Deriviranje integrala po gornjoj granici

Neka je $f:I\rightarrow R,$ gdje je $I$ interval u $R,$ integrabilna funkcija na $[a,b].$ Neka je $a\in I.$ Za bilo koji $x\in I,$ integral funkcije $f$ od $a$ do $x$ je broj koji ovisi o $x.$ Tako imamo funkciju

$$F(x) = \int_a^x f(t)\,dt.$$

Funkcija $F$ je primitivna funkcija od $f.$ Doista,

$$\lim_{\Delta{}x\rightarrow{}0} \frac{F(x+\Delta{}x)-F(x)}{\Delta{... ...} \frac{1}{\Delta x}\left[\int_a^{x+\Delta x} f(t)\,dt-\int_a^x f(t)\,dt\right]$$

$$= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x}\left[\int_a^{x... ...t)\,dt = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{1}{\Delta x} f(c_x)\Delta x = f(x).$$

U predzadnjoj jednakosti smo upotrebili integralni teorem srednje vrijednosti.

Prema tome funkcija $F$ ima derivaciju, i vrijedi

$$F'(x) = f(x),$$

pa možemo zaključiti da derivacija integrala neprekidne funkcije po gornjoj granici postoji i da je jednaka vrijednosti podintegralne funkcije u gornjoj granici.

Da je bilo

$$G(x) = \int_x^a f(t)\,dt,$$

onda bismo imali

$$G(x) = -\int_a^x f(t)\,dt,$$

pa bi bilo

$$G'(x) = -f(x).$$

Možemo zaključiti da je derivacija integrala neprekidne funkcije po donjoj granici jednaka negativnoj vrijednosti podintegralne funkcije u donjoj granici.