daju tražene ravnine. Tako je jednadžba oskulacijske ravnine

$$5\,{\sqrt{2}}\,R - 4\,{\sqrt{2}}\,x + 2\,{\sqrt{2}}\,y - 8\,z = 0,$$

normalne ravnine

$$-2\,R + x + y + {\sqrt{2}}\,z = 0,$$

rektifikacijske ravnine

$$9\,R - 2\,\left( x + 6\,y + {\sqrt{2}}\,z \right) = 0.$$