Zakoni ponašanja.

Količina topline po jedinici duljine štapa je proporcionalna temperaturi

$$\varphi(x,t) = \gamma(x)\,u(x,t),$$

gdje je faktor proporcionalnosti $\gamma$ toplinski kapacitet jedinice duljine štapa.

Drugi zakon ponašanja je poznat kao Fourierov zakon, koji kaže da je količina topline koja u jedinici vremena prijeđe s desna na lijevo proporcionalna razlici temperature po jedinici duljine

$${\psi}(x,t) = \delta(x)\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x},$$

gdje je $\delta(x)$ koeficijent provođenja. Iz ove formule slijedi da je $\delta(x)>0.$

Ako sve to uzmemo u obzir, dobivamo iz opće jednadžbe

$$\gamma(x)\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\delta(x)\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right) + f(x,t).$$

Primijetimo da je ova jednadžba drukčija od prethodnih po tome što se ovdje pojavljuje prva parcijalna derivacija po $t$ umjesto druge.