Računanje Greenove funkcije

Neka su #tex2html_wrap_inline32217# i #tex2html_wrap_inline32219# dva linearno nezavisna rješenja homogene jednadžbe #math1287#

#tex2html_wrap_indisplay32221#

takva da #tex2html_wrap_inline32223# zadovoljava homogeni rubni uvjet na lijevom rubu, a #tex2html_wrap_inline32225# homogeni rubni uvjet na desnom rubu. Zbog homogenosti jednadžbe i rubnih uvjeta funkcije #tex2html_wrap_inline32227# i #tex2html_wrap_inline32229# zadovoljavaju jednadžbu i odgovarajući rubni uvjet ma kakvi bili brojevi #tex2html_wrap_inline32231# i #tex2html_wrap_inline32233# Zato Greenovu funkciju tražimo u obliku #math1288#

#tex2html_wrap_indisplay32235#

Uvjet neprekidnosti rješenja i skoka njegove prve derivacije daje sustav od dvije linearne algebarske jednadžbe za nepoznanice #tex2html_wrap_inline32237#
#math1289#
#tex2html_wrap_indisplay32240# #tex2html_wrap_indisplay32242# #tex2html_wrap_indisplay32244#  
#tex2html_wrap_indisplay32246# #tex2html_wrap_indisplay32248# #tex2html_wrap_indisplay32250#  

Ovaj sustav je nehomogen, pa ima rješenje ako i samo ako je determinanta sustava različita od nule. Determinanta sustava je #math1290#

#tex2html_wrap_indisplay32252#

gdje je #tex2html_wrap_inline32254# determinanta Wronskoga #math1291#

#tex2html_wrap_indisplay32256#

Ona je uvijek različita od nule (zbog linearne nezavisnosti #tex2html_wrap_inline32258# v. Matematika 2). 7 Prema tome postoji rješenje i ono se može naći na pr. pomoću Cramerovog pravila #math1292#

#tex2html_wrap_indisplay32260#

Tako je

#math1293#
#tex2html_wrap_indisplay32262# (2.14)

Primjer 2.8   Naći Greenovu funkciju rubnog problema #math1294#

#displaymath32265#

Rješenje. Rješenje diferencijalne jednadžbe je #math1295#

#tex2html_wrap_indisplay32267#

Linearno nezavisne funkcije, koje zadovoljavaju rubne uvjete su prema tome #math1296#

#tex2html_wrap_indisplay32269#

Iz uvjeta neprekidnosti i skoka prve derivacije u točki #tex2html_wrap_inline32271# dobivamo sustav jednadžbi
#math1297#
#tex2html_wrap_indisplay32274# #tex2html_wrap_indisplay32276# #tex2html_wrap_indisplay32278#  
#tex2html_wrap_indisplay32280# #tex2html_wrap_indisplay32282# #tex2html_wrap_indisplay32284#  

Rješenje tog sustava je #math1298#

#tex2html_wrap_indisplay32286#

i prema tome Greenova funkcija je #math1299#

#displaymath32288#