Linearnost

Opća jednadžba u primjerima koje smo promatrali, nakon uvrštenja drugog zakona ponašanja je

#math1156#
#tex2html_wrap_indisplay31712# (2.6)

Funkciju #tex2html_wrap_inline31714# zovemo slobodnim članom. Ako je #tex2html_wrap_inline31716# onda jednadžbu

#math1157#
#tex2html_wrap_indisplay31718# (2.7)

zovemo homogenom, u protivnom je zovemo nehomogenom. Ograničimo razmatranje na one primjere u kojima je prvi zakon ponašanja glasio

#math1158#
#tex2html_wrap_indisplay31720#;SPMnbsp; ;SPMnbsp;<#1#>ili<#1#>#tex2html_wrap_indisplay31721# (2.8)

Interesira nas kakvu strukturu ima skup svih rješenja rubnog problema

#math1159#
#displaymath31723# (2.9)

U tu svrhu promatrajmo najprije rubni problem s homogenom jednadžbom, tj. slučaj kad je #math1160##tex2html_wrap_inline31725#

Teorem 14   Neka su #tex2html_wrap_inline31728# i #tex2html_wrap_inline31730# dva rješenja rubnog problema (#eq:strrjes#4143>) s pripadnom homogenom jednadžbom, i #tex2html_wrap_inline31732# i #tex2html_wrap_inline31734# proizvoljni brojevi. Tada je #math1161#

#tex2html_wrap_indisplay31736#

također rješenje istog rubnog problema (#eq:strrjes#4144>).
<#12226#>Dokaz. U svrhu dokaza napišimo jednadžbu drukčije #math1162#

#tex2html_wrap_indisplay31738#

Bez obzira koji #tex2html_wrap_inline31740# iz (#eq:lin#4153>) bio u jednadžbi, vrijedi #math1163#

#tex2html_wrap_indisplay31742#

Također #math1164#

#tex2html_wrap_indisplay31744#

Prema tome #math1165#

#tex2html_wrap_indisplay31746#

#math1166#

#tex2html_wrap_indisplay31748#

#math1167#

#tex2html_wrap_indisplay31750#

Dakle, #math1168##tex2html_wrap_inline31752# rješava jednadžbu. Ta funkcija zadovoljava i rubne uvjete, jer je #math1169#

#tex2html_wrap_indisplay31754#

#math1170#

#tex2html_wrap_indisplay31756#

#math1171##tex2html_wrap_inline31758#<#12226#>

Iz ovog teorema slijedi da je skup svih rješenja homogene jednadžbe vektorski prostor (skup svih linearnih kombinacija linearno nezavisnih rješenja). Za rješenja rubnog problema (#eq:strrjes#4207>) s nehomogenom jednadžbom imamo sljedeće tvrdnje.

Teorem 15   Neka je #tex2html_wrap_inline31761# rješenje rubnog problema (#eq:strrjes#4209>) s nehomogenom jednadžbom, te #tex2html_wrap_inline31763# rješenje rubnog problema (#eq:strrjes#4210>) s homogenom jednadžbom. Tada je #tex2html_wrap_inline31765# rješenje rubnog problema (#eq:strrjes#4211>) s nehomogenom jednadžbom.
<#11524#>Dokaz. Koristeći svojstva funkcije #tex2html_wrap_inline31767# iz dokaza prethodnog teorema, možemo napisati #math1172#

#tex2html_wrap_indisplay31769#

#math1173#

#tex2html_wrap_indisplay31771#

Dakle #tex2html_wrap_inline31773# rješava nehomogenu jednadžbu. Osim toga #tex2html_wrap_inline31775# očito zadovoljava i rubne uvjete. #math1174##tex2html_wrap_inline31777#<#11524#>

Teorem 16   Neka su #tex2html_wrap_inline31780# i #tex2html_wrap_inline31782# dva rješenja rubnog problema (#eq:strrjes#4248>) s nehomogenom jednadžbom. Tada je #tex2html_wrap_inline31784# rješenje rubnog problema (#eq:strrjes#4249>) s homogenom jednadžbom.
<#11525#>Dokaz. #math1175#

#tex2html_wrap_indisplay31786#

#math1176#

#tex2html_wrap_indisplay31788#

Osim toga #tex2html_wrap_inline31790# očito zadovoljava i rubne uvjete. #math1177##tex2html_wrap_inline31792#<#11525#>

Na temelju ovih teorema imamo sljedeći zaključak. Neka je #tex2html_wrap_inline31794# skup svih rješenja rubnog problema (#eq:strrjes#4284>) s nehomogenom jednadžbom. Neka je #tex2html_wrap_inline31796# skup svih rješenja rubnog problema (#eq:strrjes#4285>) s homogenom jednadžbom. Tada je #math1178#

#tex2html_wrap_indisplay31798#

gdje je #tex2html_wrap_inline31800# jedno (partikularno) rješenje rubnog problema (#eq:strrjes#4286>) s nehomogenom jednadžbom.