Problem početnog uvjeta (Cauchyjev problem)

Želimo riješiti diferencijalnu jednadžbu #math2693#

#tex2html_wrap_indisplay38018#

na segmentu #tex2html_wrap_inline38020# uz početni uvjet #math2694##tex2html_wrap_inline38022# Metode približnog rješavanja koje ćemo sada opisati osnivaju se na sljedećoj ideji. Podijelimo segment #tex2html_wrap_inline38024# na #tex2html_wrap_inline38026# jednakih dijelova #math2695#

#tex2html_wrap_indisplay38028#

Duljina svakog podsegmenta je #math2696#

#tex2html_wrap_indisplay38030#

Brojeve #tex2html_wrap_inline38032# zovemo čvorovima, a broj #tex2html_wrap_inline38034# zovemo korakom. Stavimo #math2697#

#tex2html_wrap_indisplay38036#

Cilj nam je odrediti #tex2html_wrap_inline38038# za svaki #math2698##tex2html_wrap_inline38040# To činimo tako da derivaciju zamijenimo odgovarajućom algebarskom aproksimacijom, kojom dolazimo do rekurzivne formule, pomoću koje računamo #tex2html_wrap_inline38042# iz poznatog #tex2html_wrap_inline38044# Time rješenje, koje je neprekidna funkcija, zamjenjujemo Konačnim brojem njezinih vrijednosti. Opisani postupak se zove diskretizacija. Očekujemo da će za dovoljno mali #tex2html_wrap_inline38046# brojevi #tex2html_wrap_inline38048# dovoljno dobro aproksimirati prave vrijednosti funkcije. Važno svojstvo koje diskretizacija treba imati jeste da s povećanjem #tex2html_wrap_inline38050# dobivamo sve bolje aproksimacije, odnosno, preciznije, da brojevi #tex2html_wrap_inline38052# teže prema pravim vrijednostima funkcije kada #math2699##tex2html_wrap_inline38054#