Svaku funkciju #tex2html_wrap_inline34828# klase #math2016##tex2html_wrap_inline34830# takvu da je
#math2017##tex2html_wrap_inline34832# zovemo dopustivom funkcijom.
Pretpostavimo da je #tex2html_wrap_inline34834# ravnotežni položaj membrane, tj.
rješenje gornjeg problema. Da bi se membrana pomakla iz tog
položaja, potrebno je izvršiti neki rad. Taj rad ovisi o veličini
perturbacije #tex2html_wrap_inline34836# Budući da je u novom položaju membrana i
dalje učvršćena na rubu, mora i #tex2html_wrap_inline34838# biti dopustiva funkcija. Rad,
koji izvrši vanjska sila uslijed pomaka #tex2html_wrap_inline34840# je
#math2018#
#tex2html_wrap_indisplay34842#
dok je unutrašnji rad membrane
#math2019#
#tex2html_wrap_indisplay34844#
Ako jednadžbu u (#vp:rp#7384>) pomnožimo s #tex2html_wrap_inline34846# i integriramo po
#tex2html_wrap_inline34848# dobivamo
#math2020#
#tex2html_wrap_indisplay34850#
Ova jednakost
izražava Bernoullijev princip sačuvanja rada (energije). Iz prve
Greenove formule
#math2021#
#tex2html_wrap_indisplay34852#
slijedi
#math2022#
#tex2html_wrap_indisplay34854#
jer je #tex2html_wrap_inline34856# dopustiva funkcija, pa iščezava na rubu od #tex2html_wrap_inline34858# a
s njom i krivuljni integral. Kad to uvrstimo u gornju jednakost,
dobivamo
#math2023#
#tex2html_wrap_indisplay34860#
(2.57)
Možemo zaključiti sljedeće. Ako funkcija #tex2html_wrap_inline34862# rješava rubni problem
(#vp:rp#7396>), onda za svaku dopustivu funkciju #tex2html_wrap_inline34864# vrijedi
(#eq:energg#7397>). Također vrijedi i obrat. Ako #tex2html_wrap_inline34866# sa svojstvom
#math2024##tex2html_wrap_inline34868# zadovoljava (#eq:energg#7399>) za svaku
dopustivu funkciju #tex2html_wrap_inline34870# onda #tex2html_wrap_inline34872# rješava rubni problem (#vp:rp#7400>).
Prvi dio smo dokazali. Treba dokazati obrat.
Neka vrijedi (#eq:energg#7401>) za svaku dopustivu funkciju #tex2html_wrap_inline34874# i neka
je #math2025##tex2html_wrap_inline34876# Tada je prema prvoj Greenovoj formuli
#math2026#
#tex2html_wrap_indisplay34878#
Krivuljni integral iščezava, jer je #tex2html_wrap_inline34880#
dopustiva funkcija. Tako je
#math2027#
za svaku dopustivu funkciju #tex2html_wrap_inline34888# Po osnovnoj lemi slijedi
#math2030#
#tex2html_wrap_indisplay34890#
Kao i u jednodimenzionalnom slučaju sada dokazujemo da je
Bernoullijev princip ekvivalentan problemu minimizacije
funkcionala energije.
Neka je dan funkcional
#math2031#
#tex2html_wrap_indisplay34892#
Pogledajmo čime se odlikuje #tex2html_wrap_inline34894# ako #tex2html_wrap_inline34896# zadovoljava Bernoullijev
princip, tj. zadovoljava (#eq:energg#7413>). U tu svrhu stavimo
#tex2html_wrap_inline34898# gdje je #tex2html_wrap_inline34900# perturbacija
ravnotežnog položaja (dopustiva funkcija). Kako je #tex2html_wrap_inline34902# ravnotežni
položaj, #tex2html_wrap_inline34904# je dopustiva funkcija, pa je i #tex2html_wrap_inline34906# dopustiva. Imamo
#math2032#
#tex2html_wrap_indisplay34908#
#math2033#
#tex2html_wrap_indisplay34910#
#math2034#
#tex2html_wrap_indisplay34912#
#math2035#
#tex2html_wrap_indisplay34914#
Dakle #math2036##tex2html_wrap_inline34916# i pri tom je #tex2html_wrap_inline34918# samo ako je
#math2037##tex2html_wrap_inline34920# a to znači #math2038##tex2html_wrap_inline34922#<#1#> konst.<#1#>#tex2html_wrap_inline34923# a kako je na rubu
#tex2html_wrap_inline34925# slijedi da je #tex2html_wrap_inline34927# samo ako je #tex2html_wrap_inline34929# Dakle #tex2html_wrap_inline34931# je
jedinstvena funkcija sa svojstvom #math2039##tex2html_wrap_inline34933# koja
minimizira funkcional #tex2html_wrap_inline34935#
Dokažimo sada obrat, tj. da funkcija #tex2html_wrap_inline34937# koja minimizira funkcional
#tex2html_wrap_inline34939# i zadovoljava rubni uvjet #math2040##tex2html_wrap_inline34941# mora
zadovoljavati Bernoullijev princip, tj.
(#eq:energg#7427>). Pretpostavimo da #tex2html_wrap_inline34943# ima tražena svojstva, i
stavimo #math2041##tex2html_wrap_inline34945# gdje je #tex2html_wrap_inline34947# perturbacija (funkcija iz klase
dopustivih). Funkcional #tex2html_wrap_inline34949# poprima minimum na funkciji #tex2html_wrap_inline34951# pa prema
tome funkcija
#math2042#
#tex2html_wrap_indisplay34953#
poprima minimum za #math2043##tex2html_wrap_inline34955# Imamo
#math2044#
#tex2html_wrap_indisplay34957#
#math2045#
#tex2html_wrap_indisplay34959#
#math2046#
#tex2html_wrap_indisplay34961#
#math2047#
#tex2html_wrap_indisplay34963#
Ovo je polinom drugog stupnja u #math2048##tex2html_wrap_inline34965# koeficijent uz
#math2049##tex2html_wrap_inline34967# je pozitivan, pa funkcija doista ima minimum u
tjemenu. Apscisa tjemena parabole, koja je graf funkcije
#math2050#
#tex2html_wrap_indisplay34969#
je
#math2051#
#tex2html_wrap_indisplay34971#
pa ako se minimum dostiže u #math2052##tex2html_wrap_inline34973# tj. u točki s apscisom
#tex2html_wrap_inline34975# onda mora biti #tex2html_wrap_inline34977# U našem slučaju slijedi
#math2053#
#tex2html_wrap_indisplay34979#
za svaku dopustivu funkciju #tex2html_wrap_inline34981# Tako smo dokazali da #tex2html_wrap_inline34983# zadovoljava
(#eq:energg#7449>). Iz svega rečenog možemo zaključiti da vrijedi sljedeće.
Teorem 21 (Varijacijski princip)
Da bi funkcija #tex2html_wrap_inline34986# bila rješenje rubnog problema
#math2054#
#displaymath34988#
(2.58)
nužno je i dovoljno da funkcija #tex2html_wrap_inline34990# zadovoljava taj rubni uvjet i da
minimizira funkcional
#math2055#