Vektorske funkcije. Krivulje

Pojam vektorske funkcije jedne varijable. Krivulje

Podsjetimo se da $X_O(E),X_O(M),X_O(p)$ predstavlja vektorski prostor svih radijvektora s početkom u $O$ u prostoru $E,$ ravnini $M,$ na pravcu $p.$ (v. 8.3)

Definicija 21   Neka je $I$ interval u $R.$ Funkciju $\vec{r}:I\rightarrow X_O(E)$ zovemo vektorskom funkcijom jedne (realne) varijable.

U Kartezijevom pravokutnom koordinatnom sustavu u prostoru možemo pisati

$$\vec{r}\,(t)=x(t)\,\vec{\imath}+y(t)\,\vec{\jmath}+z(t)\,\vec{k}, \hspace{1cm} t\in I.$$

Tako su jednom vektorskom funkcijom zadane tri skalarne funkcije $x,y,z.$ One se zovu skalarne komponente vektorske funkcije $\vec{r}.$

Obzirom na identifikaciju radijvektora, njegovog vrha i uređene trojke realnih brojeva, uz funkciju $\vec{r}$ možemo promatrati i funkciju $r:I\rightarrow R^3$

$$r(t)=(x(t),y(t),z(t)),\hspace{1cm} t\in I.$$

Primjer 3.1   Vektorska funkcija

$$\vec{r}\,(t)=\vec{a}= a_1\,\vec{\imath}+ a_2\,\vec{\jmath}+ a_3\,\vec{k}, \hspace{1cm} t\in I$$

je konstanta. Ma kakav bio $t$ njezina vrijednost je uvijek vektor $\vec{a}.$

Primjer 3.2   Vektorska funkcija

$$\vec{r}\,(t)=t\,\vec{\imath}+ t^2\,\vec{\jmath}, \hspace{1cm} t\in R$$

je zapravo na drugi način napisana funkcija $f(x)=x^2,$ jer je

$$r(t)=(t,t^2), \hspace{1cm} t\in R,$$

tj. $x=t,$ a $y=t^2=x^2.$

Primjer 3.3   Vektorska funkcija

$$\vec{r}\,(t)=a\,\cos t\,\vec{\imath}+a\,\sin t\,\vec{\jmath}+b\,t\,\vec{k}, \hspace{1cm} t\in R$$

ima kao vrijednosti radijvektore, čiji vrhovi opisuju spiralu u prostoru.

Definicija 22   Neka je $I$ interval u $R.$ Za funkciju $\vec{r}:I\rightarrow X_O(E)$ kažemo da je neprekidna u točki $t_0\in I$ ako $\forall \varepsilon >0$ postoji $\delta >0$ tako da

$$(\vert t-t_0\vert<\delta)\Rightarrow(\vert\vec{r}\,(t)-\vec{r}\,(t_0)\vert<\varepsilon).$$

Ako je funkcija $\vec{r}$ neprekidna u svakoj točki iz $I,$ onda kažemo da je neprekidna na $I$. U protivnom kažemo da ima prekid na $I$.

Slika 3.1: Neprekidna i prekidna vektorska funkcija.

Podsjetimo se

$$\vert\vec{r}\,(t)-\vec{r}\,(t_0)\vert=\sqrt{(x(t)-x(t_0))^2+ (y(t)-y(t_0))^2+ (z(t)-z(t_0))^2},$$

pa iz $\vert\vec{r}\,(t)-\vec{r}\,(t_0)\vert<\varepsilon$ slijedi

$$\vert x(t)-x(t_0)\vert<\varepsilon,\;\;\; \vert y(t)-y(t_0)\vert<\varepsilon,\;\;\; \vert z(t)-z(t_0)\vert<\varepsilon.$$

To znači da neprekidnost vektorske funkcije povlači neprekidnost svake od njezinih skalarnih komponenti.

Obratno, ako su funkcije $x,y,z$ neprekidne u $t_0\in I,$ onda $\forall \varepsilon >0$ postoje $\delta_1>0$ takav da je

$$(\vert t-t_0\vert<\delta)\Rightarrow(\vert x(t)-x(t_0)\vert<\varepsilon),$$

$\delta_2>0$ takav da je

$$(\vert t-t_0\vert<\delta)\Rightarrow(\vert y(t)-y(t_0)\vert<\varepsilon),$$

$\delta_3 >0$ takav da je

$$(\vert t-t_0\vert<\delta)\Rightarrow(\vert z(t)-z(t_0)\vert<\varepsilon).$$

Za $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2,\delta_3\}$ vrijede sve tri nejednakosti, pa je

$$\vert\vec{r}\,(t)-\vec{r}\,(t_0)\vert=\sqrt{(x(t)-x(t_0))^2+ (y(t)-y(t_0))^2+ (z(t)-z(t_0))^2}<\varepsilon\,\sqrt{3}.$$

To pokazuje da iz neprekidnosti skalarnih komponenti slijedi neprekidnost vektorske funkcije.

Navedimo sada bez dokaza neka svojstva neprekidnih vektorskih funkcija.

Teorem 14   Neka su $\vec{r}$ i $\vec{s}$ vektorske funkcije neprekidne u $t_0.$ Tada je

1.

$\vec{r}\pm\vec{s}$ neprekidna u $t_0,$

2.

$\vec{r}\cdot\vec{s}$ neprekidna u $t_0,$

3.

$\vec{r}\times\vec{s}$ neprekidna u $t_0,$

4.

$\lambda\,\vec{r}$ neprekidna u $t_0,$ za $\lambda\in R.$

Definicija 23   Neka je $[a,b]$ segment u $R.$ Za funkciju $\vec{r}:[a,b]\rightarrow X_O(E)$ kažemo da je neprekidna na segmentu $[a,b],$ ako postoji interval $I\supset [a,b]$ i neprekidna vektorska funkcija $\vec{r}^{\,\sharp}:I\rightarrow X_O(E)$ tako da je $\vec{r}\,(t)= \vec{r}^{\,\sharp}(t),\;\forall t\in [a,b].$

Definicija 24   Neka je $\vec{r}:[a,b]\rightarrow X_O(E)$ neprekidna na segmentu $[a,b],$ i neka je

$$\vec{r}\,(t)=x(t)\,\vec{\imath}+y(t)\,\vec{\jmath}+z(t)\,\vec{k}.$$

Skup točaka u prostoru

$$\Gamma=\{(x(t),y(t),z(t));\;t\in [a,b]\}$$

se zove krivulja u prostoru.

Neka je $\vec{r}:[a,b]\rightarrow X_O(M)$ neprekidna na segmentu $[a,b],$ i neka je

$$\vec{r}\,(t)=x(t)\,\vec{\imath}+y(t)\,\vec{\jmath}.$$

Skup točaka u prostoru

$$\Gamma=\{(x(t),y(t));\;t\in [a,b]\}$$

se zove krivulja u ravnini.

Uređeni par $([a,b],\vec{r}\,)$ segmenta $[a,b]$ i vektorske funkcije $\vec{r}$ se zove parametrizacija krivulje $\Gamma {}$.

Primjer 3.4   Helikoida je krivulja parametarski zadana s

$$r(t)=(a\,\cos t,a\,\sin t,b\,t),\hspace{1cm} t\in [0,2\pi],$$

ili

$$\vec{r}\,(t)=a\,\cos t\,\vec{\imath}+a\,\sin t\,\vec{\jmath}+b\,t\,\vec{k}, \hspace{1cm} t\in [0,2\pi].$$

Ovo je zapravo jedan zavoj helikoide. Drugu parametrizaciju možemo dobiti, ako $t$ zamijenimo s $2t,$ a segment s $[0,\pi].$

Definicija 25   Neka je $I$ interval u $R,$ i neka je $\vec{r}$ vektorska funkcija definirana na $I$ osim možda u točki $t_0.$ Kažemo da $\vec{r}$ ima limes $\vec{a}$ u točki $t_0\in I,$ ako $\forall \varepsilon >0$ postoji $\delta >0$ tako da

$$(0<\vert t-t_0\vert<\delta)\Rightarrow(\vert\vec{r}\,(t)-\vec{a}\vert<\varepsilon).$$

U tom slučaju pišemo

$$\lim_{t\rightarrow t_0}\vec{r}\,(t)=\vec{a}.$$

Teorem 15   i) Neka je $\vec{r}$ neprekidna funkcija u točki $t_0\in I.$ Tada $\vec{r}$ ima limes u točki $t_0$ i $\lim_{t \rightarrow t_0} \vec{r}\,(t)=\vec{r}\,(t_0).$

ii) Neka $\vec{r}$ ima limes u točki $t_0$ i neka je $\lim_{t \rightarrow t_0} \vec{r}\,(t)=\vec{r}\,(t_0).$ Tada je $\vec{r}$ neprekidna u točki $t_0.$

Dokaz. i) Ako je $\vec{r}$ neprekidna u točki $t_0,$ onda $\forall \varepsilon >0$ postoji $\delta >0$ tako da

$$(\vert t-t_0\vert<\delta)\Rightarrow(\vert\vec{r}\,(t)-\vec{r}\,(t_0)\vert<\varepsilon),$$

pa pogotovo

$$(0<\vert t-t_0\vert<\delta)\Rightarrow(\vert\vec{r}\,(t)-\vec{r}\,(t_0)\vert<\varepsilon).$$

Odatle slijedi da $\vec{r}$ ima limes u točki $t_0$ i $\lim_{t \rightarrow t_0} \vec{r}\,(t)=\vec{r}\,(t_0).$

ii) Neka $\vec{r}$ ima limes u točki $t_0$ i neka je $\lim_{t \rightarrow t_0} \vec{r}\,(t)=\vec{r}\,(t_0).$ To znači da $\forall \varepsilon >0$ postoji $\delta >0$ tako da

$$(0<\vert t-t_0\vert<\delta)\Rightarrow(\vert\vec{r}\,(t)-\vec{r}\,(t_0)\vert<\varepsilon).$$

Specijalno za $0=\vert t-t_0\vert,$ tj. za $t=t_0$ je $\vert\vec{r}\,(t)-\vec{r}\,(t_0)\vert=0<\varepsilon,$ pa slijedi

$$(\vert t-t_0\vert<\delta)\Rightarrow(\vert\vec{r}\,(t)-\vec{r}\,(t_0)\vert<\varepsilon),$$

tj. funkcija je neprekidna u točki $t_0.$ $\heartsuit$

Svojstva limesa

Teorem 16   Neka funkcije $\vec{r}$ i $\vec{s}$ imaju limese u točki $t_0.$ Tada

1.

$\vec{r}\pm\vec{s}$ ima limes u točki $t_0$ i

$$\lim_{t \rightarrow t_0} (\vec{r}\pm \vec{s}\,)(t)= \lim_{t \rightarrow t_0} \vec{r}\,(t)\pm \lim_{t \rightarrow t_0} \vec{s}\,(t),$$

2.

za $\lambda \in R,$ $\lambda \vec{r}$ ima limes u točki $t_0$ i

$$\lim_{t \rightarrow t_0} (\lambda \vec{r}\,)(t)= \lambda \lim_{t \rightarrow t_0} \vec{r}\,(t),$$

3.

za konstantan $\vec{a}$ funkcija $\vec{a}\,\cdot \vec{r}$ ima limes u točki $t_0$ i

$$\lim_{t \rightarrow t_0} (\vec{a}\,\cdot \vec{r}\,)(t)= \vec{a}\,\cdot \lim_{t \rightarrow t_0} \vec{r}\,(t),$$

4.

$\vec{r}\cdot\vec{s}$ ima limes u točki $t_0$ i

$$\lim_{t \rightarrow t_0} (\vec{r}\cdot\vec{s}\,)(t)= \lim_{t \rightarrow t_0} \vec{r}\,(t)\cdot \lim_{t \rightarrow t_0} \vec{s}\,(t).$$

5.

$\vec{r}\times\vec{s}$ ima limes u točki $t_0$ i

$$\lim_{t \rightarrow t_0} (\vec{r}\times\vec{s}\,)(t)= \lim_{t \rightarrow t_0} \vec{r}\,(t)\times \lim_{t \rightarrow t_0} \vec{s}\,(t).$$

Dokaz. $\,\heartsuit$

Derivacija i integral vektorske funkcije

Derivacija

Definicija 26   Neka je $I$ interval u $R.$ Za funkciju $\vec{r}:I\rightarrow X_O(E)$ kažemo da je derivabilna u točki $t_0\in I,$ ako postoji vektor

$$\vec{r}\,'(t_0)=\lim_{t\rightarrow t_0}\frac{\vec{r}\,(t)- \vec{r}\,(t_0)}{t-t_0},$$

i taj vektor zovemo derivacijom funkcije $\vec{r}$ u točki $t_0\in I.$

Kažemo da $\vec{r}$ ima derivaciju, u oznaci $\vec{r}\,',$ ako je derivabilna u svakoj točki, i pri tom $\vec{r}\,':t\mapsto \vec{r}\,'(t).$

Teorem 17   Neka funkcije $\vec{r}$ i $\vec{s}$ imaju derivacije u točki $t.$ Tada

1.

$\vec{r}\pm\vec{s}$ ima derivaciju u točki $t$ i

$$(\vec{r}\pm \vec{s}\,)'(t)=\vec{r}\,'(t)\pm \vec{s}\,'(t),$$

2.

$\lambda\,\vec{r}$ ima derivaciju u točki $t$ i

$$(\lambda \vec{r}\,)'(t)=\lambda\,\vec{r}\,'(t),$$

3.

$\vec{r}\cdot\vec{s}$ ima derivaciju u točki $t$ i

$$(\vec{r}\cdot\vec{s}\,)'(t)=\vec{r}\,'(t)\cdot \vec{s}\,(t) +\vec{r}\,(t)\cdot \vec{s}\,'(t).$$

4.

$\vec{r}\times\vec{s}$ ima derivaciju u točki $t$ i

$$(\vec{r}\times\vec{s}\,)'(t)=\vec{r}\,'(t)\times \vec{s}\,(t)+ \vec{r}\,(t)\times \vec{s}\,'(t).$$

Dokaz. $\,\heartsuit$

Krivulja u ravnini može poprimiti i ovako neobične oblike kao na sljedećim slikama.

, , ,

, , , ,...

Nastavljajući kao u ovom nizu mogli bismo točkama krivulje ispuniti cijeli kvadrat. Naravno, skup točaka koje ispunjavaju kvadrat u ravnini ne možemo smatrati krivuljom u uobičajenom smislu. Da izbjegnemo takve slučajeve, moramo na funkciju $\vec{r}$ naložiti još neke uvjete. Tako imamo sljedeću definiciju.

Definicija 27   Za krivulju $\Gamma {}$ s parametrizacijom $([a,b],\vec{r}\,)$ kažemo da je Jordanov luk ili jednostavna glatka krivulja, ako vrijedi

1.

$\vec{r}$ je injekcija, tj. $t_1\neq t_2\Rightarrow \vec{r}\,(t_1)\neq\vec{r}\,(t_2),$

2.

$\vec{r}$ je funkcija klase $C^1([a,b]),$ tj. ima neprekidnu prvu derivaciju,

3.

$\vec{r}\,'(t)\neq \vec{0}$ za svaki $t\in [a,b].$

Za krivulju $\Gamma {}$ s parametrizacijom $([a,b],\vec{r}\,)$ kažemo da je zatvoren Jordanov luk ili zatvorena jednostavna glatka krivulja, ako vrijede ova tri svojstva s jedinom iznimkom da je

$$\vec{r}\,(a) = \vec{r}\,(b).$$

Za krivulju $\Gamma {}$ s parametrizacijom $([a,b],\vec{r}\,)$ kažemo da je po dijelovima Jordanov luk ili po dijelovima jednostavna glatka krivulja, ako se segment $[a,b]$ može podijeliti na konačno mnogo podsegmenata točkama

$$a=t_0<t_1<t_2<\ldots <t_{n-1}<t_n=b$$

tako, da je svaka od krivulja $([t_{i-1},t_i],\vec{r}\,),$ za $i=1,2,\ldots,n$ jednostavna glatka krivulja.

Slika 3.2: a) Jednostavna glatka krivulja. b) Zatvorena jednostavna glatka krivulja. c) Po dijelovima jednostavna glatka krivulja.

Primjer 3.5   Helikoida je Jordanov luk.

Rješenje. Zaista

1.

$\vec{r}\,(t_1)=\vec{r}\,(t_2)\Rightarrow b\,t_1=b\,t_2\Rightarrow t_1=t_2.$

2.

$\vec{r}$ je očito klase $C^1([0,2\pi]).$

3.

$\vec{r}\,'(t)=-a\,\sin t\,\vec{\imath}+ a\,\cos t\,\vec{\jmath}+ b\,\vec{k},$ pa je

$$\vert\vec{r}\,'(t)\vert^2=a^2\sin^2t+a^2\cos^2t+b^2=a^2+b^2>0.$$

Tangenta

Uočimo dvije točke $C=r(c)=(x(c),y(c),z(c))$ i $T=r(t)=(x(t),y(t),z(t))$ na krivulji $\Gamma.$ Njima su određeni vektori

$$\vec{r}\,(c)=x(c)\,\vec{\imath}+y(c)\,\vec{\jmath}+z(c)\,\vec{k},$$

$$\vec{r}\,(t)=x(t)\,\vec{\imath}+y(t)\,\vec{\jmath}+z(t)\,\vec{k}.$$

Vektor $\vec{r}\,(t)-\vec{r}\,(c)$ je vektor one sekante krivulje, koja prolazi točkama $C$ i $T.$ Uočimo

$$\frac{\vec{r}\,(t)-\vec{r}\,(c)}{t-c}=\frac{x(t)-x(c)}{t-c}\,\vec{\imath}+ \frac{y(t)-y(c)}{t-c}\,\vec{\jmath}+\frac{z(t)-z(c)}{t-c}\,\vec{k},$$

i pustimo da točka $T$ ide prema $C,$ tj. da $t$ teži prema $c.$ Pretpostavimo da je krivulja $\Gamma {}$ Jordanov luk. U tom slučaju postoje

$$\lim_{t \rightarrow c} \frac{x(t)-x(c)}{t-c},\;\; \lim_{t \rightarrow c} \frac{y(t)-y(c)}{t-c},\;\; \lim_{t \rightarrow c} \frac{z(t)-z(c)}{t-c},$$

pa prema tome i

$$\lim_{t \rightarrow c} \frac{\vec{r}\,(t)-\vec{r}\,(c)}{t-c}=\vec{r}\,'(c)= x'(c)\,\vec{\imath}+y'(c)\,\vec{\jmath}+z'(c)\,\vec{k}.$$

Tom prilikom sekanta prelazi u tangentu, i vektor $\vec{r}\,'(c)$ je vektor smjera tangente na krivulju $\Gamma {}$ u točki $C=r(c).$

Jednadžba tangente sada slijedi iz jednadžbe pravca kroz danu točku sa zadanim vektorom smjera.

$$\frac{x-x(c)}{x'(c)}=\frac{y-y(c)}{y'(c)}=\frac{z-z(c)}{z'(c)}.$$

Primjer 3.6   Nađimo tangentu na helikoidu u točki, koja odgovara vrijednosti parametra $t=\frac{\pi}{4}.$

Rješenje. Točka je $T=(a\frac{\sqrt{2}}{2}, a\frac{\sqrt{2}}{2}, b\frac{\pi}{4}).$

$$\vec{r}\,'(t)=-a\,\sin t\,\vec{\imath}+a\,\cos t\,\vec{\jmath}+b\,\vec{k},$$

$$\vec{r}\,'(\frac{\pi}{4})=-a\frac{\sqrt{2}}{2}\,\vec{\imath}+ a\frac{\sqrt{2}}{2}\,\vec{\jmath}+b\,\vec{k},$$

pa je jednadžba tangente

$$\frac{x-a\frac{\sqrt{2}}{2}}{-a\frac{\sqrt{2}}{2}}= \frac{y-a\frac{\sqrt{2}}{2}}{a\frac{\sqrt{2}}{2}}= \frac{z-b\frac{\pi}{4}}{b}.$$

Integral

Definicija 28   Za funkciju $\vec{r}:[a,b]\rightarrow X_O(E)$

$$\vec{r}\,(t)=x(t)\,\vec{\imath}+y(t)\,\vec{\jmath}+z(t)\,\vec{k}$$

kažemo da je integrabilna na segmentu [a,b], ako su skalarne funkcije $x(t),y(t),z(t)$ integrabilne na $[a,b],$ i tada definiramo

$$\int_a^b \vec{r}\,(t)\,dt=\int_a^b x(t)\,dt\,\vec{\imath}+\int_a^b y(t)\,dt\,\vec{\jmath}+\int_a^b z(t)\,dt\,\vec{k}.$$

Svojstva integrala.

1.

$\int_a^b \left( \alpha\,\vec{r}\,(t) + \beta\,\vec{s}\,(t)\right) \,dt= \alpha\,\int_a^b \vec{r}\,(t)\,dt + \beta\,\int_a^b \vec{s}\,(t)\,dt .$

2.

$\int_a^b \vec{r}\,(t) \,dt= \int_a^c \vec{r}\,(t)\,dt + \int_c^b \vec{r}\,(t)\,dt .$

3.

Ako je $\vec{r}$ neprekidna, i $\vec{s}$ njezina primitivna, tj. vektorska funkcija takva da je $\vec{s}\,'=\vec{r},$ onda je

$$\int_a^b \vec{r}\,(t) \,dt= \vec{s}\,(b)-\vec{s}\,(a).$$

Pitanja

1.

Objasnite pojam vektorske funkcije jedne realne varijable.

2.

Kako se za takvu funkciju definiraju pojmovi neprekidnost u točki, neprekidnost na intervalu, neprekidnost na segmentu?

3.

Koja svojstva imaju neprekidne vektorske funkcije?

4.

Kako se definira limes vektorske funkcije, i koja svojstva ima?

5.

Definirajte derivaciju vektorske funkcije u točki, derivaciju, i navedite njezina svojstva (pravila deriviranja).

6.

Što je krivulja, a što je glatka krivulja ili Jordanov luk?

7.

Kako se definira integral vektorske funkcije?

8.

Koje su njegova svojstva?

9.

Što je primitivna funkcija vektorske funkcije?

Riješeni zadaci

1.

Naći jednadžbu tangente na krivulju $\Gamma {}$ određenu kao presjek ploha $x=z^2$ i $z=y^2$ u točki s ordinatom $y=1.$

Rješenje. Krivulja se može parametrizirati tako da se za parametar uzme $y.$ Tada je

$$\vec{r}\,(y)=y^4\,\vec{\imath}+y\,\vec{\jmath}+y^2\,\vec{k}.$$

Točka tangiranja je $(1,1,1).$

$$\vec{r}\,'(y)=4\,y^3\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2\,y\,\vec{k},$$

$$\vec{r}\,'(1)=4\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2\,\vec{k}.$$

Dakle, jednadžba tangente je

$$\frac{x-1}{4}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{2}.$$

2.

Parametrizirati Vivianijevu krivulju, tj. krivulju koja je određena kao presjek sfere $x^2+y^2+z^2=R^2$ i cilindra $x^2+y^2=R\,x$ u prvom oktantu. (v. sliku 2.14.)

Rješenje. Budući da se krivulja nalazi na sferi, pogodno je prijeći u sferni koordinatni sustav u prostoru.

$$x=r\,\sin \vartheta\,\cos \varphi,\;\; y=r\,\sin \vartheta\,\sin \varphi,\;\; z=r\,\cos \vartheta.$$

Tako jednadžbe sfere i cilindra postaju

$$r=R,\hspace{1cm}\cos\varphi=\sin\vartheta.$$

Kada to uvrstimo u $x,y,z,$ dobivamo

$$x(\vartheta)=R\,\sin^2\vartheta,\;\; y(\vartheta)=R\,\sin\varthet... ...a,\;\; z(\vartheta) =R\,\cos\vartheta, \qquad \vartheta{}\in [0,\frac{\pi}{2}].$$