Jedinstvenost rješenja rubnih problema

Laplaceova jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja. Dovoljno je vidjeti da je funkcije oblika #math1832##tex2html_wrap_inline34239# zadovoljavaju, za bilo kakve vrijednosti parametara #math1833##tex2html_wrap_inline34241# Tako i Poissonova jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja. Realna fizikalna situacija je membrana određenog oblika, s određenim uvjetima na rubu. To drastično smanjuje broj rješenja. Razmotrimo sada problem jedinstvenosti rubnog problema #math1834#

#tex2html_wrap_indisplay34243#

#math1835#

#tex2html_wrap_indisplay34245#;SPMnbsp; ;SPMnbsp;<#1#>ili<#1#>#tex2html_wrap_indisplay34246#

Taj problem ćemo rješavati pomoću energetske jednadžbe. Pomnožimo Poissonovu jednadžbu s #tex2html_wrap_inline34248# i zatim integrirajmo po cijelom području #math1836#

#tex2html_wrap_indisplay34250#

Za skalarna polja #tex2html_wrap_inline34252# i #tex2html_wrap_inline34254# imamo #math1837#

#tex2html_wrap_indisplay34256#

Stavimo #tex2html_wrap_inline34258# pa imamo #math1838#

#tex2html_wrap_indisplay34260#

#math1839#
#tex2html_wrap_indisplay34262# (2.52)

Po teoremu o divergenciji #math1840#

#tex2html_wrap_indisplay34264#

pa nakon uvrštavanja dobivamo energetsku jednadžbu #math1841#

#tex2html_wrap_indisplay34266#

Teorem 19   Neka je #tex2html_wrap_inline34269# ograničeno područje u #tex2html_wrap_inline34271# Dirichletov rubni problem #math1842#

#tex2html_wrap_indisplay34273#

#math1843#

#tex2html_wrap_indisplay34275#

ima najviše jedno rješenje.
<#12264#>Dokaz. Zaista, pretpostavimo da su #tex2html_wrap_inline34277# i #tex2html_wrap_inline34279# dva rješenja. Tada funkcija #math1844##tex2html_wrap_inline34281# rješava rubni problem #math1845#

#tex2html_wrap_indisplay34283#

#math1846#

#tex2html_wrap_indisplay34285#

Uvrstimo #tex2html_wrap_inline34287# u energetsku jednadžbu umjesto #tex2html_wrap_inline34289# Imamo #math1847#

#tex2html_wrap_indisplay34291#

Slijedi #math1848#

#tex2html_wrap_indisplay34293#

odakle #math1849#

#tex2html_wrap_indisplay34295#

pa je #tex2html_wrap_inline34297# konstanta. No, #math1850##tex2html_wrap_inline34299# povlači #tex2html_wrap_inline34301# tj. #math1851#

#tex2html_wrap_indisplay34303#

#math1852##tex2html_wrap_inline34305#<#12264#>

Teorem 20   Neka je #tex2html_wrap_inline34308# ograničeno područje u #tex2html_wrap_inline34310# i neka je zadan Neumannov rubni problem #math1853#

#tex2html_wrap_indisplay34312#

#math1854#

#tex2html_wrap_indisplay34314#

<#34317#>1.<#34317#>
Nužan uvjet za postojanje rješenja je #math1855#

#tex2html_wrap_indisplay34316#

<#34318#>2.<#34318#>
Bilo koja dva rješenja se razlikuju za konstantu.

<#12265#>Dokaz. 1. Ako je #tex2html_wrap_inline34320# rješenje, onda iz jednadžbe slijedi #math1856#

#tex2html_wrap_indisplay34322#

#math1857#

#tex2html_wrap_indisplay34324#

Po teoremu o divergenciji slijedi #math1858#

#tex2html_wrap_indisplay34326#

#math1859#

#tex2html_wrap_indisplay34328#

dakle #math1860#

#tex2html_wrap_indisplay34330#

Ovaj uvjet izražava činjenicu da vanjska sila i Neumannov rubni uvjet moraju biti pažljivo izabrani, tako da membrana bude u ravnoteži. Kod Dirichletovog uvjeta nije bio potreban toliki oprez, jer je u tom slučaju membrana na rubu učvršćena.
2. Neka su #tex2html_wrap_inline34332# i #tex2html_wrap_inline34334# dva rješenja. Tada funkcija #math1861##tex2html_wrap_inline34336# rješava rubni problem
#math1862#

#tex2html_wrap_indisplay34338#

#math1863#

#tex2html_wrap_indisplay34340#

Uvrstimo #tex2html_wrap_inline34342# u energetsku jednadžbu umjesto #tex2html_wrap_inline34344# Imamo #math1864#

#tex2html_wrap_indisplay34346#

Slijedi #math1865#

#tex2html_wrap_indisplay34348#

odakle #math1866#

#tex2html_wrap_indisplay34350#

pa je #tex2html_wrap_inline34352# konstanta. Tako se #tex2html_wrap_inline34354# i #tex2html_wrap_inline34356# razlikuju za konstantu. #math1867##tex2html_wrap_inline34358#<#12265#>