Cirkularne krivulje 3. razreda u kvazihiperboličnoj ravnini dobivene projektivnim preslikavanjem

U kvazihiperboličnoj ravnini metrika je inducirana s apsolutnom figurom F_QH = {F, f₁, f₂} koja se sastoji od dva realna pravca f₁ i f₂ sa sjecištem u realnoj točki F. Za krivulju razreda n kažemo da je cirkularna u kvazihiperboličnoj ravnini ako sadrži barem jedan apsolutni pravac. Krivulje 3. razreda se mogu dobiti projektivnim pridruživanjem između pramena krivulja 2. razreda i niza točaka. U ovom ćemo članku pokazati kako se svi tipovi cirkularnih krivulja 3. razreda mogu konstruirati projektivnim preslikavanjem.

Ključne riječi: projektivitet, cirkularna krivulja 3. razreda, kvazihiperbolična ravnina

Article in PDF.

Uvod u planimetriju kvazieliptičke ravnine

"Upisana simetrija", Eulerovi pravci i Schifflerove točke

Proučavamo četverostruku simetriju određenu četverovrhom, čiji su vrhovi središta upisanih (pripisanih) kružnica danog trokuta, te vezu s opisanom kružnicom trokuta koja je u ovom slučaju konika devet točaka spomenutog četverokuta. Proučavajući Eulerove pravce takozvanih upisanih trokuta, pokazujemo da je poopćenje klasičcne Schifflerove točke skup od četiriju točaka koje leže na Eulerovom pravcu. Promatra se četverokut u čijim se vrhovima sijeku Eulerovi pravci upisanih trokuta, te njegov dijagonalni trokut. Kako se koristi algebarski pristup, dobiveni rezultati vrijede za opću bilinearnu formu. Dajemo i primjer svojevrsnog nestanka četverostruke simetrije.

Ključne riječi: geometrija trokuta, euklidska geometrija, racionalna trigonometrija, bilinearna forma, Schifflerove točke, Eulerovi pravci, hijerarhija središta upisanih kružnica, opisane kružnice

Article in PDF.

Specijalne konike u hiperboličnoj ravnini

U euklidskoj ravnini s obzirom na euklidsku grupu simetrija razlikujemo tri tipa specijalnih konika: kružnice, parabole i specijalne hiperbole. S jedne strane, one imaju specijalno euklidsko svojstvo (vidi [7]), a s druge su strane čvrsto vezane uz apsolutnu eliptičnu involuciju na idealnom pravcu projektivno proširene euklidske ravnine. Zbog toga, u hiperboličnoj ravnini (h-ravnini) - i slično u svakoj Cayley-Kleinovoj ravnini - treba promatrati i projektivna geometrijska svojstva i elementarno-hiperbolična geometrijska svojstva. Pokazuje se da u brojnim slučajevima konika u hiperboličnoj ravnini klasični koncepti "kružnica", "parabola" i "(jednakostranična) hiperbola" nisu primjenjivi (vidi npr. [10]). Unatoč tome, moguće je sustavno promatranje konika u h-ravnini koje imaju jedno ili više svojstava triju euklidskih specijalnih konika. Proučavanje će se vršiti na "univerzalnoj hiperboličnoj ravnini" π, tj. projektivnoj ravnini u kojoj su udaljenost i mjera kuta definirani apsolutnim polaritetom.

Ključne riječi: konika, hiperbolična ravnina, Talesova konika, jednakostranična hiperbola

Article in PDF.

Težišta četverokuta u univerzalnoj hiperboličkoj geometriji

Promatramo veze između osam projektivnih težišta četverokuta u univerzalnoj hiperboličnoj geometriji koji su analogoni baricentričnom središtu euklidskog četverokuta. Određujemo teoretske uvjete postojanja tih središta i pokazujemo da osam težišta tvore dva četverokuta koji zajedno s danim četverokutom imaju trostruku perspektivnu simetriju. I dijagonalni trokuti ovih četverokuta su trostruko perspektivni.

Ključne riječi: Univerzalna hiperbolična geometrija, projektivna geometrija, težišta, četverovrsi, dijagonalni trokuti, perspektiviteti

Article in PDF.

O algebarskim minimalnim plohama

Dajemo pregled različitih konstrukcija algebarskih minimalnih ploha u euklidskom trodimenzionalnom prostoru. Posebice se promatraju primjeri niskog stupnja. U tu svrhu koristimo različite prikaze koje daje WEIERSTRASS, uključujući takozvanu Björlingovu formulu. LIJEV stari rezultat pokazuje da se evolute prostornih krivulja mogu koristiti za konstruiranje minimalnih ploha s racionalnim parametrizacijama. Mi opisujemo jednoparametarsku familiju racionalnih minimalnih ploha koje diraju ortogonalne hiperboličke paraboloide duž njihovih krivulja s konstantnom Gaussovom zakrivljenošću. Štoviše, nalazimo novu klasu algebarskih i čak racionalno parametrizirajućih minimalnih ploha i nazivamo ih cikloidnim minimalnim plohama.

Ključne riječi: minimalna ploha, algebarska ploha, racionalna parametrizacija, polinomialna parametrizacija, meromorfična funkcija, izotropna krivulja, Weierstrassov prikaz, Björlingova formula, evoluta prostorne krivulje, krivulja konstantnog nagiba

Article in PDF.

Podešavanje zakrivljenosti B-splajn ploha operacijama na čvor vektorima

Na ovaj način čvor vektori B-splajn ploha određuju temeljne funkcije zajedno s kontrolnim točkama te oblik plohe. U nekoliko članaka (vidi na primjer [4] i [5]) proučavale su se operacije na čvorovima i njihov utjecaj na obilk krivulja. Izračuni mogu biti izvedeni vrlo efikasno ako su temeljne funkcije i vektor funkcije B-splajn plohe prikazane u matričnom obliku (vidi [1] i [6]). U našem posljednjem radu [2] saželi smo metode operacija na čvorovima i odgovarajućih izračuna u matričnom obliku. Također, razvili smo algoritam za izravno klizanje čvorova, tj. pokazali smo kako čvor može biti premješten u jednom koraku umjesto da uvodimo novu vrijednost čvora, a zatim uklanjanjem starog iz čvor vektora.
U ovom članku analiziramo utjecaj mijenjanja intervala čvorova na Gaussovu zakrivljenost u zadanoj točki B-splajn plohe. Prikazujemo algoritam za deformaciju B-splajn plohe tako da prolazi kroz zadanu točku sa zadanom Gaussovom zakrivljenošću. Rezultat ove deformacije kaže da kugla zadanog radijusa dira preoblikovanu plohu u zadanoj točki s jednakim Gaussovim zakrivljenostima. Ista situacija događa se u primjenama kad je alat kuglama uguran u plohu tijekom procesa.
S ciljem da postignemo numerički stabilna i efikasna rješenja, osim premještanja vrijednosti čvora, u našem algoritmu koristimo samo jednadžbe linearne interpolacije.

Ključne riječi: prikazi plohe, geometrijski algoritmi

Article in PDF.

Krivulje žarišta u pramenovima konika u pseudo-euklidskoj ravnini

U ovom članku pokazat će se da je krivulja žarišta pramena konika u pseudo-euklidskoj ravnini općenito bicirkularna krivulja šestog reda. U nekim slučajevima, u ovisnosti o položaju četiriju temeljnih točaka pramena, krivulja žarišta može biti petog, četvrtog ili trećeg reda, a može biti i konika ili samo pravac.

Ključne riječi: pseudo-euklidska ravnina, konike, žarišta, pramenovi konika

Article in PDF.

Algoritam k-sredina

U članku je objašnjen algoritam k-sredina (k-means algorithm), heuristika koja rješava NP teški optimizacijski problem razvrstavanja podataka (točaka) u skupine (klastere) s unaprijed zadanim brojem skupina. Zbog jednostavnosti i brzine konvergencije, algoritam je u širokoj primjeni, unatoč tendenciji zapinjanja u lokalnom minimumu, te nemogućosti prepoznavanja skupina koje nisu razdvojive hiperravninama.
U članku je također objašnjena i metoda prve varijacije, heuristika lokalnog traženja kojom algoritam "izvlačimo" iz lokalnog minimuma.

Ključne riječi: algoritam k-sredina, klasteriranje, metoda prve varijacije

Article in PDF.

O problemu bojanja grafova s primjenom u kartografiji

Problem bojanja geografskih političkih karata povijesno je vezan uz teoriju bojanja grafova. Polovicom 19. stoljeća nametnulo se pitanje koliko je boja potrebno da bi se dana geografska karta obojila tako da zemlje koje graniče budu obojane različitim bojama. Do rješenja se došlo povezivanjem karata i grafova. Bilo je potrebno više od jednog stoljeća kako bi se dokazalo da su četiri boje dovoljne za obojiti (geografsku) kartu na takav način da susjedna područja (države) imaju različitu boju.

Ključne riječi: graf, bojanje grafa, karta, bojanje karte, teorem o 4 boje

Article in PDF.