Ritzova metoda

Pogledajmo kako ona funkcionira kad se radi o rubnom problemu

#tex2html_wrap_indisplay39151# #tex2html_wrap_indisplay39152# #tex2html_wrap_indisplay39153# na #tex2html_wrap_indisplay39154# ;SPMnbsp;;SPMnbsp;;SPMnbsp;
  #tex2html_wrap_indisplay39155#     ;SPMnbsp;;SPMnbsp;;SPMnbsp;

Kao u jednodimenzionalnom slučaju izaberemo #tex2html_wrap_inline39157# linearno nezavisnih funkcija #math2905##tex2html_wrap_inline39159# koje zadovoljavaju rubni uvjet. Rješenje se pretpostavi u obliku #math2906#

#tex2html_wrap_indisplay39161#

i neodređeni koeficijenti se odrede iz uvjeta da #tex2html_wrap_inline39163# minimizira funkcional #math2907#

#tex2html_wrap_indisplay39165#

Tako dobiveni #tex2html_wrap_inline39167# leži u vektorskom prostoru razapetom s funkcijama #tex2html_wrap_inline39169# #tex2html_wrap_inline39171# #tex2html_wrap_inline39173# #tex2html_wrap_inline39175# Rješenje ne mora ležati u tom prostoru, pa u tom slučaju #tex2html_wrap_inline39177# nije točno već samo približno rješenje. No, što veći #tex2html_wrap_inline39179# uzmemo, to je manja greška koju činimo prihvaćajući #tex2html_wrap_inline39181# kao rješenje problema. Prvi problem s kojim se susrećemo kod Ritzove metode je određivanje funkcija #tex2html_wrap_inline39183# koje moraju zadovoljavati rubni uvjet. Ako područje nije dovoljno lijepo, mogu nastati problemi. Nakon što smo izabrali funkcije #tex2html_wrap_inline39185# pretpostavljeno rješenje uvrstimo u funkcional #math2908#

#tex2html_wrap_indisplay39187#

#math2909#

#tex2html_wrap_indisplay39189#

#math2910#

#tex2html_wrap_indisplay39191#

#math2911#

#tex2html_wrap_indisplay39193#

#tex2html_wrap_inline39195# je derivabilna funkcija od #tex2html_wrap_inline39197# varijabli #math2912##tex2html_wrap_inline39199# pa jednadžbe #math2913#

#tex2html_wrap_indisplay39201#

za #math2914##tex2html_wrap_inline39203# predstavljaju nužan uvjet za ekstrem funkcije #tex2html_wrap_inline39205# u točki #math2915##tex2html_wrap_inline39207# Ovo je sustav od #tex2html_wrap_inline39209# linearnih algebarskih jednadžbi od #tex2html_wrap_inline39211# nepoznanica. Stavimo #math2916#

#tex2html_wrap_indisplay39213#

Sada se sustav može kratko zapisati #math2917#

#tex2html_wrap_indisplay39215#

gdje je #math2918##tex2html_wrap_inline39217# Nedostaci ove metode su u tome što je za proizvoljno područje teško naći funkcije #tex2html_wrap_inline39219# i u tome što je matrica #math2919##tex2html_wrap_inline39221# koja se inače zove matrica krutosti, puna matrica, tj. općenito je svaki njezin element različit od nule.