Primjer 2.10
Naći vlastite vrijednosti i vlastite funkcije rubnog problema
Rješenje. Kao u (2.19) opće rješenje jednadžbe je
Iz
![$ X(0)=0$](img1510.png)
slijedi
![$ C_1=0,$](img1511.png)
pa je
Iz
![$ X'(\ell)=0$](img1523.png)
slijedi
Odatle
pa je
Tako su vlastite vrijednosti
Vlastite funkcije su
Primjer 2.11
Naći vlastite vrijednosti i vlastite funkcije rubnog problema
Rješenje. Opće rješenje jednadžbe je
Iz
![$ X(0)-X'(0)=0$](img1530.png)
slijedi
Iz
![$ X'(\ell)=0$](img1523.png)
slijedi
odnosno
![% latex2html id marker 34916
$\displaystyle {\rm tg}\,\ell\,\lambda = \frac{1}{\lambda}.$](img1533.png) |
(2.19) |
To je transcendentna (nije algebarska) jednadžba. Takve se jednadžbe
u pravilu ne mogu elementarno rješavati, i gotovo uvijek se moramo
zadovoljiti s približnim rješenjem. O približnom rješavanju
jednadžbi bit će riječi u trećem poglavlju
3.2. Ovdje
napomenimo samo toliko da su za
![$ \ell=1$](img1534.png)
prva tri rješenja približno
Slika:
Rješenja jednadžbe
|
Tako su prve tri vlastite funkcije približno jednake
Slika 2.7:
Vlastite funkcije
|