Primjer 1.20
Razmotrimo ponovno primjer
#pr:preth#2015>. U tom slučaju je rang matrice sustava jednak rangu proširene matrice, i iznosi
#tex2html_wrap_inline29393# dok je #tex2html_wrap_inline29395# Osim toga je treći stupac linearna kombinacija prva dva. Dakle, svako rješenje je oblika
#math610#
#tex2html_wrap_indisplay29397#
odnosno
#math611#
#tex2html_wrap_indisplay29399#
To se može drukčije napisati ovako
#math612#
#tex2html_wrap_indisplay29402# |
#tex2html_wrap_indisplay29404# |
#tex2html_wrap_indisplay29406# |
|
#tex2html_wrap_indisplay29408# |
#tex2html_wrap_indisplay29410# |
#tex2html_wrap_indisplay29412# |
|
#tex2html_wrap_indisplay29414# |
#tex2html_wrap_indisplay29416# |
#tex2html_wrap_indisplay29418# |
|
što predstavlja parametarske jednadžbe pravca u prostoru. Prvi
stupac desno od jednakosti čine koordinate točke kojom pravac
prolazi, a drugi stupac čine komponente vektora smjera pravca.
Rješenja su dakle točke na pravcu (slika #fig:sust1#2044>) u prostoru
(radijvektori u prostoru, čiji vrhovi leže na jednom pravcu).
Rješenje pripadnog homogenog sustava se dobije tako da se izbaci prvi
stupac desno od jednakosti (vektor #math613##tex2html_wrap_inline29420#). U tom slučaju su
rješenja točke na pravcu kroz ishodište, koji je paralelan gornjem
pravcu.
<#29422#>Figure<#29422#> 1.13:
<#29423#>Jednoparametarsko rješenje sustava linearnih algebarskih jednadžbi.<#29423#>
#math614##tex2html_wrap24142#
|
Kako su u gornjem sustavu samo dvije
jednadžbe linearno nezavisne, i budući da svaka od njih predstavlja
jednadžbu ravnine u prostoru, rješavanje ovog sustava se zapravo
svodi na to da se želi dobiti jednadžba pravca u prostoru koji je
zadan kao presjek dviju ravnina.
Primjer 1.21
Ako se sustav sastoji od dvije ili više jednadžbi s tri
nepoznanice, od kojih je samo jedna linearno nezavisna, onda to
znači da su ostale jednadžbe multipli prve. Kako je prva
jednadžba linearna, skup točaka koji je zadovoljava predstavlja
ravninu u prostoru. Dakle, skup svih rješenja takvog sustava je
skup radijvektora (vektorstupaca), čiji vrhovi leže u ravnini u
prostoru koja je zadana bilo kojom od jednadnadžbi sustava (slika
#fig:sust2#2054>). U pripadnom homogenom sustavu je i dalje samo
jedna (bilo koja) jednadžba linearno nezavisna, pa kao rješenje
homogenog sustava imamo također ravninu, paralelnu prethodnoj, ali
koja prolazi ishodištem.
<#29427#>Figure<#29427#> 1.14:
<#29428#>Dvoparametarsko rješenje sustava linearnih algebarskih jednadžbi.<#29428#>
#math615##tex2html_wrap24146#
|