Znanstveno-stručni časopis
Hrvatskog društva za geometriju i grafiku

Scientific and Professional Journal
of the Croatian Society for Geometry and Graphics





Filipe Bellio, Ronaldo Garcia, Dan Reznik (filipe.bellio.nobrega@gmail.com, ragarcia@ufg.br, dreznik@gmail.com)

Ponceletovi poligoni upisani paraboli i dobiveni iz biocentričkih familija

Proučavamo geometrijska mjesta i svojstva familija Ponceletovih poligona upisanih paraboli koji omataju kružnicu sa središtem u fokusu parabole. Ova familija je polarna slika specijalnog slučaja bicentrične familije s obzirom na svoju opisanu kružnicu. Opisujemo uvjete zatvaranja, geometrijska mjesta, i nove invarijante.


Ključne riječi: Poncelet, zatvaranje, porizam, parabola, bicentričan, očuvanost, invarijante

Article in PDF.



Ronaldo Garcia, Liliana G. Gheorghe, Peter Moses, Dan Reznik (ragarcia@ufg.br, liliana@dmat.ufpe.br, moparmatic@gmail.com, dreznik@gmail.com)

Trijade konika pridruženih trokutu

Podsjećamo na konstrukcije temeljene na trijadama konika sa žarištima u parovima vrhova referetnog trokuta. Nalazimo da njihovih 6 vrhova leži na dobro poznatim konikama čiji tip analiziramo. Za ove konike dajemo uvjete da budu kružnice i/ili degenerirane konike. U slučaju degeneriranih konika proučavamo geometrijsko mjesto njihovog središta.

Ključne riječi: trokut, konika, Carnot, Soddyjeve kružnice
Article in PDF.

 

 

 

Boris Odehnal (boris.odehnal@uni-ak.ac.at)

Pramenovi Frégierovih konika

Za svaku točku P na konici c, involucija pravih kutova u točki P inducira eliptičnu involuciju na konici c čije se središte F zove Frégierova točka od P. Zamjena pravih kutova u točki P između označenih krakova s proizvoljnim kutom f vodi ka projektivnom preslikavanju u pramenu točke P, a tako i na konici c. Pravci koji povezuju odgovarajuće točke na konici c više ne prolaze kroz jednu točku nego omataju koniku f koja se vidi kao generalizacija Frégierove točke i zvat će se generalizirana Frégierova konika. Mijenjajući kut, dobivamo pramen generaliziranih Frégierovih konika koji je pramen treće vrste. Proučavat ćemo tako definirane konike i otkriti među ostalim i generalizirane familije Ponceletovih trokuta.

Ključne riječi: konika, kut, projektivno preslikavanje, Frégierova točka, Frégierova konika, Ponceletov porizam, omotaljka

Article in PDF.


 

 

Helmuth Stachel (stachel@dmg.tuwien.ac.at)

Trojka projektivnih biljara

Projektivni biljar je poligon u realnoj projektivnoj ravnini koji ima upisanu i opisanu koniku. Poput klasičnih biljara u konikama, sjecišta produljenih stranica projektivnog biljara se nalaze na familiji konika koje tvore pridruženu Ponceletovu mrežu. Proširujemo projektivni biljar unutarnjim i vanjskim biljarom i otkrivamo mnoštvo veza između pridruženih mreža i dijagonala, posebice drugih trojki projektivnih biljara.


Ključne riječi: elipsa, biljar, kaustika, Ponceletova mreža, biljarsko kretanje

Article in PDF.


 

 



Hans Dirnböck, Gunter Weiss (weissgunter@gmx.at)

Ponovno razmatranje trisekcije kuta metodom Jánosa Bolyaija

J. Bolyai je predložio elegantnu metodu za trisekciju kuta određivanjem sjecišta lukova jedinične kružnice s lukovima jednakostranićne hiperbole c. Vrijedno je istražiti geometrijsku pozadinu ovog postupka te ga koristiti kao temeljnu ideju za pronalaženje n-tog dijela zadanog kuta. U ovom radu primijenit ćemo navedenu ideju u trivijalnom slučaju n = 4, te za n = 5. Slijedeći Bolyaija, u slučaju n = 5 jediničnu kružnicu treba presječi kubnom krivuljom c. U tom slučaju, kao i u slučajevima n ≥5, nalazimo samo numerička rješenja, što pokazuje ograničenost Bolyaijeve metode. Stoga predlažemo i drugu konstrukciju, ovaj put utemeljenu na epicikloidi upisanoj jediničnoj kružnici. Ovom metodom moguće je čak konstruirati n/m -ti dio zadanog kuta.


Ključne riječi: trisekcija kuta, n-sekcija kuta, jednakostranična hiperbola, kubna krivulja, epicikloida

Article in PDF.


 

 



Vladimir Volenec, Ema Jurkin, Marija Šimić Horvath (volenec@math.hr, ema.jurkin@rgn.unizg.hr, marija.simic@arhitekt.hr)

Potpuni četverostran u pravokutnim koordinatama

U radu proučavamo potpuni četverostran u euklidskoj ravnini. Poput trokuta i potpuni četverostran ima mnogo zanimljivih svojstava te pridruženih točaka, pravaca i konika. Ovdje je proučavanje provedeno korištenjem pravokutnih koordinata, simetrično po sve četiri stranice četverostrana s četiri parametra a, b, c, d. Proučavamo svojstva točaka, pravaca i kružnica pridruženih četverostranu. Gotovo sve tvrdnje prikazane u ovom radu su dobro poznate, ali su se ipak ponegdje usput pojavili i neki novi rezultati.


Ključne riječi: euklidska ravnina, potpuni četverostran, parabola

Article in PDF.