Divergencija i rotacija. Specijalna polja

Divergencija i rotacija vektorskog polja

Definicija 40   Neka je $\vec{a}:\Omega \rightarrow X_O(E)$ vektorsko polje klase $C^1(\Omega),$ neka je dan Kartezijev pravokutni koordinatni sustav $(O;\vec{\imath}, \vec{\jmath},\vec{k}),$ i neka je $\vec{a}=a_x\,\vec{\imath}+a_y\, \vec{\jmath}+a_z\,\vec{k}.$ Skalarno polje

$${\rm div\,}\vec{a}=\frac{\partial a_x}{\partial x}+ \frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z}$$

se zove divergencija vektorskog polja $\vec{a}.$

Definicija 41   Neka je $\vec{a}:\Omega \rightarrow X_O(E)$ vektorsko polje klase $C^1(\Omega),$ neka je dan desni Kartezijev pravokutni koordinatni sustav $(O;\vec{\imath}, \vec{\jmath},\vec{k}),$ i neka je $\vec{a}=a_x\,\vec{\imath}+a_y\, \vec{\jmath}+a_z\,\vec{k}.$ Vektorsko polje

$$% latex2html id marker 41171 {\rm rot\,}\vec{a}=\left\vert ... ...y}{\partial x}- \frac{\partial a_x}{\partial y}\right)\,\vec{k}$$

se zove rotacija vektorskog polja $\vec{a}.$

Iz definicije se vidi da divergenciju možemo zapisati pomoću diferencijalnog operatora $\nabla$ na način

$${\rm div\,}\vec{a}=\nabla\cdot\vec{a},$$

a rotaciju na način

$${\rm rot\,}\vec{a}=\nabla\times\vec{a}.$$

Kako je $\nabla$ diferencijalni operator, njegovo djelovanje ima svojstva derivacije.

1.

Ako su $\alpha{},\beta{}\in R,$ i $\vec{a},\vec{b}$ vektorska polja, onda vrijedi

$${\rm div\,}(\alpha{}\,\vec{a} + \beta{}\,\vec{b}) = \alpha{}\,{\rm div\,}\vec{a} + \beta{}\,{\rm div\,}\vec{b},$$

$${\rm rot\,}(\alpha{}\,\vec{a} + \beta{}\,\vec{b}) = \alpha{}\,{\rm rot\,}\vec{a} + \beta{}\,{\rm rot\,}\vec{b}.$$

2.

Ako je $\varphi$ skalarno polje, $\vec{a}$ vektorsko polje, onda vrijedi

$${\rm div\,}(\varphi\,\vec{a}) = \nab... ...cdot \vec{a}) = {\rm grad\,} \varphi\cdot\vec{a} + \varphi\,{\rm div\,}\vec{a},$$

$${\rm rot\,}(\varphi\,\vec{a}) = \nab... ...mes \vec{a}) = {\rm grad\,} \varphi\times\vec{a} + \varphi\,{\rm rot\,}\vec{a}.$$

(Ovdje smo podcrtali veličine na koje nabla ne djeluje.)

3.

Ako su $\vec{a}$ i $\vec{b}$ vektorska polja, onda vrijedi

$${\rm div\,}(\vec{a}\times\vec{b}\,) ... ...\,) = \vec{b}\cdot(\nabla\times\vec{a}\,) + \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\nabla)$$

$$= \vec{b}\;{\rm rot\,}\vec{a} - \vec{a}\;{\rm rot\,}\vec{b},$$

$${\rm rot\,}(\vec{a}\times\vec{b}\,) ... ...ot\underline{\vec{b}}\,)\,\vec{a} - (\nabla\cdot\vec{a}\,)\,\underline{\vec{b}}$$

$$= (\vec{b}\cdot\nabla)\,\vec{a} - ({... ...,)\,\vec{b} - (\vec{a}\cdot\nabla)\,\vec{b} + ({\rm div\,}\vec{b}\,)\,\vec{a}.$$

Primjer 4.11   Neka materijalna točka rotira jednoliko oko osi $z.$

Njezina trajektorija je dana kao skup vrhova radijvektora

$$\vec{r}\,(t)=R\,\cos \omega\,t\,\vec{\imath} + R\,\sin \omega\,t\,\vec{\jmath} + z_0\,\vec{k}.$$

Odatle je

$$x(t) = R\,\cos \omega\,t,\quad y(t) = R\,\sin \omega\,t,\quad z(t) = z_0.$$

Brzina je

$$\vec{v}\,(t)=\vec{r}\,'(t)=-\omega\,R\,\sin \omega\,t\,\vec{\imat... ...s \omega\,t\,\vec{\jmath}= -\omega\,y\,\vec{\imath} + \omega\,x\,\vec{\jmath}.$$

$$% latex2html id marker 41224 {\rm rot\,}\vec{v}=\left\vert ... ...y & \omega\,x & 0 \end{array} \right\vert=2\,\omega\,\vec{k},$$

pa je tako kutna brzina

$$\vec{\omega}=\frac{1}{2}\,{\rm rot\,}\vec{v}.$$

Primjer 4.12   Polje pomaka prilikom torzije cilindra je

$$\vec{u}\,(x,y,z)=\frac{\theta\,z}{H}\,\left(-y\,\vec{\imath}+ x\,\vec{\jmath}\,\right).$$

$$% latex2html id marker 41231 {\rm rot\,}\vec{u}=\left\vert ... ... & 0 \end{array} \right\vert=2\,\frac{\theta\,z}{H}\,\vec{k}.$$

Duljina vektora $\frac{1}{2}\,{\rm rot\,}\vec{u}$ daje kut zakreta, dok njegov smjer pokazuje, pravilom desne ruke, smjer zakreta.

Primjer 4.13   Naći divergenciju vektorskog polja ${\rm rot\,}\vec{a}.$

Rješenje. Primijenimo li formalizam iz vektorske algebre, imamo

$$% latex2html id marker 41238 {\rm div\,}({\rm rot\,}\vec{a})... ...{\partial z} \\ a_x & a_y & a_z \end{array} \right\vert=0,$$

jer su dva retka u ovoj 'determinanti' jednaka.

Definicija 42   Neka je $f:\Omega\rightarrow R$ skalarno polje klase $C^2(\Omega).$ Skalarno polje

$${\rm div\,}{\rm grad\,}f=\Delta f=\f... ...tial x^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$$

zovemo Laplaceom skalarnog polja $f.$

Jednadžba

$$\Delta f=0$$

se zove Laplaceova jednadžba, a njezina rješenja zovemo harmonijskim funkcijama.

Primjer 4.14   Neka je $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$ Naći $\Delta f(r),$ gdje je $f$ funkcija dvaput neprekidno derivabilna.

Rješenje. Koristeći primjer 4.10, imamo

$$\Delta f(r)={\rm div\,}{\rm grad\,}f... ...'(r)\,\vec{r}_0)= {\rm grad\,}f'(r)\cdot\vec{r}_0+ f'(r)\,{\rm div\,}\vec{r}_0.$$

$${\rm div\,}\vec{r}_0={\rm div\,}\lef... ...}\vec{r} = -\frac{1}{r^2}\,{\rm grad\,}r\cdot\vec{r}+\frac{3}{r} = \frac{2}{r}.$$

Tako je

$$\Delta f(r)= f''(r)\,{\rm grad\,} r\cdot\vec{r}_0+\frac{2\,f'(r)}{r} = f''(r)+\frac{2\,f'(r)}{r}.$$

Specijalno, ako je $f(r)=r,$ imamo

$$\Delta r=\frac{2}{r},$$

a u slučaju $f(r)=\frac{1}{r},$ imamo

$$\Delta\left(\frac{1}{r}\right)=\frac{2}{r^3}-\frac{2}{r^3}=0.$$

Tako vidimo da je funkcija

$$\frac{1}{r} = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$$

harmonijska.

Da li je funkcija $\frac{1}{r} = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$ harmonijska?

Potencijalna i solenoidalna polja

Definicija 43   Vektorsko polje $\vec{a}$ zovemo potencijalnim (konzervativnim), ako postoji skalarno polje $\varphi$ takvo, da je

$$\vec{a}=-{\rm grad\,} \varphi.$$

U tom slučaju skalarno polje $\varphi$ zovemo potencijalom vektorskog polja $\vec{a}.$

Primjer 4.15   U primjerima 4.4 i 4.9 smo imali upravo takav slučaj. Vektorsko polje

$$\vec{E}=\frac{k\,Q}{r^2}\,\vec{r}_0$$

se zove električno polje točkastog naboja, i ono je kao što smo vidjeli negativni gradijent skalarnog polja

$$\varphi=\frac{k\,Q}{r}.$$

Predznak $-$ nije bitan, jer je $-{\rm grad\,}\varphi={\rm grad\,}(-\varphi).$ On se stavlja zbog fizikalnih razloga.

Kriterij za odlučivanje o tome da li je vektorsko polje potencijalno dan je sljedećim teoremom.

Teorem 19   Neka je $\Omega$ konveksno područje. Neka je $\vec{a}:\Omega \rightarrow X_O(E)$ vektorsko polje neprekidno na području $\Omega.$ Polje $\vec{a}$ je potencijalno ako i samo ako je ${\rm rot\,}\vec{a}=\vec{0}$.

Dokaz. U jednom smjeru dokaz je jednostavan. Ako je vektorsko polje $\vec{a}$ potencijalno, onda je $\vec{a}={\rm grad\,}\varphi,$ pa je

$$% latex2html id marker 41312 {\rm rot\,}{\rm grad\,}\varphi=... ...partial}{\partial z} \end{array} \right\vert\,\varphi=\vec{0},$$

jer su dva retka u 'determinanti' jednaka. $\heartsuit$

U potencijalnom polju krivuljni integral 2. vrste (rad sile na putu po krivulji) ima jedno osobito svojstvo, koje se iskazuje sljedećim teoremom.

Teorem 20   Neka je $\Omega$ konveksno područje. Neka je $\vec{a}:\Omega \rightarrow X_O(E)$ vektorsko polje neprekidno na području $\Omega.$ Polje $\vec{a}$ je potencijalno ako i samo ako krivuljni integral 2. vrste polja $\vec{a}$ ne ovisi o putu, već samo o krajnjim točkama.

Dokaz. 1. Dokažimo najprije da potencijalnost polja povlači nezavisnost integrala o putu. Pretpostavimo, dakle, da je $\vec{a}$ potencijalno polje. To znači da postoji skalarno polje $\varphi$ takvo da je $\vec{a}=-{\rm grad\,}\varphi.$ Neka je $\Gamma {}$ krivulja u $\Omega,$ i neka je njezina parametrizacija

$$\vec{r}\,(t)=x(t)\,\vec{\imath}+y(t)\,\vec{\jmath}+z(t)\,\vec{k}, \hspace{1cm} t\in [a,b].$$

$$\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \vec{a}\cdot d\vec{r}=\... ...)\cdot \left(x'(t)\,\vec{\imath}+y'(t)\,\vec{\jmath}+ z'(t)\,\vec{k}\right)\,dt$$

$$= -\int_{a}^{b}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\,x'(t)+\... ...)\,dt=-\int_{a}^{b} \frac{d\varphi(r(t))}{dt}\,dt =\varphi(r(a))-\varphi(r(b)).$$

2. Dokažimo obrat, tj. da nezavisnost krivuljnog integrala polja $\vec{a}$ o putu iz točke $(x_0,y_0,z_0)$ u točku $(x,y,z)$ povlači potencijalnost vektorskog polja $\vec{a}.$ Budući da krivuljni integral ne ovisi o putu, možemo pisati

$$U(x,y,z) = \int_{(x_0,y_0,z_0)}^{(x,y,z)} \vec{a}\cdot d\vec{r}.$$

Tvrdimo da je

$$\vec{a} = {\rm grad\,}U = \frac{\par... ...\partial U}{\partial y}\,\vec{\jmath} +\frac{\partial U}{\partial z} \,\vec{k}.$$

U tu svrhu izračunajmo $\frac{\partial U}{\partial x}.$

$$\frac{\partial U}{\partial x} = \lim_{\Delta{}x\rightarrow{}0} \f... ...{a}\cdot d\vec{r} - \int_{(x_0,y_0,z_0)}^{(x,y,z)} \vec{a}\cdot d\vec{r}\right]$$

$$= \lim_{\Delta{}x\rightarrow{}0} \frac{1}{\Delta{}x} \int_{(x,y,z)}^{(x+\Delta{}x,y,z)} \vec{a}\cdot d\vec{r}.$$

Put od točke $(x,y,z)$ do točke $(x+\Delta{}x,y,z)$ parametriziramo tako da uzmemo

$$\vec{r}(t) = t\,\vec{\imath} + y\,\vec{\jmath} + z\,\vec{k},\qquad t\in [x,x+\Delta{}x].$$

Tada je $x'(t)=1,y'(t)=0,z'(t)=0,$ pa imamo (v. 3.3.3)

$$\frac{\partial U}{\partial x} = \lim_{\Delta{}x\rightarrow{}0} \frac{1}{\Delta{}x} \int_x^{x+\Delta{}x} a_x(t,y,z)\,dt.$$

Po teoremu srednje vrijednosti za integrale, postoji $\tau\in [x,x+\Delta{}x]$ takav da je

$$\frac{\partial U}{\partial x} = \lim_{\Delta{}x\rightarrow{}0} \f... ...ta{}x} a_x(\tau,y,z)\,\Delta{}x = \lim_{\Delta{}x\rightarrow{}0} a_x(\tau,y,z).$$

Iz neprekidnosti vektorskog polja $\vec{a}$ slijedi da je $a_x$ neprekidna funkcija, pa je limes jednak vrijednosti funkcije, dakle

$$\frac{\partial U}{\partial x} = a_x(x,y,z).$$

Na istovjetan način se dokazuje da

$$\frac{\partial U}{\partial y} = a_y(x,y,z),\quad \frac{\partial U}{\partial z} = a_z(x,y,z).$$

$\heartsuit$

U potencijalnom (konzervativnom) polju sile imamo potencijal. Ploha na kojoj potencijal u svakoj točki ima istu vrijednost zove se ekvipotencijalna ploha. Na temelju formule iz prvog dijela dokaza teorema 20 možemo zaključiti da rad sile ne ovisi o putu, pa čak niti o početnoj i završnoj točki, već samo o početnoj i završnoj ekvipotencijalnoj plohi. Tako gibanje po ekvipotencijalnoj plohi ne zahtijeva nikakav utrošak rada (gibanje satelita u orbitama oko Zemlje).

Pogledajmo sada kako se može izračunati potencijal, ako je zadano potencijalno polje.

Neka je $\vec{a}=a_x\,\vec{\imath}+a_y\,\vec{\jmath}+a_z\,\vec{k}$ potencijalno polje. Postoji, dakle, skalarno polje $\varphi$ takvo, da je

$$\vec{a}={\rm grad\,}\varphi=\frac{\p... ...arphi}{\partial y}\,\vec{\jmath} +\frac{\partial \varphi}{\partial z}\,\vec{k}.$$

Odatle

$$a_x(x,y,z) = \frac{\partial \varphi(x,y,z)}{\partial x},\quad a_y... ...,z)}{\partial y},\quad a_z(x,y,z) = \frac{\partial \varphi(x,y,z)}{\partial z},$$ (4.1)

i prema tome

$$\varphi(x,y,z)=\int_{x_0}^x a_x(\xi,y,z)\,d\xi + C(y,z).$$ (4.2)

Da odredimo $C$ derivirajmo ovu formulu po $y.$

$$\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\int_{x_0}^x \frac{\partial a_x(\xi,y,z)}{\partial y}\,d\xi + \frac{\partial C(y,z)}{\partial y}.$$

Iz ${\rm rot\,}\vec{a}=\vec{0}$ (v. teorem 19) slijedi

$$\frac{\partial a_x(x,y,z)}{\partial y} = \frac{\partial a_y(x,y,z)}{\partial x}.$$

Tako je

$$\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\int_{x_0}^x \frac{\partial a... ...)}{\partial y} = a_y(x,y,z)- a_y(x_0,y,z) + \frac{\partial C(y,z)}{\partial y}.$$

To znači, zbog (4.1)

$$\frac{\partial C(y,z)}{\partial y} = a_y(x_0,y,z).$$

Odatle

$$C(y,z) = \int_{y_0}^y a_y(x_0,\eta,z)\,d\eta + D(z).$$

Sada na sličan način odredimo $D.$

$$\frac{\partial C(y,z)}{\partial z} = \int_{y_0}^y \frac{\partial a_y(x_0,\eta,z)}{\partial z}\,d\eta + D'(z).$$

Iz ${\rm rot\,}\vec{a}=\vec{0}$ slijedi

$$\frac{\partial a_y(x,y,z)}{\partial z} = \frac{\partial a_z(x,y,z)}{\partial y}.$$

Tako je

$$\frac{\partial C(y,z)}{\partial z}=\int_{y_0}^y \frac{\partial a_... ...,\eta,z)}{\partial \eta}\,d\eta + D'(z) = a_z(x_0,y,z)- a_z(x_0,y_0,z) + D'(z).$$

S druge strane, iz formule (4.2) slijedi

$$\frac{\partial C(y,z)}{\partial z}= \frac{\partial \varphi}{\part... ...hi}{\partial z} - \int_{x_0}^x \frac{\partial a_z(\xi,y,z)}{\partial \xi}\,d\xi$$

$$= \frac{\partial \varphi}{\partial z} - a_z(x,y,z) + a_z(x_0,y,z).$$

Odatle

$$\frac{\partial C(y,z)}{\partial z}= a_z(x_0,y,z),$$

i prema tome

$$D'(z) = a_z(x_0,y_0,z).$$

Tako je

$$D(z)= \int_{z_0}^z a_z(x_0,y_0,\zeta)\,d\zeta + K,$$

gdje je $K$ proizvoljna konstanta. Kad sve to skupimo zajedno, dobivamo

$$\varphi(x,y,z)= \int_{x_0}^x a_x(\xi,y,z)\,d\xi + \int_{y_0}^y a_y(x_0,\eta,z)\,d\eta + \int_{z_0}^z a_z(x_0,y_0,\zeta)\,d\zeta + K.$$

Treći integral predstavlja krivuljni integral po spojnici od točke $A$ do točke $P.$ Drugi integral je krivuljni integral po spojnici od točke $P$ do točke $Q.$ Konačno prvi integral je krivuljni integral po spojnici od točke $Q$ do točke $B.$

Primjer 4.16   Nađimo potencijal gravitacijskog polja.

Rješenje. Gravitacijsko polje je dano formulom

$$\vec{g}\,(x,y,z)=-G\,\frac{m}{r^2}\,\vec{r}_0= -\frac{G\,m\,(x\,\vec{\imath} + y\,\vec{\jmath} + z\,\vec{k})} {\sqrt{(x^2+y^2+z^2)^3}},$$

$$a_x = \frac{-G\,m\,x}{\sqrt{(x^2+y^2+z^2)^3}},\;\; a_y = \frac{-G... ...,y}{\sqrt{(x^2+y^2+z^2)^3}},\;\; a_z = \frac{-G\,m\,z}{\sqrt{(x^2+y^2+z^2)^3}}.$$

$$\int_{x_0}^x a_x(x,y,z)\,dx = \frac{G\,m}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} - \frac{G\,m}{\sqrt{x_0^2 + y^2 + z^2}},$$

$$\int_{y_0}^y a_y(x_0,y,z)\,dy = \frac{G\,m}{\sqrt{x_0^2 + y^2 + z^2}} - \frac{G\,m}{\sqrt{x_0^2 + y_0^2 + z^2}},$$

$$\int_{z_0}^z a_z(x_0,y_0,z)\,dz = \frac{G\,m}{\sqrt{x_0^2 + y_0^2 + z^2}} - \frac{G\,m}{\sqrt{x_0^2 + y_0^2 + z_0^2}}.$$

Tako je

$$\varphi(x,y,z)=\frac{G\,m}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} - \frac{G\,m}{\sqrt{x_0^2 + y_0^2 + z_0^2}} + K = \frac{G\,m}{r} +$$   konst.

Definicija 44   Vektorsko polje $\vec{a}$ zovemo solenoidalnim, ako postoji vektorsko polje $\vec{b}$ takvo, da je

$$\vec{a}={\rm rot\,}\vec{b}.$$

Teorem 21   Neka je $\Omega$ konveksno područje. Neka je $\vec{a}:\Omega \rightarrow X_O(E)$ vektorsko polje neprekidno na području $\Omega.$ Polje $\vec{a}$ je solenoidalno ako i samo ako je ${\rm div\,}\vec{a}=0$.

Dokaz. U jednom smjeru je dokaz jednostavan. Ako je vektorsko polje $\vec{a}$ solenoidalno, onda je $\vec{a}={\rm rot\,}\vec{b},$ pa je prema primjeru 4.13

$${\rm div\,}\vec{a}={\rm div\,}{\rm rot\,}\vec{b}=0.$$

$\heartsuit$

Primjer 4.17   Vektorsko polje pomaka u primjeru 4.8 je solenoidalno.

Rješenje. Doista,

$${\rm div\,}\vec{u}={\rm div\,}\frac{\theta\,z}{H}\,\left(-y\,\vec{\imath}+ x\,\vec{\jmath}\,\right)=0.$$

Rastav vektorskog polja.

Svako vektorsko polje dvaput neprekidno derivabilno se može rastaviti na zbroj potencijalnog i solenoidalnog polja.

Neka je $\vec{a}$ takvo polje. Stavimo

$$\vec{a}={\rm grad\,}\varphi+\vec{c},$$

gdje za sada skalarno polje $\varphi$ nije određeno.

$$\vec{c}=\vec{a}-{\rm grad\,}\varphi,$$

$${\rm div\,}\vec{c}={\rm div\,}\vec{a}-\Delta \varphi.$$

Sada $\varphi$ odredimo iz uvjeta

$$\Delta \varphi={\rm div\,}\vec{a}.$$

Budući da je ${\rm div\,}\vec{a}$ neprekidna funkcija, ova jednadžba ima rješenja, i to njih beskonačno mnogo. Tako je $\vec{b}={\rm grad\,}\varphi$ potencijalno, a $\vec{c}$ solenoidalno polje.

Pitanja

1.

Definirajte divergenciju i rotaciju vektorskog polja. Koja svojstva imaju?

2.

Kako se definira Laplace? Što su to harmonijske funkcije?

3.

Kada neko vektorsko polje zovemo potencijalnim? Što je potencijal? Da li je jednoznačno određen?

4.

Koje osbito svojstvo ima potencijalno polje u odnosu na integriranje po krivuljama? Koja je fizikalna posljedica tog svojstva?

5.

Navedite kriterij za potencijalnost vektorskog polja. Dokažite nužnost kriterija.

6.

Po kojoj formuli se računa potencijal? Objasnite zašto.

7.

Kada neko vektorsko polje zovemo solenoidalnim? Koji je kriterij za solenoidalnost?

8.

Kako se proizvoljno vektorsko polje može rastaviti na potencijalno i solenoidalno? Objasnite.

Riješeni zadaci

1.

Uvjerite se da je polje

$$\vec{a} = y\,z\,(2\,x+y+z)\,\vec{\imath{}} + x\,z\,(x+2\,y+z)\,\vec{\jmath{}} + x\,y\,(x+y+2\,z)\,\vec{k}$$

potencijalno, i nađite potencijal.

Rješenje. Parcijalne derivacije su redom

$$\frac{\partial{}a_z}{\partial{}y} = x\,y + x\,\left( x + y + 2\,z... ...\quad \frac{\partial{}a_y}{\partial{}} = x\,z + x\,\left( x + 2\,y + z \right),$$

$$\frac{\partial{}a_x}{\partial{}z} = y\,z + y\,\left( 2\,x + y + z... ...uad \frac{\partial{}a_z}{\partial{}x} = x\,y + y\,\left( x + y + 2\,z \right),$$

$$\frac{\partial{}a_y}{\partial{}x} = x\,z + z\,\left( x + 2\,y + z... ...uad \frac{\partial{}a_x}{\partial{}y} = y\,z + z\,\left( 2\,x + y + z \right).$$

Odatle

$${\rm rot\,}\vec{a} = \vec{0},$$

i prema tome polje je potencijalno. Potencijal je, do na konstantu,

$$\varphi = \int_{x_0}^x a_x(\xi,y,z)\,d\xi + \int_{y_0}^y a_y(x_0,... ... \int_{z_0}^z a_z(x_0,y_0,\zeta)\,d\zeta = {x^2}\,y\,z + x\,y^2\,z + x\,y\,z^2.$$

2.

Rastaviti vektorsko polje

$$\vec{a} = (x+y+z)\,\vec{\imath{}} + y\,\vec{\jmath{}} + z\,\vec{k}$$

na potencijalno i solenoidalno polje.

Rješenje. ${\rm div\,}\vec{a} = 3,$ pa se potencijalno polje $\varphi$ određuje iz zahtjeva

$$\Delta\,\varphi = 3.$$

Ova jednadžba ima mnogo rješenja. Jedno od njih je na pr.

$$\varphi = \frac{3}{2}\,x^2.$$

Tada je solenoidalno polje

$$\vec{c} = \vec{a} - {\rm grad\,}\varphi = (-2\,x+y+z)\,\vec{\imath{}} + y\,\vec{\jmath{}} + z\,\vec{k}.$$