Derivacije funkcija više varijabli

Parcijalne derivacije

Parcijalna derivacija funkcije u točki

Definicija 9   Neka je $\Omega$ područje u $R^2,$ neka je $f:\Omega\rightarrow R,$ zadana funkcija, i neka je $P_0=(x_0,y_0)\in \Omega.$ Ako postoji

$$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0},$$

onda kažemo da funkcija $f$ ima parcijalnu derivaciju po $x$ u točki $P_0$ i pišemo

$$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}= \frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}.$$

Analogno, ako postoji

$$\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f(x_0,y)-f(x_0,y_0)}{y-y_0},$$

onda kažemo da funkcija $f$ ima parcijalnu derivaciju po $y$ u točki $P_0$ i pišemo

$$\lim_{y\rightarrow y_0}\frac{f(x_0,y)-f(x_0,y_0)}{y-y_0}= \frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}.$$

Primjer 1.22   Neka je $f(x,y)=3x^3+2x^2y-x^2-y+1.$ Treba naći

$$\frac{\partial f(0,0)}{\partial x}\;\;$$ i $$\;\;\frac{\partial f(0,0)}{\partial y}.$$

Rješenje.

$$\frac{\partial f(0,0)}{\partial x}= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(... ... \lim_{x\rightarrow 0}\frac{3x^3-x^2+1-1}{x}= \lim_{x\rightarrow 0} (3x^2-x)=0.$$

$$\frac{\partial f(0,0)}{\partial y}= \lim_{y\rightarrow 0}\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y}= \lim_{y\rightarrow 0}\frac{-y+1-1}{y}=-1.$$

Geometrijsko značenje parcijalne derivacije

Graf $\Gamma_1$ funkcije $f_1:x\mapsto f(x,y_0)$ je krivulja, koja se dobije kad se ploha $z=f(x,y)$ presiječe ravninom $y=y_0,$ pa je tako $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)$ koeficijent smjera tangente na tu krivulju u točki $(x_0,y_0,f(x_0,y_0)).$

Slično, graf $\Gamma_2$ funkcije $f_2:y\mapsto f(x_0,y)$ je krivulja, koja se dobije kad se ploha $z=f(x,y)$ presiječe ravninom $x=x_0,$ pa je tako $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$ koeficijent smjera tangente na tu krivulju u točki $(x_0,y_0,f(x_0,y_0)).$

Parcijalna derivacija funkcije

Definicija 10   Neka je $\Omega$ područje u $R^2,$ i neka je $f:\Omega\rightarrow R.$ Ako $f$ ima parcijalnu derivaciju po $x$ u svakoj točki iz $\Omega,$ onda je definirana funkcija

$$\frac{\partial f}{\partial x}:(x,y)\mapsto \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}.$$

Tu funkciju zovemo parcijalnom derivacijom funkcije $f$ po varijabli $x.$

Analogno se definira parcijalna derivacija funkcije $f$ po $y.$

U točki $(x_0,y_0)$ ove derivacije imaju vrijednosti

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)= \frac{\partial f(x_0,y_0)... ...\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)= \frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}.$$

Primjer 1.23   Sada možemo primjer 1.22 izraditi na drugi način. Tako da najprije nađemo parcijalnu derivaciju funkcije, i da zatim supstituiramo točku $(0,0).$

$$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}=$$

$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{{x^2} - 3\,{x^3} - {{\left( \De... ...right) }^3} - 2\,{x^2}\,y + 2\,{\left( \Delta x + x \right) }^2\,y}{\Delta x}=$$

$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\,(3\,{{\Delta x}^2} + \Delta x\,\left( -1 + 9\,x + 2\,y \right) + x\,\left( -2 + 9\,x + 4\,y \right))=9x^2+4xy-2x,$$

$$\frac{\partial f(0,0)}{\partial x}=0.$$

Slično

$$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=2x^2-1,$$

$$\frac{\partial f(0,0)}{\partial y}=-1.$$

Ako imamo funkciju od tri varijable $x,y,z,$ onda imamo još jednu parcijalnu derivaciju $\frac{\partial f}{\partial z}$ i t.d.

Vidimo da se parcijalna derivacija računa tako da se varijabla po kojoj se derivira shvati kao varijabla, a ostale kao konstante. Dakle formalno funkciju deriviramo kao da je od jedne varijable s više parametara. To znači da vrijede pravila za deriviranje kao kod funkcija od jedne verijable.

Parcijalne derivacije višeg reda. Schwartzov teorem

Parcijalna derivacija $\frac{\partial f}{\partial x}$ funkcije $f$ po $x,$ ukoliko postoji, je također funkcija od dvije varijable $x$ i $y.$ Njezina parcijalna derivacija po $x$ u točki $P_0=(x_0,y_0),$ ako postoji, je

$$\frac{\partial^2 f(x_0,y_0)}{\partial x^2}=\lim_{x\rightarrow x_0... ...{\partial f(x,y_0)}{\partial x}-\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}}{x-x_0},$$

a parcijalna derivacija po $y$ je

$$\frac{\partial^2 f(x_0,y_0)}{\partial y\,\partial x}=\lim_{y\righ... ...{\partial f(x_0,y)}{\partial x}-\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}}{y-y_0}.$$

Te derivacije zovemo drugom parcijalnom derivacijom od $f$ po $x$ u točki $P_0$, i drugom mješovitom parcijalnom derivacijom od $f$ po $x$ i po $y$ u točki $P_0$.

Slično, iz funkcije $\frac{\partial f}{\partial y}$ dobivamo parcijalne derivacije

$$\frac{\partial^2 f(x_0,y_0)}{\partial y^2}\;\;$$ i $$\;\; \frac{\partial^2 f(x_0,y_0)}{\partial x\partial y},$$

koje zovemo drugom parcijalnom derivacijom od $f$ po $y$ u točki $P_0$, i drugom mješovitom parcijalnom derivacijom od $f$ po $y$ i po $x$ u točki $P_0$. Dalje imamo treće parcijalne derivacije

$$\frac{\partial^3 f}{\partial x^3},\; \frac{\partial^3 f}{\partial... ...{\partial x\partial y\partial x},\; \frac{\partial^3 f}{\partial x^2\partial y}$$

$$\frac{\partial^3 f}{\partial y^2\partial x},\; \frac{\partial^3 f... ...frac{\partial^3 f}{\partial x\partial y^2},\; \frac{\partial^3 f}{\partial y^3}$$

i t.d. Druge parcijalne derivacije se također zovu parcijalne derivacije drugog reda, treće trećeg reda i t.d. Parcijalne derivacije drugog, trećeg, ...reda se zovu parcijalne derivacije višeg reda.

Primjer 1.24   Naći druge parcijalne derivacije funkcije $f(x,y)=x^y.$

Rješenje.

$$\frac{\partial f}{\partial x}=yx^{y-1},\;\; \frac{\partial f}{\partial y}=x^y\ln x.$$

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=y(y-1)x^{y-2},\;\; \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=x^{y-1}+yx^{y-1}\ln x,$$

$$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=x^y\ln^2 x,\;\; \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=yx^{y-1}\ln x+x^{y-1}.$$

Broj dervacija određenog reda raste eksponencijalno. Ipak, primjetite da je u primjeru 1.24 $\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} = \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}.$ Uz neke uvjete to vrijedi uvijek, kako pokazuje sljedeći teorem 5.

Schwartzov teorem

Teorem 5   (Schwartzov). Neka funkcija $f$ ima neprekidne druge parcijalne derivacije na $\Omega.$ Tada je za svaki $(x,y)\in \Omega$

$$\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y\partial x}= \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\partial y}.$$

Dokaz. $\heartsuit$

Slično, uz pretpostavku da su treće parcijalne derivacije od $f$ neprekidne, imamo

$$\frac{\partial^3 f}{\partial y\partial x^2}= \frac{\partial^3 f}{\partial x\partial y\partial x}= \frac{\partial^3 f}{\partial x^2\partial y}$$

i također

$$\frac{\partial^3 f}{\partial y^2\partial x}= \frac{\partial^3 f}{\partial y\partial x\partial y}= \frac{\partial^3 f}{\partial x\partial y^2}.$$

U mnogim slučajevima su uvjeti Schwartzovog teorema ispunjeni, kao u primjeru 1.24. Dajmo primjer kada Schwartzov teorem ne vrijedi.

Primjer 1.25   Za funkciju

$$% latex2html id marker 34978 f(x,y) = \begin{cases} \frac{... ...\neq (0,0)$},\\ 0& \text{ ako je $(x,y)= (0,0)$} \end{cases}$$

ne vrijedi Schwartzov teorem u $(0,0).$

Rješenje. Doista

$$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}={\frac{y\,\left( {x^4} + 4\,{x^2}\,{y^2} - {y^4} \right) } {{{\left( {x^2} + {y^2} \right) }^ 2}}},$$

$$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}={\frac{x\,\left({x^4} - 4\,{x^2}\,{y^2} - {y^4}\right)}{{{\left( {x^2} + {y^2} \right) }^2}}},$$

pa je

$$\frac{\partial f(0,y)}{\partial x}= -y,\qquad \frac{\partial f(x,0)}{\partial y}= x.$$

Tako je

$$\frac{\partial^2 f(0,0)}{\partial y\partial x}= -1,\qquad \frac{\partial^2 f(0,0)}{\partial x\partial y} = 1.$$

Slika $a)$ predstavlja graf funkcije

$$f=\frac{x\,y\,(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2}.$$

Slika $b)$ je graf parcijalne derivacije $f$ po $x.$ Iz slike se vidi da je njezina derivacija po $y$ u ishodištu negativna (tangenta ponire kad idemo po osi $y$ od manjih vrijednosti prema većim). Slika $c)$ je graf parcijalne derivacije $f$ po $y.$ Iz slike se vidi da je njezina derivacija u ishodištu po $x$ pozitivna (tangenta se penje kad idemo u smjeru porasta vrijednosti po osi $x$).

Definicija 11   Za funkciju $f:\Omega\rightarrow R$ kažemo da je klase $C^n(\Omega),$ $(n=1,2,3,\ldots),$ ako su njezine parcijalne derivacije $k$-tog reda neprekidne funkcije na $\Omega.$ Kažemo da je funkcija $f$ klase $C^{\infty}(\Omega),$ ako ima parcijalne derivacije bilo kojeg reda i ako su one neprekidne na $\Omega.$

Derivacija kompozicije funkcija

Razne su mogućnosti komponiranja funkcija više varijabli. Iskazat ćemo teorem za jedan od jednostavnijih slučajeva, a zatim ćemo u primjerima pokazati kako se postupa u drugim slučajevima.

Teorem 6   [3] Neka je $\Omega$ područje u $R^2,$ i neka je $f:\Omega\rightarrow R,$ klase $C^1(\Omega).$ Neka je $I$ interval u $R,$ neka su $u,v:I\rightarrow R,$ funkcije klase $C^1(I),$ i neka je $(u(t),v(t))\in \Omega$ za svaki $t\in I.$ Tada postoji kompozicija $F:I\rightarrow R,$

$$F(t)=f(u(t),v(t)),$$

ona je klase $C^1(I),$ i vrijedi

$$F'(t)=\frac{\partial f(u(t),v(t))}{\partial x}\,u'(t)+ \frac{\partial f(u(t),v(t))}{\partial y}\,v'(t).$$

Dokaz. Zaista,

$$F'(t)=\lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{F(t+\Delta t)-F(t)}{\Del... ...rightarrow 0} \frac{1}{\Delta t} [f(u(t+\Delta t),v(t+\Delta t))-f(u(t),v(t))]=$$

$$\lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{1}{\Delta t} [f(u(t+\Delta t),v(t+\Delta t))-f(u(t),v(t+\Delta t))+ f(u(t),v(t+\Delta t))-f(u(t),v(t))]=$$

$$\lim_{\Delta t\rightarrow 0} \left[\frac{\partial f(u(\tau),v(t+... ...al f(u(t),v(\sigma))}{\partial y}\, \frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}\right]=$$

$$\frac{\partial f(u(t),v(t))}{\partial x}\,u'(t)+ \frac{\partial f(u(t),v(t))}{\partial y}\,v'(t).\;\;\heartsuit$$

Primjeri derivacija kompozicija. Lančano pravilo

Primjer 1.26   Derivirati funkciju $F(t)=f(t,t^2-1,\frac{1}{t}).$

Rješenje.

$$\frac{\partial f(t,-1 + {t^2},\frac{1}{t})}{\partial x}+2\,t\, \f... ...ial y}-\frac{1}{t^2}\,\frac{ \partial f(t,-1 + {t^2},\frac{1}{t})}{\partial z}.$$

Ako je dana funkcija $F(x,y)=g(f(x,y)),$ gdje je $g$ neprekidno derivabilna funkcija od jedne varijable, onda imamo

$$\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\... ... x}= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{g(f(x+\Delta x,y))-g(f(x,y))}{\Delta x}=$$

$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0} g'(\xi)\,\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}= g'(f(x,y))\,\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}.$$

Primjer 1.27   Neka je $f(x,y)={\rm Arctg}\,\,\frac{x}{y}.$ Treba naći $\frac{\textstyle{\partial^3 f}}{\textstyle{\partial x^2\partial y}}.$

Rješenje. U ovom primjeru je $g(t)={\rm Arctg}\,t,$ a $f(x,y)=\frac{x}{y}.$ Tako imamo

$$\frac{\partial f}{\partial y} = g'\left(\frac{x}{y}\right)\, \fra... ... =\frac{1}{1+\frac{x^2}{y^2}}\,\left(-\frac{x}{y^2}\right)= \frac{-x}{x^2+y^2}.$$

Sada dalje deriviramo dvaput po $x$ po formuli za kvocijent

$$\frac{\partial^3 f}{\partial x^2\partial y}= {\frac{-2\,\left( {x^3} - 3\,x\,{y^2} \right) } {{{\left( {x^2} + {y^2} \right) }^3}}}.$$

Primjer 1.28   Pokazati da funkcija $u(x,t)=\varphi(x-at)+\psi(x+at)$ rješava jednadžbu

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.$$

Rješenje. Funkcije $\varphi$ i $\psi$ su funkcije od jedne varijable, a ta varijabla je funkcija od dvije varijable $x$ i $t.$ Tako imamo

$$\frac{\partial u}{\partial t}=\varphi'(x-at)(-a)+\psi'(x+at)a,\; \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\varphi''(x-at)a^2+\psi''(x+at)a^2,$$

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\varphi'(x-at)+\psi'(x+at),\; \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\varphi''(x-at)+\psi''(x+at).$$

Ako komponiramo funkcije od više varijabli s funkcijama od više varijabli na pr. $f(x,y)$ i $x=\varphi(u,v),\,y=\psi(u,v),$ onda imamo

$$F(u,v)=f(\varphi(u,v),\psi(u,v)).$$

$$\frac{\partial F(u,v)}{\partial u}=\lim_{t\rightarrow 0} \frac{F(u+t,v)-F(u,v)}{t}=$$

$$\lim_{t\rightarrow 0} \frac{1}{t} [f(\varphi(u+t,v),\psi(u+t,v))-f(\varphi(u,v),\psi(u,v))]=$$

$$\lim_{t\rightarrow 0}\left[ \frac{f(\varphi(u+t,v),\psi(u+t,v))- f(\varphi(u,v),\psi(u+t,v))}{t}\right.$$

$$\left.+\frac{f(\varphi(u,v),\psi(u+t,v))-f(\varphi(u,v),\psi(u,v))}{t}\right]=$$

$$\lim_{t\rightarrow 0}\left[\frac{\partial f(\tau,\psi(u+t,v))}{\partial x}\, \frac{\varphi(u+t,v)-\varphi(u,v)}{t}\right.$$

$$\left.+\frac{\partial f(\varphi(u,v),\sigma)}{\partial y}\, \frac{\psi(u+t,v)-\psi(u,v)}{t}\right]=$$

$$\frac{\partial f(\varphi(u,v),\psi(u,v))}{\partial x}\, \frac{\pa... ...f(\varphi(u,v),\psi(u,v))}{\partial y}\, \frac{\partial \psi(u,v)}{\partial u}.$$

Slično

$$\frac{\partial F(u,v)}{\partial v}= \frac{\partial f(\varphi(u,v)... ...f(\varphi(u,v),\psi(u,v))}{\partial y}\, \frac{\partial \psi(u,v)}{\partial v}.$$

Derivacije višeg reda od složenih funkcija se računaju analogno. Na pr. ako je $F(t)=f(u(t),v(t)),$ i ako su ispunjeni uvjeti Schwartzovog teorema, onda

$$F''(t)=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f(u(t),v(t))}{\partial x}\,u'(t)+ \frac{\partial f(u(t),v(t))}{\partial y}\,v'(t)\right)=$$

$$\frac{\partial^2 f(u(t),v(t))}{\partial x^2}\,{u'}^2(t)+\frac{\pa... ...l x}\,u''(t)+ 2\frac{\partial^2 f(u(t),v(t))}{\partial x\partial y}\,u'(t)v'(t)$$

$$+ \frac{\partial^2 f(u(t),v(t))}{\partial y^2}\,{v'}^2(t)+ \frac{\partial f(u(t),v(t))}{\partial y}\,v''(t).$$

Ili, ako je $F(u,v)=f(x(u,v),y(u,v)),$ onda

$$\frac{\partial^2 F}{\partial u\partial v}= \frac{\partial}{\parti... ...\partial v}+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}\right]=$$

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \frac{\partial x}{\partial u}\f... ...ial v}+ \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial^2y}{\partial u\partial v}.$$

Pravilo po kojem smo računali u biti sve ove primjere se zove lančano pravilo. Naziv dolazi odatle što se, u slučaju više varijabli, derivacije konkateniraju operacijom zbrajanja.

Pitanja

1.

Definirajte parcijalne derivacije funkcije više varijabli u točki, i dajte geometrijsku interpretaciju.

2.

Što je parcijalna derivacija funkcije?

3.

Što su parcijalne derivacije višeg reda?

4.

Što tvrdi Schwartzov teorem?

5.

Što znači kad se kaže da je funkcija klase $C^k(\Omega)$?

6.

Iskažite i dokažite teorem o derivaciji kompozicije funkcija.

7.

Navedite primjere derivacija različitih kompozicija funkcija više varijabli.

8.

Zašto se pravilo za deriviranje kompozicije funkcija zove lančano pravilo?

Riješeni zadaci

1.

Jednadžba Clapeyrona glasi $p\,V=R\,T.$ Ona daje vezu između tlaka $p,$ volumena $V,$ i temperature $T$ jednog mola plina. $R$ je plinska konstanta. Izračunati

$$\frac{\partial p}{\partial V}\,\frac{\partial V}{\partial T}\,\frac{\partial T}{\partial p}.$$

Rješenje. Imamo

$$p=\frac{R\,T}{V},\;\;\;V=\frac{R\,T}{p},\;\;\;T=\frac{p\,V}{R},$$

$$\frac{\partial p}{\partial V}=-\frac{R\,T}{V^2},\;\;\; \frac{\partial V}{\partial T}=\frac{R}{p},\;\;\; \frac{\partial T}{\partial p}=\frac{V}{R},$$

pa je

$$\frac{\partial p}{\partial V}\,\frac{\partial V}{\partial T}\,\frac{\partial T}{\partial p}=-\frac{R\,T}{V^2}\,\frac{R}{p}\,\frac{V}{R}=-1.$$

2.

Provjeriti ispravnost Schwartzovog teorema za funkciju

$$f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2+xy-xz+1.$$

Rješenje.

$$\frac{\partial f}{\partial x}=2x+y-z,\; \frac{\partial f}{\partial y}=2y+x,\; \frac{\partial f}{\partial z}=-2z-x.$$

$$\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=1= \frac{\partial^2 f}{... ...rtial^2 f}{\partial z\partial x}=-1= \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial z}.$$

3.

$F(x,y)=f({\rm Arctg}\,\,xy,\ln\frac{y}{x}).$ Naći $\frac{\partial F}{\partial x}.$

Rješenje.

$$\frac{\partial F}{\partial x}= \frac{\partial f}{\partial u}\,\fr... ...^2}\,\frac{\partial f}{\partial u}- \frac{1}{x}\,\frac{\partial f}{\partial v}.$$

4.

Neka je dana funkcija $f(x,y)$ i $x=r\cos\varphi,$ $y=r\sin\varphi,$ tako da je dana kompozicija $F(r,\varphi).$ Naći parcijalne derivacije.

Rješenje.

$$\frac{\partial F}{\partial r}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos\varphi+ \frac{\partial f}{\partial y}\sin\varphi,$$

$$\frac{\partial F}{\partial \varphi}= \frac{\partial f}{\partial x}(-r\sin\varphi)+ \frac{\partial f}{\partial y}r\cos\varphi.$$

5.

$F(x,y)=\varphi(x^2-y^2).$ Naći $\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}.$

Rješenje.

$$\frac{\partial F}{\partial x}=\varphi'(x^2-y^2)2x,\;\; \frac{\partial F}{\partial y\partial x}=\varphi''(x^2-y^2)(-4xy)= -4xy\varphi''(x^2-y^2).$$

6.

$F(x,y)=F(r\cos\varphi,r\sin\varphi)=\Phi(r,\varphi).$ Izračunati $\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}.$

Rješenje.

$$\frac{\partial F}{\partial x}= \frac{\partial \Phi}{\partial r}\f... ... y}+ \frac{\partial \Phi}{\partial \varphi}\frac{\partial \varphi}{\partial y},$$

$$\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}= \frac{\partial^2\Phi}{\partial... ...{\partial x}+ \frac{\partial \Phi}{\partial r}\frac{\partial^2r}{\partial x^2}+$$

$$\frac{\partial^2\Phi}{\partial r\partial \varphi} \frac{\partial ... ...+ \frac{\partial \Phi}{\partial \varphi}\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2},$$

$$\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}= \frac{\partial^2\Phi}{\partial... ...{\partial y}+ \frac{\partial \Phi}{\partial r}\frac{\partial^2r}{\partial y^2}+$$

$$\frac{\partial^2\Phi}{\partial r\partial \varphi} \frac{\partial ... ...+ \frac{\partial \Phi}{\partial \varphi}\frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}.$$

Iz $x=r\cos\varphi, y=r\sin\varphi$ slijedi

$$1=\frac{\partial r}{\partial x}\cos\varphi- r\sin\varphi\frac{\partial \varphi}{\partial x},$$

$$0=\frac{\partial r}{\partial x}\sin\varphi+ r\cos\varphi\frac{\partial \varphi}{\partial x},$$

$$0=\frac{\partial r}{\partial y}\cos\varphi- r\sin\varphi\frac{\partial \varphi}{\partial y},$$

$$1=\frac{\partial r}{\partial y}\sin\varphi+ r\cos\varphi\frac{\partial \varphi}{\partial y}.$$

Odatle

$$\frac{\partial r}{\partial x}=\cos\varphi,\quad \frac{\partial \... ...}=\sin\varphi,\quad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{\cos\varphi}{r},$$

$$\frac{\partial^2r}{\partial x^2}=\frac{\sin^2\varphi}{r},\quad \... ...d \frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}=-\frac{2\sin\varphi\cos\varphi}{r^2}.$$

Nakon uvrštavanja i sređivanja dobivamo

$$\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 F}{\partial y^... ...tial \Phi}{\partial r}+ \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\Phi}{\partial \varphi^2}.$$

7.

Ispitajte neprekidnost sljedeće funkcije i njezinih prvih i drugih parcijalnih derivacija u ishodištu

$$% latex2html id marker 35248 f(x,y) = \begin{cases} \frac{... ...)\neq (0,0),\\ 0,& \quad\text{za }(x,y) = (0,0). \end{cases}$$

Rješenje. Stavimo li $x=r\,\cos\varphi,$ $y=r\,\sin\varphi,$ imamo

$$f(x,y) = g(r,\varphi{}) = {\frac{{r^2}\,\sin 4\,\varphi}{4}},$$   za $$(x,y)\neq (0,0).$$

Ova funkcija ima u ishodištu limes $0,$ a kako je to i vrijednost funkcije u ishodištu, funkcija $f$ je neprekidna.

Izvan ishodišta je funkcija racionalna, pa možemo koristiti pravila za deriviranje. Ako osim toga pređemo na polarni koordinatni sustav, imamo

$$\frac{\partial{}f(x,y)}{\partial{}x} = {\frac{y\,\left( {x^4} + 4... ...right)}^2}}} ={\frac{r\,\left(3\,\sin 3\,\varphi - \sin 5\,\varphi\right)}{4}},$$

$$\frac{\partial{}f(x,y)}{\partial{}y} = {\frac{{x^5} - 4\,{x^3}\,... ... }^2}}} = {\frac{r\,\left( 3\,\cos 3\,\varphi + \cos 5\,\varphi \right) }{4}},$$

$$\frac{\partial^2{}f(x,y)}{\partial{}x^2} = {\frac{-4\,x\,{y^3}\, ... ... -4\,\cos \varphi\,\left( -1 + 2\,\cos 2\,\varphi \right) \,{{\sin \varphi}^3},$$

$$\frac{\partial^2{}f(x,y)}{\partial{}y\,\partial{}x} = {\frac{{x^... ...^2} + {y^2} \right) }^3}}} = {\frac{3\,\cos 2\,\varphi - \cos 6\,\varphi}{2}},$$

$$\frac{\partial^2{}f(x,y)}{\partial{}x\,\partial{}y} = {\frac{{x^6... ...^2} + {y^2} \right) }^3}}} = {\frac{3\,\cos 2\,\varphi - \cos 6\,\varphi}{2}},$$

$$\frac{\partial^2{}f(x,y)}{\partial{}y^2} = {\frac{4\,{x^3}\,y\, \... ...-4\,{{\cos \varphi}^3}\, \left( 1 + 2\,\cos 2\,\varphi \right) \, \sin \varphi.$$

Niti jedna od ovih derivacija nije neprekidna u ishodištu, jer očigledno ne postoje njihovi limesi u ishodištu.