Koncentrirano djelovanje

U dosadašnjim razmatranjima vanjska sila je bila zadana po jedinici duljine, što znači da je $f(x,t)$ gustoća sile (linearna kad se radi o jednodimenzionalnom objektu kao što je žica). Ako je u točki $x_0$ napete žice obješen uteg mase $m,$ onda kažemo da se radi o koncentriranom djelovanju. U tom slučaju ne vrijedi izvod zakona o sačuvanju količine gibanja u 2.1.1.

Pretpostavimo da masa utega nije prevelika, tako da se ne događa kidanje žice niti plastična deformacija. To znači da je progib $u(x,t),$ kao funkcija od $x,$ neprekidna funkcija, tj.

$$\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}u(x_0+\varepsilon,t) = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}u(x_0-\varepsilon,t).$$

Ovu jednakost zapisujemo ovako

$$u(x_0+0,t) = u(x_0-0,t).$$

Promatrajmo mali komad žice $[x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon]$ oko točke $x_0.$ Promjena količine gibanja tog komada žice u jedinici vremena jednaka je sili koja djeluje na taj komad

$$\frac{d}{dt}\int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon} \rho(x)\,\f... ...)}{\partial t}\,dx = \psi(x_0+\varepsilon,t) - \psi(x_0-\varepsilon,t) + F(t),$$

tj.

$$\int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon} \rho(x)\,\frac{\partial... ...\partial t^2}\,dx = \psi(x_0+\varepsilon,t) - \psi(x_0-\varepsilon,t) + F(t),$$

gdje smo s $F(t)$ označili koncentriranu silu u točki $x_0.$

Promjena količine gibanja u jedinici vremena je veličina koja se neprekidno mijenja u vremenu, pa je $\rho(x)\,\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2}$ neprekidna funkcija. Odatle, po teoremu srednje vrijednosti za integrale

$$\lim_{\varepsilon\rightarrow 0+} \int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\va... ...\,\varepsilon\,\rho(\xi)\,\frac{\partial^2 u(\xi,t)}{\partial t^2}\right] = 0.$$

Dakle imamo

$$\psi(x_0+0,t) - \psi(x_0-0,t) + F(t) = 0,$$

$$p(x_0)\,\left(\frac{\partial u(x_0+0,t)}{\partial x} - \frac{\partial u(x_0-0,t)}{\partial x}\right) + F(t) = 0,$$

$$\frac{\partial u(x_0+0,t)}{\partial x} - \frac{\partial u(x_0-0,t)}{\partial x} = -\frac{F(t)}{p(x_0)}.$$ (2.13)

Ova jednakost pokazuje da derivacija polja $u$ po $x$ ima u točki $x_0$ prekid. Geometrijski to znači da je progib krivulja, koja u točki $x_0$ nema tangentu. Izvan točke $x_0$ progib ima tangentu, i kad prolazimo kroz točku $x_0$ koeficijent smjera tangente skoči.

Izvan točke $x_0$ vrijedi izvedena diferencijalna jednadžba za žicu, ali s vanjskom silom $f(x,t) = 0.$

Za funkciju, koja u točki $x_0$ ima konačan limes slijeve strane i konačan limes s desne strane,ali se ti limesi razlikuju, kažemo da ima u točki $x_0$ prekid prve vrste.

Primjer 2.6   Naći ravnotežu napete žice, duljine $\ell,$ napetosti $p=20\,N,$ učvršćene na rubovima, ako okomito na žicu djeluju koncentrirane sile i to $F=1\,N$ u točki $\frac{\ell}{3},$ a $F=-1\,N$ u točki $\frac{2\,\ell}{3}.$

Rješenje. Na intervalima $\langle 0,\frac{\ell}{3} \rangle,$ $\langle \frac{\ell}{3},\frac{2\,\ell}{3} \rangle$ i $\langle \frac{2\,\ell}{3},\ell \rangle$ nemamo koncentriranih niti drugih vanjskih sila, pa je na njima jednadžba

$$p\,u''(x) = 0.$$

Dakle imamo rješenje

$$u(x) = A\,x + B \langle 0,\frac{\ell}{3} \rangle,$$

$$u(x) = C\,x + D \langle \frac{\ell}{3},\frac{2\,\ell}{3} \rangle,$$

$$u(x) = E\,x + F \langle \frac{2\,\ell}{3},\ell \rangle.$$

Neodređene konstante $A,B,C,D,E,F$ se računaju iz rubnih uvjeta, uvjeta neprekidnosti i (2.14). Tako imamo sljedeće jednadžbe

$$B \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =$$ 0

$$E\,\ell + F =$$ 0

$$A\,\frac{\ell}{3} + B - C\,\frac{\ell}{3} - D\quad \qquad \qquad =$$ 0

$$C\,\frac{2\,\ell}{3} + D - E\,\frac{2\,\ell}{3} - F =$$ 0

$$- A \qquad + C \qquad \qquad \qquad \qquad = -\frac{1}{20}$$

$$- C \qquad \qquad + E \qquad = \frac{1}{20}$$

Rješenje ovog sustava je

$${A = \frac{1}{60}},\,{B = 0},\,{C = -\frac{1}{30}},\, {D = \frac{\ell}{60}},\,{E = \frac{1}{60}},\,{F = -\frac{\ell}{60}}.$$

Dakle imamo rješenje

$$u(x) = \begin{cases} \frac{1}{60}\,x... ...rac{\ell}{60},& \quad \mbox{za $ x \in [\frac{2\,\ell}{3},\ell].$} \end{cases}$$