Zaključak.

Ako s #tex2html_wrap_inline29432# označimo skup svih rješenja pripadnog homogenog, a s #tex2html_wrap_inline29434# skup svih rješenja nehomogenog sustava, onda je #tex2html_wrap_inline29436# vektorski prostor dimenzije #tex2html_wrap_inline29438# gdje je #tex2html_wrap_inline29440# rang matrice sustava, i vrijedi #math616#

#tex2html_wrap_indisplay29442#

gdje #math617##tex2html_wrap_inline29444# čine bazu u #tex2html_wrap_inline29446# a #math618##tex2html_wrap_inline29448# su proizvoljni brojevi. Također vrijedi #math619#

#tex2html_wrap_indisplay29450#

Primjer 1.22   Riješiti sustav jednadžbi #math620#

#tex2html_wrap_indisplay29453#

Rješenje. Rješenje ovog sustava je svaka uređena petorka (vektorstupac) #math621#

#tex2html_wrap_indisplay29455#

koja zadovoljava svaku jednadžbu. Gauss-Jordanovim postupkom dolazimo do sustava
#math622#
#tex2html_wrap_indisplay29458# #tex2html_wrap_indisplay29460# #tex2html_wrap_indisplay29462#  
#tex2html_wrap_indisplay29464# #tex2html_wrap_indisplay29466# #tex2html_wrap_indisplay29468#  

Odatle,
#math623#
#tex2html_wrap_indisplay29471# #tex2html_wrap_indisplay29473# #tex2html_wrap_indisplay29475#  
#tex2html_wrap_indisplay29477# #tex2html_wrap_indisplay29479# #tex2html_wrap_indisplay29481#  

pa je rješenje #math624#

#tex2html_wrap_indisplay29483#

Pri tom je #math625##tex2html_wrap_inline29485# partikularno rješenje, a vektori #math626##tex2html_wrap_inline29487#

čine bazu u vektorskom prostoru svih rješenja pripadnog homogenog sustava.

Primjer 1.23   Diskutirati i riješiti sljedeći sustav jednadžbi u odnosu na parametar #tex2html_wrap_inline29490#
#math627#
#tex2html_wrap_indisplay29493# #tex2html_wrap_indisplay29495# #tex2html_wrap_indisplay29497#  
#tex2html_wrap_indisplay29499# #tex2html_wrap_indisplay29501# #tex2html_wrap_indisplay29503#  
#tex2html_wrap_indisplay29505# #tex2html_wrap_indisplay29507# #tex2html_wrap_indisplay29509#  

Rješenje. Proširena matrica sustava je #math628#

#tex2html_wrap_indisplay29511#

Množimo prvi redak redom s #tex2html_wrap_inline29513# i dodamo drugom, odnosno trećem retku. Zatim tako dobiveni drugi redak dodamo trećem. Konačno prvim stupcem anuliramo elemente u prvom retku. Dobijemo #math629#

#tex2html_wrap_indisplay29515#

Sada ne smijemo s drugim stupcem anulirati elemente u drugom retku, jer se može dogoditi da je #tex2html_wrap_inline29517# S elementarnim transformacijama smo gotovi, i treba provesti diskusiju. Ako je #tex2html_wrap_inline29519# onda je #math630##tex2html_wrap_inline29521# pa imamo beskonačno mnogo rješenja (jednoparametarsko rješenje). Da dobijemo rješenje u tom slučaju, moramo se vratiti korak natrag, prije anuliranja elemenata u prvom retku, i uvrstiti #tex2html_wrap_inline29523# #math631#

#tex2html_wrap_indisplay29525#

Zatim pomnožiti drugi redak s #math632##tex2html_wrap_inline29527# i dodati ga prvom. #math633#

#tex2html_wrap_indisplay29529#

Odatle se čita rješenje #math634#

#tex2html_wrap_indisplay29531#

Ako je #tex2html_wrap_inline29533# onda je #math635##tex2html_wrap_inline29535# pa ne postoji rješenje. Inače je #math636##tex2html_wrap_inline29537# i tada imamo jedinstveno rješenje, koje dobijemo nakon Gaussovog postupka. #math637#

#tex2html_wrap_indisplay29539#

Iz zadnje jednadžbe čitamo da je #tex2html_wrap_inline29541# Uvrštavanjem u drugu dobijemo #math638##tex2html_wrap_inline29543# i konačno iz prve jednadžbe slijedi #math639##tex2html_wrap_inline29545#