Slobodne oscilacije žice

Pod slobodnim oscilacijama žice podrazumijevamo oscilacije, koje nastaju uslijed početnih uvjeta, a bez utjecaja vanjske sile. Tako je #tex2html_wrap_inline32744# pa imamo sljedeći rubno-početni problem

#math1438#
#displaymath32746# (2.22)

Pretpostavimo rješenje u obliku funkcije #math1439#

#tex2html_wrap_indisplay32748#

Ova pretpostavka je ključna za metodu koju ćemo sada opisati, a zove se Fourierova metoda ili metoda separacije varijabli. Uz ovu pretpostavku jednadžba postaje

#math1440#
#tex2html_wrap_indisplay32750# (2.23)

a rubni uvjeti #math1441#

#tex2html_wrap_indisplay32752#

odakle slijedi #math1442#

#tex2html_wrap_indisplay32754#

jer #math1443##tex2html_wrap_inline32756# za barem jedan #tex2html_wrap_inline32758# U protivnom bismo imali #math1444##tex2html_wrap_inline32760# za svaki #tex2html_wrap_inline32762# pa bi žica mirovala, što nije moguće ako je početnim uvjetima izvučena iz položaja ravnoteže. U jednadžbi (#eq:fourpretp#5176>) možemo separirati varijable dijeleći je s #math1445##tex2html_wrap_inline32764# #math1446#

#tex2html_wrap_indisplay32766#

Lijeva strana ove jednadžbe ovisi samo o #tex2html_wrap_inline32768# a desna samo o #tex2html_wrap_inline32770# Kako su varijable #tex2html_wrap_inline32772# i #tex2html_wrap_inline32774# nezavisne, slijedi #math1447#

#tex2html_wrap_indisplay32776#

gdje je #tex2html_wrap_inline32778# konstanta. Tako imamo sljedeći rubni problem #math1448#

#tex2html_wrap_indisplay32780#

Pomnožimo ovu jednadžbu s #tex2html_wrap_inline32782# i integrirajmo po #tex2html_wrap_inline32784# po segmentu #tex2html_wrap_inline32786# #math1449#

#tex2html_wrap_indisplay32788#

Parcijalno integrirajmo integral na lijevoj strani, i uvrstimo rubne uvjete #math1450#

#tex2html_wrap_indisplay32790#

pa je #math1451#

#tex2html_wrap_indisplay32792#

Odavde slijedi da je #tex2html_wrap_inline32794# pa možemo staviti #math1452##tex2html_wrap_inline32796# Tako imamo rubni problem

#math1453#
#tex2html_wrap_indisplay32798# (2.24)

Ovaj problem smo već riješili u #sec:uvodfour#5196>, i dobili #math1454#

#tex2html_wrap_indisplay32800#

Za svaki #math1455##tex2html_wrap_inline32802# imamo po jednu jednadžbu za #tex2html_wrap_inline32804# #math1456#

#tex2html_wrap_indisplay32806#

pa je opće rješenje #math1457#

#tex2html_wrap_indisplay32808#

odnosno #math1458#

#tex2html_wrap_indisplay32810#

Tako imamo niz rješenja #math1459#

#tex2html_wrap_indisplay32812#

međutim nijedno od njih, u općem slučaju, ne zadovoljava početne uvjete. Općenito će tek beskonačni red

#math1460#
#tex2html_wrap_indisplay32814# (2.25)

zadovoljiti početni uvjet. Ovdje su #tex2html_wrap_inline32816# neodređeni koeficijenti, koje određujemo pomoću početnih uvjeta. #math1461#

#tex2html_wrap_indisplay32818#

Suma u ovoj formuli je Fourierov red neparne funkcije definirane na segmentu #math1462##tex2html_wrap_inline32820# Budući da se na #tex2html_wrap_inline32822# podudara s funkcijom #tex2html_wrap_inline32824# to znači da je to Fourierov red funkcije koja je iz #tex2html_wrap_inline32826# dobivena proširenjem po neparnosti s #tex2html_wrap_inline32828# na #math1463##tex2html_wrap_inline32830#
#math1464##tex2html_wrap24324#
Tako je #math1465#

#tex2html_wrap_indisplay32833#

Iskoristimo i drugi početni uvjet #math1466#

#tex2html_wrap_indisplay32835#

#math1467#

#tex2html_wrap_indisplay32837#

Kao gore imamo #math1468#

#tex2html_wrap_indisplay32839#

odnosno #math1469#

#tex2html_wrap_indisplay32841#

Iz ovog razmatranja vidimo da je za upotrebu Fourierove metode nužno imati početne uvjete koji se mogu razložiti u Fourierov red.

Primjer 2.15   Naći slobodne oscilacije napete homogene žice, duljine #tex2html_wrap_inline32844# učvršćene na rubovima, ako je početna brzina jednaka nuli, a početni pomak kao na slici.
#math1470##tex2html_wrap24326#
Rješenje. Budući da nema vanjske sile, i da su uvjeti na rubu homogeni, vlastite vrijednosti i vlastite funkcije su kao u rubnom problemu (#eq:val:rubpoc#5271>). Vidjeli smo da se u tom slučaju rješenje može pretpostaviti u obliku (#eq:slosc#5272>). Pri tom su nepoznati koeficijenti #tex2html_wrap_inline32847# Fourierovi koeficijenti početnog pomaka, a #tex2html_wrap_inline32849# su, do na faktor, Fourierovi koeficijenti početne brzine. Kako je početna brzina #tex2html_wrap_inline32851# slijedi #tex2html_wrap_inline32853# za #math1471##tex2html_wrap_inline32855# Ostaje izračunati #tex2html_wrap_inline32857# po formuli #math1472#

#tex2html_wrap_indisplay32859#

#math1473#

#tex2html_wrap_indisplay32861#

#math1474#

#tex2html_wrap_indisplay32863#

#math1475#

#tex2html_wrap_indisplay32865#

Tako su koeficijenti #math1476#

#tex2html_wrap_indisplay32867#

pa je rješenje #math1477#

#tex2html_wrap_indisplay32869#