Ritzova metoda

Pogledajmo kako ona funkcionira kad se radi o rubnom problemu

$$% latex2html id marker 41387 \begin{cases} - \Delta\,u = f,&... ...a $\Omega$}\\ u\vert _{\partial\Omega{}} = 0. & \end{cases}$$

Kao u jednodimenzionalnom slučaju izaberemo $n$ linearno nezavisnih funkcija $v_i, i=1,2,\ldots, n$ koje zadovoljavaju rubni uvjet. Rješenje se pretpostavi u obliku

$$u_n = \sum_{i=1}^n c_i\,v_i,$$

i neodređeni koeficijenti se odrede iz uvjeta da $u_n$ minimizira pripadni funkcional energije

$$F(u) = \frac{1}{2}\,\iint_{\Omega}\,({\rm grad\,}u)^2dxdy - \iint_{\Omega}\,f\,u\,dxdy.$$

Tako dobiveni $u_n$ leži u vektorskom prostoru razapetom s funkcijama $v_1,$ $v_2,$ $\ldots,$ $v_n.$ Rješenje ne mora ležati u tom prostoru, pa u tom slučaju $u_n$ nije točno već samo približno rješenje. No, što veći $n$ uzmemo, to je manja greška koju činimo prihvaćajući $u_n$ kao rješenje problema.

Prvi problem s kojim se susrećemo kod Ritzove metode je određivanje funkcija $v_i$ koje moraju zadovoljavati rubni uvjet. Ako područje nije dovoljno lijepo, mogu nastati problemi. Nakon što smo izabrali funkcije $v_i,$ pretpostavljeno rješenje uvrstimo u funkcional

$$F(u_n) = \frac{1}{2}\,\iint_{\Omega}... ...}\sum_{i=1}^n c_i\,v_i)^2dxdy - \iint_{\Omega}\,f\,\sum_{i=1}^n c_i\,v_i\,dxdy$$

$$= \frac{1}{2}\,\iint_{\Omega}\, (\su... ...n c_i\,{\rm grad\,}v_i)^2dxdy - \sum_{i=1}^n c_i\,\iint_{\Omega}\, f\,v_i\,dxdy$$

$$= \frac{1}{2}\,\sum_{i=1}^n\sum_{j=1... ...v_i\cdot{\rm grad\,}v_j\,dxdy - \sum_{i=1}^n c_i\,\iint_{\Omega}\, f\,v_i\,dxdy$$

$$= \Phi(c_1,c_2,\ldots,c_n).$$

$\Phi$ je derivabilna funkcija od $n$ varijabli $c_1,c_2,\ldots,c_n,$ pa jednadžbe

$$\frac{\partial \Phi}{\partial c_j} =... ..., {\rm grad\,}v_i\cdot{\rm grad\,}v_j\,dxdy - \iint_{\Omega}\,f\,v_i\,dxdy = 0,$$

za $j=1,2,\ldots,n,$ predstavljaju nužan uvjet za ekstrem funkcije $\Phi$ u točki $(c_1,c_2,\ldots,c_n).$ Ovo je sustav od $n$ linearnih algebarskih jednadžbi od $n$ nepoznanica. Stavimo

$$K_{ij} = \iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_i\cdot{\rm grad\,}v_j\,dxdy,\hspace{1cm}b_j = \iint_{\Omega}\, f\,v_j\,dxdy.$$

Sada se sustav može kratko zapisati

$$K\,\boldsymbol{c} = \boldsymbol{b},$$

gdje je $K=[K_{ij}],\boldsymbol{c}=[c_j],\boldsymbol{b}=[b_i].$

Nedostaci ove metode su u tome što je za proizvoljno područje teško naći funkcije $v_i,$ i u tome što je matrica $K,$ koja se inače zove matrica krutosti, puna matrica, tj. općenito je svaki njezin element različit od nule.