Uvod

Primjer 1.26   Neka su dvije mase spojene oprugama za fiksnu točku kao na slici 1.27.

Slika 1.27: Sustav od dva harmonijska oscilatora: a) ravnotežni položaj, b) u nekom trenutku $t.$

Ako zanemarimo otpor sredstva i težinu, onda za male oscilacije (u okviru kojih vrijedi Hookeov zakon) imamo

$$m_1\ddot{x}_1 (t)=-k_1\,x_1(t)+k_2\,(x_2(t)-x_1(t))$$

$$m_2\ddot{x}_2(t)=-k_2\,(x_2(t)-x_1(t)).$$

Brojevi $k_1$ i $k_2$ su pozitivni i oni karakteriziraju opruge. Oscilacije ovog sistema će biti potpuno zadane ako definiramo u čas $t=0$ početne položaje i početne brzine:

$$x_1(0)=x_{01},\;\; x_2(0)=x_{02},\;\; \dot{x}_1(0)= \dot{x}_{01},\;\; \dot{x}_2(0)=\dot{x}_{02}$$

Stavimo $\dot{x}_1=x_3,\;\; \dot{x}_2=x_4$. Dobivamo sustav diferencijalnih jednadžbi

$$\dot{x}_1 = x_3$$

$$\dot{x}_2 = x_4$$

$$\dot{x}_3 = -\frac{k_1}{m_1}\, x_1+\frac{k_2}{m_1}\, (x_2-x_1)$$

$$\dot{x}_4 = -\frac{k_2}{m_2}\, (x_2-x_1)$$

uz početni uvjet

$$x_1(0)=x_{01},\;\; x_2(0)=x_{02},\;\; x_3(0)=\dot{x}_{01},\;\; x_4(0)=\dot{x}_{02}.$$

Osim što ovaj primjer pokazuje kako modeliranje konkretnog fizikalnog problema dovodi do sustava diferencijalnih jednadžbi, on pokazuje također kako se sustav u kojem se pojavljuju derivacije višeg reda može svesti na sustav u kojem dolaze samo prve derivacije. Cijena za to je povećanje broja jednadžbi, no to pokazuje da se možemo ograničiti na razmatranje sustava u kojima dolaze samo prve derivacije.

Primjer 1.27   Dajmo jedan općenitiji primjer. Neka je fizikalni sustav $S$ u nekom vremenskom trenutku $t$ u potpunosti zadan s $n$ veličina, koje opisujemo kao funkcije vremena $x_1(t), x_2(t), \ldots, x_n(t).$ Pretpostavimo zatim da brzina promjene tih veličina ovisi samo o njima samima. To se matematički izražava ovako

$$\dot{x}_i(t)=\varphi_i(x_1(t), x_2(t), \ldots, x_n(t)),\hspace{1cm}i=1,2,\ldots,n.$$

Ponašanje sustava $S$ ovisi još o stanju u kojem se nalazi u početnom trenutku. To zadajemo početnim uvjetom za svaku veličinu

$$x_i(0)=c_i,\hspace{1cm}i=1,2,\ldots,n.$$

Posebno interesantne su one vrijednosti $c_i$ za koje je

$$\varphi_i(c_1,c_2, \ldots, c_n)=0,\hspace{1cm}i=1,2,\ldots,n.$$

Tada je

$$\dot{x}_i=0,\hspace{1cm}i=1,2,\ldots,n,$$

brzina promjene veličina $x_1(t), x_2(t), \ldots, x_n(t)$ jednaka je nuli, pa se sustav $S$ nalazi u ravnoteži. Pitanje je da li je ta ravnoteža stabilna. To ispitujemo na taj način da sustav $S$ pomaknemo malo iz položaja ravnoteže i ustanovimo što se događa. Stavimo

$$x_i=c_i+y_i,\hspace{1cm}i=1,2,\ldots,n,$$

i uvrstimo u diferencijalne jednadžbe

$$\dot{x}_i=\varphi_i(c_1+y_1(t), c_2+y_2(t), \ldots, c_n+y_n(t)),\hspace{1cm}i=1,2,\ldots,n.$$

Uz dodatni uvjet da funkcije $\varphi_i$ imaju neprekidne derivacije, možemo primijeniti teorem srednje vrijednosti

$$\dot{x}_i=\dot{y}_i=\varphi_i(c_1, c_2, \ldots, c_n)+\sum_{j=1}^n \frac{\partial\varphi_i(P)}{\partial x_j}\,y_j, \hspace{1cm}i=1,2,\ldots,n,$$

gdje je $P$ stanje sustava između stanja $(c_1,c_2,\ldots,c_n)$ i $\left( c_1 + y_1,c_2 + y_2,\ldots,\right.$ $\left. c_n + y_n\right).$ Budući da su pomaci iz ravnotežnog stanja maleni, možemo umjesto $P$ staviti $(c_1,c_2,\ldots,c_n).$ Uzimajući u obzir $\varphi_i(c_1,c_2, \ldots, c_n)=0,$ imamo

$$\dot{y}_i=\sum_{j=1}^n a_{ij} \,y_j, \hspace{1cm}i=1,2,\ldots,n$$

gdje je

$$a_{ij}= \frac{\partial\varphi_i(c_1, c_2, \ldots, c_n)}{\partial x_j}.$$