Dirichletov problem za ravnotežu kružne membrane

Dirichletov problem za ravnotežu kružne membrane glasi #math1868#

#tex2html_wrap_indisplay34362#

gdje #tex2html_wrap_inline34364# označava krug radiusa #tex2html_wrap_inline34366# a #math1869##tex2html_wrap_inline34368# njegov rub, kružnicu radiusa #tex2html_wrap_inline34370#
#math1870##tex2html_wrap24472#
Prirodno je koordinatni sustav izabrati sukladno geometrijskim karakteristikama područja. Zato u ovom slučaju koristimo polarni koordinatni sustav u ravnini, i to tako da ishodište stavimo u središte kruga. U polarnom koordinatnom sustavu su koordinate #tex2html_wrap_inline34373# i #tex2html_wrap_inline34375# #math1871#

#tex2html_wrap_indisplay34377#

pa je #math1872#

#tex2html_wrap_indisplay34379#

#math1873#

#tex2html_wrap_indisplay34381#

Postavlja se pitanje u što se transformira #math1874#

#tex2html_wrap_indisplay34383#

kad se pređe na funkciju #math1875##tex2html_wrap_inline34385# Po lančanom pravilu #math1876#

#tex2html_wrap_indisplay34387#

#math1877#

#tex2html_wrap_indisplay34389#

Slično #math1878#

#tex2html_wrap_indisplay34391#

Iz formula veze koordinatnih sustava slijedi #math1879#

#tex2html_wrap_indisplay34393#

#math1880#

#tex2html_wrap_indisplay34395#

#math1881#

#tex2html_wrap_indisplay34397#

#math1882#

#tex2html_wrap_indisplay34399#

Kad to uvrstimo u #math1883##tex2html_wrap_inline34401# dobivamo #math1884#

#tex2html_wrap_indisplay34403#

ili drukčije napisano #math1885#

#tex2html_wrap_indisplay34405#

U daljnjem ćemo umjesto #tex2html_wrap_inline34407# pisati radije #tex2html_wrap_inline34409# pa jednadžba prema tome glasi

#math1886#
#tex2html_wrap_indisplay34411# (2.53)

Budući da smo ishodište polarnog koordinatnog sustava postavili u središte kruga, čiji je radius #tex2html_wrap_inline34413# rubni uvjet se može zapisati ovako #math1887#

#tex2html_wrap_indisplay34415#

Rješenje tražimo u obliku #math1888#

#tex2html_wrap_indisplay34417#

Uvrstimo u jednadžbu (#eq:krumembr#6966>), dobivamo #math1889#

#tex2html_wrap_indisplay34419#

Podijelimo s #tex2html_wrap_inline34421# i pomnožimo s #tex2html_wrap_inline34423# pa imamo #math1890#

#tex2html_wrap_indisplay34425#

gdje je #tex2html_wrap_inline34427# konstanta, jer smo separirali varijable. Imamo #math1891#

#tex2html_wrap_indisplay34429#

Budući da je #tex2html_wrap_inline34431# periodička funkcija (zbog geometrije problema), #tex2html_wrap_inline34433# mora biti pozitivan, na pr. #math1892##tex2html_wrap_inline34435# Slijedi #math1893#

#tex2html_wrap_indisplay34437#

Opće rješenje druge jednadžbe je #math1894#

#tex2html_wrap_indisplay34439#

Period funkcije #tex2html_wrap_inline34441# su #tex2html_wrap_inline34443# pa slijedi #math1895#

#tex2html_wrap_indisplay34445#

Za drugu jednadžbu imamo dakle ova rješenja #math1896#

#tex2html_wrap_indisplay34447#

Prva jednadžba sada glasi

#math1897#
#tex2html_wrap_indisplay34449# (2.54)

Za #tex2html_wrap_inline34451# imamo #math1898#

#tex2html_wrap_indisplay34453#

što nakon dijeljenja s #tex2html_wrap_inline34455# postaje #math1899#

#tex2html_wrap_indisplay34457#

U slučaju #tex2html_wrap_inline34459# imamo #math1900#

#tex2html_wrap_indisplay34461#

Ako je #tex2html_wrap_inline34463# onda nakon još jednog dijeljenja s #tex2html_wrap_inline34465# i integriranja, dobivamo #math1901#

#tex2html_wrap_indisplay34467#

pa je u tom slučaju opće rješenje #math1902#

#tex2html_wrap_indisplay34469#

Rješenja za #tex2html_wrap_inline34471# potražimo u obliku #math1903#

#tex2html_wrap_indisplay34473#

Lako se vidi da je #math1904#

#tex2html_wrap_indisplay34475#

Prema tome jednadžba (#eq:krug#7003>) se svodi na #math1905#

#tex2html_wrap_indisplay34477#

odakle #math1906#

#tex2html_wrap_indisplay34479#

pa su tako rješenja jednadžbe (#eq:krug#7006>) za #tex2html_wrap_inline34481# #math1907#

#tex2html_wrap_indisplay34483#

Opće rješenje za #tex2html_wrap_inline34485# je #math1908#

#tex2html_wrap_indisplay34487#

Budući da se radi o krugu, za koji je #math1909##tex2html_wrap_inline34489# rješenja #tex2html_wrap_inline34491# za #tex2html_wrap_inline34493# i #math1910##tex2html_wrap_inline34495# ne dolaze u obzir, jer te funkcije teže u #tex2html_wrap_inline34497# kad #math1911##tex2html_wrap_inline34499# Tako imamo rješenja #math1912#

#tex2html_wrap_indisplay34501#

Sve ovo smo dobili direktno iz jednadžbe uz uvažavanje određenih fizikalnih činjenica. Iskoristimo sada rubni uvjet. Nijedno od rješenja #tex2html_wrap_inline34503# ne mora zadovoljavati rubni uvjet. Zato pretpostavimo rješenje rubnog problema u obliku #math1913#

#tex2html_wrap_indisplay34505#

što se može napisati ovako #math1914#

#tex2html_wrap_indisplay34507#

Ovo rješenje mora zadovoljavati rubni uvjet #math1915#

#tex2html_wrap_indisplay34509#

To je Fourierov red funkcije #tex2html_wrap_inline34511# pa slijedi #math1916#

#tex2html_wrap_indisplay34513#

#math1917#

#tex2html_wrap_indisplay34515#