Determinanta

Definicija 6   Neka je dana kvadratna matrica $A=\left[a_{ij}\right]$ reda $n.$ Determinantom matrice $A$ zovemo broj

$$\det A=a_{11}\,A_{11}+a_{12}\,A_{21}+ \cdots + a_{1n}\,A_{n1} = \sum_{j=1}^n a_{1j}\,A_{j1},$$

gdje je $A_{ij}$ determinanta one matrice $n-1$-og reda koja se dobije kad se u matrici $A$ prekriže $j$-ti redak i $i$-ti stupac, pomnožena s $(-1)^{i+j},$ tj.

Broj $A_{ij}$ se zove algebarski komplement matričnog elementa $a_{ij}.$

Determinantu matrice reda $n$ ćemo kraće zvati determinantom $n$-tog reda.

Ova definicija svodi računanje determinanti $n$-tog reda na računanje determinanti $n-1$-og reda, ovih opet po istoj formuli na računanje determinanti $n-2$-og reda, itd. Tako dolazimo na kraju do determinanti trećeg ili drugog reda koje znamo izračunati

$$% latex2html id marker 30315 \left\vert \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right\vert=a\,d-b\,c,$$

$$% latex2html id marker 30317 \left\vert \begin{array}{ccc} ... ...ray}{cc} b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \end{array} \right\vert=$$

$$a_1b_2c_3-a_1b_3c_2+a_2b_3c_1-a_2b_1c_3+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1$$

Računanje determinante po ovoj formuli je nepraktično, jer se s povećanjem reda jako povećava broj determinanti drugog ili trećeg reda koje treba izračunati. Zato ćemo navesti neka svojstva determinanti koja mogu bitno pojednostavniti njihovo računanje.