Zakon održanja količine gibanja

Uočimo proizvoljan komad žice $D=[x_1,x_2].$

Ukupna količina gibanja tog dijela žice u čas $t$ je

$$\int_{x_1}^{x_2}\vec{\,\varphi}(x,t)\,dx,$$

a ukupna količina gibanja komada žice $D$ po jedinici vremena je derivacija ukupne količine gibanja po vremenu

$$\frac{d}{dt}\,\int_{x_1}^{x_2} \vec{\,\varphi}(x,t)\,dx.$$

Količina gibanja po jedinici vremena komada žice $D$ u čas $t$ uslijed djelovanja vanjske sile je

$$\int_{x_1}^{x_2}\vec{\,f}(x,t)\,dx.$$

Količina gibanja koja se po jedinici vremena prenese na $D$ u čas $t$ na desnom rubu, u točki $x_2,$ je

$$\vec{\,\psi}(x_2,t),$$

a količina gibanja koja se po jedinici vremena prenese na $D$ u čas $t$ na lijevom rubu, u točki $x_1,$ je

$$-\vec{\,\psi}(x_1,t),$$

jer smo za pozitivan smjer prenošenja količine gibanja duž žice izabrali smjer s desna na lijevo.

Slika 2.2: Kontaktna sila na rubovima

Ukupna količina gibanja po jedinici vremena komada $D$ jednaka je zbroju količina gibanja po jedinici vremena uslijed djelovanja preostalog dijela žice i uslijed djelovanja vanjske sile. Dakle

$$\frac{d}{dt}\,\int_{x_1}^{x_2} \vec{\,\varphi}(x,t)\,dx = \vec{\,\psi}(x_2,t) -\vec{\,\psi}(x_1,t) + \int_{x_1}^{x_2}\vec{\,f}(x,t)\,dx.$$

Ova jednadžba se zove jednadžba balansa ili zakon održanja količine gibanja. (Uočite da se ovdje radi o poznatom fizikalnom zakonu da je promjena količine gibanja nekog tijela u jedinici vremena jednaka zbroju sila koje djeluju na tijelo.)

Pretostavka da je ukupna količina gibanja po jedinici vremena

$$\frac{\partial\vec{\,\varphi}(x,t)}{\partial t}$$

neprekidna funkcija, što fizikalno znači da se brzina promjene količine gibanja neprekidno mijenja (neprekidnost sile), omogućava da primijenimo Leibnizovo pravilo za deriviranje pod znakom integrala. Zatim, ako još

$$\vec{\,\psi}(x_2,t)-\vec{\,\psi}(x_1,t)$$

shvatimo kao jednu stranu Newton-Leibnizove formule (osnovne formule integralnog računa), onda imamo

$$\int_{x_1}^{x_2} \frac{\partial\vec{\,\varphi}(x,t)}{\partial t}\... ...partial\vec{\,\psi}(x,t)}{\partial x}\,dx + \int_{x_1}^{x_2}\vec{\,f}(x,t)\,dx,$$

odnosno

$$\int_{x_1}^{x_2} \left[\frac{\partial\vec{\,\varphi}(x,t)}{\parti... ...\partial\vec{\,\psi}(x,t)}{\partial x} - \vec{\,f}(x,t)\right]\,dx = \vec{\,0}.$$

Naglasimo da ovaj izvod vrijedi za proizvoljan segment žice $[x_1,x_2].$

Lema 1   (Osnovna lema) Neka je skalarna funkcija $h:\langle a,b\rangle \rightarrow \mathbb{R}$ neprekidna na $\langle a,b\rangle ,$ i neka je

$$\int_{x_1}^{x_2} h(x)\,dx=0$$

za svaki par brojeva $x_1,x_2 \in \langle a,b\rangle.$

Tada je $h=0,$ tj. $h(x)=0$ za svaki $x \in \langle a,b\rangle .$

Dokaz. Pretpostavimo suprotno, da postoji $x_0$ takav da je $h(x_0)>0.$ (Slično ide dokaz uz pretpostavku $h(x_0)<0.$) Zbog neprekidnosti funkcije $h,$ postoji $\delta>0$ takav da

$$\vert x-x_0\vert<\delta\Rightarrow h(x)>0.$$

To znači da je $h(x)>0$ za $x \in \langle x_0-\delta,x_0+\delta\rangle.$

Ako izaberemo $x_1,x_2 \in \langle x_0-\delta,x_0+\delta\rangle,$ onda je

$$\int_{x_1}^{x_2} h(x)\,dx>0,$$

što je u kontradikciji s pretpostavkom u teoremu. $\heartsuit$

Podintegralna funkcija

$$\frac{\partial\vec{\,\varphi}(x,t)}{\partial t} - \frac{\partial\vec{\,\psi}(x,t)}{\partial x} - \vec{\,f}(x,t)$$

je vektorska. Iščezavanje njezinog integrala na proizvoljnom segmentu $[x_1,x_2]$ povlači iščezavanje integrala svake skalarne komponente na tom segmentu. To, prema osnovnoj lemi povlači da je svaka skalarna komponenta nulfunkcija. Slijedi

$$\frac{\partial\vec{\,\varphi}(x,t)}{\partial t} - \frac{\partial\vec{\,\psi}(x,t)}{\partial x} - \vec{\,f}(x,t) = \vec{\,0}.$$ (2.1)

Ova jednadžba predstavlja zakon održanja količine gibanja u diferencijalnom obliku.

Ovo je opća jednadžba koja vrijedi za bilo kako napetu žicu od bilo kakvog materijala. Karakteristike materijala i način na koji je žica napeta opisuju se vezama između gore navedenih vektorskih polja. Te veze se zovu zakoni ponašanja.