Krivuljni integral 2. vrste. Greenov teorem

Orijentacija krivulje. Problem rada

Orijentacija krivulje

Neka je $\Gamma {}$ glatka krivulja u prostoru (Jordanov luk). U svakoj točki krivulje postoji tangenta. Orijentirati krivulju $\Gamma {}$ znači u svakoj točki krivulje odabrati jedan od dva moguća jedinična vektora u smjeru tangente.

Ima beskonačno mnogo načina da se krivulja orijentira. Međutim, ako želimo da to pridruživanje bude neprekidno, onda imamo samo dva načina, i to tako da jedinični vektori tangente pokazuju gibanje po krivulji u određenom smjeru, na pr. od $A$ do $B,$ ili u njemu suprotnom smjeru, od $B$ do $A.$

Parametrizacija $([a,b],\vec{r}\,)$ nudi jednu takvu orijentaciju, jer je parametrizacijom potpuno zadan vektor $\frac{\vec{r}\,'(t)}{\vert\vec{r}\,'(t)\vert}$ koji je upravo jedinični vektor tangente na krivulju $\Gamma {}$ u točki $(x(t),y(t),z(t)).$ U daljnjem ćemo pretpostavljati da su parametrizacija i orijentacija u skladu.

Primjer 3.12   Neka je $\Gamma {}$ jedinična kružnica sa središtem u ishodištu. Parametrizacija

$$x(t) = \cos t$$

$$y(t) = \sin t, \hspace{2cm} t\in [0,2\,\pi]$$

daje jednu orijentaciju, dok

$$x(t) = \cos t$$

$$y(t) = -\sin t, \hspace{2cm} t\in [0,2\,\pi]$$

daje suprotnu orijentaciju.

Ako je glatka krivulja $\Gamma {}$ zatvorena i nalazi se u ravnini, onda kažemo da je pozitivno orijentirana, ako vektori tangente nalažu gibanje po krivulji protivno kretanju kazaljke na satu. U suprotnom, kažemo da je krivulja negativno orijentirana.

Orijentiranu krivulju $\Gamma {}$ ćemo zapisivati kao $\overset{\curvearrowright}{\Gamma}.$

Problem rada sile po krivulji

Neka je $\overset{\curvearrowright}{\Gamma}$ glatka orijentirana krivulja u prostoru. Neka je $A$ početna, a $B$ završna točka krivulje. Neka se krivulja nalazi u polju neke sile. To znači da u svakoj točki $P$ krivulje djeluje akceleracija $\vec{a}(P).$ Da bi materijalna točka mase $m$ po krivulji prešla put od početne točke $A$ do završne točke $B,$ potrebno je izvršiti neki rad. Interesira nas koliko iznosi potrebni rad. Da bismo ga izračunali, podijelimo krivulju točkama $A=P_0,P_1, P_2,\ldots,P_n=B$ na manje dijelove. Rad sile duž orijentiranog luka $\overset{\frown}{P_{i-1}P_i}$ je približno

$$\Delta{}W_i\approx m\,\vec{a}(T_i)\cdot \overrightarrow{P_{i-1}P_i},$$

gdje je $T_i$ proizvoljno izabrana točka na luku $\overset{\frown}{P_{i-1}P_i}.$

Ukupni rad je približno jednak

$$W=\sum_{i=1}^n \Delta{}W_i\approx \sum_{i=1}^n m\,\vec{a}(T_i)\cdot \overrightarrow{P_{i-1}P_i}.$$

Očekujemo da će ova približna vrijednost biti to bliže pravoj vrijednosti rada, što finiju podjelu krivulje napravimo.

Krivuljni integral 2. vrste

Neka je $\Omega$ područje u $R^3,$ i $\vec{a}:\Omega \rightarrow X_O(E)$ vektorska funkcija. Neka je $\overset{\curvearrowright}{\Gamma}$ glatka orijentirana krivulja u $\Omega$ tako da je $A$ početna, a $B$ završna točka. Podijelimo krivulju na manje dijelove točkama $A=P_0,P_1, P_2,\ldots,P_n=B.$ Na dijelu krivulje $\overset{\frown}{P_{i-1}P_i}$ izaberimo proizvoljno točku $T_i,$ i to za svaki $i=1,2,\ldots,n.$ (v. sliku 3.3.1.) Uočimo sljedeću sumu

$$s_n = \sum_{i=1}^n m\,\vec{a}(T_i)\cdot\overrightarrow{P_{i-1}P_i}.$$

Broj $s_n$ ovisi o broju $n,$ i o točkama $P_i$ i $T_i.$ Pustimo da $n\rightarrow{}\infty{},$ i pri tom neka su podjele takve da duljina najvećeg dijela krivulje teži k $0.$ Ako uz te uvjete $s_n$ teži prema nekom broju $K,$ onda se taj broj zove krivuljni integral 2. vrste vektorske funkcije $\vec{a}$ po krivulji $\overset{\curvearrowright}{\Gamma},$ i piše se

$$K = \int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \vec{a}\cdot d\vec{r}.$$

Svojstva krivuljnog integrala 2. vrste

1.

$\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} (\alpha \,\vec{a}+\beta\, \vec{b}\,)... ...d\vec{r}+\beta \int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \vec{b}\cdot d\vec{r}.$

2.

$\overset{\curvearrowright}{\Gamma}= \overset{\curvearrowright}{\Gamma}_1 \cup ... ...dot d\vec{r}+\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}_2} \vec{a}\cdot d\vec{r}.$

3.

$\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \vec{a}\cdot d\vec{r}=- \int_{\overset{\curvearrowleft}{\Gamma}} \vec{a}\cdot d\vec{r}.$

Računanje krivuljnog integrala 2. vrste

Neka je $\overset{\curvearrowright}{\Gamma}$ glatka orijentirana krivulja u prostoru, i neka je njezina parametrizacija $([a,b],\vec{r}\,),$ gdje je

$$\vec{r}\,(t)=x(t)\,\vec{\imath}+y(t)\,\vec{\jmath}+z(t)\,\vec{k}$$

u skladu s orijentacijom. Neka je na $\overset{\curvearrowright}{\Gamma}$ zadana vektorska funkcija $\vec{a}:\overset{\curvearrowright}{\Gamma}{}\rightarrow{}R,$ takva da postoji

$$\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \vec{a}\cdot{}d\vec{r}.$$

Podijelimo segment $[a,b]$ na podsegmente

$$a=t_0<t_1<t_2<\ldots<t_{n-1}<t_n=b.$$

Tako dobivamo točke na krivulji

$$A=P_0=(x(t_0),y(t_0),z(t_0)),\quad P_1= (x(t_1),y(t_1),z(t_1)),$$

$$P_2=(x(t_2),y(t_2),z(t_2)),\quad \ldots,\quad P_n=(x(t_n),y(t_n),z(t_n))=B.$$

Izaberimo $\xi_i\in [t_{i-1},t_i]$ proizvoljno, i neka je $T_i=(x(\xi_i),y(\xi_i),z(\xi_i)).$ Tada je

$$s_n = \sum_{i=1}^n \vec{a}(T_i)\cdot \overrightarrow{P_{i-1}P_i} =$$

$$\sum_{i=1}^n \vec{a}(x(\xi_i),y(\xi_i),z(\xi_i))\cdot \left((x(t_... ...ath} + (y(t_i)-y(t_{i-1}))\,\vec{\jmath} + (z(t_i)-z(t_{i-1}))\,\vec{k}\right).$$

Prema Lagrangeovom teoremu srednje vrijednosti, postoje $\rho_i, \sigma_i, \tau_i\in [t_{i-1},t_i]$ takvi da je

$$x(t_i)-x(t_{i-1}) = x'(\rho_i)\,(t_i-t_{i-1}),$$

$$y(t_i)-y(t_{i-1}) = y'(\sigma_i)\,(t_i-t_{i-1}),$$

$$z(t_i)-z(t_{i-1}) = z'(\tau_i)\,(t_i-t_{i-1})$$

za svaki $i=1,2,\ldots,n.$ Slijedi

$$s_n = \sum_{i=1}^n \vec{a}(x(\xi_i),y(\xi_i),z(\xi_i))\cdot \left... ...ath} + y'(\sigma_i)\,\vec{\jmath} + z'(\tau_i)\,\vec{k}\right)\,(t_i-t_{i-1}) =$$

$$\sum_{i=1}^n \left(a_x(x(\xi_i),y(\xi_i),z(\xi_i))\,x'(\rho_i) + ... ...(\sigma_i) + a_z(x(\xi_i),y(\xi_i),z(\xi_i))\,z'(\tau_i)\right)\,(t_i-t_{i-1}).$$

Ovo je integralna suma za funkciju

$$\left(a_x(x(t),y(t),z(t))\,x'(t) + a_y(x(t),y(t),z(t))\,y'(t) + a_z(x(t),y(t),z(t))\,z'(t)\right).$$

Prema tome krivuljni integral 2. vrste se računa po formuli

$$\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \vec{a}(x,y,z)\cdot d\vec{r} =$$

$$\int_{a}^{b} \left(a_x(x(t),y(t),z(t))\,x'(t) + a_y(x(t),y(t),z(t))\,y'(t) + a_z(x(t),y(t),z(t))\,z'(t)\right)\,dt.$$

Krivuljni integral 2. vrste se može zapisati i na sljedeći način

$$\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \vec{a}\cdot d\vec{r}=\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} a_x\,dx+a_y\,dy+a_z\,dz.$$

To dolazi odatle što se u formuli za $s_n$ može pisati $\Delta{}x_i$ umjesto $x(t_i)-x(t_{i-1}),$ $\Delta{}y_i$ umjesto $y(t_i)-y(t_{i-1})$ i $\Delta{}z_i$ umjesto $z(t_i)-z(t_{i-1}).$

Primjer 3.13   Izračunati $\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \vec{a}\cdot d\vec{r},$ ako je $\vec{a}=2\,x\,y\,\vec{\imath}+ x^2\,\vec{\jmath},$ a krivulja $\overset{\curvearrowright}{\Gamma}$ je

a)

dio pravca $y=x$ od točke $x=0$ do $x=1.$

b)

dio parabole $y=x^2$ od točke $x=0$ do $x=1.$

Rješenje. a) Za parametar možemo uzeti $x.$ Tako je

$$\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \vec{a}\cdot d\vec{r}=\... ...\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} 2\,x\,y\,dx+x^2\,dy=\int_0^1 3\,x^2\,dx=1.$$

b) Također za parametar možemo uzeti $x.$

$$\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \vec{a}\cdot d\vec{r}=\... ...\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} 2\,x\,y\,dx+x^2\,dy=\int_0^1 4\,x^3\,dx=1.$$

Primjer 3.14   Izračunati rad sile $\vec{F}(x,y,z)=x\,\vec{\imath}+ y\,\vec{\jmath}+ z\,\vec{k}$ duž prvog zavoja helikoide $\vec{r}\,(t)=a\,\cos t\,\vec{\imath}+a\,\sin t\,\vec{\jmath}+b\,t\,\vec{k}$ od točke $t=0$ do $t=2\,\pi.$

Rješenje.

$$\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \vec{F}\cdot d\vec{r}=\... ...,\pi} \left(a\,\cos t\,(-a\,\sin t) + a\,\sin t\,a\,\cos t + b\,t\,b\right)\,dt$$

$$= \int_0^{2\,\pi} {b^2}\,t\,dt=2\,{b^2}\,{{\pi }^2}.$$

Veza između krivuljnog integrala 1. vrste i krivuljnog integrala 2. vrste

$$\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \vec{a}\cdot d\vec{r} = \int_a^b \vec{a}\,(x(t),y(t),z(t))\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt =$$

$$\int_a^b \vec{a}\,(x(t),y(t),z(t))\cdot \frac{\vec{r}\,'(t)}{\vert\vec{r}\,'(t)\vert}\,\vert\vec{r}\,'(t)\vert\,dt.$$

Vektor

$$\vec{T}=\frac{\vec{r}\,'(t)}{\vert\vec{r}\,'(t)\vert}$$

je jedinični vektor tangente, dok je

$$\vert\vec{r}\,'(t)\vert = \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}.$$

Tako imamo

$$\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \vec{a}\cdot d\vec{r} ... ...{a}\,(x(t),y(t),z(t))\cdot \vec{T}\, \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}\,dt =$$

$$\int_{\Gamma} \left(\vec{a}\cdot \vec{T}\right)\,ds.$$

Zadnji integral je krivuljni integral 1. vrste skalarne funkcije $\vec{a}\cdot \vec{T}.$ Krivuljni integral 1. vrste ne ovisi o orijentaciji. To se vidi iz formule za računanje

$$\int_{\Gamma} f(x,y,z)\,ds = \int_{a}^{b} f(x(t),y(t),z(t))\, \vert\vec{r}\,'(t)\vert\,dt$$

iz koje je jasno da smjer vektora tangente nije bitan. S druge strane krivuljni integral 2. vrste ovisi o orijentaciji, kao što se tvrdi u 3. svojstvu 3.3.2. Odgovor na pitanje: kako se mogu povezati integrali od kojih jedan mijenja znak prilikom promijene orijentacije, a drugi ne, leži u činjenici da se u podintegralnoj funkciji krivuljnog integrala 1. vrste pojavio vektor $\vec{T},$ koji prilikom promjene orijentacije mijenja znak.

Greenov teorem

Jednostruko povezano područje $\Omega$ u $R^2$ je područje koje ima svojstvo da se svaka zatvorena krivulja u $\Omega$ može bez prekidanja stegnuti na točku ne izlazeći iz $\Omega.$ Na slici 2.3 imamo primjer područja koje je jednostruko povezano. S druge strane na slici 1.5 imamo primjer područja koje nije jednostruko povezano. Ako opišemo zatvorenu krivulju u području oko šupljine, onda nije moguće stegnuti tu krivulju bez kidanja na točku ne izlazeći iz područja. Takvo područje se zove višestruko povezano područje.

Teorem 18   (Greenov teorem) Neka je $\Omega$ jednostruko povezano područje u $R^2,$ i neka su $M,N:\Omega \rightarrow R$ funkcije klase $C^1(\Omega).$ Neka je u $\Omega$ zadana jednostavna glatka zatvorena pozitivno orijentirana krivulja $\overset{\curvearrowright}{\Gamma}.$ Neka je $D$ područje u $\Omega$ koje omeđuje $\overset{\curvearrowright}{\Gamma}.$ Tada vrijedi sljedeća formula.

$$\iint_D \left(\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}- \frac{\partial ... ...ght) \,dx\,dy= \int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy.$$

Dokaz. Izračunajmo najprije $\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} M(x,y)\,dx$

Slika 3.3: Greenov teorem.

Krivulju $\Gamma {}$ možemo shvatiti kao uniju od dvije krivulje $\overset{\curvearrowright}{\Gamma}_1$ parametrizirane kao $(x,f_1(x)),\;x\in [a,b],$ i $\overset{\curvearrowright}{\Gamma}_2$ parametrizirane kao $(x,f_2(x)),\;x\in [a,b].$ Tako je

$$\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} M(x,y)\,dx= \int_a^b M(... ...b M(x,f_2(x))\,dx= \int_a^b \left. M(x,y)\,\right\vert _{f_2(x)}^{f_1(x)}\,dx =$$

$$\int_a^b \left(\int_{f_2(x)}^{f_1(x)} \frac{\partial M(x,y)}{\par... ...tial y}\,dy\right) \,dx = -\iint_D \frac{\partial M(x,y)}{\partial y} \,dx\,dy.$$

Na sličan način možemo izračunati da je

$$\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} N(x,y)\,dy = \iint_D \frac{\partial N(x,y)}{\partial x} \,dx\,dy,$$

shvaćajući $\Gamma {}$ kao uniju od $\overset{\curvearrowright}{\Gamma}_3$ parametrizirane kao $(g_1(y),y),\;y\in [c,d],$ i $\overset{\curvearrowright}{\Gamma}_4$ parametrizirane kao $(g_2(y),y),\;y\in [c,d].$ Sada, međutim, idući od $c$ do $d,$ predznak $+$ ima krivuljni integral po $\overset{\curvearrowright}{\Gamma}_4,$ a $-$ onaj po $\overset{\curvearrowright}{\Gamma}_3,$ pa nema potrebe mijenjati granice. $\heartsuit$

Formula u ovom teoremu se zove Greenova formula. Kako se iz formule vidi, tu se radi o vezi između krivuljnog integrala 2. vrste po zatvorenoj pozitivno orijentiranoj krivulji u ravnini i dvostrukog integrala po području omeđenom tom krivuljom.

Primjer 3.15   Provjerimo Greenovu formulu na primjeru funkcija

$$M(x,y)=-{\frac{y}{{x^2} + {y^2}}},\hspace{1cm} N(x,y)= {\frac{x}{{x^2} + {y^2}}},$$

i središnje kružnice radiusa $1.$

Rješenje.

$$\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}-\frac{\partial M(x,y)}{\partial y} = 0.$$

S druge strane, uz parametrizaciju kružnice $(\cos t,\sin t),\;t\in [0,2\,\pi],$ imamo

$$\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy = \int_0^{2\,\pi} \left(-\sin t\,(-\sin t)+\cos t\,\cos t\right)\,dt = 2\,\pi.$$

Dakle, Greenova formula ne vrijedi. Uzrok tome je što uvjeti Greenovog teorema nisu bili ispunjeni. Funkcije $M$ i $N$ nisu klase $C^1(\Omega).$ Dapače, u točki $(0,0)$ nisu uopće definirane.

Greenov teorem ima važnu ulogu u teorijskim razmatranjima u primjeni matematike. No, i u praktičnom računanju može se koristiti, posebno kad prilikom računanja krivuljnog integrala vodi na jednostavan dvostruki integral.

Primjer 3.16   Izračunati $\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} (3\,{x^2}\,y + {y^2})\,dx+({x^3} + 2\,x\,y)\,dy,$ gdje je $\Gamma {}$ pozitivno orijentirana kružnica $(x-p)^2+(y-q)^2=r^2.$

Rješenje. Funkcije $M$ i $N$ zadovoljavaju uvjete Greenovog teorema,

$$\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}-\frac{\partial M(x,y)}{\partial y} = 0,$$

pa je

$$\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} (3\,{x^2}\,y + {y^2})\,dx+({x^3} + 2\,x\,y)\,dy=0.$$

Površina pomoću krivuljnog integrala

Pomoću krivuljnog integrala 2. vrste po pozitivno orijentiranom rubu lika $L$ u ravnini može se, zahvaljujući Greenovoj formuli, naći površina lika $L.$ Površina lika $L$ je

$$P(L)=\int\int_{L} dx\,dy.$$

Neka je $M(x,y)=-\frac{1}{2}\,y,$ a $N(x,y)=\frac{1}{2}\,x.$

$$\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}-\frac{\partial M(x,y)}{\partial y} = 1,$$

pa je

$$\int\int_{L} dx\,dy= \int\int_{L} \left(\frac{\partial N(x,y)}{\p... ...t)\, dx\,dy = \frac{1}{2}\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}}x\,dy -y\,dx,$$

gdje je $\overset{\curvearrowright}{\Gamma}$ pozitivno orijentiran rub lika $L.$ Tako imamo formulu za površinu lika

$$P(L)=\frac{1}{2}\,\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}}x\,dy -y\,dx.$$

Primjer 3.17   Naći površinu lika omeđenog elipsom $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

Rješenje. Parametrizacija elipse je

$$x=a\, \cos t,\hspace{1cm}y=b\, \sin t,\hspace{1cm}t\in [0,2\,\pi],$$

$$dy=b\, \cos t\,dt,\hspace{1cm}dx= -a\, \sin t\,dt,$$

pa je

$$P=\frac{1}{2}\int_0^{2\,\pi}\left(a\,b\,\cos^2t+ a\,b\,\sin^2t\right)\,dt=a\,b\,\pi.$$

Pitanja

1.

Što znači orijentirati glatku krivulju? Zašto ima smisla govoriti o orijentaciji samo kod glatkih krivulja?

2.

Definirajte krivuljni integral 2. vrste. Koji problem rješava? Kako se računa? Koja svojstva ima?

3.

Koja je veza između krivuljnih integrala 1. i 2. vrste?

4.

Kako glasi Greenov teorem? Dokažite ga.

5.

Kako se može računati površina ravninskog lika pomoću krivuljnog integrala?

Riješeni zadaci

1.

Neka je $D$ jednostruko povezano područje, i neka je $\vec{a}\,(x,y)=P(x,y)\,\vec{\imath}+Q(x,y)\,\vec{\jmath}$ vektorska funkcija klase $C^1(D).$ Neka je $\overset{\curvearrowright}{\Gamma}$ zatvorena, pozitivno orijentirana, po dijelovima glatka krivulja u $D,$ i neka je $\vec{n}$ vektorska funkcija jediničnih vanjskih vektora normale na krivulju $\Gamma.$ Dokažite da vrijedi

$$\iint_D \left(\frac{\partial{}P(x,y)}{\partial{}x} + \frac{\parti... ... P(x,y)\,\vec{\imath} + Q(x,y)\,\vec{\jmath}\, \right)\cdot \vec{n}\,(x,y)\,ds.$$

Rješenje. Vektori $\vec{T}$ i $\vec{n}$ su jedinični, pa se iz slike 3.4 vidi da je,

Slika 3.4: Vektori tangente i normale na ravninsku krivulju.

$$n_x = \cos{}\varphi{}, \qquad n_y = \sin{}\varphi{},$$

$$T_x = \cos{}\left(\varphi{} + \frac{\pi{}}{2}\right) = -\sin{}\varphi{} = - n_y,$$

$$T_y = \sin{}\left(\varphi{} + \frac{\pi{}}{2}\right) = \cos{}\varphi{} = n_x.$$

Dakle

$$\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \left( P(x,y)\,\vec{\im... ...overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \left( P(x,y)\,n_x + Q(x,y)\,n_y \right)\,ds$$

$$= \int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \left( P(x,y)\,T_y - ... ... -Q(x,y)\,\vec{\imath} + P(x,y)\,\vec{\jmath}\, \right)\cdot \vec{T}\,(x,y)\,ds$$

$$= \int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} -Q(x,y)\,dx + P(x,y)\... ...al{}P(x,y)}{\partial{}x} + \frac{\partial{}Q(x,y)}{\partial{}y}\right)\,dx\,dy.$$

Zadnja jednakost vrijedi zahvaljujući Greenovom teoremu.

2.

U ravnini djeluje polje sile $\vec{F}=x\,y\,\vec{\imath{}}+(x+y)\,\vec{\jmath{}}.$ Naći rad sile po a) pravcu $y=x,$ b) po paraboli $y=x^2$ od točke $(0,0)$ do točke $(1,1).$

Rješenje. a) Imamo parametrizaciju $\vec{r}=x\,\vec{\imath{}}+x\,\vec{\jmath{}},$ $x\in [0,1].$ Odatle $d\vec{r}=dx\,\vec{\imath{}}+dx\,\vec{\jmath{}},$ i prema tome

$$\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \vec{F}\cdot{}d\vec{r} = \int_0^1 (x^2 + x+x)\,dx = \frac{4}{3}.$$

b) U ovom slučaju imamo $\vec{r}=x\,\vec{\imath{}}+x^2\,\vec{\jmath{}},$ $x\in [0,1].$ Odatle $d\vec{r}=dx\,\vec{\imath{}}+2\,x\,dx\,\vec{\jmath{}},$ i prema tome

$$\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \vec{F}\cdot{}d\vec{r} = \int_0^1 (x^3 + 2\,(x+x^2)\,x)\,dx = \frac{17}{12}.$$

3.

Izračunati površinu lika što ga omeđuju jedan luk cikloide $x = a\,(t-\sin{}t),$ $y = a\,(1-\cos{}t),$ $t\in [0,2\pi]$ i os $x,$ pomoću krivuljnog integrala 2. vrste.

Rješenje.

$$P = \frac{1}{2}\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}}x\,dy -y\,dx.$$

Duž osi $x$ imamo $y=0,$ i $dy=0,$ pa taj dio ne doprinosi ništa površini. Da orijentacija ruba lika bude pozitivna, trebamo integrirati po cikloidi od $t=2\,\pi$ do $t=0.$ Dakle

$$P = \frac{1}{2}\,\int_{2\,\pi}^0 \left(a^2\,\sin{}t\,(t-\sin{}t) - a^2\,(1-\cos{}t)^2\right)\,dt = 3\,{a^2}\,\pi.$$