Monotonost i derivacija

Teorem 42   Neka je funkcija $f:I\rightarrow R$ derivabilna na $I.$ Tada vrijedi sljedeće.

1.

Ako funkcija raste na $I,$ onda je $f'(x)\geq 0.$ Obratno, ako je $f'(x)\geq 0,$ onda funkcija raste.

2.

Ako funkcija pada na $I,$ onda je $f'(x)\leq 0.$ Obratno, ako je $f'(x)\leq 0,$ onda funkcija pada.

Dokaz. Dokažimo prvu tvrdnju.

1. Neka $f$ raste na $I.$ Pretpostavimo, suprotno tvrdnji, da je $f'(c)<0$ za neki $c\in I.$ To znači da za neki $\delta >0$ vrijedi

$$(0<\vert x-c\vert<\delta)\Rightarrow(\frac{f(x)-f(c)}{x-c}<0),$$

tj.

$$(c-\delta<x<c)\Rightarrow(f(x)>f(c)),$$

što proturječi pretpostavci da $f$ raste. Dakle, ako $f$ raste na $I,$ onda je $f'(x)\geq 0$ za svaki $x\in I.$

2. Obratno, neka je $f'(x)\geq 0$ za svaki $x\in I.$ Neka su $x_1,x_2\in I$ proizvoljni, i neka je $x_1<x_2.$ Tada po Lagrangeovom teoremu

$$f(x_2)-f(x_1)=f'(t)(x_2-x_1),$$

s time da je $x_1<t<x_2.$ Zbog $f'(t)\geq 0,$ i $x_2-x_1>0$ slijedi

$$f(x_2)\geq f(x_1),$$

što znači da funkcija $f$ raste. $\heartsuit$

Dapače, iz drugog dijela dokaza slijedi

Teorem 43  

1.

Ako je $f'(x)>0$ za svaki $x\in I,$ onda funkcija $f$ strogo raste na intervalu I

2.

Ako je $f'(x)<0$ za svaki $x\in I,$ onda funkcija $f$ strogo pada na intervalu I

Obratna implikacija ne vrijedi. Funkcija $f(x)=x^3$ strogo raste, no njezina prva derivacija $f'(x)=3x^2$ je u $x=0$ jednaka nuli.