Pojam funkcije kompleksne varijable

Kompleksni brojevi

Skup^7.1

$$C=\{a+b\,i;\;a,b\in R\},$$

gdje je $i$ broj koji ima svojstvo

$$i^2=-1,$$

se zove skup kompleksnih brojeva. Ako je

$$z=a+b\,i,$$

onda imamo sljedeće oznake. $a$ je realan dio kompleksnog broja $z$ i piše se $a={\rm Re}\,z,$ $b$ je imaginaran dio kompleksnog broja $z$ i piše se $b=$Im$\,z,$ $i$ je imaginarna jedinica.

Broj

$$\overline{z}=a-b\,i$$

se zove kompleksno konjugiran broju $z.$

Operacije s kompleksnim brojevima

Neka je $z=a+b\,i, w=c+d\,i.$

$$z+w=(a+b\,i)+(c+d\,i)=(a+c)+(b+d)i,$$

$$zw=(a+b\,i)(c+d\,i)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$

Modul kompleksnog broja je realan broj

$$\vert z\vert=\vert a+b\,i\vert=\sqrt{z\overline{z}}=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Vrijedi

$$\vert z+w\vert\leq \vert z\vert+\vert w\vert,\qquad \vert zw\vert=\vert z\vert\vert w\vert.$$

Gaussova ravnina

Svaki kompleksni broj je potpuno zadan s dva realna broja, i pri tom je važno koji je prvi (realni dio) a koji drugi (imaginarni dio). Obratno, svakom uređenom paru realnih brojeva $(a,b)$ možemo pridružiti kompleksni broj $z=a+b\,i.$ Tako je dano obostrano jednoznačno pridruživanje između skupova $C$ i $R^2.$ To ipak ne znači da su to isti skupovi. U $C$ imamo operacije zbrajanja i množenja tj. znamo računati, a u $R^2$ nemamo nikakve operacije. Elemente iz $R^2$ možemo crtati kao točke u ravnini. Obostrano jednoznačno pridruživanje između $R^2$ i $C$ omogućava da se i kompleksni brojevi crtaju u ravnini kao točke. Razlika između ravnine u kojoj se crtaju uređeni parovi realnih brojeva i ravnine u kojoj se crtaju kompleksni brojevi je u tome što u ovoj potonjoj točke možemo zbrajati i množiti, pa zato ova druga ima posebno ime. Ona se zove Gaussova ravnina ili kompleksna ravnina.

Zbrajanje i odbijanje točaka u Gaussovoj ravnini se vrši po pravilu paralelograma kao na slici.

Trigonometrijski oblik

Neka je $z\in C\setminus \{0\}.$ Zapis

$$z=\vert z\vert(\cos \varphi+i\,\sin \varphi)$$

se zove trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Broj $\varphi$ se zove argument broja $z,$ i piše se $\arg z.$ Broju $z$ je pridruženo beskonačno mnogo vrijednosti argumenta, $\varphi,\varphi+2\pi,\varphi-2\pi,\varphi+4\pi,\varphi-4\pi, \ldots .$ Vrijednost koja se nalazi u $[0,2\pi\rangle$ se zove glavna vrijednost argumenta, i piše se ${\rm Arg\,}z.$

Množenje

Neka su $z_1=\vert z_1\vert(\cos \varphi_1+i\,\sin \varphi_1), z_2=\vert z_2\vert(\cos \varphi_2+i\,\sin \varphi_2)$ dva kompleksna broja.

$$z_1z_2= \vert z_1\vert\vert z_2\vert(\cos (\varphi_1+\varphi_2)+i\,\sin (\varphi_1+\varphi_2)).$$

Pojam funkcije kompleksne varijable

Otvoren povezan skup u kompleksnoj (Gaussovoj) ravnini zovemo područjem.

Neka je $D$ područje i neka je zadana funkcija $f:D\rightarrow C.$ Kompleksni broj $f(z)$ možemo napisati u obliku

$$f(z)=$$Re$$\,f(z)+i\,$$Im$$\,f(z).$$

Brojevi Re$\,f(z)$ i Im$\,f(z)$ su realni, i ovise o $z=x+i\,y,$ tj. ovise o uređenom paru realnih brojeva $(x,y).$

Tako zapravo možemo pisati

$$f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y),$$

gdje su $u$ i $v$ realne funkcije od dvije realne varijable, definirane na području u $R^2,$ koje se skupovno poklapa s $D.$ Zato i pišemo $u:D\rightarrow R,$ $v:D\rightarrow R.$

Problem crtanja grafa funkcije kompleksne varijable se sastoji u tome što se uređeni par $(z,f(z))$ kompleksnih brojeva može identificirati s uređenom četvorkom realnih brojeva $(x,y,u(x,y),v(x,y)).$ Uređenu četvorku realnih brojeva nije moguće nacrtati u ravnini, pa zato funkcije kompleksne varijable prikazujemo u dvije kompleksne ravnine, i to u $z$-ravnini prikazujemo elemente domene funkcije, a u $w$-ravnini prikazujemo slike funkcije.

Primjer 7.1   Neka je na primjer $f(z)=(1+i)\,z+(-2+3\,i).$ Na sljedećoj slici se vidi kako $f$ preslikava nekoliko točaka i to $z_1=3+i,z_2=2-i,z_3=5.$

Primjer 7.2   Funkcija $f(z)=a\,z+b,$ gdje su $a,b\in C, a\neq 0.$

Neka je $a=a_1+i\,a_2, b=b_1+i\,b_2, z=x+i\,y.$ Tada je

$$f(z)= a_1\,x-a_2\,y+b_1+i\,(a_2\,x+a_1\,y+b_2).$$

Tako je

$$u(x,y)= a_1\,x-a_2\,y+b_1\hspace{1cm}v(x,y)=a_2\,x+a_1\,y+b_2.$$

Djelovanje ove funkcije u $w$-ravnini se bolje može opisati ako se poslužimo trigonometrijskim zapisom.

$$a=\vert a\vert(\cos\phi+i\,\sin\phi),\hspace{1cm}z=\vert z\vert(\cos\theta+i\,\sin\theta).$$

$$f(z)= \vert a\vert\,\vert z\vert\,(\cos(\phi+\theta)+i\,\sin(\phi+\theta))+b.$$

To pokazuje da se ovdje radi o rotaciji oko ishodišta za kut $\phi ,$ zatim stezanju ( $0<\vert a\vert\leqslant 1$) ili rastezanju ( $\vert a\vert\geqslant 1$), i konačno translaciji za vektor kojem je početak u ishodištu, a vrh u $b$ (v. sl. 7.1).

Slika 7.1: a: početno područje $D,$ b: $D\,(\cos(\phi+\theta)+i\,\sin(\phi+\theta))$ tj. rotacija za kut $\phi ,$ c: $\vert a\vert\,D\,(\cos(\phi+\theta)+i\,\sin(\phi+\theta)),$ tj. rastezanje (stezanje) $\vert a\vert$ puta d: $\vert a\vert\,D\,(\cos(\phi+\theta)+i\,\sin(\phi+\theta))+b,$ tj. translacija za $b.$

Potpuniju informaciju o tome kako $f$ preslikava točke iz $z$-ravnine u točke iz $w$-ravnine dobivamo, ako uočimo u što se preslikavaju koordinatne linije u $z$-ravnini. Tako za $f$ iz primjera 7.1 imamo

$$x = c \quad \Rightarrow \quad v = 1 + 2\,c - u,$$

$$y = c \quad \Rightarrow \quad v = 5 + 2\,c + u,$$

što se vidi na slici 7.2.

Slika 7.2: Afino preslikavanje koordinatnih linija.

Primjer 7.3   Funkcija $f(z)=z^2.$

$$(x+i\,y)^2=x^2+2xy\,i-y^2,$$

pa je

$$u(x,y)=x^2-y^2,\hspace{1cm}v(x,y)=2\,x\,y,$$

$$x = c \quad \Rightarrow \quad {v^2} = 4\,{c^4} - 4\,{c^2}\,u,$$

$$y = c \quad \Rightarrow \quad {v^2} = 4\,{c^2}\,\left( {c^2} + u \right),$$

Ako nas, naprotiv, interesira koje to krivulje u $z$-ravnini prelaze u koordinatne linije u $w$-ravnini, onda treba staviti

$$u = x^2 - y^2 = c,\qquad v = 2\,x\,y = c,$$

pa tada imamo ove slike

S druge strane

$$f(\vert z\vert\,e^{i\,{\rm Arg\,}z})=\vert z\vert^2\,e^{i\,2{\rm Arg\,}z}.$$

Kada ${\rm Arg\,}z$ ide od 0 do $\pi,$ $2{\rm Arg\,}$ prijeđe vrijednosti od 0 do $2\pi.$ Osim toga, kada $\vert z\vert$ ide od 0 do $\infty,$ $\vert z\vert^2$ također ide od 0 do $\infty.$ Tako se vidi da funkcija preslikava gornju $z$-poluravninu na cijelu $w$-ravninu. Na isti način možemo zaključiti da donju poluravninu također preslikava na cijelu ravninu. Pritom lijepi točke $\vert z\vert\,e^{i\,{\rm Arg\,}z}$ i $\vert z\vert\,e^{i\,({\rm Arg\,} z+\pi)}.$

Pitanja

1.

Kakvu funkciju zovemo funkcijom kompleksne varijable?

2.

Što predstavljaju realni i imaginarni dio funkcije kompleksne varijable?

3.

Kako grafički prikazujemo djelovanje funkcije kompleksne varijable? Objasnite na primjeru.

Riješeni zadaci

1.

Riješiti jednadžbu $z^3=\overline{z}.$

Rješenje. Jedno rješenje je očito $z_1=0.$ Da nađemo ostala rješenja, pomnožimo jednadžbu sa $z.$ imamo $z^4=\vert z\vert^2,$ tj.

$$\vert z\vert^4(\cos 4\varphi+i\sin 4\varphi)=\vert z\vert^2,$$

$$\vert z\vert^2(\cos 4\varphi+i\sin 4\varphi)=1.$$

Odavde slijedi $\vert z\vert=1$ i $4\varphi=2k\pi,\;\;k\in Z,$ tj. $\varphi=k\frac{\pi}{2},\;\;k\in Z.$ Dakle $z_2=1,z_3=i,z_4=-1,z_5=-i.$

Zadatak se mogao riješiti i tako da se uvrsti $z=x+iy,\overline{z}= x-iy,$ i izjednače realni i imaginarni dijelovi u jednadžbi. Time bi se dobio sustav od dvije jednadžbe s dvije nepoznanice $x\,y.$

2.

Neka je $\varphi\neq 2k\pi,\;\;k\in Z.$ Izračunati

(a) $$\sin\varphi+\sin 2\varphi+\cdots+\sin n\varphi= \frac{\textstyle{\sin\frac{(n+1)\varphi}{2}\sin\frac{n\varphi}{2}}} {\sin\frac{\varphi}{2}},$$

(b) $$\frac{1}{2}+\cos\varphi+\cos 2\varphi+\cdots+\cos n\varphi= \frac{\textstyle{\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)\varphi}} {2\sin\frac{\varphi}{2}}.$$

Rješenje. Budući da je $(\cos\varphi+i\sin\varphi)^k= \cos k\varphi+i\sin k\varphi,$ trebamo izračunati

$$\sum_{k=0}^n (\cos\varphi+i\sin\varphi)^k= \sum_{k=0}^n (\cos k\varphi+i\sin k\varphi)=$$

$$(1+\cos\varphi+\cos 2\varphi+\cdots+\cos n\varphi)+ i(\sin\varphi+\sin 2\varphi+\cdots+\sin n\varphi).$$

$$\sum_{k=0}^n (\cos\varphi+i\sin\varphi)^k= \frac{(\cos\varphi+i\sin\varphi)^{n+1}-1}{(\cos\varphi+i\sin\varphi)-1}=$$

$$\frac{\cos(n+1)\varphi-1+i\sin(n+1)\varphi}{\cos\varphi-1+i\sin\varphi}\, \cdot\,\frac{\cos\varphi-1-i\sin\varphi}{\cos\varphi-1-i\sin\varphi}.$$

Nakon množenja i sređivanja, realni dio je

$$\frac{\cos n\varphi-\cos\varphi-\cos(n+1)\varphi+1}{4\sin^2\frac{\varphi}{2}},$$

a imaginarni

$$\frac{\sin n\varphi+\sin\varphi-\sin(n+1)\varphi}{4\sin^2\frac{\varphi}{2}}.$$

$$(\sin n\varphi+\sin\varphi)-\sin(n+1)\varphi=$$

$$2\sin\frac{(n+1)\varphi}{2}\cos\frac{(n-1)\varphi}{2}- 2\sin\frac{(n+1)\varphi}{2}\cos\frac{(n+1)\varphi}{2}=$$

$$4\sin\frac{(n+1)\varphi}{2}\sin\frac{n\varphi}{2}\sin\frac{\varphi}{2}$$

Nakon kraćenja s nazivnikom dobivamo formulu (a). Slično se dobije formula (b).

3.

U što se preslika krivulja $z(t)=e^{i\,t},\;t\in [0,2\,\pi]$ funkcijom $w(z) = \frac{1}{2}\,\left(z+\frac{1}{z}\right)$?

Rješenje. Zadana krivulja $z(t)$ je jedinična kružnica sa središtem u ishodištu. Kad u $w$ uvrstimo dani $z(t),$ dobivamo

$$w(t) = {\frac{{e^{-i\,t}} + {e^{i\,t}}}{2}} = \cos t.$$

Kako se $t$ mijenja od 0 do $2\,\pi,$ slika dane kružnice postaje dvostruki segment $[-1,1].$ Pri tom, kad $t$ ide od 0 do $2\,\pi,$ točka na kružnici ide od točke $1$ i u pozitivnom smjeru obilazi kružnicu, dok je slika te točke upravo projekcija na realnu os.