Metoda konačnih diferencija

Neka je dan rubni problem
#math2742#
    #tex2html_wrap_indisplay38426#  
    #tex2html_wrap_indisplay38428#  

Podijelimo segment #math2743##tex2html_wrap_inline38430# na #tex2html_wrap_inline38432# jednakih podsegmenata. #math2744#

#tex2html_wrap_indisplay38434#

Točke #math2745##tex2html_wrap_inline38436# se zovu čvorovi. Točke #math2746##tex2html_wrap_inline38438# se zovu unutrašnji čvorovi, a #tex2html_wrap_inline38440# se zovu rubni čvorovi. Svaki segment ima duljinu #math2747##tex2html_wrap_inline38442# Broj #tex2html_wrap_inline38444# se zove korak. On se izabire malen, da točnost bude veća, ali sa smanjivanjem koraka se javljaju drugi nepoželjni efekti, pa u odabiru koraka treba biti oprezan. Ideja metode se sastoji u tome da se u svakom čvoru diferencijalna jednadžba zamijeni odgovarajućom algebarskom jednadžbom i zatim riješi tako dobiveni sustav algebarskih jednadžbi. U tu svrhu treba derivacije zamijeniti odgovarajućim algebarskim aproksimacijama. Rješenje koje tako dobijemo predstavlja približne vrijednosti rješenja u čvorovima. Uočimo jedan unutrašnji čvor #tex2html_wrap_inline38446# Koristit ćemo sljedeće oznake #math2748#

#tex2html_wrap_indisplay38448#

Na isti način kao u #subsubsec:euler#9950> imamo #math2749#

#tex2html_wrap_indisplay38450#

Ova aproksimacija derivacije se zove aproksimacija s desna. Umjesto aproksimacije s desna ponekad se koriste aproksimacija s lijeva ili centralna aproksimacija. Polazeći od formule (#eq:tayl#9956>), u kojoj zamjenimo #tex2html_wrap_inline38452# s #tex2html_wrap_inline38454# #math2750#

#tex2html_wrap_indisplay38456#

dobivamo, zanemarivanjem člana s #tex2html_wrap_inline38458# aproksimaciju s lijeva #math2751#

#tex2html_wrap_indisplay38460#

Centralnu aproksimaciju dobivamo, ako Taylorove formule #math2752#

#tex2html_wrap_indisplay38462#

#math2753#

#tex2html_wrap_indisplay38464#

za #tex2html_wrap_inline38466# i #tex2html_wrap_inline38468# oduzmemo i podijelimo s #tex2html_wrap_inline38470# Tada imamo #math2754#

#tex2html_wrap_indisplay38472#

pa ako zanemarimo član s #tex2html_wrap_inline38474# dobivamo #math2755#

#tex2html_wrap_indisplay38476#

Za aproksimaciju druge derivacije, uzimamo #math2756#

#tex2html_wrap_indisplay38478#

#math2757#

#tex2html_wrap_indisplay38480#

Zbrojimo ove jednakosti #math2758#

#tex2html_wrap_indisplay38482#

Podijelimo s #tex2html_wrap_inline38484# i izračunamo #tex2html_wrap_inline38486# #math2759#

#tex2html_wrap_indisplay38488#

Zanemarimo zadnji član s faktorom #tex2html_wrap_inline38490# i dobivamo #math2760#

#tex2html_wrap_indisplay38492#

U čvoru #tex2html_wrap_inline38494# diferencijalna jednadžba iz rubnog problema glasi #math2761#

#tex2html_wrap_indisplay38496#

Zamijenimo li drugu derivaciju s njezinom aproksimacijom, dobijemo algebarsku jednadžbu za #tex2html_wrap_inline38498#-ti čvor #math2762#

#tex2html_wrap_indisplay38500#

Pomnožimo jednadžbu s #tex2html_wrap_inline38502# pa imamo #math2763#

#tex2html_wrap_indisplay38504#

U rubnim čvorovima imamo zadan rubni uvjet. Tako je na lijevom rubu

#math2764#
#tex2html_wrap_indisplay38506# (3.24)

a na desnom #math2765#

#tex2html_wrap_indisplay38508#

tj.

#math2766#
#tex2html_wrap_indisplay38510# (3.25)

Na taj način smo dobili sustav od #tex2html_wrap_inline38512#-ne linearne algebarske jednadžbe. Rubni uvjeti imaju utjecaja samo na prvu jednadžbu #tex2html_wrap_inline38514# koja postaje, zbog (#eq:lijeviuvjet#10033>), #math2767#

#tex2html_wrap_indisplay38516#

i na zadnju jednadžbu #tex2html_wrap_inline38518# koja, zbog (#eq:desniuvjet#10035>), postaje #math2768#

#tex2html_wrap_indisplay38520#

Sustav možemo zapisati u matričnom obliku. Ako uzmemo prirodan poredak jednadžbi počevši od čvora #tex2html_wrap_inline38522# preko #tex2html_wrap_inline38524# sve do #tex2html_wrap_inline38526# imamo vektor nepoznanica #math2769#

#displaymath38528#

matricu sustava #math2770#

#displaymath38530#

i vektor desne strane #math2771#

#displaymath38532#

Tada sustav možemo zapisati matrično #math2772#

#tex2html_wrap_indisplay38534#

Za kvadratnu matricu #math2773##tex2html_wrap_inline38536# kažemo da je striktno dijagonalno dominantna ako je #math2774#

#tex2html_wrap_indisplay38538#

Može se pokazati da iz striktne dijagonalne dominantnosti matrice #tex2html_wrap_inline38540# slijedi njezina regularnost. Ako je #math2775##tex2html_wrap_inline38542# onda je matrica #tex2html_wrap_inline38544# striktno dijagonalno dominantna, pa je regularna. Prema tome postoji jedinstveno rješenje. Iz striktne dijagonalne dominantnosti slijedi, također da je spektralni radius matrice #tex2html_wrap_inline38546# manji od #tex2html_wrap_inline38548#

Primjer 3.19   Riješiti metodom konačnih diferencija sljedeći rubni problem

  #tex2html_wrap_indisplay38550# ;SPMnbsp;;SPMnbsp;;SPMnbsp;
  #tex2html_wrap_indisplay38551# ;SPMnbsp;;SPMnbsp;;SPMnbsp;

Rješenje. Podijelimo segment #tex2html_wrap_inline38553# na deset jednakih dijelova, tako da je korak #tex2html_wrap_inline38555# Čvorovi su #math2776##tex2html_wrap_inline38557# Stavimo #math2777##tex2html_wrap_inline38559# Za prvu derivaciju upotrebimo desnu aproksimaciju, osim na desnom rubu, gdje uzmemo lijevu. U svakom unutrašnjem čvoru zamijenimo derivacije odgovarajućim aproksimacijama. Dobivamo sustav jednadžbi
#math2778#
#tex2html_wrap_indisplay38562#      
#tex2html_wrap_indisplay38564#      
#tex2html_wrap_indisplay38566#      
#tex2html_wrap_indisplay38568#      
#tex2html_wrap_indisplay38570#      
#tex2html_wrap_indisplay38572#      
#tex2html_wrap_indisplay38574#      
#tex2html_wrap_indisplay38576#      
#tex2html_wrap_indisplay38578#      
#tex2html_wrap_indisplay38580#      
#tex2html_wrap_indisplay38582#      

čije rješenje je #math2779#

#tex2html_wrap_indisplay38584#

#math2780#

#tex2html_wrap_indisplay38586#

#math2781#

#tex2html_wrap_indisplay38588#

Točke rješenja na sljedećoj slici spojene su ravnim linijama.
#math2782##tex2html_wrap24682#