Proračun stabilnosti

Opis konstrukcije je za proračun stabilnosti gotovo jednak kao za statički proračun. Postoji, međutim, jedno važno ograničenje: zbog pretpostavki uvedenih pri definiranju geometrijske matrice krutosti elementa uzdužna sila mora biti na elementu konstantna, što znači da se koncentrirane sile u smjeru uzdužne osi elementa mogu zadati samo u njegovim čvorovima. (Naravno, raspodijeljeno opterećenje u smjeru osi ne može se zadati.)

Proračun stabilnosti provodi se izborom Buckling analysis u izborniku Analysis. Program ispisuje aproksimaciju najniže svojstvene vrijednost, lambda critical ( $\lambda_{{\mathrm{crit}}}^{}$), tako da je aparoksimacija kritičnoga opterećenja

P_crit = $$\lambda_{{\mathrm{crit}}}^{}$$ P_ref ,

gdje je P_ref   zadano opterećenje, te aproksimaciju prvog (normaliziranog) svojstvenog vektora, točnije, vrijednosti tog vektora u čvorovima (translacijski pomaci u_i i v_i u smjeru globalnih osi x i y te zaokret phi_i).

Približni oblik izvijene konstrukcije (po dijelovima aproksimiran polinomima trećega stupnja) prikazuje se izborom Buckling mode u podizborniku Diagrams izbornika Analysis. Mjerila duljina i progiba mogu se mijenjati izborom Lenghts i Displacements u podizborniku Scale.

Primjer: konzola

Kritična je sila za konzolu, kao što znamo,

P_crit = $${\frac{{\pi^2 EI}}{{4 \ell^2}}}$$ = 2, 4674 $${\frac{{EI}}{{\ell^2}}}$$.

Ako je P_ref = 1, 0 kN, najmanja je svojstvena vrijednost $\lambda_{{\mathrm{crit}}}^{}$ = 2, 4674 EI/$\ell^{2}_{}$.

Neka su: duljina $\ell$ = 5, 0 m, poprečni presjek b/h = 10/10 [cm] i modul elastičnosti E = 2 ^. 10⁸ kN/m²; tada je $\lambda_{{\mathrm{crit}}}^{}$ = 164, 493.

Modeliramo li konzolu jednim elementom, kao na prethodnoj slici, dobit ćemo $\lambda_{{\mathrm{crit}}}^{}$ = 165, 731. Upotrijebimo li tri elementa ( $\ell_{e}^{}$ = 1, 66667 m), bit će $\lambda_{{\mathrm{crit}}}^{}$ = 164, 510, dok je za pet elemenata ( $\ell_{e}^{}$ = 1, 0 m) $\lambda_{{\mathrm{crit}}}^{}$ = 164, 496. Očito je da pri `progušćenju' mreže niz konvergira (odozgo) prema točnoj vrijednosti.

Kritična je sila P_crit = $\lambda_{{\mathrm{crit}}}^{}$ P_ref , pa je, za model s pet elemenata, P_crit = 164, 496 ^. 1, 0 = 164, 496 kN. Uzmemo li P_ref = 50, 0 kN , dobit ćemo $\lambda_{{\mathrm{crit}}}^{}$ = 3, 28992, te je, ponovo, P_crit = 3, 28992 ^. 50, 0 = 164, 496 kN.

Na sljedećim su slikama prikazani, redom: približni izvijeni oblik konzole modelirane jednim elementom te model s pet elemenata i tako dobiveni približni izvijeni oblik. Približni se izvijeni oblik progušćenjem mreže sve više približava točnom obliku - četvrtini vala sinusoide.

Naglašavamo još jednom: sila P_ref  zadana je u čvoru 1, a ne kao sila na kraju elementa.

Primjer: okvir

Nešto je složeniji primjer, također s poznatim analitičkim rješenjem, dvozglobni okvir prikazan na slici:

Ako su h = $\ell$ i EI = const, kritična je vrijednost sila F:

F_crit = 1, 775 $${\frac{{EI}}{{\ell^2}}}$$.

Neka su: $\ell$ = 6, 0 m, b/h = 10/20 [cm] i modul elastičnosti E = 2 ^. 10⁸ kN/m²; tada je F_crit = 657, 407 kN. Zadamo li F_ref = 100, 0 kN , bit će $\lambda_{{\mathrm{crit}}}^{}$ = 6, 57407.

Modeliramo li gredu i stupove s po jednim elementom, kao na sljedećoj slici, dobit ćemo $\lambda_{{\mathrm{crit}}}^{}$ = 6, 75302.

Na sljedećoj je slici prikazan približni oblik izvijene konstrukcije.

Modeliramo li stupove s po pet elemenata ( $\ell_{{s,e}}^{}$ = 1, 2 m), a gredu sa šest elemenata ( $\ell_{{g,e}}^{}$ = 1, 0 m), bit će $\lambda_{{\mathrm{crit}}}^{}$ = 6, 73397. Model i približni izvijeni oblik prikazani su na sljedeće dvije slike.