Metoda varijacije konstanti. Linearne diferencijalne jednadžbe višeg reda

Metoda varijacije konstanti

Pretpostavimo da je

$$y=C_1y_1+C_2y_2$$ (6.41)

opće rješenje pripadne homogene jednadžbe (6.33). Da dobijemo opće rješenje nehomogene jednadžbe (6.32) potrebno nam je jedno partikularno rješenje jednadžbe (6.32). Sljedeći teorem govori o tome kako se partikularno rješenje jednadžbe (6.32) može dobiti pomoću (6.41) varirajući konstante $C_1$ i $C_2$.

Teorem 34   Neka je $(y_1,y_2)$ fundamentalni sustav rješenja diferencijalne jednadžbe

$$y''+p(x)\,y'+q(x)\,y=0$$

i neka su $C_1,C_2$ funkcije klase $C^2(I)$ takve da zadovoljavaju sustav jednadžbi

$$% latex2html id marker 43868 \begin{split}C'_1(x)\,y_1(x)+C'... ...(x)\,y'_2(x) & = f(x),\hspace{.5in} \forall x\in I. \end{split}$$ (6.42)

Tada je

$$u(x)=C_1(x)\,y_1(x)+C_2(x)\,y_2(x)$$ (6.43)

rješenje jednadžbe (6.32).

Dokaz.

$$u=C_1\,y_1+C_2\,y_2$$

$$u'=C_1\,y'_1+C_2\,y'_2+C'_1\,y_1+C'_2\,y_2=C_1\,y'_1+C_2\,y'_2$$

$$u''=C_1\,y''_1+C_2\,y''_2+C'_1\,y'_1+C'_2\,y'_2=C_1\,y''_1+C_2\,y''_2+f,$$

pa je

$$u''+p(x)\,u'+q(x)\,u= C_1(y''_1+p(x)\,y'_1+q(x)\,y_1)+C_2(y''_2+p(x)\,y'_2+q(x)\,y_2)+f=f.$$

Dakle $u$ je zaista rješenje jednadžbe (6.32) i time je teorem dokazan. $\heartsuit$

Da bismo dobili partikularno rješenje (6.43) potrebno je naći funkcije $C_1(x)$ i $C_2(x)$. Budući da su $y_1,y_2$ linearno nezavisne, determinanta matrice sustava (6.42) (Wronskijan) je različita od nule, pa u tom slučaju imamo jedinstveno rješenje:

$$C'_1(x)=\frac{-f(x)\,y_2(x)}{W(x)},\hspace{.5in} C'_2(x)=\frac{f(x)\,y_1(x)}{W(x)}$$

i odatle

$$C_1(x)=\int_{x_0}^{x}\frac{-f(\xi )\,y_2(\xi )}{W(\xi )}\,d\xi ,\;\;\; C_2(x)=\int_{x_0}^{x}\frac{f(\xi )\,y_1(\xi )}{W(\xi )}\,d\xi .$$ (6.44)

Pomoću formula (6.44), uz poznate $y_1$ i $y_2$, možemo naći partikularno rješenje $u=C_1\,y_1+C_2\,y_2.$

Primjer 6.12   Treba naći opće rješenje jednadžbe

$$y''+y=\frac{1}{\sin x},\hspace{.5in} x\in \langle 0,\pi \rangle.$$

Rješenje. Najprije rješavamo pripadnu homogenu jednadžbu

$$y''+y=0.$$ (6.45)

$$\lambda ^2+1=0, \qquad \lambda _1=i,\quad \lambda _2=-i,$$

pa je fundamentalni sustav rješenja

$$e^{ix}, e^{-ix}.$$

Iz Eulerove formule (7.1) slijedi

$$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i},\;\;\;\cos x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2},$$

pa su

$$\sin x,\;\;\; \cos x$$ (6.46)

također rješenja jednadžbe (6.45). Zatim

$$% latex2html id marker 43913 W(x)=\left\vert \begin{array}{r... ...cos x \\ \cos x & -\sin x \end{array}\right\vert = -1\neq 0,$$

pa je (6.46) također fundamentalni sustav rješenja. Tako po formulama (6.44) imamo

$$C_1(x)=\int_{x_0}^{x}\frac{\cos \xi }{\sin \xi }\,d\xi , \hspace{.5in} C_2(x)=-\int_{x_0}^x \,d\xi .$$

Odatle, za $x_0=\frac{\pi}{2}$,

$$C_1(x)=\ln \,\sin x,\hspace{.5in} C_2(x)=\frac{\pi }{2}-x.$$

Opće rješenje je

$$y(x)=C_1\,\sin x +C_2\,\cos x+\sin x \,\ln \,\sin x+\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\,\cos x,$$

tj.

$$y(x)=D_1\,\sin x+D_2\,\cos x+\sin x \,\ln \,\sin x-x\,\cos x.$$

Linearna diferencijalna jednadžba n-tog reda

Neka su $a_0,a_1,\ldots ,a_{n-1},f$ neprekidne realne funkcije definirane na intervalu $I$. Jednadžba

$$y^{(n)}+a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)}+\ldots +a_1(x)\,y'+a_0(x)\,y=f(x)$$ (6.47)

se zove linearna diferencijalna jednadžba n-tog reda.

Cauchyjev problem glasi

$$y^{(n)}+a_{n-1}\,y^{(n-1)}+\ldots +a_1\,y'+a_0\,y=f(x)$$

$$y(x_0)=y_0,\;\; y'(x_0)=y'_0,\ldots ,\;\; y^{(n-1)}(x_0)=y_0^{(n-1)},$$

i ima jedno i samo jedno rješenje.

Jednadžbu

$$y^{(n)}+a_{n-1}\,y^{(n-1)}+\ldots +a_1\,y'+a_0\,y=0$$ (6.48)

zovemo pripadnom homogenom jednadžbom. Ako je $f(x)\neq 0,$ onda jednadžbu zovemo nehomogenom. Skup $X_0$ svih rješenja jednadžbe (6.48) je $n$-dimenzionalan vektorski prostor. Proizvoljna baza u $X_0$, tj. proizvoljna uređena $n$-torka linearno nezavisnih rješenja jednadžbe (6.48) se zove fundamentalni sustav rješenja. Da funkcije $y_1,\ldots ,y_n\in X_0$ čine fundamentalni sustav rješenja, nužno je i dovoljno da determinanta Wronskog

$$% latex2html id marker 43950 W(x)=W(y_1(x),\ldots ,y_n(x))=\... ..._1^{(n-1)}(x) & \ldots & y_n^{(n-1)}(x) \end{array}\right\vert$$

bude različita od nule za bar jedan $x_0\in I$. Ako je $y_1,\ldots ,y_n$ fundamentalni sustav rješenja jednadžbe (6.48), onda je opće rješenje jednadžbe (6.48)

$$y(x)=C_1\,y_1(x)+\ldots +C_n\,y_n(x).$$ (6.49)

Označimo s $X_f$ skup svih rješenja jednadžbe (6.47). Neka je $y_p\in X_f$. Tada je

$${X_f}=\{y_p+u;\;u\in X_0\}.$$

Odatle slijedi da je opće rješenje jednadžbe (6.47) oblika

$$y(x)=y_p(x)+C_1\,y_1(x)+\ldots +C_n\,y_n(x).$$

Partikularno rješenje $y_p$ nehomogene jednadžbe možemo dobiti metodom varijacije konstanti. Pretpostavljamo

$$y_p(x)=C_1(x)\,y_1(x)+\ldots +C_n(x)\,y_n(x),$$ (6.50)

gdje je $(y_1,\ldots ,y_n)$ fundamentalni sustav rješenja jednadžbe (6.48). Ako funkcije $C_1(x),\ldots ,$ $C_n(x)$ zadovoljavaju sustav linearnih algebarskih jednadžbi

$$% latex2html id marker 43976 \begin{split}C'_1\,y_1+\cdots +... ...1\,y_1^{(n-1)}+\cdots +C'_n\,y_n^{(n-1)} & = f, \\ \end{split}$$ (6.51)

onda $y_p$ iz (6.50) rješava nehomogenu jednadžbu. Sustav (6.51) je nehomogen sustav linearnih algebarskih jednadžbi. Determinanta matrice sustava je determinanta Wronskog, dakle regularna, pa sustav (6.51) ima jedinstveno rješenje.

Ako su u jednadžbi (6.48) koeficijenti $a_0,a_1,\ldots ,a_{n-1}$ konstante, onda se problem općeg rješenja homogene jednadžbe svodi na problem nalaženja rješenja algebarske jednadžbe n-tog stupnja

$$\lambda^n +a_{n-1}\lambda^{n-1} +\ldots +a_1\lambda +a_0=0.$$ (6.52)

Jednadžba (6.52) se zove karakteristična jednadžba, a polinom na lijevoj strani karakteristični polinom. Ako su $\lambda_1 ,\lambda_2 ,\ldots ,\lambda_n$ rješenja jednadžbe (6.52) i međusobno su različiti, onda je opće rješenje homogene jednadžbe

$$y(x)=C_1e^{\lambda_1 x}+\ldots +C_ne^{\lambda_n x},$$

tj. $e^{\lambda_1 x},\ldots ,e^{\lambda_n x}$ čine fundamentalni sustav rješenja. Ako je $\lambda{}$ rješenje jednadžbe (6.52) kratnosti $k$, onda se fundamentalni sustav rješenja dobiva uzimanjem funkcija

$$e^{\lambda x},x\,e^{\lambda x},\ldots ,x^{k-1}\,e^{\lambda x}.$$

Ako je funkcija $f$ posebnog tipa: polinom, eksponencijalna funkcija i slično, onda se partikularno rješenje može pretpostaviti u obliku funkcije istog tipa.

Primjer 6.13   Naći opće rješenje jednadžbe

$$y^{\imath v}-y=x\,e^x+\cos x.$$

Rješenje. Korijeni karakterističnog polinoma jesu $1,-1,i,-i$. Prema tome opće rješenje pripadne homogene jednadžbe je

$$y_h(x)=C_1\,e^x+C_2\,e^{-x}+C_3\,\sin x+C_4\,\cos x.$$

Partikularno rješenje treba dakle pretpostaviti u obliku

$$y_p(x)=x\,(\alpha x+\beta )\,e^x+\gamma x\,\cos x+\delta x\,\sin x.$$

Nakon uvrštavanja u jednadžbu dobivamo

$$y_p(x)=\left(\frac{1}{8} \,x^2-\frac{3}{8} \,x\right)\,e^x-\frac{1}{4} x\,\sin x.$$

Prema tome opće rješenje je

$$y(x)=C_1\,e^x+C_2\,e^{-x}+C_3\,\sin x+C_4\,\cos x+\left(\frac{1}{8} \,x^2-\frac{3}{8} \,x\right) \,e^x-\frac{1}{4}\, x\,\sin x.$$

Harmonijski oscilator

Neka je jedan kraj opruge učvršćen a na drugi kraj je spojeno tijelo mase $m$. Pretpostavimo da na ovaj sistem ne djeluje sila teža, i da se gibanje vrši po pravcu u smjeru opruge. Izvucimo tijelo iz položaja ravnoteže i pustimo. Ono počinje vršiti neko gibanje.

Iz drugog Newtonovog zakona i Hookeovog zakona dobivamo jednadžbu gibanja

$$m\,\ddot{x}(t) + k\, x(t) = 0.$$ (6.53)

Znati gibanje tijela znači naći iz (6.53) položaj $x(t)$ tijela kao funkciju od $t$. Podijelimo s $m,$ i stavimo $\frac{k}{m}=\omega_0^2.$ Tako imamo diferencijalnu jednadžbu

$$\ddot{x}(t) + \omega_0^2\, x(t) = 0.$$

To je homogena linearna diferencijalna jednadžba 2. reda s konstantnim koeficijentima, korijeni karakterističnog polinoma su $\pm i\,\omega_0,$ i njezino opće rješenje je

$$x(t)=D_1\,e^{i\,\omega_0\,t}+D_2\,e^{-i\,\omega_0\,t}.$$

Zahvaljujući Eulerovoj formuli (7.1)

$$e^{i\,\omega_0\,t} = \cos \omega_0\,t+i\,\sin \omega_0\,t,$$

rješenje možemo prepisati u obliku

$$x(t)=C_1\,\cos \omega_0\,t+C_2\,\sin \omega_0\,t,$$

gdje je $\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}.$ To rješenje se može napisati i ovako

$$x(t)=\sqrt{C_1^2+C_2^2} \left(\frac{C_1}{\sqrt{C_1^2+ C_2^2}}\cos \omega_0\,t+ \frac{C_2}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}\sin \omega_0\,t\right).$$

Zbog

$$\left(\frac{C_1}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}\right)^2+ \left(\frac{C_2}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}\right)^2=1,$$

postoji $\varphi \in [0,2\pi]$ takav, da je

$$\frac{C_1}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}=\sin \varphi,\hspace{1cm} \frac{C_2}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}=\cos \varphi.$$

Odatle

$$x(t)=A\sin(\omega_0\,t+\varphi).$$

Dakle, masa se giba periodički s amplitudom $A$ i pomakom u fazi $\varphi.$ Takvo gibanje se zove slobodno titranje ili slobodne oscilacije, a $\omega_0$ se zove vlastita frekvencija harmonijskog oscilatora.

Uočimo da u izvođenju jednadžbe (6.53) nije bilo važno na koji smo način pobudili tijelo na gibanje. No ako želimo opisati gibanje tijela, onda to jeste važno. Tako možemo tijelu u čas $t$ dati neki početni položaj $x(t_0)=x_0$ i neku početnu brzinu $\dot{x}(t_0)=\dot{x_0}$. Akceleraciju $\ddot{x}(t_0)$ već ne možemo proizvoljno odrediti jer je jednadžbom (6.53) dana veza između položaja $x(t)$, brzine $\dot{x}(t)$ i akceleracije $\ddot{x}(t)$ u svakoj točki $t$ pa i u $t_0$. To odgovara činjenici da su se u općem rješenju pojavile dvije neodređene konstante $A$ i $\varphi.$

Neka se masa giba u sredstvu u kojem je otpor proporcionalan brzini, na pr.

$$F_o = - \lambda\,\dot{x}(t).$$

U tom slučaju diferencijalna jednadžba glasi

$$m\,\ddot{x}(t)+\lambda\, \dot{x}(t)+k\,x(t)=0,$$

odnosno

$$\ddot{x}(t)+\frac{\lambda}{m}\, \dot{x}(t)+\omega_0^2\,x(t)=0.$$

To je također homogena linearna diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima. Rješenja karakteristične jednadžbe su

$$-\frac{\lambda}{2m}\pm\sqrt{\frac{\lambda^2}{4m^2}-\omega_0^2}.$$

U slučaju $\lambda<2m\omega_0$ ta rješenja možemo prepisati kao

$$-\frac{\lambda}{2m}\pm i\,\sqrt{\omega_0^2-\frac{\lambda^2}{4m^2}},$$

pa imamo opće rješenje

$$x(t)=e^{-\frac{\lambda}{2m}}\,(C_1\,\cos \omega_1\,t+C_2\,\sin \omega_1\,t)= A\,e^{-\frac{\lambda}{2m}}\,\sin(\omega_1\,t+\varphi),$$

gdje je $\omega_1=\sqrt{\omega_0^2-\frac{\lambda^2}{4m^2}}.$ Ovo gibanje se zove prigušeno titranje ili prigušene oscilacije.

Faktor $e^{-\frac{\lambda}{2m}\,t}$ teži prema 0 kad $t$ teži u beskonačnost, pa je on odgovoran za prigušivanje oscilacija. Ako je $\lambda\geqslant 2m\omega_0,$ onda su rješenja karakteristične jednadžbe realni brojevi, pa se više ne radi o titranju, već o aperiodičkom gibanju. Evo nekoliko primjera aperiodičkog gibanja

Ako na sustav djeluje vanjska periodička sila $F\,\cos\omega t$ po pravcu gibanja, onda je diferencijalna jednadžba

$$m\,\ddot{x}(t)+\lambda\, \dot{x}(t)+k\,x(t)=F\,\cos\omega\, t.$$

Partikularno rješenje tražimo u obliku

$$x_p(t)=a\,\cos\omega\, t+b\,\sin\omega\, t.$$

Promotrimo najprije slučaj kad nema otpora sredstva, tj. $\lambda=0.$ Uvrštavajući $x_p$ u diferencijalnu jednadžbu dobivamo

$$a=\frac{F}{m\,(\omega_0^2-\omega^2)},\hspace{1cm} b=0.$$

Tako je partikularno rješenje

$$x_p(t)=\frac{F}{m\,(\omega_0^2-\omega^2)}\,\cos\omega\, t.$$

Ovo gibanje se zove prisilno titranje ili prisilne oscilacije harmonijskog oscilatora. Primjećujemo da, bez obzira na $F,$ amplituda može biti vrlo velika ako je $\omega\approx \omega_0.$ Ta pojava se zove rezonancija. Titranje sustava duže vrijeme u ovakvim uvjetima može dovesti do zamora materijala i do rušenja sustava. Ako imamo otpor sredstva, onda

$$a=\frac{F\,m\,(\omega_0^2-\omega^2)}{\omega^2\,\lambda^2+ m^2\,(\... ... b=\frac{F\,\omega\,\lambda}{\omega^2\,\lambda^2+m^2\,(\omega_0^2-\omega^2)^2}.$$

U tom slučaju je partikularno rješenje

$$x_p(t)= \frac{F}{\sqrt{\omega^2\lambda^2+m^2(\omega_0^2-\omega^2)^2}} \sin(\omega t+\varphi).$$

Sada se više ne može dogoditi da amplituda raste preko svih granica, no ako je $\lambda{}$ malen (malen otpor sredstva), i $\omega\approx \omega_0,$ onda amplituda može biti vrlo velika. Dakle i u tom slučaju imamo mogućnost pojave rezonancije. Ipak, ekstremalnu vrijednost amplitude dobivamo za $\omega<\omega_0.$ Preciznije, ako amplitudu shvatimo kao funkciju od $\omega,$ deriviramo i izjednačimo s nulom, dobivamo da amplituda ima maksimalnu vrijednost

$$A_{max} = \frac{2\,m\,F}{\lambda\,\sqrt{4\,m^2\,\omega_0^2 - \lambda^2}}$$

za

$$\omega=\omega_0\sqrt{1-\frac{\lambda^2}{2m^2\omega_0^2}}.$$

Pitanja

1.

Kako se može naći partikularno rješenje općenito. Objasnite metodu varijacije konstanti.

2.

Napišite linearnu diferencijalnu jednadžbu $n$-tog reda. Objasnite u vezi s njom pojmove: koeficijenti, funkcija smetnje, struktura skupa svih rješenja, vektorski prostor skupa svih rješenja pripadne homogene jednadžbe, karakteristična jednadžba, metoda varijacije konstanti.

3.

Što znate o harmonijskom oscilatoru? Objasnite pojavu rezonancije.