 |
Znanstveno-stručni
časopis Hrvatskog društva za geometriju i grafiku Scientific and Professional Journal |
|
| Konstantinos Myrianthis, Hellmuth Stachel (myrian@ath.forthnet.gr, stachel@dmg.tuwien.ac.at)
O permutacijama Desarguesovih šestorkiDesarguesov teorem ima bitnu ulogu u aksiomatskim temeljima projektivne geometrije. Konfiguracija iz ovog teorema sastoji se od deset pravaca: šest stranica dvaju trokuta, triju pravaca kroz središte i od osi. Usredotočujemo se na uređenu šestorku sjecišta s osi koju nazivamo Desarguesovom. Permutacija ove šestorke se naziva dopustivom ako čuva svojstvo "biti Desarguesov". Neke su permutacije dopustive samo ako u ravnini vrijedi Pappusov teorem. Pod ovom pretpostavkom dokazujemo da za svaku permutaciju postoje određene Desarguesove šestorke koje ostaju Desarguesove nakon djelovanja te permutacije. |
|
| Gunter Weiss, Boris Odehnal (boris.odehnal@uni-ak.ac.at, weissgunter@gmx.at)
Miquelov teorem i njegovi elementarnogeometrijski srodniciElementarnogeometrijski Miquelov teorem odnosi se na trokut ΔABC i točke R, S, T na njegovim stranicama, i kaže da kružnicek(ART), k(BRS), k(CST) imaju jednu zajedničku točku M, Miquelovu točku zadane figure. Posebnim odabirom točaka R, S, T dobivaju se takozvani beermat teorem, Brocardovi teoremi i Steinerov Simson-Wallaceov teorem kao specijalni slučajevi Miquelovog teorema. Stoga, činjenice vezane za Brocardov teorem slijede iz svojstava Miquelovog teorema. Ako npr. R, S, T zadavoljavaju Cevin uvjet, Miquelova konstrucija inducira preslikavanje Cevine točke u Miquelovu točku. Proučavamo ovo i druga preslikavanja koja su direktna posljedica Miquelovog teorem. Nadalje, kreću li se točke R, S, T stranicama trokuta tako da su npr. afini omjeri ar(ARB), ar(BSC), ar(CTA) jednaki, Miquelove točke M opisuju kružnicu opisanu trokutu čiji su vrhovi dvije Brocardove točke i središte opisane kružnice trokuta. Osim spomenutih triju posebnih točaka trokuta, na ovoj kružnici leži još nekoliko osobitih točaka trokuta. Iako je većina predstavljenih tema dobro poznata, čini se da njihove međusobne veze još nisu razmatrane u standardnoj literaturi iz geometrije trokuta i stoga bi mogle opravdati dodatnu obradu. Ključne riječi: Miquelov teorem, Brocardovi teoremi, Steinerovi Simson-Wallaceovi teoremi  Article in PDF. |
|
| Boris Odehnal (boris.odehnal@uni-ak.ac.at)
Univerzalne porizme i Yff konikeYff opisana elipsa i Yff upisana elipsa trokuta dopu¸štaju
porističnu familiju trokuta (odsada zvanu Yff porizma),
budući da je polazni trokut već upisan prvoj, a opisan
drugoj elipsi. Iznenađujuće, Yff porizma se može
parametrizirati pomoću racionalnih funkcija i stoga daje
porizmu u univerzalnoj geometriji. To nam također
omogućuje da damo eksplicitne primjere porističnih familija
trokuta nad konačnim poljima. Promatrajući Yff upisanu
elipsu i Yff opisanu elipsu kao bazu eksponencijalnog
pramena konika, možemo ponavljati konstrukciju porizme
i pronaći beskonačan niz (a time i beskonačno mnogo)
ugniježđenih racionalnih porizmi trokuta nad realnim (i
kompleksnim) poljem brojeva ili konačni zatvoreni lanac
porizmi u slučaju konačnog polja. |
|
| Dominique Laurain, Peter Moses, Dan Reznik
(dominique.laurain31@orange.fr, moparmatic@gmail.com, dreznik@gmail.com)
Cramer-Castillonov problem u slučaju trokutu upisane i pripisanih kružnicaCramer-Castillonov problem (CCP) se sastoji u traženju jednog ili više mnogokuta upisanih u kružnicu tako da njihove stranice ciklički prolaze kroz N točaka. Ovaj problem proučavamo u slučaju kada su točke vrhovi trokuta, a kružnica ili njegova upisana ili jedna od pripisanih kružnica. Dokazujemo da (i) u svakom slučaju uvijek postoji par rješenja (ukupno 8 novih trokuta i 24 vrha); (ii) svaki par dijeli sve objekte Brocardove geometrije; (iii) u baricentričnim koordinatama se pojavljuje zlatni rez; i (iv) jednostavnim operacijama na baricentričnim koordinatama se iz jednog od 24 vrha mogu dobiti preostala 23. |
|
| Vladimir Volenec, Ema Jurkin, Marija Šimić Horvath (volenec@math.hr, ema.jurkin@rgn.unizg.hr, marija.simic@arhitekt.hr)
Potpuni četverostran u pravokutnim koordinatama IIOvaj rad je nastavak proučavanja geometrije potpunog četverostrana u euklidskoj ravnini. Iznosimo neke poznate činjenice o potpunom četverostranu, ali ih ovdje dokazujemo jedinstvenom metodom koristeći pravokutne koordinate, simetrično s obzirom na četiri stranice četverostrana, odnosno četiri parametra a, b, c, d. Promatramo svojstva vezana za centralnu kružnicu, ortopolarnu kružnicu, Herveyevu kružnicu, Kantorovu točku i Plückerove točke. Tijekom ovog istraživanja dobili smo i neke nove rezultate.
|
|
| Andrej Novak, Martina Armanda (andrej.novak@phy.hr, marty4arm@gmail.com)
Primjena Cahn-Hilliardove jednadžbe za uslikavanje binarnih slikaIstražujemo primjenu Cahn-Hilliardove (CH) jednadžbe za potrebe uslikavanja digitalnih slika, fokusirajući se na različite izbore nelinearnog potencijala, uključujući potencijal dvostruke jame i klasifikatore temeljene na šok filteru. Ovi potencijali su ključni u oblikovanju rezultata uslikavanja, a njihov odabir ovisi o karakteristikama specifičnih slika i željenim svojstvima rekonstrukcije. Također, predstavljamo numeričku shemu zasnovanu na principu cijepanja po konveksnosti, te prikazujemo rezultate uslikavanja jednostavnih binarnih oblika. Kroz tekst stavljamo naglasak na osnovne karakteristike Cahn-Hilliardove jednadžbe kako bismo omogućili bolje razumijevanje uloge parcijalnih diferencijalnih jednadžbi u obradi slika.
|
