Gaussov postupak eliminacije

Gaussov postupak eliminacije je metoda rješavanja sustava linearnih algebarskih jednadžbi. Ideja je sljedeća. Operacijama, koje smo gore naveli, zadani sustav svesti na njemu ekvivalentan, tako da iz dobivenog sustava lako nađemo skup svih rješenja.

Neka je zadan sustav 1.4. Premjestimo jednadžbe u sustavu, ako je potrebno, tako da koeficijent uz $x_1$ u prvoj jednadžbi bude različit od nule. Zatim prvu jednadžbu podijelimo s koeficijentom uz $x_1,$ pomnožimo brojem koji je suprotan koeficijentu uz $x_1$ u drugoj jednadžbi, i dodamo je drugoj jednadžbi, zatim prvu jednadžbu podijelimo s koeficijentom uz $x_1,$ pomnožimo brojem koji je suprotan koeficijentu uz $x_1$ u trećoj jednadžbi, i dodamo je trećoj jednadžbi, zatim prvu jednadžbu podijelimo s koeficijentom uz $x_1,$ pomnožimo brojem koji je suprotan koeficijentu uz $x_1$ u četvrtoj jednadžbi, i dodamo je četvrtoj jednadžbi, i t.d. Na taj način smo izbacili $x_1$ iz druge, treće, $\ldots,$ $m$-te jednadžbe i došli do ekvivalentnog sustava oblika

$$\begin{array}{rrrrrr} a_{11}\,x_1 &... ...s & & & \\ & a'_{m2}\,x_2 & +\cdots & +a'_{mn}\,x_n & = & b'_m, \end{array}$$

pri tom je

$$a'_{22}=a_{22}-\frac{a_{21}}{a_{11}}\,a_{12},\;\; a'_{23}=a_{23}... ...{a_{11}}\,a_{13},\;\;\ldots,\;\; a'_{mn}=a_{mn}-\frac{a_{m1}}{a_{11}}\,a_{1n};$$

$$b'_{2}=b_{2}-\frac{a_{21}}{a_{11}}\,b_{1},\;\; b'_{3}=b_{3}-\fra... ...31}}{a_{11}}\,b_{1},\;\;\ldots,\;\; b'_{m}=b_{m}-\frac{a_{m1}}{a_{11}}\,b_{1},$$

odnosno općenito

$$a'_{ik}=a_{ik}-\frac{a_{i1}}{a_{11}}\,a_{1k},\quad b'_{i}=b_{i}-\frac{a_{i1}}{a_{11}}\,b_{1},$$   za $$i,k=2,3,\ldots,m.$$

Sad učinimo isto s podsustavom, koji se sastoji od druge, treće, ..., $m$-te jednadžbe u odnosu na nepoznanicu $x_2.$ Time iz treće i daljnjih jednadžbi eliminiramo $x_2.$ Zatim na isti način iz četvrte i daljnjih jednadžbi izbacimo $x_3,$ i t.d. Budući da sustav ima konačno mnogo jednadžbi, postupak staje nakon konačno koraka. Dobije se ekvivalentan sustav, po obliku ``trokutast''. Sada najprije riješimo zadnju jednadžbu, rješenje uvrstimo u predzadnju, pa nju riješimo, pa uvrstimo u treću straga i t.d. sve do prve jednadžbe. Metoda, koju smo opisali, zove se Gaussova metoda eliminacije.

Dakle ideja Gaussove metode eliminacije se sastoji u tome da se pomoću operacija 1.2.1 izbace nepoznanice koje se nalaze ispod ``glavne dijagonale''.

Primjer 1.9   Treba riješiti sustav

$$\begin{array}{rrrrrr} x_1 & & -\,x_... ...-\,x_3 & & = & -1 \\ 2\,x_1 & +\,x_2 & +\,x_3 & +\,x_4 & = & 3. \end{array}$$

Množenjem prve jednadžbe s $-1$ i dodavanjem trećoj, i zatim množenjem prve jednadžbe s $-2$ i dodavanjem četvrtoj, dobivamo

$$\begin{array}{rrrrrr} x_1 & & -\,x_... ... & x_2 & & -2\,x_4 & = & 2 \\ & x_2 &+3\,x_3 & -3\,x_4 & = & 9. \end{array}$$

Zamijenimo mjesta treće i druge jednadžbe, i zatim drugu množimo s $-2$ i s $-1$ i dodamo redom trećoj i četvrtoj jednadžbi.

$$\begin{array}{rrrrrr} x_1 & & -\,x_... ...\\ & & x_3 & +5\,x_4 & = & -3 \\ & & 3\,x_3 & -\,x_4 & = & 7. \end{array}$$

Pomnožimo treću jednadžbu s $-3$ i dodajmo četvrtoj

$$\begin{array}{rrrrrr} x_1 & & -x_3 ... ... & 2 \\ & & x_3 & +5\,x_4 & = & -3 \\ & & &-16\,x_4 & = & 16. \end{array}$$

Dobili smo ``trokutast'' oblik, i sada rješavamo jednadžbe odozdo prema gore. Iz zadnje slijedi $x_4=-1,$ uvrstimo to u treću, pa slijedi $x_3=2,$ uvrstimo u drugu, pa slijedi $x_2=0,$ uvrstimo u prvu, pa slijedi $x_1=1.$

Metodu eliminacije možemo upotrebiti i nakon svođenja na ``trokutasti'' oblik da bismo izbacili nepoznanice iznad ``glavne dijagonale'' i došli tako do ``dijagonalnog'' oblika. Ta metoda se zove Gauss-Jordanova metoda. Na sljedećem primjeru pokažimo kako funkcionira ta metoda.

Primjer 1.10   Treba riješiti sustav

$$\begin{array}{rrrrrrr} x_1 & & -\,x... ... & = & -1 \\ 2\,x_1 & +\,x_2 & +\,x_3 & +\,x_4 & +\,x_5 & = & 3 \end{array}.$$

Kao u gornjem primjeru nakon nekoliko koraka dolazimo do

$$\begin{array}{rrrrrrr} x_1 & & -\,x... ... +\,x_5 & = & -3 \\ [2mm] & & & x_4 &+\frac{1}{4}\,x_5 & = & -1 \end{array}.$$

Množimo četvrtu jednadžbu redom s $-5, 2, -2,$ i dodajemo redom trećoj, drugoj, prvoj jednadžbi. Dobivamo

$$\begin{array}{rrrrrrr} x_1 & & -\,x... ...{4}\,x_5 & = & 2 \\ [2mm] & & & x_4 &+\frac{1}{4}\,x_5 & = & -1 \end{array}.$$

Dodajmo još treću prvoj. Tako dolazimo do ``dijagonalnog'' oblika

$$\begin{array}{rrrrrrr} x_1 & & & &+... ...{4}\,x_5 & = & 2 \\ [2mm] & & & x_4 &+\frac{1}{4}\,x_5 & = & -1 \end{array}.$$

Odatle čitamo rješenje $x_1=1-\frac{1}{4}\,x_5, x_2=-\frac{2}{4}\,x_5, x_3=2+\frac{1}{4}\,x_5, x_4=-1-\frac{1}{4}\,x_5.$

U ovom primjeru se pojavljuje $x_5$ kao neodređeni parametar. Tako smo dobili mnogo rješenja, jer uzimajući za $x_5$ pojedine brojeve, nakon uvrštavanja dobivamo konkretna rješenja. $x_5$ može biti bilo koji realan broj, pa tako imamo beskonačno mnogo rješenja. Zbog toga što se u rješenju pojavljuje jedan neodređeni parametar, kažemo da sustav ima jednoparametarski skup rješenja.