Dirichletov problem za ravnotežu kružne membrane
Dirichletov problem za ravnotežu kružne membrane glasi
#math1868#
#tex2html_wrap_indisplay34362#
gdje #tex2html_wrap_inline34364# označava krug radiusa #tex2html_wrap_inline34366# a #math1869##tex2html_wrap_inline34368# njegov rub,
kružnicu radiusa #tex2html_wrap_inline34370#
#math1870##tex2html_wrap24472#
Prirodno je koordinatni sustav izabrati
sukladno geometrijskim karakteristikama područja. Zato u ovom
slučaju koristimo polarni koordinatni sustav u ravnini, i to tako da
ishodište stavimo u središte kruga.
U polarnom koordinatnom sustavu su koordinate #tex2html_wrap_inline34373# i #tex2html_wrap_inline34375#
#math1871#
#tex2html_wrap_indisplay34377#
pa je
#math1872#
#tex2html_wrap_indisplay34379#
#math1873#
#tex2html_wrap_indisplay34381#
Postavlja se pitanje u što se transformira
#math1874#
#tex2html_wrap_indisplay34383#
kad se pređe na funkciju #math1875##tex2html_wrap_inline34385# Po lančanom pravilu
#math1876#
#tex2html_wrap_indisplay34387#
#math1877#
#tex2html_wrap_indisplay34389#
Slično
#math1878#
#tex2html_wrap_indisplay34391#
Iz formula veze koordinatnih sustava slijedi
#math1879#
#tex2html_wrap_indisplay34393#
#math1880#
#tex2html_wrap_indisplay34395#
#math1881#
#tex2html_wrap_indisplay34397#
#math1882#
#tex2html_wrap_indisplay34399#
Kad to uvrstimo u #math1883##tex2html_wrap_inline34401# dobivamo
#math1884#
#tex2html_wrap_indisplay34403#
ili drukčije napisano
#math1885#
#tex2html_wrap_indisplay34405#
U daljnjem ćemo umjesto #tex2html_wrap_inline34407# pisati radije #tex2html_wrap_inline34409# pa jednadžba
prema tome glasi
#math1886#
#tex2html_wrap_indisplay34411# |
(2.53) |
Budući da smo ishodište polarnog koordinatnog sustava postavili u
središte kruga, čiji je radius #tex2html_wrap_inline34413# rubni uvjet se može zapisati
ovako
#math1887#
#tex2html_wrap_indisplay34415#
Rješenje tražimo u obliku
#math1888#
#tex2html_wrap_indisplay34417#
Uvrstimo u jednadžbu (#eq:krumembr#6966>), dobivamo
#math1889#
#tex2html_wrap_indisplay34419#
Podijelimo s #tex2html_wrap_inline34421# i pomnožimo s #tex2html_wrap_inline34423# pa imamo
#math1890#
#tex2html_wrap_indisplay34425#
gdje je #tex2html_wrap_inline34427# konstanta, jer smo separirali varijable. Imamo
#math1891#
#tex2html_wrap_indisplay34429#
Budući da je #tex2html_wrap_inline34431# periodička funkcija (zbog geometrije problema), #tex2html_wrap_inline34433#
mora biti pozitivan, na pr. #math1892##tex2html_wrap_inline34435#
Slijedi
#math1893#
#tex2html_wrap_indisplay34437#
Opće rješenje druge jednadžbe je
#math1894#
#tex2html_wrap_indisplay34439#
Period funkcije #tex2html_wrap_inline34441# su #tex2html_wrap_inline34443# pa slijedi
#math1895#
#tex2html_wrap_indisplay34445#
Za drugu jednadžbu imamo dakle ova rješenja
#math1896#
#tex2html_wrap_indisplay34447#
Prva jednadžba sada glasi
#math1897#
#tex2html_wrap_indisplay34449# |
(2.54) |
Za #tex2html_wrap_inline34451# imamo
#math1898#
#tex2html_wrap_indisplay34453#
što nakon dijeljenja s #tex2html_wrap_inline34455# postaje
#math1899#
#tex2html_wrap_indisplay34457#
U slučaju #tex2html_wrap_inline34459# imamo
#math1900#
#tex2html_wrap_indisplay34461#
Ako je #tex2html_wrap_inline34463# onda nakon još jednog dijeljenja s #tex2html_wrap_inline34465# i
integriranja, dobivamo
#math1901#
#tex2html_wrap_indisplay34467#
pa je u tom slučaju opće rješenje
#math1902#
#tex2html_wrap_indisplay34469#
Rješenja za #tex2html_wrap_inline34471# potražimo u obliku
#math1903#
#tex2html_wrap_indisplay34473#
Lako se vidi da je
#math1904#
#tex2html_wrap_indisplay34475#
Prema tome jednadžba (#eq:krug#7003>) se svodi na
#math1905#
#tex2html_wrap_indisplay34477#
odakle
#math1906#
#tex2html_wrap_indisplay34479#
pa su tako rješenja jednadžbe (#eq:krug#7006>) za #tex2html_wrap_inline34481#
#math1907#
#tex2html_wrap_indisplay34483#
Opće rješenje za #tex2html_wrap_inline34485# je
#math1908#
#tex2html_wrap_indisplay34487#
Budući da se radi o krugu, za koji je #math1909##tex2html_wrap_inline34489# rješenja #tex2html_wrap_inline34491# za #tex2html_wrap_inline34493# i #math1910##tex2html_wrap_inline34495# ne dolaze u obzir, jer te funkcije
teže u #tex2html_wrap_inline34497# kad #math1911##tex2html_wrap_inline34499# Tako imamo rješenja
#math1912#
#tex2html_wrap_indisplay34501#
Sve ovo smo dobili direktno iz jednadžbe uz uvažavanje određenih
fizikalnih činjenica. Iskoristimo sada rubni uvjet. Nijedno od
rješenja #tex2html_wrap_inline34503# ne mora zadovoljavati rubni uvjet. Zato pretpostavimo
rješenje rubnog problema u obliku
#math1913#
#tex2html_wrap_indisplay34505#
što se može napisati ovako
#math1914#
#tex2html_wrap_indisplay34507#
Ovo rješenje mora zadovoljavati rubni uvjet
#math1915#
#tex2html_wrap_indisplay34509#
To je Fourierov red funkcije #tex2html_wrap_inline34511# pa slijedi
#math1916#
#tex2html_wrap_indisplay34513#
#math1917#
#tex2html_wrap_indisplay34515#