Struktura skupa svih rješenja

Pretpostavimo da matrica sustava
#math595#
#tex2html_wrap_indisplay29317# #tex2html_wrap_indisplay29319# #tex2html_wrap_indisplay29321#  
#tex2html_wrap_indisplay29323# #tex2html_wrap_indisplay29325# #tex2html_wrap_indisplay29327#  
#tex2html_wrap_indisplay29329#      
#tex2html_wrap_indisplay29331# #tex2html_wrap_indisplay29333# #tex2html_wrap_indisplay29335#  

ima isti rang kao proširena matrica sustava, i to #tex2html_wrap_inline29337# To znači da proširena matrica sustava #tex2html_wrap_inline29339# ima linearno nezavisnih #tex2html_wrap_inline29341# redaka i #tex2html_wrap_inline29343# stupaca. Radi jednostavnosti pretpostavimo da je prvih #tex2html_wrap_inline29345# redaka i prvih #tex2html_wrap_inline29347# stupaca marice #tex2html_wrap_inline29349# linearno nezavisno. Tada Gauss-Jordanovom metodom možemo sustav svesti na oblik #math596#

#tex2html_wrap_indisplay29351#

Odatle čitamo
#math597#
#tex2html_wrap_indisplay29354# #tex2html_wrap_indisplay29356# #tex2html_wrap_indisplay29358#  
    #tex2html_wrap_indisplay29360#  
#tex2html_wrap_indisplay29362# #tex2html_wrap_indisplay29364# #tex2html_wrap_indisplay29366#  

tako da se rješenje, odnosno skup svih rješenja može napisati u obliku #math598#

#tex2html_wrap_indisplay29368#

Stavimo #math599#

#tex2html_wrap_indisplay29370#

Svako rješenje #math600##tex2html_wrap_inline29372# ima oblik #math601#

#tex2html_wrap_indisplay29374#

Pretpostavimo da je sustav na početku bio homogen, tj. da je bilo #math602##tex2html_wrap_inline29376# U tom slučaju na isti način dobivamo rješenje #math603#

#tex2html_wrap_indisplay29378#

Skup svih takvih vektora, kada parametri #math604##tex2html_wrap_inline29380# uzimaju proizvoljne realne vrijednosti nezavisno jedan od drugog, predstavlja skup svih rješenja pripadnog homogenog sustava. Uočimo da je taj skup vektorski prostor razapet s vektorima #math605##tex2html_wrap_inline29382# i da su vektori #math606##tex2html_wrap_inline29384# linearno nezavisni, pa prema tome čine bazu u tom vektorskom prostoru. S druge strane #math607##tex2html_wrap_inline29386# je jedno rješenje nehomogenog sustava, i to kad stavimo #math608##tex2html_wrap_inline29388# Tako vidimo da se skup svih rješenja sustava može dobiti tako da se nađe jedno rješenje nehomogenog sustava, to rješenje zovemo partikularnim, i da se zatim nađe neka baza vektorskog prostora svih rješenja pripadnog homogenog sustava. Jedna od tih baza je #math609##tex2html_wrap_inline29390# Ova diskusija omogućava da se u jednostavnijim slučajevima 'vidi' skup svih rješenja, što je sadržaj sljedećeg primjera.

Primjer 1.20   Razmotrimo ponovno primjer #pr:preth#2015>. U tom slučaju je rang matrice sustava jednak rangu proširene matrice, i iznosi #tex2html_wrap_inline29393# dok je #tex2html_wrap_inline29395# Osim toga je treći stupac linearna kombinacija prva dva. Dakle, svako rješenje je oblika #math610#

#tex2html_wrap_indisplay29397#

odnosno #math611#

#tex2html_wrap_indisplay29399#

To se može drukčije napisati ovako
#math612#
#tex2html_wrap_indisplay29402# #tex2html_wrap_indisplay29404# #tex2html_wrap_indisplay29406#  
#tex2html_wrap_indisplay29408# #tex2html_wrap_indisplay29410# #tex2html_wrap_indisplay29412#  
#tex2html_wrap_indisplay29414# #tex2html_wrap_indisplay29416# #tex2html_wrap_indisplay29418#  

što predstavlja parametarske jednadžbe pravca u prostoru. Prvi stupac desno od jednakosti čine koordinate točke kojom pravac prolazi, a drugi stupac čine komponente vektora smjera pravca. Rješenja su dakle točke na pravcu (slika #fig:sust1#2044>) u prostoru (radijvektori u prostoru, čiji vrhovi leže na jednom pravcu). Rješenje pripadnog homogenog sustava se dobije tako da se izbaci prvi stupac desno od jednakosti (vektor #math613##tex2html_wrap_inline29420#). U tom slučaju su rješenja točke na pravcu kroz ishodište, koji je paralelan gornjem pravcu.

<#29422#>Figure<#29422#> 1.13: <#29423#>Jednoparametarsko rješenje sustava linearnih algebarskih jednadžbi.<#29423#>
#math614##tex2html_wrap24142#

Kako su u gornjem sustavu samo dvije jednadžbe linearno nezavisne, i budući da svaka od njih predstavlja jednadžbu ravnine u prostoru, rješavanje ovog sustava se zapravo svodi na to da se želi dobiti jednadžba pravca u prostoru koji je zadan kao presjek dviju ravnina.

Primjer 1.21   Ako se sustav sastoji od dvije ili više jednadžbi s tri nepoznanice, od kojih je samo jedna linearno nezavisna, onda to znači da su ostale jednadžbe multipli prve. Kako je prva jednadžba linearna, skup točaka koji je zadovoljava predstavlja ravninu u prostoru. Dakle, skup svih rješenja takvog sustava je skup radijvektora (vektorstupaca), čiji vrhovi leže u ravnini u prostoru koja je zadana bilo kojom od jednadnadžbi sustava (slika #fig:sust2#2054>). U pripadnom homogenom sustavu je i dalje samo jedna (bilo koja) jednadžba linearno nezavisna, pa kao rješenje homogenog sustava imamo također ravninu, paralelnu prethodnoj, ali koja prolazi ishodištem.

<#29427#>Figure<#29427#> 1.14: <#29428#>Dvoparametarsko rješenje sustava linearnih algebarskih jednadžbi.<#29428#>
#math615##tex2html_wrap24146#