Iterativne metode

Želimo riješiti sustav linearnih algebarskih jednadžbi
#math2324#
#tex2html_wrap_indisplay36508# #tex2html_wrap_indisplay36510# #tex2html_wrap_indisplay36512#  
#tex2html_wrap_indisplay36514# #tex2html_wrap_indisplay36516# #tex2html_wrap_indisplay36518#  
#tex2html_wrap_indisplay36520#      
#tex2html_wrap_indisplay36522# #tex2html_wrap_indisplay36524# #tex2html_wrap_indisplay36526#  

koji matrično zapisan glasi #math2325#

#tex2html_wrap_indisplay36528#

gdje je #math2326#

#displaymath36530#

To je matrična jednadžba, i mi ćemo često o sustavu jednadžbi govoriti kao o jednadžbi, misleći na ovu matričnu jednadžbu. Pretpostavimo da je #tex2html_wrap_inline36532# regularna matrica. Tada jednadžba ima rješenje, i označimo to rješenje sa #math2327##tex2html_wrap_inline36534# Osnovna ideja iterativnih metoda se sastoji u sljedećem. Stavimo #math2328#

#tex2html_wrap_indisplay36536#

gdje su #tex2html_wrap_inline36538# i #tex2html_wrap_inline36540# također kvadratne matrice #tex2html_wrap_inline36542#-tog reda. Jednadžbu tada možemo prepisati kao #math2329#

#tex2html_wrap_indisplay36544#

Ako s #math2330##tex2html_wrap_inline36546# označimo #tex2html_wrap_inline36548#-tu aproksimaciju rješenja, onda pomoću formule #math2331#

#tex2html_wrap_indisplay36550#

možemo naći #tex2html_wrap_inline36552#-vu aproksimaciju rješenja. Naravno, da bi postupak uopće krenuo, treba biti zadana početna aproksimacija #math2332##tex2html_wrap_inline36554# Nadalje, matrica #tex2html_wrap_inline36556# mora biti regularna i relativno jednostavna, da bismo imali rješenje i da bismo ga mogli relativno jednostavno izračunati. Također postupak nas mora približavati k rješenju, tj. postupak mora biti takav da #math2333#

#tex2html_wrap_indisplay36558#

Opišimo sada neke od iterativnih metoda.