Rang matrice

Neka je $A\in {\cal M}_{mn}.$ Njezine stupce, i njezine retke možemo shvatiti kao vektore.

$$A=\left[\begin{array}{cccc} \boldsy... ...ol{a}_{2\,\cdot} \\ \vdots \\ \boldsymbol{a}_{m\,\cdot} \end{array} \right],$$

Među vektorima $\boldsymbol{a}_{\cdot 1}, \boldsymbol{a}_{\cdot 2}, \cdots, \boldsymbol{a}_{\cdot n}$ ima određeni broj linearno nezavisnih, i među vektorima $\boldsymbol{a}_{1\,\cdot}, \boldsymbol{a}_{2\,\cdot}, \ldots, \boldsymbol{a}_{m\,\cdot}$ također ima određeni broj linearno nezavisnih.

Teorem 4   Neka je $A\in {\cal M}_{mn}$ proizvoljna matrica.

1. Broj linearno nezavisnih stupaca matrice $A$ se ne mijenja, ako je pomnožimo s lijeva s elementarnom matricom.
2. Broj linearno nezavisnih redaka matrice $A$ se ne mijenja, ako je pomnožimo s desna s elementarnom matricom.

Dokaz. 1. Neka je $p$ broj linearno nezavisnih stupaca matrice $A.$ Radi jednostavnosti pretpostavimo da su to prvih $p$ stupaca

$$\boldsymbol{a}_{\cdot\, 1}, \boldsymbol{a}_{\cdot\, 2} , \cdots , \boldsymbol{a}_{\cdot\, p}.$$

Neka je $T$ elementarna matrica. Tada je

$$T\,A=T\,\left[\begin{array}{cccc} \... ...bol{a}_{\cdot\, 2} & \cdots & T\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, n} \end{array} \right]$$

Ispitajmo linearnu nezavisnost prvih $p$ stupaca u tako dobivenoj matrici.

$$\lambda_1\,T\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, 1} + \lambda_2\,T\,\boldsy... ..._{\cdot\, 2} + \cdots + \lambda_p\,T\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, p} = \textbf{0},$$

$$T\,(\lambda_1\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, 1} + \lambda_2\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, 2} + \cdots + \lambda_p\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, p}) = \textbf{0}.$$

Matrica $T$ je regularna, postoji $T^{-1},$ pa je

$$T^{-1}\,T\,(\lambda_1\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, 1} + \lambda_2\,\b... ...a}_{\cdot\, 2} + \cdots + \lambda_p\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, p}) = \textbf{0},$$

$$\lambda_1\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, 1} + \lambda_2\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, 2} + \cdots + \lambda_p\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, p} = \textbf{0},$$

odakle, zbog linearne nezavisnosti vektora $\boldsymbol{a}_{\cdot\, 1}, \boldsymbol{a}_{\cdot\, 2} , \cdots , \boldsymbol{a}_{\cdot\, p},$ slijedi $\lambda_1 = 0, \lambda_2 = 0, \ldots, \lambda_p = 0.$ Prema tome prvih $p$ stupaca matrice $T\,A$ je linearno nezavisno. Tako smo dokazali da se broj linearno nezavisnih stupaca matrice $A$ ne smanjuje nakon množenja s elementarnom matricom s lijeva.
Taj broj se ne može niti uvećati, što pokazuje sljedeće razmatranje. Neka su stupci $\boldsymbol{a}_{\cdot\, 1}, \boldsymbol{a}_{\cdot\, 2} , \cdots , \boldsymbol{a}_{\cdot\, k}$ matrice $A$ linearno zavisni. To znači da vrijedi

$$\lambda_1\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, 1} + \lambda_2\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, 2} + \cdots + \lambda_k\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, k} = \textbf{0},$$

za barem jedan $\lambda_i\neq 0.$ Tada je

$$T\,(\lambda_1\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, 1} + \lambda_2\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, 2} + \cdots + \lambda_k\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, k}) = \textbf{0},$$

$$\lambda_1\,T\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, 1} + \lambda_2\,T\,\boldsym... ...}_{\cdot\, 2} + \cdots + \lambda_k\,T\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, k} = \textbf{0},$$

i pri tom je barem jedan $\lambda_i\neq 0.$ Prema tome i vektori $T\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, 1}, T\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, 2} , \cdots , T\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, k}$ su linearno zavisni. Dakle linearno zavisni stupci ne mogu postati linearno nezavisni. To znači da se broj linearno nezavisnih stupaca ne povećava.
2. Ako produkt $AT^T$ transponiramo, dobivamo $TA^T.$ Kao u prvom dijelu dokaza imamo da se broj linearno nezavisnih stupaca u $A^T$ nije promijenio. No, to znači da se broj linearno nezavisnih redaka u matrici $A$ nije promijenio. $\heartsuit$

Teorem 5   (Teorem o rangu). Broj linearno nezavisnih redaka proizvoljne matrice $A$ tipa $(m,n)$ jednak je broju njezinih linearno nezavisnih stupaca. Taj broj se zove rang matrice $A$, i označava se sa $r(A).$

Dokaz. Množeći matricu $A$ dovoljan (konačan) broj puta s lijeva i s desna s odgovarajućim elementernim matricama, matrica $A$ se može svesti na oblik

$$\left[\begin{array}{cccccc} 1 & \cd... ...ots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right],$$

gdje je $r\geq 0$ broj jedinica. Stupci (reci) u kojima se pojavljuju jedinice su linearno nezavisni. Dokaz je isti kao dokaz linearne nezavisnosti kanonske baze (primjer 1.7). Ako tim stupcima (recima) dodamo stupac (redak) sastavljen od samih nula, stupci (reci) će postati linearno zavisni, jer množeći taj stupac (redak) s $1,$ a druge s nulom, dobivamo nulstupac (nulredak). Tako imamo $r$ linearno nezavisnih stupaca i također $r$ linearno nezavisnih redaka. Time smo dokazali teorem o rangu. $\heartsuit$

Dokazom ovog teorema smo ujedno dobili metodu za ispitivanje ranga matrice. Treba elementarnim operacijama svesti matricu na oblik kao u dokazu teorema, i zatim očitati broj jedinica na dijagonali.

Primjer 1.14   Treba naći rang matrice

$$A=\left[ \begin{array}{rrrrrr} 1 & ... ... 1 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 \end{array}\right].$$

Rješenje.

$$\left[ \begin{array}{rrrrrr} 1 & 0 ... ... & 1 & 5 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &\frac{1}{4} & -1 \end{array} \right]\sim$$

$$\sim\left[\begin{array}{rrrrrr} 1 &... ...& 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right],$$

pa je prema tome $r(A)=4.$

Primjer 1.15   Odrediti rang slijedeće matrice u ovisnosti o $\lambda$

$$A = \left[\begin{array}{rrrr} 1-\la... ...lambda+\lambda^2 & -2+2\lambda-\lambda^2-\lambda^3 & 2 & 5 \end{array}\right].$$

Rješenje. Najprije zamjenom redaka i stupaca imamo

$$A \sim \left[\begin{array}{rrrr} 1 ... ...2+3\lambda+\lambda^2 & -2+2\lambda-\lambda^2-\lambda^3 \\ \end{array}\right].$$

Sada množenjem prvog retka redom s $3$ i $-2$ i dodavanjem trećem i četvrtom retku dobivamo

$$A \sim \left[\begin{array}{rrrr} 1 ... ... & -2+\lambda+\lambda^2 & 2\lambda-\lambda^2-\lambda^3 \\ \end{array}\right].$$

Množenjem prvog stupca s odgovarajućim brojevima i dodavanjem ostalim stupcima možemo u prvom retku dobiti same nule. Budući da su u ostalim recima prvog stupca nule, to neće imati nikakvog utjecaja na elemente u ostalim recima. Zato smijemo jednostavno u prvom retku upisati nule. Zatim pomnožimo četvrti redak redom s $1$ i s $2$ i dodamo drugom i trećem retku. Nakon toga četvrti redak preselimo na mjesto drugog.

$$A \sim \left[\begin{array}{rrrr} 1 ... ...& -1+\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2+\lambda+\lambda^2 \\ \end{array}\right].$$

Sada s drugim stupcem možemo anulirati elemente u drugom retku, a da se ništa drugo ne promijeni. Tako imamo konačno

$$A \sim \left[\begin{array}{rrrr} 1 ... ...& -1+\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2+\lambda+\lambda^2 \\ \end{array}\right].$$

Korijeni polinoma $-2+\lambda+\lambda^2$ su $1,-2.$ Prema tome, ako je $\lambda\neq 1,-2,$ rang je $4,$ ako je $\lambda=-2,$ rang je $3,$ ako je $\lambda=1,$ rang je $2.$

Važna napomena: kad se vrše elementarne transformacije nad matricom u kojoj ima parametara čiju točnu vrijednost ne znamo, treba paziti da su operacije koje vršimo korektne, bez obzira na to koju stvarnu vrijednost ima parametar. Na pr. ne smijemo dijeliti redak (stupac) s $-1+\lambda,$ jer to može biti nula.