Primjer 2.19
Neka je gustoća vanjske sile dana formulom
#math1645#
#tex2html_wrap_indisplay33496#
Rubni problem
#math1646#
#tex2html_wrap_indisplay33498# |
(2.37) |
nema rješenja.
Problem minimizacije pripadnog funkcionala
#math1647#
#tex2html_wrap_indisplay33500#
uz rubne uvjete #math1648##tex2html_wrap_inline33502# ima rješenje, tj. postoji
funkcija #tex2html_wrap_inline33504# takva da je #math1649##tex2html_wrap_inline33506# i da je #math1650##tex2html_wrap_inline33508# za svaku isto takvu funkciju #tex2html_wrap_inline33510#
Rješenje. Rubni problem ne može imati rješenje, jer ako funkcija #math1651##tex2html_wrap_inline33512# rješava rubni problem, onda je
#math1652#
#tex2html_wrap_indisplay33514#
neprekidna funkcija na #tex2html_wrap_inline33516# što nije istina.
Da bismo našli funkciju koja minimizira funkcional, integrirajmo
jednadžbu u (#eq:simplerpr#5963>) po području od #tex2html_wrap_inline33518# do #tex2html_wrap_inline33520#
#math1653#
#tex2html_wrap_indisplay33522#
#math1654#
#tex2html_wrap_indisplay33524#
Zbog uvjeta #math1655##tex2html_wrap_inline33526# na rubu, prvi član iščezava, pa je
#math1656#
#tex2html_wrap_indisplay33528# |
(2.38) |
gdje je
#math1657#
#tex2html_wrap_indisplay33530#
#math1658##tex2html_wrap24350#
Nakon što integriramo (#eq:funku#6010>) od 0 do #tex2html_wrap_inline33534# i uzmemo u obzir
uvjet #tex2html_wrap_inline33536# dobivamo
#math1659#
#tex2html_wrap_indisplay33538#
#math1660#
#tex2html_wrap_indisplay33540#
Funkcija #tex2html_wrap_inline33542# je neprekidna, pa je tako #math1661##tex2html_wrap_inline33544#
#math1662##tex2html_wrap24352#
Pokažimo sada da ova funkcija minimizira pripadni funkcional energije.
Stavimo #math1663##tex2html_wrap_inline33547# gdje je #tex2html_wrap_inline33549# proizvoljna dopustiva funkcija.
<#12263#>#math1664#
#tex2html_wrap_indisplay33551#
#math1665#
#tex2html_wrap_indisplay33553#
#math1666#
#tex2html_wrap_indisplay33555#
#math1667#
#tex2html_wrap_indisplay33557#
#math1668#
#tex2html_wrap_indisplay33559#
#math1669#
#tex2html_wrap_indisplay33561#
<#12263#>
Jedino drugi član ovisi o #tex2html_wrap_inline33563# i on je nenegativan. Najmanju
vrijednost poprima onda kada je #tex2html_wrap_inline33565# No tada je #math1670##tex2html_wrap_inline33567#<#1#>const.<#1#>#tex2html_wrap_inline33568#
pa zbog #tex2html_wrap_inline33570# je #tex2html_wrap_inline33572# Pri tom minimum iznosi #math1671##tex2html_wrap_inline33574#
Prema tome funkcija #tex2html_wrap_inline33576# doista minimizira funkcional #tex2html_wrap_inline33578# S druge
strane #tex2html_wrap_inline33580# nema tangentu u #math1672##tex2html_wrap_inline33582# pa ne postoji #tex2html_wrap_inline33584# na
#tex2html_wrap_inline33586# Tako #tex2html_wrap_inline33588# ne može biti rješenje rubnog problema
(#eq:simplerpr#6152>).