Valna jednadžba

Problem koji sada rješavamo je

$$% latex2html id marker 41354 \begin{cases}\frac{\textstyle{\... ...al t}} = \beta{}(x), & \text{za $x \in [0,\ell].$} \end{cases}$$

Diskretizaciju područja učinimo kao kod jednadžbe provođenja. Razlika je u tome što u jednadžbi dolazi druga parcijalna derivacija po $t,$ i što imamo dodatni početni uvjet.

Iz početnih uvjeta imamo

$$u_{i\,0} = \alpha{}_i,\qquad \frac{\textstyle{\partial u_{i\,0}}}{\textstyle{\partial t}} = \beta{}_i.$$

Prvi početni uvjet daje vrijednosti rješenja u prvom vremenskom nivou $(j=0).$ Aproksimacijom derivacije po $t$ s desna, iz drugog početnog uvjeta imamo

$$\frac{u_{i\,1}-u_{i\,0}}{\tau} = \beta_i,$$

odakle

$$u_{i\,1} = u_{i\,0} + \tau\,\beta_i = \alpha{}_i + \tau{}\,\beta{}_i.$$

Time su, pomoću početnih uvjeta, određene vrijednosti rješenja u prva dva vremenska nivoa $(j=0,1).$ U čvoru $i\,j,$ za $j\geqslant 2,$ jednadžba je

$$\frac{u_{i\,j-1}-2\,u_{i\,j}+u_{i\,j+1}}{\tau^2} = c^2\,\frac{u_{i-1\,j} -2\,u_{i\,j} +u_{i+1\,j}}{h^2}.$$

Nakon množenja s $\tau^2,$ i stavljanja

$$\sigma = \frac{\tau}{h},$$

imamo eksplicitni postupak dan formulom

$$u_{i\,j+1} = -u_{i\,j-1} + c^2\,\sigma^2\,u_{i-1\,j} + 2\,(1-c^2\,\sigma^2)\,u_{i\,j} + c^2\,\sigma{}^2\,u_{i+1\,j}.$$ (3.35)

Za $\sigma{}\leqslant{}1$ postupak je stabilan.