Dijagonalizacija simetrične matrice

Kako smo ranije definirali, matrica #math676##tex2html_wrap_inline29729# je simetrična, ako je #tex2html_wrap_inline29731# tj. ako je #math677#

#tex2html_wrap_indisplay29733#

Ako je matrica #tex2html_wrap_inline29735# simetrična, onda vrijedi #math678#

#tex2html_wrap_indisplay29737#

za svaki par vektora #math679##tex2html_wrap_inline29739#

Teorem 9   Vlastite vrijednosti simetrične matrice #math680##tex2html_wrap_inline29742# su realni brojevi.
<#12219#>Dokaz. Neka je #math681##tex2html_wrap_inline29744# simetrična matrica, #tex2html_wrap_inline29746# njezina vlastita vrijednost, i #math682##tex2html_wrap_inline29748# pripadni vlastiti vektor. Tada je #math683#

#tex2html_wrap_indisplay29750#

Ako konjugiramo ovu jednakost, i uzmemo u obzir da je #math684##tex2html_wrap_inline29752# jer su elementi matrice #tex2html_wrap_inline29754# realni brojevi, dobivamo #math685#

#tex2html_wrap_indisplay29756#

Odatle #math686#

#tex2html_wrap_indisplay29758#

#math687#

#tex2html_wrap_indisplay29760#

Zbog simetričnosti matrice #tex2html_wrap_inline29762# imamo #math688#

#tex2html_wrap_indisplay29764#

Tako je #math689#

#tex2html_wrap_indisplay29766#

tj. #math690#

#tex2html_wrap_indisplay29768#

Zbog #math691##tex2html_wrap_inline29770# skalarni produkt #math692##tex2html_wrap_inline29772# ne može biti jednak nuli, pa slijedi #math693##tex2html_wrap_inline29774# #math694##tex2html_wrap_inline29776#<#12219#>

Teorem 10   Vlastiti vektori simetrične matrice #math695##tex2html_wrap_inline29779# koji pripadaju različitim vlastitim vrijednostima, su međusobno okomiti.
<#11454#>Dokaz. Neka je #tex2html_wrap_inline29781# vlastita vrijednost, i #math696##tex2html_wrap_inline29783# njoj pripadni vlastiti vektor matrice #tex2html_wrap_inline29785# Također, neka je #tex2html_wrap_inline29787# vlastita vrijednost, i #math697##tex2html_wrap_inline29789# njoj pripadni vlastiti vektor. Neka je #math698##tex2html_wrap_inline29791# Tada je #math699##tex2html_wrap_inline29793# i #math700##tex2html_wrap_inline29795# Odatle #math701#

#tex2html_wrap_indisplay29797#

#math702#

#tex2html_wrap_indisplay29799#

Zbog simetričnosti matrice #tex2html_wrap_inline29801# imamo #math703#

#tex2html_wrap_indisplay29803#

Tako je #math704#

#tex2html_wrap_indisplay29805#

tj. #math705#

#tex2html_wrap_indisplay29807#

Kako je #math706##tex2html_wrap_inline29809# slijedi #math707#

#tex2html_wrap_indisplay29811#

tj. vlastiti vektori su međusobno okomiti. #math708##tex2html_wrap_inline29813#<#11454#>

Primjer #pr:vlvr#2319> pokazuje da ovaj teorem ne vrijedi općenito. U tom primjeru kosinusi kuteva između vlastitih vektora iznose približno #tex2html_wrap_inline29815# #math709##tex2html_wrap_inline29817# #math710##tex2html_wrap_inline29819# a kutevi u radijanima iznose približno #tex2html_wrap_inline29821# #tex2html_wrap_inline29823# #tex2html_wrap_inline29825# odnosno #math711##tex2html_wrap_inline29827# #math712##tex2html_wrap_inline29829# #math713##tex2html_wrap_inline29831#