Zakoni ponašanja

Označimo s #tex2html_wrap_inline31156# linearnu gustoću mase žice u točki #tex2html_wrap_inline31158# u čas #tex2html_wrap_inline31160# Linearna gustoća mase je masa po jedinici duljine. Tada je količina gibanja po jedinici duljine u točki #tex2html_wrap_inline31162# u čas #tex2html_wrap_inline31164# jednaka umnošku mase po jedinici duljine u točki #tex2html_wrap_inline31166# i brzine u točki #tex2html_wrap_inline31168# u čas #tex2html_wrap_inline31170# Tako imamo prvi zakon ponašanja #math1031#

#tex2html_wrap_indisplay31172#

Usvojimo sada sljedeća pojednostavljenja. Pretpostavljamo da se gibanje odvija u ravnini #tex2html_wrap_inline31174# i to tako da je #math1032#

#tex2html_wrap_indisplay31176#

tj. tako da je komponenta progiba u smjeru osi #tex2html_wrap_inline31178# jednaka nuli. U skladu s ovom pretpostavkom možemo progib smatrati skalarnim poljem #tex2html_wrap_inline31180#
#math1033##tex2html_wrap24246#
Promatrat ćemo male progibe žice, tako da možemo pretpostaviti da je #math1034#

#tex2html_wrap_indisplay31183#;SPMnbsp; ;SPMnbsp;<#1#>za svaki <#1#>#tex2html_wrap_indisplay31184#

U tom slučaju ćemo reći da je deformacija mala. Odatle #math1035#

#tex2html_wrap_indisplay31186#

odnosno #math1036#

#tex2html_wrap_indisplay31188#

To znači da je apsolutni prirast progiba u odnosu na progib u ishodištu vrlo malen prema duljini žice.

<#31190#>Figure<#31190#> 2.3: <#31191#>Kontaktna sila pri malim deformacijama<#31191#>
#math1037##tex2html_wrap24248#

Budući da je deformacija mala, možemo pretpostaviti da je kontaktna sila #math1038##tex2html_wrap_inline31194# u točki #tex2html_wrap_inline31196# kolinearna s jediničnim tangencijalnim vektorom na progib žice #tex2html_wrap_inline31198# u točki #tex2html_wrap_inline31200# tj. #math1039#

#tex2html_wrap_indisplay31202#

Funkcija #tex2html_wrap_inline31204# se zove napetost žice u točki #tex2html_wrap_inline31206# u čas #tex2html_wrap_inline31208# U daljnjem ćemo pretpostavljati da napetost ne ovisi o vremenu, i da je u svakoj točki pozitivna, tj. da je #math1040#

#tex2html_wrap_indisplay31210#;SPMnbsp; ;SPMnbsp;<#1#>za svaki <#1#>#tex2html_wrap_indisplay31211#

Tako je #math1041#

#tex2html_wrap_indisplay31213#

Progib možemo shvatiti kao krivulju u ravnini s parametrizacijom #math1042##tex2html_wrap_inline31215# gdje je #math1043#

#tex2html_wrap_indisplay31217#

<#31219#>Figure<#31219#> 2.4: <#31220#>Progib kao krivulja u ravnini.<#31220#>
#math1044##tex2html_wrap24252#

Tada je #math1045#

#tex2html_wrap_indisplay31223#

Budući da je #math1046##tex2html_wrap_inline31225# možemo zanemariti #math1047##tex2html_wrap_inline31227# pa imamo #math1048#

#tex2html_wrap_indisplay31229#

odnosno imamo drugi zakon ponašanja #math1049#

#tex2html_wrap_indisplay31231#

Vanjska sila po jedinici duljine djeluje u ravnini #tex2html_wrap_inline31233# pa možemo pisati #math1050#

#tex2html_wrap_indisplay31235#

<#31237#>Figure<#31237#> 2.5: <#31238#>Vanjska sila po jedinici duljine<#31238#>
#math1051##tex2html_wrap24256#

Ako se s ovim vratimo u diferencijalnu jednadžbu (#eq:difkolgib#3724>), imamo #math1052#

#tex2html_wrap_indisplay31241#

što se raspada na dvije skalarne jednadžbe #math1053#

#tex2html_wrap_indisplay31243#

#math1054#

#tex2html_wrap_indisplay31245#

Prva jednadžba omogućava izračunavanje napetosti žice. Da bi napetost bila neovisna o vremenu, nužno mora #tex2html_wrap_inline31247# biti neovisno o vremenu. Tako imamo

#math1055#
#tex2html_wrap_indisplay31249# (2.2)

Integrirajmo ovu jednadžbu #math1056#

#tex2html_wrap_indisplay31251#

#math1057#

#tex2html_wrap_indisplay31253#

#math1058#

#tex2html_wrap_indisplay31255#

Ako vanjska sila djeluje poprečno na žicu, onda je #math1059##tex2html_wrap_inline31257# pa je #math1060##tex2html_wrap_inline31259# tj. napetost je konstantna, i jednaka napetosti na desnom rubu. Ako vanjska sila ima komponentu u smjeru osi #tex2html_wrap_inline31261# različitu od nule, onda napetosti na desnom rubu treba dodati još doprinos od vanjske sile po jedinici duljine. Druga jednadžba

#math1061#
#tex2html_wrap_indisplay31263# (2.3)

se zove valna jednadžba. To je parcijalna diferencijalna jednadžba. Napetost izračunamo iz prve jednadžbe, #tex2html_wrap_inline31265# je zadano time što je zadana vanjska sila po jedinici duljine. #tex2html_wrap_inline31267# je zadana linijska gustoća mase žice. Nepoznanica u jednadžbi je progib #tex2html_wrap_inline31269# Osnovni problem je, dakle, izračunati #tex2html_wrap_inline31271# iz valne jednadžbe. Ako pretpostavimo da je napetost konstantna duž žice, valna jednadžba poprima oblik #math1062#

#tex2html_wrap_indisplay31273#

Također je prirodno pretpostaviti da je #math1063##tex2html_wrap_inline31275# Tada možemo podijeliti jednadžbu s #tex2html_wrap_inline31277# pa imamo #math1064#

#tex2html_wrap_indisplay31279#

gdje je #tex2html_wrap_inline31281# sila po jedinici duljine i po jedinici gustoće mase u smjeru osi #tex2html_wrap_inline31283# (U ovom slučaju to je akceleracija vanjske sile u smjeru osi #tex2html_wrap_inline31285#) Ako žica oscilira u nekom sredstvu koje pruža otpor gibanju, onda treba uzeti u obzir silu otpora. Budući da su oscilacije male, može se pretpostaviti da sredstvo reagira kao elastično, tj. da je sila otpora po jedinici duljine proporcionalna progibu i suprotnog smjera #math1065##tex2html_wrap_inline31287# gdje je #math1066##tex2html_wrap_inline31289# za #math1067##tex2html_wrap_inline31291# faktor proporcionalnosti. U tom slučaju imamo jednadžbu oscilacija #math1068#

#tex2html_wrap_indisplay31293#

Primjer 2.1   Homogena teška žica, gustoće mase #tex2html_wrap_inline31296# duljine #tex2html_wrap_inline31298# razapeta je između točaka #tex2html_wrap_inline31300# na zemlji i #tex2html_wrap_inline31302# na visini #tex2html_wrap_inline31304# kao na slici.
#math1069##tex2html_wrap24260#
Naći napetost žice u svakoj točki, ako je žica napeta u točki #tex2html_wrap_inline31307# napetošću #tex2html_wrap_inline31309# Rješenje. Kad kažemo teška žica, mislimo na to da se njezina težina ne može zanemariti. To znači da na žicu djeluje vanjska sila, sila teža. U izvodu jednadžbi mi smo koristili linearnu gustoću vanjske sile (silu po jedinici duljine). Ona je ovdje u svakoj točki po iznosu #tex2html_wrap_inline31311# a po smjeru okomita je prema površini zemlje. Postavimo koordinatni sustav tako da os #tex2html_wrap_inline31313# prolazi žicom. Gustoća sile se može rastaviti na komponentu koja djeluje duž žice i onu drugu koja je okomita na žicu. Napetosti pridonosi samo komponenta duž žice.
#math1070##tex2html_wrap24262# 6
Iz slike vidimo (pomoću sličnosti trokuta) da je #math1071#

#tex2html_wrap_indisplay31316#

Integrirajmo jednadžbu (#eq:napetost#3791>) od 0 do #tex2html_wrap_inline31319# #math1072#

#tex2html_wrap_indisplay31321#

#math1073#

#tex2html_wrap_indisplay31323#

#math1074#

#tex2html_wrap_indisplay31325#

#math1075#

#tex2html_wrap_indisplay31327#

#math1076#

#tex2html_wrap_indisplay31329#

Ako žica nije homogena, onda treba znati gustoću mase kao funkciju od #tex2html_wrap_inline31331# tj. tada #tex2html_wrap_inline31333# nije konstanta, već funkcija od #tex2html_wrap_inline31335# pa je tada #math1077#

#tex2html_wrap_indisplay31337#

Primjer 2.2   Izvesti jednadžbu malih oscilacija napete žice u sredstvu s otporom, koji je proporcionalan brzini. Rješenje. Budući da se radi o malim oscilacijama, možemo usvojiti ona pojednostavnjenja i zanemarivanja, koja smo usvojili kod izvoda valne jednadžbe (#eq:valjed#3800>). Dakle, možemo pretpostaviti da žica oscilira u smjeru okomitom na njezin ravnotežni položaj. U tom smjeru se javlja i sila otpora, no kako se ona opire kretanju, ona djeluje suprotno od smjera kretanja. Postavimo koordinatni sustav tako da žica u ravnoteži leži na osi #tex2html_wrap_inline31340# Tada se kretanje događa u smjeru osi #tex2html_wrap_inline31342# pa imamo jednadžbu za napetost #math1078#

#tex2html_wrap_indisplay31344#

U smjeru osi #tex2html_wrap_inline31346# osim vanjske sile po jedinici duljine i kontaktne sile imamo još i silu otpora po jedinici duljine #math1079#

#tex2html_wrap_indisplay31348#

Prema tome sada valna jednadžba glasi #math1080#

#tex2html_wrap_indisplay31350#

odnosno #math1081#

#tex2html_wrap_indisplay31352#