Inverzna matrica

Primijetimo najprije da je u dokazu teorema #tm:oran#1725> korišteno samo svojstvo regularnosti matrice #tex2html_wrap_inline29115# tako da teorem vrijedi i u slučaju da je #tex2html_wrap_inline29117# bilo koja regularna matrica. Budući da za regularnu kvadratnu matricu #tex2html_wrap_inline29119# vrijedi #math564##tex2html_wrap_inline29121# i da množenje s regularnom matricom #tex2html_wrap_inline29123# ne mijenja rang (broj linearno nezavisnih redaka ili stupaca), slijedi da su stupci (reci) regularne matrice linearno nezavisni. Također vrijedi i obrat. Ako su stupci (reci) kvadratne matrice linearno nezavisni, onda je matrica regularna. Dakle, vrijedi sljedeća tvrdnja.

Teorem 6   Neka je dana kvadratna matrica #math565##tex2html_wrap_inline29126# Tada vrijedi sljedeće.
<#29135#>1.<#29135#>
Ako su stupci (reci) matrice #tex2html_wrap_inline29128# linearno nezavisni, onda je #tex2html_wrap_inline29130# regularna matrica.
<#29136#>2.<#29136#>
Ako je #tex2html_wrap_inline29132# regularna matrica, onda su stupci (reci) matrice #tex2html_wrap_inline29134# linearno nezavisni.

Neka je #tex2html_wrap_inline29138# kvadratna regularna matrica. Gauss-Jordanovom metodom, odnosno množenjem s lijeva s elementarnim matricama #math566##tex2html_wrap_inline29140# svedemo #tex2html_wrap_inline29142# na #tex2html_wrap_inline29144# #math567#

#tex2html_wrap_indisplay29146#

Tada je #math568##tex2html_wrap_inline29148# i prema tome #math569#

#tex2html_wrap_indisplay29150#

Ova formula nam daje postupak za invertiranje matrice. Taj postupak se sastoji u tome da formiramo pravokutnu matricu tako da matrici #tex2html_wrap_inline29152# dodamo jediničnu matricu #tex2html_wrap_inline29154# istog reda, i zatim elementarnim operacijama nad recima prvi dio pravokutne matrice (onaj gdje se prvobitno nalazila matrica #tex2html_wrap_inline29156#) svedemo na jediničnu matricu. U drugom dijelu pravokutne matrice se tada nalazi #tex2html_wrap_inline29158#

Primjer 1.16   Treba invertirati matricu #math570#

#tex2html_wrap_indisplay29161#

Rješenje. #math571#

#tex2html_wrap_indisplay29163#

#math572#

#tex2html_wrap_indisplay29165#

#math573#

#tex2html_wrap_indisplay29167#

#math574#

#tex2html_wrap_indisplay29169#

Odatle #math575#

#tex2html_wrap_indisplay29171#

Množenjem se lako može provjeriti da je to doista inverzna matrica matrice #tex2html_wrap_inline29173#