Fourierovi redovi
Rješavajući valnu jednadžbu, uvaživši rubne uvjete, dobili smo
rješenja oblika
#math1371#
#tex2html_wrap_indisplay32523#;SPMnbsp; ;SPMnbsp;<#1#>ili<#1#>#tex2html_wrap_indisplay32524#
Problem oscilacija žice je
potpuno zadan tek kad zadamo još i početne uvjete. Na pr.
#math1372#
#tex2html_wrap_indisplay32526#
Općenito niti
jedna od funkcija #tex2html_wrap_inline32528# ne zadovoljava početne uvjete. Zato rješenje
tražimo u obliku linearne kombinacije. Funkcije su linearno
nezavisne, i ima ih beskonačno mnogo, pa linearna kombinacija postaje
beskonačni red
#math1373#
#tex2html_wrap_indisplay32530#
Ako je #tex2html_wrap_inline32532# rješenje koje zadovoljava početne uvjete, onda mora biti
#math1374#
#tex2html_wrap_indisplay32534#
Da li postoje takvi #tex2html_wrap_inline32536# da vrijedi ova jednakost? Za kakve funkcije
postoje #tex2html_wrap_inline32538# takvi da vrijedi ova jednakost? Ovakva pitanja i još
mnoga druga dovode nas do pojma Fourierovih redova.
Funkcije
#math1375#
#tex2html_wrap_indisplay32540#
su periodične, i period je broj #tex2html_wrap_inline32542# takav da vrijedi
#math1376#
#tex2html_wrap_indisplay32544#
Odatle slijedi
#math1377#
#tex2html_wrap_indisplay32546#
#math1378##tex2html_wrap24312#
Svaka od ovih funkcija ima period #tex2html_wrap_inline32549# jer je višekratnik perioda
također period, pa se nadamo da pomoću
njih možemo prikazati svaku periodičku funkciju #tex2html_wrap_inline32551# perioda #tex2html_wrap_inline32553#
No, pomoću njih se mogu prikazati samo neparne funkcije, jer je
#tex2html_wrap_inline32555# neparna funkcija. To ograničenje izbjegavamo tako da dodamo i
odgovarajuće kosinusne funkcije. Uz
tu pretpostavku imamo #math1379#
#tex2html_wrap_indisplay32557#
#math1380#
#tex2html_wrap_indisplay32559#
tj.
#math1381#
#tex2html_wrap_indisplay32561# |
(2.20) |
gdje su koeficijenti #math1382##tex2html_wrap_inline32563# neodređeni. Da bismo
koeficijente odredili tako da vrijedi ova jednakost, koristimo jedno
važno svojstvo trigonometrijskih funkcija #math1383#
#tex2html_wrap_indisplay32565#
#math1384#
#tex2html_wrap_indisplay32567#
#math1385#
#tex2html_wrap_indisplay32569#
Svojstvo izraženo formulama, u kojima je desna strana jednaka nuli,
se zove ortogonalnost trigonometrijskih
funkcija, a formule se zovu formule
ortogonalnosti.
Sada računamo koeficijente tako da (#eq:trigred#4910>) množimo redom
s
#math1386#
#tex2html_wrap_indisplay32571#;SPMnbsp; ;SPMnbsp;<#1#>i<#1#>#tex2html_wrap_indisplay32572#
i zatim integriramo po
segmentu duljine perioda, na pr. #math1387##tex2html_wrap_inline32574# Zbog svojstva
ortogonalnosti dobivamo
#math1388#
#tex2html_wrap_indisplay32576#
#math1389#
#tex2html_wrap_indisplay32578#
Da bi ove formule imale smisla, nužno je da #tex2html_wrap_inline32580# bude integrabilna
funkcija na segmentu #math1390##tex2html_wrap_inline32582# U tom slučaju su koeficijenti
#math1391#
#displaymath32584# |
(2.21) |
Red oblika
#math1392#
#tex2html_wrap_indisplay32586#
se zove trigonometrijski red, a brojevi #math1393##tex2html_wrap_inline32588#
#math1394##tex2html_wrap_inline32590# se zovu koeficijenti trigonometrijskog
reda. Trigonometrijski red je dan čim su dani njegovi
koeficijenti. No, ako su koeficijenti trigonometrijskog reda dani
formulama (#eq:fourkoef#4951>), onda se red zove Fourierov red
funkcije #tex2html_wrap_inline32592# a koeficijenti se zovu
Fourierovi koeficijenti.
Do sada smo stalno imali na umu periodičku funkciju #tex2html_wrap_inline32594# perioda
#tex2html_wrap_inline32596# Pretpostavimo da je funkcija #tex2html_wrap_inline32598# definirana na skupu koji
sadrži #math1395##tex2html_wrap_inline32600# da je integrabilna na #math1396##tex2html_wrap_inline32602# i da
nije periodička. U tom slučaju također možemo izračunati
Fourierove koeficijente i prema tome imamo Fourierov red. Budući da
svaka funkcija u tom redu ima period #tex2html_wrap_inline32604# i red će predstavljati
periodičku funkciju perioda #tex2html_wrap_inline32606# i to onu koja se iz dane dobije
periodičkim proširenjem njezine restrikcije na segmentu
#math1397##tex2html_wrap_inline32608# na cijeli #tex2html_wrap_inline32610# Reći ćemo da je to red funkcije #tex2html_wrap_inline32612# na
#math1398##tex2html_wrap_inline32614#
#math1399##tex2html_wrap24314#