Dijagonalizacija simetrične matrice. Opći slučaj.

U općem slučaju se može dogoditi da neke vlastite vrijednosti budu višestruke. Razmotrimo sljedeći primjer.

Primjer 1.25   Naći vlastite vrijednosti i vlastite vektore matrice #math726#

#tex2html_wrap_indisplay29870#

Rješenje. Vlastite vrijednosti su #math727##tex2html_wrap_inline29872# Za #math728##tex2html_wrap_inline29874# imamo vlastiti vektor #math729#

#tex2html_wrap_indisplay29876#

tj. vlastitih vektora ima beskonačno mnogo ali su svi međusobno kolinearni. Za #math730##tex2html_wrap_inline29878# imamo (iz (#sust:vlvekt#2380>))
#math731#
0 #tex2html_wrap_indisplay29882# 0  
#tex2html_wrap_indisplay29885# #tex2html_wrap_indisplay29887# 0  
#tex2html_wrap_indisplay29890# #tex2html_wrap_indisplay29892# #tex2html_wrap_indisplay29894#  

Odavde #tex2html_wrap_inline29896# je proizvoljan, i #tex2html_wrap_inline29898# pa je vlastiti vektor

#math732#
#tex2html_wrap_indisplay29900# (1.6)

tj. vlastitih vektora ima beskonačno mnogo ali sada su oni linearne kombinacije od dva linearno nezavisna vektora. Kako imamo slobodu izbora, možemo izabrati bilo koja dva međusobno okomita vektora, tako da i u slučaju višestrukih vlastitih vrijednosti imamo međusobno okomite vlastite vektore. Formula (#eq:vlvkvisestr#2395>) se može shvatiti kao parametarske jednadžbe ravnine u prostoru, koja prolazi ishodištem i razapeta je vektorima #math733#

#tex2html_wrap_indisplay29902#

Dakle svaki radijvektor u toj ravnini je vlastiti, s vlastitom vrijednošću #math734##tex2html_wrap_inline29904# Na slici #fig:vlvkvise#2402> je šatirana ravnina u kojoj je svaki vektor vlastiti s vlastitom vrijednošću #tex2html_wrap_inline29906# i također je povučen pravac na kojem je svaki vektor vlastiti s vlastitom vrijednošću #tex2html_wrap_inline29908#

<#29910#>Figure<#29910#> 1.17: <#29911#>Vlastiti vektori i njihove slike (višestruke vlastite vrijednosti).<#29911#>
#math735##tex2html_wrap24166#

Općenito se događa sljedeće. #tex2html_wrap_inline29914#-struka vlastita vrijednost simetrične matrice vodi na sustav jednadžbi koji ima beskonačno mnogo rješenja određenih pomoću #tex2html_wrap_inline29916# parametara. Izborom ovih parametara tako da jedan bude #tex2html_wrap_inline29918# a ostali #tex2html_wrap_inline29920# dobivamo #tex2html_wrap_inline29922# linearno nezavisnih vektora. Ako tako napravimo za svaku višestruku vlastitu vrijednost, i dodamo vlastite vektore koji pripadaju jednostrukim vlastitim vrijednostima, dobit ćemo #tex2html_wrap_inline29924# linearno nezavisnih vlastitih vektora simetrične matrice #tex2html_wrap_inline29926# Od njih kao stupaca formiramo matricu #tex2html_wrap_inline29928# Ona je regularna, i vrijedi #math736#

#tex2html_wrap_indisplay29930#

Pomnožimo s lijeva matricom #tex2html_wrap_inline29932# i dobit ćemo, kao i prije #math737#

#tex2html_wrap_indisplay29934#

Definicija 14   Neka je #tex2html_wrap_inline29937# regularna matrica i neka je #math738#

#tex2html_wrap_indisplay29939#

Tada kažemo da su matrice #tex2html_wrap_inline29941# i #tex2html_wrap_inline29943# slične. Ako među matricama sličnim matrici #tex2html_wrap_inline29945# postoji dijagonalna, onda kažemo da se matrica #tex2html_wrap_inline29947# može dijagonalizirati. Dijagonalizacija matrice je postupak nalaženja one regularne matrice #tex2html_wrap_inline29949# koja ima svojstvo da je #math739##tex2html_wrap_inline29951# dijagonalna matrica.

U skladu s ovom definicijom, možemo zaključiti da se proizvoljna simetrična matrica #tex2html_wrap_inline29953# može dijagonalizirati. U slučaju kad su vlastite vrijednosti međusobno različite, dijagonalizacija se vrši pomoću matrice čiji su stupci međusobno okomiti vlastiti vektori matrice #tex2html_wrap_inline29955# No, i u slučaju višestrukih vlastitih vrijednosti matrica #tex2html_wrap_inline29957# se može izabrati tako da su joj stupci međusobno okomiti. Doista, ako su #math740##tex2html_wrap_inline29959# linearno nezavisni vlastiti vektori, onda su vektori #math741##tex2html_wrap_inline29961# dobiveni po formulama <#12220#>
#math742#
#tex2html_wrap_indisplay29964# #tex2html_wrap_indisplay29966# #tex2html_wrap_indisplay29968#  
#tex2html_wrap_indisplay29970# #tex2html_wrap_indisplay29972# #tex2html_wrap_indisplay29974#  
#tex2html_wrap_indisplay29976# #tex2html_wrap_indisplay29978# #tex2html_wrap_indisplay29980#  
    #tex2html_wrap_indisplay29982#  
#tex2html_wrap_indisplay29984# #tex2html_wrap_indisplay29986# #tex2html_wrap_indisplay29988#  

<#12220#> međusobno okomiti, i svaki od njih je vlastiti pripadajući istoj vlastitoj vrijednosti. Ovaj postupak se zove Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije. Ideja Gram-Schmidtovog postupka ortogonalizacije je jednostavna i prirodna. Prvi vektor ostavimo na miru. Njime je određen pravac. Drugi vektor projiciramo ortogonalno na taj pravac, i zatim tu projekciju odbijemo od drugog vektora. Time naravno dobivamo vektor koji je okomit na vektor na koji smo projicirali (sl. #fig:gram2#2457>). S tako dobivenim vektorima razapnemo ravninu. Treći vektor projiciramo ortogonalno na tu ravninu, i odbijemo projekciju od njega. Time smo dobili vektor okomit na ravninu (sl. #fig:gram3#2458>), itd.

<#29990#>Figure<#29990#> 1.18: <#29991#>Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije u ravnini.<#29991#>
#math743##tex2html_wrap24172#

<#29994#>Figure<#29994#> 1.19: <#29995#>Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije u prostoru.<#29995#>
#math744##tex2html_wrap24176#

Ako međusobno okomite vlastite vektore normiramo (podijelimo s njihovom duljinom), onda matrica #math745##tex2html_wrap_inline29998# čiji su stupci vektori #math746##tex2html_wrap_inline30000# postaje ortogonalna. U tom slučaju je #math747##tex2html_wrap_inline30002# pa je #math748#

#tex2html_wrap_indisplay30004#