Primjer 2.21
Problem brahistohrone. Interesira nas koji oblik putanje
treba izabrati tako da se za najkraće vrijeme, u polju sile teže,
stigne iz točke
#tex2html_wrap_inline33770# u točku #tex2html_wrap_inline33772#
#math1718##tex2html_wrap24370#
Krivulja s tim svojstvom se zove
brahistohrona.2.1
Rješenje. Zakon o sačuvanju energije glasi
#math1719#
#tex2html_wrap_indisplay33777#;SPMnbsp; ;SPMnbsp;<#1#>konst.<#1#>
Nadalje
#math1720#
#tex2html_wrap_indisplay33779#
Predznak #tex2html_wrap_inline33781# dolazi stoga što smo pozitivni dio osi #tex2html_wrap_inline33783# okrenuli
prema dolje. Tako je
#math1721#
#tex2html_wrap_indisplay33785#;SPMnbsp; ;SPMnbsp;<#1#>konst.<#1#>
U točki #tex2html_wrap_inline33787# je #tex2html_wrap_inline33789# i #tex2html_wrap_inline33791# pa slijedi da je konstanta jednaka
nuli. Odatle
#math1722#
#tex2html_wrap_indisplay33793#
jer ćemo u daljnjem visinu označavati s #tex2html_wrap_inline33795# Zadatak je naći
funkciju #tex2html_wrap_inline33797#
S druge strane brzina je
#math1723#
#tex2html_wrap_indisplay33799#
Odatle je
#math1724#
#tex2html_wrap_indisplay33801#
pa je vrijeme gibanja po krivulji
#math1725#
#tex2html_wrap_indisplay33803#
Od svih puteva #tex2html_wrap_inline33805# treba izabrati onaj uz koji ovaj funkcional
poprima najmanju vrijednost uz uvjete
#math1726#
#tex2html_wrap_indisplay33807#
Budući da konstanta #math1727##tex2html_wrap_inline33809# ne utječe na to da li je
#tex2html_wrap_inline33811# ekstremala ili ne, možemo uzeti
#math1728#
#tex2html_wrap_indisplay33813#
Budući da u #tex2html_wrap_inline33815# ne dolazi eksplicitno #tex2html_wrap_inline33817# Eulerova jednadžba
glasi
#math1729#
#tex2html_wrap_indisplay33819#
S druge strane
#math1730#
#tex2html_wrap_indisplay33821#
#math1731#
#tex2html_wrap_indisplay33823#
jer je izraz u zagradi upravo lijeva strana Eulerove jednadžbe. Dakle
#math1732#
#tex2html_wrap_indisplay33825#
Odatle
#math1733#
#tex2html_wrap_indisplay33827#
U našem slučaju
#math1734#
#tex2html_wrap_indisplay33829#
#math1735#
#tex2html_wrap_indisplay33831#
tj.
#math1736#
#tex2html_wrap_indisplay33833#
Stavimo
#math1737#
#tex2html_wrap_indisplay33835#
gdje je #tex2html_wrap_inline33837# parametar.
#math1738#
#tex2html_wrap_indisplay33839#
pa je
#math1739#
#tex2html_wrap_indisplay33841#
Sada treba #tex2html_wrap_inline33843# izraziti kao funkciju od #tex2html_wrap_inline33845# pa ćemo tako dobiti
parametarski određenu traženu krivulju.
#math1740#
#tex2html_wrap_indisplay33847#
Isto tako
#math1741#
#tex2html_wrap_indisplay33849#
Tako je
#math1742#
#tex2html_wrap_indisplay33851#
Odatle
#math1743#
#tex2html_wrap_indisplay33853#
Mora biti #tex2html_wrap_inline33855# da bi istovremeno #tex2html_wrap_inline33857# i #tex2html_wrap_inline33859# težili k
nuli. Stavimo #math1744##tex2html_wrap_inline33861# Tada je
#math1745#
#tex2html_wrap_indisplay33863#
dok je
#math1746#
#tex2html_wrap_indisplay33865#
Konstanta #tex2html_wrap_inline33867# se određuje iz preostalog rubnog uvjeta
#math1747##tex2html_wrap_inline33869# ili preciznije #math1748##tex2html_wrap_inline33871# Ove parametarske
jednadžbe predstavljaju cikloidu.