Osnovni problem.

Želimo riješiti diferencijalnu jednadžbu

$$y' = f(x,y),$$

na segmentu $[a,b]$ uz početni uvjet $y(a)=\alpha.$ tj. želimo riješiti Cauchyjev problem

$$y' = f(x,y), \qquad y(a)=\alpha.$$

Metode približnog rješavanja koje ćemo sada opisati osnivaju se na sljedećoj ideji. Podijelimo segment $[a,b]$ na $n$ jednakih dijelova

$$a=x_0<x_1<x_2<\ldots<x_{n-1}<x_n=b.$$

Duljina svakog podsegmenta je

$$h = \frac{b-a}{n}.$$

Brojeve $x_i=a+ih$ zovemo čvorovima, a broj $h$ zovemo korakom. Stavimo

$$y_i = y(x_i).$$

Cilj nam je odrediti $y_i$ za svaki $i=1,2,\ldots,n.$ To činimo tako da derivaciju zamijenimo odgovarajućom algebarskom aproksimacijom, kojom dolazimo do rekurzivne formule, pomoću koje računamo $y_{i+1}$ iz poznatog $y_i.$ Na taj način, rješenje, koje je neprekidna funkcija, zamjenjujemo konačnim brojem njezinih vrijednosti. Opisani postupak se zove diskretizacija. Očekujemo da će za dovoljno mali $h$ brojevi $y_i$ dovoljno dobro aproksimirati prave vrijednosti funkcije. Važno svojstvo koje diskretizacija treba imati jeste da s povećanjem $n$ dobivamo sve bolje aproksimacije, odnosno, preciznije, da brojevi $y_i$ teže prema pravim vrijednostima funkcije kada $n\rightarrow\infty.$