Inverzna matrica

Definicija 7   Neka je dana matrica $A\in{\cal M}_{n}.$ Matrica $B\in{\cal M}_{n}$ sa svojstvom

$$A\,B=B\,A=I$$

se zove inverzna matrica matrice $A,$ i piše se $B=A^{-1}.$

Kvadratna matrica, koja ima inverznu, se zove regularna.

Kvadratna matrica, koja nema inverznu, se zove singularna.

Teorem 1   Inverzna matrica, ukoliko postoji, jedinstvena je.

Dokaz. Neka je $A\in{\cal M}_{n}.$ Pretpostavimo da su $B$ i $C$ njoj inverzne matrice. Tada je

$$B\,A-C\,A=O.$$

Pomnožimo ovu jednakost s desne strane s $B.$ Dobivamo

$$(B\,A-C\,A)\,B=O,$$

$$(B-C)\,A\,B=O,$$

$$B-C=O.$$

Dakle, $B=C.$ $\heartsuit$