Elementarne funkcije

Elementarne funkcije

Primjer 7.4   Funkcija $e^z$ se definira formulom

$$e^z=e^{x+i\,y}=e^x(\cos y+i\,\sin y),$$

i zove se eksponencijalna funkcija kompleksne varijable. Iz ove definicije, uz pomoć adicijskih teorema za sinus i kosinus, slijedi važno svojstvo eksponencijalne funkcije

$$e^{z_1+z_2} = e^{z_1}\,e^{z_2}.$$

Navedimo neka svojstva te funkcije.

a) Iz formule slijedi

$$u(x,y)=e^x\cos y,\hspace{1cm}v(x,y)=e^x\sin y.$$

Za $x=0$ imamo

$$e^{i\,y}=\cos y+i\,\sin y.$$ (7.1)

To je poznata Eulerova formula. Odatle

$$e^{i\,2k\pi}=1,\hspace{1cm}\forall k\in Z.$$

Tako je

$$e^{z+i\,2k\pi}=e^{z},\hspace{1cm}\forall k\in Z.$$

b) Jednadžba

$$e^z=0$$

nema rješenja, jer je

$$\vert e^z\vert = e^x\,\vert\cos y + i\,\sin y\vert = e^x > 0,$$   za svaki $$z\in C.$$

c) Neka je $w\in C, w\neq 0,$ i neka je $w=\vert w\vert(\cos\phi+i\,\sin\phi)=\vert w\vert e^{i\phi}.$ Jednadžba

$$e^z=w$$

se svodi na

$$e^x\,e^{i\,y}=\vert w\vert e^{i\phi},$$

odakle slijedi

$$e^x=\vert w\vert,\hspace{1cm} y=\phi +2k\,\pi, k\in Z.$$

Iz ovih formula se vidi da je slika funkcije $e^z$ cijeli skup $C\setminus\{0\}.$ Pri tom se uočava da se pruga $\{x+i\,y;\;x\in R,0\leqslant y<2\,\pi\}$ preslikava na $C\setminus\{0\}.$ Na isti skup se preslikavaju i pruge $\{x+i\,y;\;x\in R, 2k\,\pi\leqslant y<2(k+1)\pi \}.$ Tako funkcija $e^z$ lijepi beskonačno mnogo točaka u jednu točku.

Iz

$$u(x,y) = e^x\,\cos y,\quad v(x,y) = e^x\,\sin y$$

slijedi

$$y = c \quad \Rightarrow \quad u\,\sin c = v\,\cos c,$$

pa se radi o zrakama u $w$-ravnini

$$v = k\,u,$$   gdje je $$k = {\rm tg}\,c.$$

$$x = c \quad \Rightarrow \quad {u^2} + {v^2} = {e^{2\,c}},$$

pa se radi o kružnicama u $w$-ravnini

$${u^2} + {v^2} = r^2,$$   gdje je $$r = {e^{c}}.$$

Tako imamo sljedeću sliku

Primjer 7.5   Funkcija $\ln z.$

Iz prethodnog primjera se vidi da ne postoji inverzna funkcija od funkcije $e^z.$ No, ako uzmemo restrikciju funkcije $e^z$ na skup

$$S=\{x+i\,y;\;x\in R, 2k\,\pi\leqslant y<2(k+1)\pi \},$$

onda je preslikavanje $f(z)=e^z$ injekcija, i prema tome postoji inverzna funkcija. Ona je definirana na $C\setminus\{0\},$ a formula se dobije iz zahtjeva

$$e^w=z=\vert z\vert(\cos({\rm Arg\,}z+2k\,\pi)+i\,\sin({\rm Arg\,}z+2k\,\pi)), \hspace{1cm}w=u+i\,v.$$

Slijedi

$$e^u=\vert z\vert,\hspace{1cm}v={\rm Arg\,}z+2k\,\pi$$

tj.

$$\ln z=\ln \vert z\vert+i\,(2k\,\pi+{\rm Arg\,}z).$$

Ova funkcija se zove $k$-ta grana prirodnog logaritma. Nulta grana prirodnog logaritma

Ln $$z=\ln \vert z\vert+i\,{\rm Arg\,}z$$

se obično zove glavna vrijednost (grana) prirodnog logaritma.

Iz

$$u(x,y) = \ln\sqrt{x^2+y^2},\quad v={\rm Arg\,}z={\rm Arctg}\,\frac{y}{x}$$

slijedi da glavna grana prirodnog logaritma preslikava koordinatne linije u $z$-ravnini u krivulje čije su jednadžbe dane formulama

$$x = c \quad \Rightarrow \quad \cos^2v = c^2\,e^{-2\,u},$$

$$y = c \quad \Rightarrow \quad \sin^2v = c^2\,e^{-2\,u}.$$

Ovim jednadžbama su dane krivulje u $w$-ravnini. Te krivulje vidimo na sljedećoj slici

Primjer 7.6   $n$-ti korijen. U Matematici I smo prodiskutirali $n$-ti korijen kompleksnog broja $z,$ i došli do formule

$$\sqrt[n]{z}= \sqrt[n]{\vert z\vert} ... ...k\pi}{n}\right)= \sqrt[n]{\vert z\vert}\,e^{i\,\frac{ {\rm Arg\,}z +2k\pi}{n}},$$

$k=0,1,\ldots ,n-1.$ To pokazuje da se, ukoliko želimo imati $n$-ti korijen kao funkciju, moramo odlučiti za jednu od vrijednosti broja $k.$ Tako i $n$-ti korijen ima više grana. Ona, koja se dobije kad se uzme $k=0,$ se zove glavna grana $n$-tog korijena.

Kako djeluje funkcija 'treći korijen' vidi se na sljedećim slikama. Tu smo kao koordinatne linije u $z$-ravnini uzeli koordinatne linije u polarnom sustavu.

Primjer 7.7   Trigonometrijske funkcije.

Iz formula

$$e^{i\,y}=\cos y+i\,\sin y,\hspace{1cm}e^{-i\,y}=\cos y-i\,\sin y$$

slijedi

$$\sin y=\frac{e^{i\,y}-e^{-i\,y}}{2\,i},\hspace{1cm} \cos y=\frac{e^{i\,y}+e^{-i\,y}}{2}.$$

Shodno tome definiramo trigonometrijske funkcije na $C$ kako slijedi

$$\sin z=\frac{e^{i\,z}-e^{-i\,z}}{2\,i},\hspace{1cm} \cos z=\frac{e^{i\,z}+e^{-i\,z}}{2},$$

$${\rm tg}\,z=\frac{\sin z}{\cos z}= -... ...tg}\,z=\frac{\cos z}{\sin z}= i\,\frac{e^{i\,z}+e^{-i\,z}}{e^{i\,z}-e^{-i\,z}}.$$

Na temelju ovih definicija i svojstava kompleksne eksponencijalne funkcije, lako se može pokazati da vrijede poznate formule, kao što su adicijski teoremi, Pitagorin poučak, formule za dvostruki argument, polovični argument i sl.

Kako djeluju te funkcije vidi se iz sljedećih slika.

Sinus:

$$u = \sin x\, {\rm ch}\,y,\qquad v = \cos x\, {\rm sh}\,y,$$

pa za $y=c$ imamo

$$u^2\,{\rm sh}\,^2 c + v^2\,{\rm ch}\,^2 c = {\rm sh}\,^2 c\,{\rm ch}\,^2 c,$$

dok za $x=c$ imamo

$$u^2\,\cos^2 c - v^2\,\sin^2 c = \sin^2 c\,\cos^2 c.$$

Kosinus:

$$u = \cos x\, {\rm ch}\,y,\qquad v = -\sin x\, {\rm sh}\,y,$$

pa za $y=c$ imamo

$$u^2\,{\rm sh}\,^2 c + v^2\,{\rm ch}\,^2 c = {\rm sh}\,^2 c\,{\rm ch}\,^2 c,$$

dok za $x=c$ imamo

$$u^2\,\sin^2 c - v^2\,\cos^2 c = \sin^2 c\,\cos^2 c.$$

Tangens:

$${u = \frac{\sin 2\,x}{\cos 2\,x + {\rm ch}\,2\,y}},\qquad v = {\frac{{\rm sh}\,2\,y}{\cos 2\,x + {\rm ch}\,2\,y}},$$

pa za $y=c$ imamo

$$-2\,v\,{\rm ch}\,2\,c\,{\rm sh}\,2\,... ...ht) \, {{{\rm sh}\,^2 2\,c}} = {v^2}\,\left( 1 - {{{\rm ch}\,^2 2\,c}} \right),$$

dok za $x=c$ imamo

$$2\,u\,\cos 2\,c\,\sin 2\,c + \left(v^2 - 1 \right) \, {{\sin^2 2\,c}} = {u^2}\,\left(\cos^2 2\,c -1 \right).$$

Kotangens:

$$u = -{\frac{\sin 2\,x}{\cos 2\,x - {\rm ch}\,2\,y}},\qquad v = {\frac{{\rm sh}\,2\,y}{\cos 2\,x - {\rm ch}\,2\,y}},$$

pa za $y=c$ imamo

$$2\,v\,{\rm ch}\,2\,c\,{\rm sh}\,2\,c... ...ht) \, {{{\rm sh}\,^2 2\,c}} = {v^2}\,\left( 1 - {{{\rm ch}\,^2 2\,c}} \right),$$

dok za $x=c$ imamo

$$-2\,u\,\cos 2\,c\,\sin 2\,c + \left(v^2 - 1 \right) \, {{\sin^2 2\,c}} = {u^2}\,\left(\cos^2 2\,c - 1 \right).$$

Primjer 7.8   Hiperbolne funkcije.

Hiperbolne funkcije se definiraju kao i u realnom području

$${\rm sh}\,z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2},\hspace{1cm} {\rm ch}\,z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2},$$

$${\rm th}\,z=\frac{{\rm sh}\,z}{{\rm ... ...\rm cth}\,z=\frac{{\rm ch}\,z}{{\rm sh}\,z}= \frac{e^{z}+e^{-z}}{e^{z}-e^{-z}}.$$

Također i za hiperbolne funkcije vrijede formule poznate iz realnog područja. Tako na pr.

$${\rm sh}\,(z_1\pm z_2) = {\rm sh}\,z... ...\,(z_1\pm z_2) = {\rm ch}\,z_1\,{\rm ch}\,z_2 \pm {\rm sh}\,z_2\,{\rm ch}\,z_1.$$

Iz gornjih formula slijede i veze između trigonometrijskih i hiperbolnih funkcija

$$\sin i\,z=i\,{\rm sh}\,z,\;\; \cos i... ...h}\,z,\;\; {\rm tg}\,i\,z=i\,{\rm th}\,z,\;\; {\rm ctg}\,i\,z=-i\,{\rm cth}\,z.$$

Kako djeluju te funkcije vidi se iz sljedećih slika

Sinus hiperbolni:

$$u = \cos y\,{\rm sh}\,x,\qquad v = {\rm ch}\,x\,\sin y.$$

Odatle

$${v^2}\,{{\cos^2 c}} = \left( {u^2} + {{\cos^2 c}} \right) \, {{\sin^2 c}}$$

$${v^2}\,{{{\rm sh}\,^2 c}} = {{{\rm ch}\,^2c}}\, \left( {{{\rm sh}\,^2c}} -{u^2} \right)$$

Kosinus hiperbolni:

$$u = \cos y\,{\rm ch}\,x,\qquad v = \sin y\,{\rm sh}\,x.$$

Odatle

$${u^2}\,{{\sin ^2c}} = {{\cos ^2c}}\, \left( {v^2} + {{\sin ^2c}} \right)$$

$${u^2}\,{{{\rm sh}\,^2c}} = {{{\rm ch}\,^2c}}\, \left( {{{\rm sh}\,^2c}} -{v^2} \right)$$

Tangens hiperbolni:

$$u = {\frac{{\rm sh}\,2x} {\cos 2y + {\rm ch}\,2x}},\qquad v = {\frac{\sin 2y} {\cos 2y + {\rm ch}\,2x}}.$$

Odatle

$$2\,v\,\cos 2c\,\sin 2c + \left(u^2 -1 \right) \, {{\sin ^22c}} = {v^2}\,\left( {{\cos ^22c}} -1 \right)$$

$$-2\,u\,{\rm ch}\,2c\,{\rm sh}\,2c + ... ...} \right) \, {{{\rm sh}\,^22c}} = {u^2}\,\left( 1 - {{{\rm ch}\,^22c}} \right)$$

Kotangens hiperbolni:

$$u = -{\frac{{\rm sh}\,2x} {\cos 2y - {\rm ch}\,2x}},\qquad v = {\frac{\sin 2y} {\cos 2y - {\rm ch}\,2x}}.$$

Odatle

$$2\,v\,\cos 2c\,\sin 2c + \left(u^2 -1 \right) \, {{\sin ^22c}} = {v^2}\,\left( {{\cos ^22c}} -1 \right)$$

$$-2\,u\,{\rm ch}\,2c\,{\rm sh}\,2c + ... ...} \right) \, {{{\rm sh}\,^22c}} = {u^2}\,\left( 1 - {{{\rm ch}\,^22c}} \right)$$

Primjer 7.9   Opća potencija $z^c,\;c\in C.$

Definirana je formulom

$$z^c=e^{c\,(\ln z+2k\,\pi\,i)},\hspace{1cm}k\in Z.$$

Primjer 7.10   Arcus i area funkcije.

$$w=\sin z=\frac{e^{i\,z}- e^{-i\,z}}{2\,i},$$

$$e^{2\,i\,z}-{2\,i}\, e^{i\,z}w-1=0,$$

$$e^{i\,z}=i\,w\pm\sqrt{1-w^2},$$

$$z=-i\,\ln(i\,w\pm\sqrt{1-w^2}).$$

Tako je

$${\rm Arcsin}\,z=-i\,\ln(i\,z+\sqrt{1-z^2}),$$

Analogno se mogu dobiti formule za ostale arcus, kao i za area funkcije.

$${\rm Arccos}\,z=\frac{\pi}{2}+i\,\ln(i\,z+\sqrt{1-z^2}),$$

$${\rm Arctg}\,z=\frac{\pi}{2}-{\rm Arcctg}\,z=\frac{1}{2\,i}\,\ln\frac{1+i\,z}{1-i\,z},$$

$${\rm Arsh}\,z=\ln(z+\sqrt{z^2+1}),$$

$${\rm Arch}\,z=\ln(z+\sqrt{z^2-1}),$$

$${\rm Arth}\,z=\frac{1}{2}\,\ln\frac{1+z}{1-z},$$

$${\rm Arcth}\,z=\frac{1}{2}\,\ln\frac{z+1}{z-1}.$$

Neprekidnost

Definicija 48   Za funkciju $f:D\rightarrow C,$ gdje je $D$ područje u $C,$ kažemo da je neprekidna u točki $c\in D$ ako $\forall \varepsilon >0$ postoji $\delta >0$ tako da

$$(\vert z-c\vert<\delta )\Rightarrow(\vert f(z)-f(c)\vert<\varepsilon).$$

Ako je funkcija neprekidna u svakoj točki iz $D,$ onda kažemo da je neprekidna na $D$. U protivnom kažemo da ima prekid na $D$.

Slika 7.3: Neprekidnost funkcije kompleksne varijable.

Vrijedi

-

Funkcija $f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y)$ je neprekidna u točki $c=a+i\,b$ ako i samo ako su funkcije $u,v$ neprekidne u točki $(a,b).$

-

Neka je $f:D\rightarrow C$ neprekidna u točki $c\in D.$ Tada postoje $M>0$ i $\delta >0$ takvi da

$$(\vert z-c\vert<\delta )\Rightarrow(\vert f(z)\vert<M).$$

-

Neka je $f:D\rightarrow C$ neprekidna u točki $c\in D,$ i neka je $f(c)\neq 0.$ Tada postoji $\delta >0$ takav da

$$(\vert z-c\vert<\delta )\Rightarrow(f(z)\neq 0).$$

-

Neka je $f:D\rightarrow C,\;g:J\rightarrow C,$ gdje su $D,J$ područja takva da je $f(D)\subset J.$ Neka je $f$ neprekidna u točki $c\in D$ a $g$ neprekidna u točki $f(c)=d.$ Tada je funkcija $h=g\,{\scriptstyle\circ} f$ neprekidna u točki $c.$

-

Neka su $f:D\rightarrow C$ i $g:D\rightarrow C$ funkcije neprekidne u točki $c\in D,$ i neka je $\lambda \in C.$ Tada je

1.

$f\pm g$ neprekidna u točki $c,$

2.

$fg$ neprekidna u točki $c,$

3.

$\lambda f$ neprekidna u točki $c.$

4.

Ako je $g(c)\neq0,$ onda je $\frac{f}{g}$ neprekidna u točki $c.$

-

Neka je $(a_n)$ konvergentan niz kompleksnih brojeva i neka je $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n=a_0.$ Neka je $f:D\rightarrow C$ neprekidna funkcija, i neka je $a_n\in D,\; a_0\in D.$ Tada je kompozicija $f\,{\scriptstyle\circ} a$ konvergentan niz i vrijedi

$$\lim_{n \rightarrow \infty} f(a_n)= f(\lim_{n \rightarrow \infty} a_n)=f(a_0).$$

-

Ako je funkcija neprekidna na zatvorenom ograničenom skupu $\bar{D},$ onda je ona ograničena na $\bar{D}.$

-

Ako je funkcija neprekidna na zatvorenom ograničenom skupu $\bar{D},$ onda postoje $z_m,z_M\in D$ takvi da je

$$\vert f(z_m)\vert\leqslant \vert f(z)\vert\leqslant \vert f(z_M)\vert,\hspace{1cm}\forall \varepsilon >0.$$

Limes

Definicija 49   Kažemo da funkcija $f$ definirana na području $D$ osim možda u točki $c\in D,$ ima limes $L$ u točki $c,$ ako $\forall \varepsilon >0$ postoji $\delta >0$ tako da

$$(0<\vert z-c\vert<\delta )\Rightarrow (\vert f(z)-L\vert<\varepsilon ).$$

Pišemo $L=\lim_{z \rightarrow c} f(z).$

Vrijedi

-

Ako funkcija nije definirana u točki $c,$ a ima limes $L$ u točki $c$ i ako stavimo $\tilde{f}(z)=f(z)$ za $z\neq c$ i $\tilde{f}(c)=L,$ onda je $\tilde{f}$ neprekidna u točki $c.$

-

Ako je funkcija definirana u točki $c,$ ima limes $L$ u točki $c,$ koji možda nije jednak $f(c),$ i ako stavimo $\tilde{f}(z)=f(z)$ za $z\neq c$ i $\tilde{f}(c)=L,$ onda je $\tilde{f}$ neprekidna u točki $c.$

-

$\lim_{z \rightarrow c=a+i\,b}f(z)=L=A+i\,B$ ako i samo ako vrijedi

$$\lim_{(x,y) \rightarrow (a,b)}u(x,y)=A,\hspace{1cm} \lim_{(x,y) \rightarrow (a,b)}v(x,y)=B$$

-

Neka je $f$ neprekidna funkcija u točki $c\in D.$ Tada $f$ ima limes u točki $c$ i $\lim_{z \rightarrow c} f(z)=f(c).$

-

Neka $f$ ima limes u točki $c$ i neka je $\lim_{z \rightarrow c} f(z)=f(c).$ Tada je $f$ neprekidna u točki $c.$

Derivacija funkcije kompleksne varijable

Definicija 50   Neka je $D$ područje u $C.$ Kažemo da je funkcija $f:D\rightarrow C$ derivabilna u točki $c\in D$ ako postoji

$$\lim_{z \rightarrow c} \frac{f(z)-f(c)}{z-c}.$$

Taj broj označavamo s $f'(c)$ i zovemo derivacijom funkcije $f$ u točki $c$.

Također se umjesto $f'(c)$ može pisati i $\frac{\textstyle{df(c)}}{\textstyle{dz}}.$

Primjer 7.11   Funkcija $f(z)=z$ je derivabilna na $C,$ i $f'(z)=1.$

Rješenje. Neka je $c$ proizvoljan kompleksan broj.

$$\lim_{z\rightarrow c} \frac{z-c}{z-c} = \lim_{z\rightarrow c} 1 = 1.$$

Primjer 7.12   Funkcija $f(z)=\bar z$ nije derivabilna u točki $z=0.$

Rješenje. Limes, koji se pojavljuje u definiciji derivacije funkcije kompleksne varijable, ne ovisi o putu u Gaussovoj ravnini kojim $z$ teži prema nuli. Po svakom putu mora postojati limes i uvijek mora biti jedan te isti broj. Izaberimo najprije put duž kojeg je $y=0.$ Tada je

$$\lim_{z\rightarrow 0} \frac{\bar{z}}{z} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{x}{x} = 1.$$

Po drugom putu na kojem je $x=0$ imamo

$$\lim_{z\rightarrow 0} \frac{\bar{z}}{z} = \lim_{y\rightarrow 0} \frac{-i\,y}{i\,y} = -1.$$

Budući da limesi nisu isti, zaključujemo da funkcija nije derivabilna u točki $z=0.$

Ako je funkcija $f$ derivabilna u svakoj točki područja $D,$ onda funkciju $f'$ koja kompleksnom broju $z$ pridružuje $f'(z)$ zovemo derivacijom funkcije $f$.

Kao i kod derivacija realnih funkcija realne varijable, imamo formule

$$(f+g)'=f'+g',$$

$$(f\,g)'=f'\,g+f\,g',$$

$$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'\,g-f\,g'}{g^2},$$

$$(f(g(z)))'=f'(g(z))\,g'(z),$$

$$\left(f^{-1}(w)\right)'=\frac{1}{f'(z)}.$$

Pitanja

1.

Nabrojite osnovne elementarne funkcije. Kako se definiraju? U čemu je problem pri definiranju na pr. logaritma?

2.

Kojim formulama se definiraju arcus funkcije?

3.

Kad kažemo da je funkcija kompleksne varijable neprekidna?

4.

Kako se neprekidnost odnosi prema operacijama s funkcijama?

5.

Kako definiramo limes funkcije kompleksne varijable i koja svojstva ima?

Riješeni zadaci

1.

Dokazati sljedeće formule

(a)

${\rm sh}\,(z+\pi\,i) = -{\rm sh}\,z,$

(b)

$\vert\cos z\vert = \sqrt{{\rm ch}\,^2y-\sin^2x}.$

Rješenje.

(a)

Pomoću adicionog teorema za ${\rm sh}\,$

$${\rm sh}\,(z+\pi\,i) = {\rm sh}\,z\,... ...{\rm ch}\,z = {\rm sh}\,z\,\cos \pi + i\,\sin \pi\,{\rm ch}\,z = -{\rm sh}\,z.$$

(b)

Također pomoću adicionog teorema ali za $\cos$

$$\cos (x+i\,y) = \cos x\,\cos i\,y - \sin x\,\sin i\,y = \cos x\,{\rm ch}\,y - i\,\sin x\,{\rm sh}\,y.$$

Odatle

$$\vert\cos (x+i\,y)\vert = \sqrt{\cos^2 x\,{\rm ch}\,^2 y + \sin^2 x\,{\rm sh}\,^2 y}.$$

Koristeći formule $\cos^2x=1-\sin^2x,$ i ${\rm ch}\,^2 y-{\rm sh}\,^2y=1,$ imamo

$$\vert\cos (x+i\,y)\vert = \sqrt{{\rm ch}\,^2 y - \sin^2 x}.$$

2.

Odrediti one točke $z,$ u kojima funkcija ${\rm cth}\,z$ prima realne vrijednosti.

Rješenje. Funkcija ${\rm cth}\,$ prima realne vrijednosti u onim točkama kompleksne ravnine, u kojima se njezin imaginarni dio $v$ poništava.

$$v(x,y) = \frac{\sin 2y}{\cos 2y - {\rm ch}\,2x} = 0.$$

Odatle $\sin 2\,y = 0$ i $\cos 2y - {\rm ch}\,2x\neq 0.$ Ovdje je važno napomenuti da su $x$ i $y$ realne varijable. Iz jednadžbe slijedi $y=\frac{k\,\pi}{2},\;k\in Z,$ a iz nejednadžbe slijedi da treba isključiti točku $x=0,y=0.$ Dakle, to je skup točaka na pravcima $y=\frac{k\,\pi}{2},\;k\in Z$ paralelnim s realnom osi, osim ishodišta.

3.

Riješiti jednadžbu $\cos z = \frac{1}{4}\,(3+i).$

Rješenje. Jedan od načina rješavanja je da izjednačimo realne i imaginarne dijelove s lijeva i s desna, i tako dobijemo dvije jednadžbe za nepoznanice $x$ i $y.$ Ovdje, međutim, možemo koristiti formulu za inverznu funkciju ${\rm Arccos}\,.$ Dakle

$${\rm Arccos}\,\frac{1}{4}\,(3+i) = \... ...left[i\,\frac{1}{4}\,(3+i) + \sqrt{1-\left(\frac{1}{4}\,(3+i)\right)^2}\right].$$

Imamo

$$\sqrt{1-\left(\frac{1}{4}\,(3+i)\right)^2} = \pm \frac{1}{4}\,(3 - i),$$

pa

$$i\,\frac{1}{4}\,(3+i) + \sqrt{1-\left(\frac{1}{4}\,(3+i)\right)^2}$$

daje dvije vrijednosti

$$\frac{1}{2}\,(1+i),\qquad -1+i.$$

Prva vrijednost daje rješenja

$$z = \frac{1}{4}\,(\pi - 2\,i\,\ln 2) + 2\,k\,\pi,\quad k\in Z,$$

a druga

$$z = \frac{1}{4}\,(5\,\pi + 2\,i\,\ln 2) + 2\,k\,\pi,\quad k\in Z.$$