#math2856#
#tex2html_wrap_indisplay38937#
Problem je u tome što je to beskonačno mnogo
jednadžbi s beskonačno mnogo nepoznanica. Zato uzmemo konačno mnogo
funkcija iz baze
#math2857#
#tex2html_wrap_indisplay38939#
i rješenje pretpostavimo u obliku
#math2858#
#tex2html_wrap_indisplay38941#
Nepoznate koeficijente #math2859##tex2html_wrap_inline38943# određujemo iz sustava
jednadžbi
#math2860#
#tex2html_wrap_indisplay38945#
Ovaj sustav jednadžbi možemo prepisati u obliku
#math2861#
#tex2html_wrap_indisplay38947#
Stavimo
#math2862#
#tex2html_wrap_indisplay38949#
Tada sustav poprima oblik
#math2863#
#tex2html_wrap_indisplay38951#
odnosno matrično
#math2864#
#tex2html_wrap_indisplay38953# |
(3.32) |
gdje je #math2865##tex2html_wrap_inline38955#
U ovom slučaju se u formuli za #tex2html_wrap_inline38957# može jednom parcijalno
integrirati pa, uzevši u obzir rubne uvjete, imamo
#math2866#
#tex2html_wrap_indisplay38959#
Na taj
način sustav jednadžbi (#eq:galerkmatr#10437>) postaje identičan
onome kod Ritzove metode. To se događa ako rubni problem ispunjava
određene uvjete, o čemu ovdje nećemo detaljnije govoriti.
Istaknimo ovdje bitnu razliku u ideji između Ritzove i Galerkinove
metode. Nužan uvjet za primjenu Ritzove metode je bila egzistencija
varijacijske formulacije rubnog problema u kojoj se pojavljuje
funkcional energije, dok za Galerkinovu metodu to uopće nije važno.
Formalno, Galerkinova metoda se može primijeniti uvijek, pa i u
slučaju nelinearnih rubnih problema. Tada sustav jednadžbi koji
dobijemo nije više linearan, pa se ne može zapisati u matričnom
obliku. Rješivost takvog sustava i konvergencija metode zahtijevaju
složena razmatranja.