Kvadratni splajnovi, po dijelovima bez kolizija, s regularnim kvadratnim barijerama

U trodimenzionalnom euklidskom prostoru klasificiramo međusobni odnos kvadratne Bézierove krivulje i regularne kvadrike. Za danu prvu i zadnju kontrolnu točku, nalazimo skup svih kvadratnih Bézierovih krivulja koje nemaju zajedničku točku s regularnom kvadrikom. Sustav ovakvih kvadratnih Bézierovih krivulja prikazuje se skupom njihovih dopustivih srednjih kontrolnih točaka. Prostorni problem svodi se na ravninski problem gdje konika predstavlja regularnu kvadriku. Tada se za svaku vrstu konike zasebno nalazi skup svih srednjih kontrolnih točaka. Glavna zadaća je naći granicu ovakvog skupa. Spomenutu granicu čine središnje kontrolne točke Bézierovih krivulja koje diraju koniku. Naši rezultati primjenjuju se u računanju putanja bez kolizija za virtualna sredstva gdje su barijere prikazane ili ograničene regularnim kvadrikama. Drugu primjenu nalazimo u istraživanju točkovnih prostornih krivulja u prostoru Minkowski.

Key words: Bézierove kvadratna krivulja, regularna kvadrika, presjek, dijelovi bez kolizija

O metrici induciranoj ikosadodekaedrom i rombskim trijakonteadrom

Teorija konveksnih skupova je vitalno i klasično područje moderne matematike s bogatom primjenom. Ako se sve točke dužine, koja spaja bilo koje dvije točke skupa, nalaze u tom skupu, tada je taj skup konveksan. Sve se više geometrijskih aspekata o konveksnim skupovima razvija uvodeći neke pojmove, ponajprije poliedre. Konveksni poliedar je iznimno važno posebno tijelo u Rⁿ. Neki primjeri konveksnih podskupova euklidskog trodimenzionalnog prostora su Platonova tijela, Arhimedova tijela, tijela dualna Arhimedovim tijelima i Catalanova tijela. U ovom članku prikazujemo dvije metrike koje su sfere Arhimedovom tijelu ikosadodekaedru i njemu dualnom tijelu, trijakontaedru.

Key words: Arhimedova tijela, Catalanova tijela, metrika kineskog šaha, ikosadodekaedar, trijakontaedar

Article in PDF.

Elementarne konstrukcije konika u hiperboličnoj i eliptičnoj ravnini

U Euklidskoj ravnini poznate su konstrukcije točka i tangenata za npr. elipsu c zadanu osima, pri čemu se koristi Apolonijeva definicija za c preko fokusa ili dva afiniteta (de la Hireova konstrukcija). Iako ne postoje paralelne relacije s hiperboličnom niti eliptičnom ravninom, ipak je moguće modificirati mnoge elementarne konstrukcije vezane za konike tako da one vrijede za (regularne) neeuklidske ravnine. U nekim modifikacijama samo je euklidski pravac zamijenjen s neeuklidskom kružnicom. Također će se proučiti svojstva Talesovih konika koje su generirane s dva pramena (neeuklidskih) okomitih pravaca.

Key words: hiperbolična ravnina, eliptična ravnina, konika, de la Hire, Apolonije, Tales

Article in PDF.

O nekim pravilnim mnogokutima u taxicab trodimenzionalnom prostoru

U ovom se radu proučava koji su euklidski pravilni mnogokuti ujedno i taxicab pravilni, a koji to nisu. Također se istražuje postojanje taxicab pravinih mnogokuta koji nisu pravilni u euklidskom smislu.

Key words: taxicab geometrija, euklidska geometrija, pravilni mnogokuti

Article in PDF.

Sektrise na sferi

U ovom članku uvodimo klasu krivulja izvedenih geometrijskom konstrukcijom. Takve ravninske krivulje su generalizacija manje poznatih Cevinih sektrisa. Također, prikazujemo tri varijacije sektrisa na sferi, koristeći geometrijsku konstrukciju na sferi, stereografsku projekciju i takozvano "valjano" preslikavanje.

Key words: sektrisa, folium, Chebyshevjev polinom, krivulje na sferi

Article in PDF.

Geometrija u službi analitike učenja

Analitike učenja usredotočene su na obrazovne izazove vezane uz postizanje svrsishodnog učenja. Vrednovanje postizanja ishoda učenja izrazito utječe na učenje. Međutim, podaci o procesu vrednovanja vrlo rijetko se koriste u postojećim analitikama učenja. Nadalje, postojeće implementacije i analize procesa istorazinskog (vršnjačkog) vrednovanja nisu zadovoljavajuće. Ovaj rad predstavlja izradu i upotrebu matematičkog modela za opis i računanje vezano uz istorazinsko vrednovanje. Razvijeni model zasniva se na Manhattan (taxicab) metrici te korištenju rubrika za vrednovanje ishoda učenja. U radu su opisane i opravdane metode računanja konačne ocjene vršnjačkog vrednovanja, mjere pouzdanosti takvog vrednovanja kao i ocjene za pojedine vrednovatelje. Razvijeni geometrijski model razmatran je u kontekstu dva važna scenarija istorazinskog vrednovanja.

Key words: taxicab geometrija, metrika, analitika učenja

Article in PDF.

Familija ploha Heltocat

U radu je prema [5] definirana familija ploha Heltocat. Za plohe iz definirane familije se pokazuje da su minimalne i da čine izometričnu deformaciju od helikoida do katenoida. Za vizualizaciju ploha i račune su korišteni programi Sage i Mathematica.

Key words: minimalna ploha, Gaussova zakrivljenost plohe, srednja zakrivljenost plohe, familija ploha Heltocat

Article in PDF.

Kad slike postavljaju stvarnost. Perspektivna alkemija u Velazquezijevoj Las Meninas.

Postoje djela prekretnice u povijesti umjetnosti, znanosti, tehnici i humanistici. Takvo djelo je i slika Las Meninas. Povjesničari i teoretičari su predložili nekoliko razina "čitanja" i istraživanja djela te su se pojavila brojna tumačenja. Izgleda da još uvijek vrlo sofisticirana konstrukcija ovog remek djela nije pod jednoznačnom hipotezom što ga čini jednako zadivljujućim koliko i zagonetnim. Naše zanimajnje za ovo izvanredno remek djelo proizlazi iz činjenice da slika pripada posebnoj kategoriji djela čije se značenje temelji i neraskidivo je povezano s njihovom projektivnom strukturom. Stoga, svjesni opsežnosti implikacija mi ćemo se fokusirati na njezin geometrijski i grafički značaj.

Key words: Diego Velázquez, Alcázar de Madrid, perspektiva, geometrija i grafika, fotogrametrija, projektivna geometrija, deskriptivna geometrija, optika, katoptrika

Article in PDF.