Elementarne transformacije

Elementarnim transformacijama nad matricom zovemo sljedeće operacije:

1. zamjena dva retka (dva stupca) u matrici,
2. množenje proizvoljnog retka (stupca) brojem različitim od nule,
3. množenje proizvoljnog retka (stupca) matrice brojem, i dodavanje bilo kojem drugom retku (stupcu) matrice.

Ako je matrica $B$ dobivena iz matrice $A$ primjenom jedne ili više elementarnih operacija, onda pišemo

$$B \sim A,$$

i kažemo da je matrica $B$ ekvivalentna matrici $A.$

Kako pokazuju sljedeći primjeri, ove operacije se mogu ostvariti množenjem matrice regularnim matricama s lijeva ili s desna.

Primjer 1.11  

$$\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0... ... 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{array} \right],$$

$$\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & -... ... 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{array} \right].$$

Dakle, množeći matricu s lijeva jediničnom matricom u kojoj su zamijenjeni drugi i treći redak, dobili smo matricu u kojoj su zamijenjeni drugi i treći redak.

Množeći matricu s desna jediničnom matricom u kojoj su zamijenjeni drugi i treći stupac, dobili smo matricu u kojoj su zamijenjeni drugi i treći stupac.

Primjer 1.12  

$$\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0... ... 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & -3 \\ 2 & 1 & 1 \end{array} \right],$$

$$\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & -... ... 1 & 0 & -1 \\ 0 & 6 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \end{array} \right].$$

Dakle, množeći matricu s lijeva jediničnom matricom u kojoj je treći redak pomnožen brojem $3$ (različitim od nule), dobili smo matricu u kojoj je treći redak pomnožen brojem $3.$

Množeći matricu s desna jediničnom matricom u kojoj je drugi stupac pomnožen brojem $3$ (različitim od nule), dobili smo matricu u kojoj je drugi stupac pomnožen brojem $3.$

Primjer 1.13  

$$\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0... ... 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \end{array} \right],$$

$$\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & -... ...3 & 0 & -1 \\ -2 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right].$$

Dakle, množeći matricu s lijeva jediničnom matricom u kojoj smo prvi redak pomnožili brojem $-2$ i dodali četvrtom, dobili smo matricu u kojoj je prvi redak pomnožen brojem $-2$ dodan četvrtom retku.

Množeći matricu s desna jediničnom matricom u kojoj smo treći stupac pomnožili brojem $-2$ i dodali prvom, dobili smo matricu u kojoj je treći stupac pomnožen brojem $-2$ dodan prvom stupcu.

Zaključak.

1. Što želimo učiniti s recima matrice $A$ učinimo to s recima jedinične matrice i s tako dobivenom matricom množimo matricu $A$ s lijeva.
2. Što želimo učiniti sa stupcima matrice $A$ učinimo to sa stupcima jedinične matrice i s tako dobivenom matricom množimo matricu $A$ s desna.

Ove intervencije na jediničnoj matrici dovode do regularnih matrica. Zaista, ako jediničnu matricu u kojoj su zamijenjeni drugi i treći redak (stupac) pomnožimo s istom takvom s lijeva (s desna), dobit ćemo jediničnu matricu. Ako jediničnu matricu u kojoj je treći redak (stupac) pomnožen brojem $3$ pomnožimo s lijeva (s desna) s jediničnom matricom u kojoj je treći redak (stupac) pomnožen brojem $\frac{1}{3},$ dobit ćemo jediničnu matricu. Ako jediničnu matricu u kojoj je trećem retku (stupcu) dodan prvi pomnožen s $-2$ pomnožimo s lijeva (s desna) s jediničnom matricom u kojoj je trećem retku (stupcu) dodan prvi pomnožen s $2,$ dobit ćemo jediničnu matricu.

Ove matrice koje vrše elementarne operacije zvat ćemo elementarnim matricama.

Gaussov i Gauss-Jordanov postupak eliminacije se može provoditi tako da se nad proširenom matricom sustava provode elementarne operacije, ali samo s recima. Vršeći elementarne operacije nad stupcima, pobrkali bismo nepoznanice i desnu stranu do te mjere da više ne bismo znali što smo na kraju izračunali.