Sustav običnih linearnih diferencijalnih jednadžbi 1. reda

Definicija 15   Sustav diferencijalnih jednadžbi oblika

$$y'_1(x) = a_{11}(x)\,y_1(x)+a_{12}(x)\,y_2(x)+\cdots +a_{1n}(x)\,y_n(x)+f_1(x)$$

$$y'_2(x) = a_{21}(x)\,y_1(x)+a_{22}(x)\,y_2(x)+\cdots +a_{2n}(x)\,y_n(x)+f_2(x)$$

$$\cdots \cdots$$

$$y'_n(x) = a_{n1}(x)\,y_1(x)+a_{n2}(x)\,y_2(x)+\cdots +a_{nn}(x)\,y_n(x)+f_n(x),$$

gdje su $a_{ij},f_i$, za $i,j=1,2,\ldots ,n$, neprekidne funkcije na nekom intervalu $I$ u $\mathbb{R},$ zovemo sustavom običnih linearnih diferencijalnih jednadžbi 1. reda.

Riješiti ovaj sustav znači naći funkcije $y_1,y_2,\ldots,y_n,$ neprekidno derivabilne na intervalu $I,$ takve da zadovoljavaju svaku od jednadžbi u sustavu. Uređena $n$-torka funkcija $(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ se zove rješenje.

Cauchyev problem ili problem početnog uvjeta jeste problem da se za dani $x_0\in I,$ i proizvoljne brojeve $y_{01},y_{02},\ldots ,y_{0n}$ nađe rješenje sustava tako da vrijedi

$$y_1(x_0)=y_{01},\;\; y_2(x_0)=y_{02},\ldots , y_n(x_0)=y_{0n}.$$

Ako stavimo

$$% latex2html id marker 32772 \boldsymbol{y}=\left[ \begin{a... ... f_1(x) \\ f_2(x) \\ \vdots \\ f_n(x) \end{array} \right],$$

$$% latex2html id marker 32774 A(x)=\left[ \begin{array}{ccc... ...{n1}(x) & a_{n2}(x) & \cdots & a_{nn}(x) \end{array} \right],$$

onda se sustav može zapisati kao

$$\boldsymbol{y}'(x)=A(x)\,\boldsymbol{y}(x)+\boldsymbol{f}(x).$$ (1.7)

Također Cauchyev problem možemo pisati u obliku

$$\boldsymbol{y}'(x)=A(x)\,\boldsymbol{y}(x)+\boldsymbol{f}(x),\hspace{1cm} \boldsymbol{y}(x_0)=\boldsymbol{y}_0.$$ (1.8)

Teorem 11   Neka su $a_{ij},f_i:I\rightarrow \mathbb{R}$ neprekidne funkcije na $I$ za $i,j=1,2,\ldots ,n$. Neka je $x_0\in I$ i $y_{01},y_{02},\ldots ,y_{0n} \in \mathbb{R}$. Tada Cauchyev problem

$$\boldsymbol{y}'(x)=A(x)\,\boldsymbol{y}(x),\hspace{1cm} \boldsymbol{y}(x_0)=\boldsymbol{y}_0$$

ima jedno i samo jedno rješenje.

Dokaz. $\heartsuit$

Označimo s $X_f$ skup svih rješenja nehomogenog sustava, a s $X_0$ skup svih rješenja pripadnog homogenog sustava.

Teorem 12   Neka je $\boldsymbol{y}_p$ proizvoljno (partikularno) rješenje nehomogenog sustava. Tada je

$$X_f=\boldsymbol{y}_p+X_0,$$

gdje $\boldsymbol{y}_p+X_0$ označava skup $\{\boldsymbol{y}_p+\boldsymbol{u};\; \boldsymbol{u}\in X_0\}$.

Dokaz. 1. Neka $\boldsymbol{y}_p$ rješava nehomogeni sustav, a $\boldsymbol{u}$ pripadni homogeni sustav

$$\boldsymbol{y}'(x)=A(x)\,\boldsymbol{y}(x).$$ (1.9)

To znači

$$\boldsymbol{y}'_p(x)=A(x)\,\boldsymbol{y}_p(x)+\boldsymbol{f}(x), \;\;\; \boldsymbol{u}'(x)=A(x)\,\boldsymbol{u}(x).$$

Odatle

$$(\boldsymbol{y}_p +\boldsymbol{u})'(x) = \boldsymbol{y}'_p(x)+\boldsymbol{u}'(x)=A(x)\,\boldsymbol{y}_p(x)+\boldsymbol{f}(x)+A(x)\,\boldsymbol{u}(x)$$

$$= A(x)\,(\boldsymbol{y}_p+\boldsymbol{u})(x)+\boldsymbol{f}(x),$$

pa prema tome $\boldsymbol{y}_p+\boldsymbol{u}$ rješava nehomogeni sustav. To znači da je $\boldsymbol{y}_p+X_0\subset X_f$.
2. Neka je $\boldsymbol{y}\in X_f$, tj neka vrijedi

$$\boldsymbol{y}'(x)=A(x)\,\boldsymbol{y}(x)+\boldsymbol{f}(x).$$

Budući da je također $\boldsymbol{y}_p\in X_f$, slijedi

$$(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{y}_p)'(x) = \boldsymbol{y}'(x)-\boldsymbol{y}'_p(x)=A(x)\,\boldsymbol{y}(x)+\boldsymbol{f}(x)-A(x)\,\boldsymbol{y}_p(x)-\boldsymbol{f}(x)$$

$$= A(x)\,(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{y}_p)(x);$$

dakle $\boldsymbol{y}-\boldsymbol{y}_p$ rješava pripadni homogeni sustav. Tako postoji $\boldsymbol{u}\in X_0$ takav da je

$$\boldsymbol{y}-\boldsymbol{y}_p=\boldsymbol{u},$$

tj.

$$\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}_p+\boldsymbol{u}.$$

Prema tome $X_f\subset \{ \boldsymbol{y}_p+\boldsymbol{u};\;\boldsymbol{u}\in X_0\}$. Iz 1. i 2. slijedi $X_f=\boldsymbol{y}_p+ X_0$. $\heartsuit$

Teorem 13   Neka je dan homogen sustav (1.9) od $n$ jednadžbi s $n$ nepoznatih funkcija. Skup $X_0$ svih rješenja sustava je $n$-dimenzionalni vektorski prostor.

Dokaz. Dokažimo najprije da je $X_0$ vektorski prostor. Neka su $\boldsymbol{y}_1,\boldsymbol{y}_2$ dva rješenja sustava (1.9) i $C_1,C_2\in \mathbb{R}$.

$$(C_1\,\boldsymbol{y}_1(x)+C_2\,\boldsymbol{y}_2(x))' = C_1\,\boldsymbol{y}_1'(x)+C_2\,\boldsymbol{y}_2'(x)=C_1\,A(x)\,\boldsymbol{y}_1(x)+C_2\,A(x)\,\boldsymbol{y}_2(x)$$

$$= A(x)\,(C_1\,\boldsymbol{y}_1(x)+C_2\,\boldsymbol{y}_2(x)).$$

Prema tome linearna kombinacija funkcija iz $X_0$ je funkcija iz $X_0.$ Tako je nulfunkcija u $X_0,$ i za svaki $\boldsymbol{y}\in X_0$ je također i $-\boldsymbol{y}\in X_0.$ Ostala svojstva iz definicije vektorskog prostora slijede iz svojstava zbroja dvije funkcije i množenja funkcije brojem.
Dokažimo sada da je $X_0$ $n$-dimenzionalan. Neka je $\boldsymbol{e}_i$ vektorstupac, koji na $i$-tom mjestu ima 1 a ostalo su nule. Iz teorema 11 slijedi da Cauchyev problem

$$\boldsymbol{y}'(x)=A(x)\,\boldsymbol{y}(x),\hspace{.5in} \boldsymbol{y}(x_0)=\boldsymbol{e}_i$$

ima jedno i samo jedno rješenje, recimo $\boldsymbol{u}_i$. Za $i=1,2,\ldots ,n$ dobivamo tako $n$ rješenja $\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\ldots ,\boldsymbol{u}_n$. Tvrdimo da $\boldsymbol{y}=y_{01}\boldsymbol{u}_1+y_{02}\boldsymbol{u}_2+\cdots +y_{0n}\boldsymbol{u}_n$ rješava Cauchyev problem

$$\boldsymbol{y}'(x)=A(x)\,\boldsymbol{y}(x),\hspace{.5in} \boldsymbol{y}(x_0)=\boldsymbol{y}_0.$$

Iz prvog dijela dokaza slijedi da $\boldsymbol{y}$ rješava sustav. Funkcija $\boldsymbol{y}$ zadovoljava i početni uvjet, jer

$$\boldsymbol{y}(x_0) = y_{01}\,\boldsymbol{u}_1(x_0)+y_{02}\,\boldsymbol{u}_2(x_0)+\cdots +y_{0n}\,\boldsymbol{u}_n(x_0)$$

$$= y_{01} \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{... ...{c} y_{01} \\ y_{02} \\ \vdots \\ y_{0n} \end{array}\right].$$

Svako rješenje zadovoljava neki početni uvjet, pa je prema tome svako rješenje linearna kombinacija od $\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\ldots ,\boldsymbol{u}_n$. To znači da dimenzija od $X_0$ nije veća od $n$. Da je dimenzija točno $n$ bit će dokazano ako utvrdimo da su $\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\ldots ,\boldsymbol{u}_n$ linearno nezavisni. Neka je

$$C_1\,\boldsymbol{u}_1(x)+C_2\,\boldsymbol{u}_2(x)+\cdots +C_n\,\boldsymbol{u}_n(x)=0,\hspace{.5in} \forall x\in I.$$

Linearna kombinacija na lijevoj strani je rješenje sustava. Zatim

$$C_1\,\boldsymbol{u}_1(x_0)+C_2\,\boldsymbol{u}_2(x_0)+\cdots +C_n\,\boldsymbol{u}_n(x_0)=0,$$

jer je $x_0\in I$, dok s druge strane

$$% latex2html id marker 32951 C_1\,\boldsymbol{u}_1(x_0)+C_2\... ...} C_1 \\ C_2 \\ \vdots \\ C_n \end{array} \right].$$

Odatle slijedi $C_1=C_2=\cdots =C_n=0.$ $\heartsuit$

Na temelju ovog i prethodnog teorema zaključujemo da je

$${X_f}=\{y_p+C_1\,\boldsymbol{u}_1+C_2\,\boldsymbol{u}_2+\cdots +C_n\,\boldsymbol{u}_n;\; C_1,C_2,\ldots ,C_n\;$$proizvoljne konstante$$\}.$$

Dakle, da se nađe skup svih rješenja nehomogenog sustava, potrebno je naći bazu prostora $X_0$, tj. $n$ linearno nezavisnih rješenja pripadnog homogenog i jedno rješenje nehomogenog sustava.

Ako je $\boldsymbol{f}=\textbf{0}$, tj. ako je $f_i(x)=0,\;\;\forall x\in I, i=1,2,\ldots ,n$, onda se sustav zove homogen, u protivnom sustav se zove nehomogen.

Primjer 1.28   Sustavi u primjerima 1.26 i 1.27 sustavi su homogeni s konstantnim koeficijentima. Pri tom u primjeru 1.26 imamo Cauchyjev problem, koji se matrično može zapisati na sljedeći način.

$$\dot{\boldsymbol{x}}(t)=X\,\boldsymbol{x}(t), \quad \boldsymbol{x}(0) = \boldsymbol{x}_0,$$

gdje je

$$% latex2html id marker 32971 \boldsymbol{x}(t) = \left[\begi... ...}(0) \\ x_{2}(0) \\ x_3(0) \\ x_{4}(0) \end{array}\right] ,$$

$$% latex2html id marker 32973 X =\left[ \begin{array}{cccc... ...\frac{k_2}{m_2} & -\frac{k_2}{m_2} & 0 & 0 \end{array}\right].$$

Kod sustava u primjeru 1.27 je matrica sustava

$$A = \left[\begin{array}{cccc} \frac... ... x_2} & \cdots & \frac{\partial\varphi_n(C)}{\partial x_n} \end{array}\right],$$

gdje je radi kratkoće stavljeno $C=(c_1,c_2,\ldots,c_n).$

Elementi matrice $A(x)$, funkcije $a_{ij}(x)$ se zovu koeficijenti. Ako su koeficijenti konstantni, onda su elementi matrice $A$ brojevi, pa imamo sustav

$$\boldsymbol{y}'(x)=A\,\boldsymbol{y}(x)+\boldsymbol{f}(x)$$ (1.10)

uz početni uvjet

$$\boldsymbol{y}(x_0)=\boldsymbol{y}_0.$$ (1.11)

Ovaj sustav se zove sustav linearnih diferencijalnih jednadžbi 1. reda s konstantnim koeficijentima.