Fourierovi redovi

Rješavajući valnu jednadžbu, uvaživši rubne uvjete, dobili smo rješenja oblika #math1371#

#tex2html_wrap_indisplay32523#;SPMnbsp; ;SPMnbsp;<#1#>ili<#1#>#tex2html_wrap_indisplay32524#

Problem oscilacija žice je potpuno zadan tek kad zadamo još i početne uvjete. Na pr. #math1372#

#tex2html_wrap_indisplay32526#

Općenito niti jedna od funkcija #tex2html_wrap_inline32528# ne zadovoljava početne uvjete. Zato rješenje tražimo u obliku linearne kombinacije. Funkcije su linearno nezavisne, i ima ih beskonačno mnogo, pa linearna kombinacija postaje beskonačni red #math1373#

#tex2html_wrap_indisplay32530#

Ako je #tex2html_wrap_inline32532# rješenje koje zadovoljava početne uvjete, onda mora biti #math1374#

#tex2html_wrap_indisplay32534#

Da li postoje takvi #tex2html_wrap_inline32536# da vrijedi ova jednakost? Za kakve funkcije postoje #tex2html_wrap_inline32538# takvi da vrijedi ova jednakost? Ovakva pitanja i još mnoga druga dovode nas do pojma Fourierovih redova. Funkcije #math1375#

#tex2html_wrap_indisplay32540#

su periodične, i period je broj #tex2html_wrap_inline32542# takav da vrijedi #math1376#

#tex2html_wrap_indisplay32544#

Odatle slijedi #math1377#

#tex2html_wrap_indisplay32546#

#math1378##tex2html_wrap24312#
Svaka od ovih funkcija ima period #tex2html_wrap_inline32549# jer je višekratnik perioda također period, pa se nadamo da pomoću njih možemo prikazati svaku periodičku funkciju #tex2html_wrap_inline32551# perioda #tex2html_wrap_inline32553# No, pomoću njih se mogu prikazati samo neparne funkcije, jer je #tex2html_wrap_inline32555# neparna funkcija. To ograničenje izbjegavamo tako da dodamo i odgovarajuće kosinusne funkcije. Uz tu pretpostavku imamo #math1379#

#tex2html_wrap_indisplay32557#

#math1380#

#tex2html_wrap_indisplay32559#

tj.

#math1381#
#tex2html_wrap_indisplay32561# (2.20)

gdje su koeficijenti #math1382##tex2html_wrap_inline32563# neodređeni. Da bismo koeficijente odredili tako da vrijedi ova jednakost, koristimo jedno važno svojstvo trigonometrijskih funkcija #math1383#

#tex2html_wrap_indisplay32565#

#math1384#

#tex2html_wrap_indisplay32567#

#math1385#

#tex2html_wrap_indisplay32569#

Svojstvo izraženo formulama, u kojima je desna strana jednaka nuli, se zove ortogonalnost trigonometrijskih funkcija, a formule se zovu formule ortogonalnosti. Sada računamo koeficijente tako da (#eq:trigred#4910>) množimo redom s #math1386#

#tex2html_wrap_indisplay32571#;SPMnbsp; ;SPMnbsp;<#1#>i<#1#>#tex2html_wrap_indisplay32572#

i zatim integriramo po segmentu duljine perioda, na pr. #math1387##tex2html_wrap_inline32574# Zbog svojstva ortogonalnosti dobivamo #math1388#

#tex2html_wrap_indisplay32576#

#math1389#

#tex2html_wrap_indisplay32578#

Da bi ove formule imale smisla, nužno je da #tex2html_wrap_inline32580# bude integrabilna funkcija na segmentu #math1390##tex2html_wrap_inline32582# U tom slučaju su koeficijenti

#math1391#
#displaymath32584# (2.21)

Red oblika #math1392#

#tex2html_wrap_indisplay32586#

se zove trigonometrijski red, a brojevi #math1393##tex2html_wrap_inline32588# #math1394##tex2html_wrap_inline32590# se zovu koeficijenti trigonometrijskog reda. Trigonometrijski red je dan čim su dani njegovi koeficijenti. No, ako su koeficijenti trigonometrijskog reda dani formulama (#eq:fourkoef#4951>), onda se red zove Fourierov red funkcije #tex2html_wrap_inline32592# a koeficijenti se zovu Fourierovi koeficijenti. Do sada smo stalno imali na umu periodičku funkciju #tex2html_wrap_inline32594# perioda #tex2html_wrap_inline32596# Pretpostavimo da je funkcija #tex2html_wrap_inline32598# definirana na skupu koji sadrži #math1395##tex2html_wrap_inline32600# da je integrabilna na #math1396##tex2html_wrap_inline32602# i da nije periodička. U tom slučaju također možemo izračunati Fourierove koeficijente i prema tome imamo Fourierov red. Budući da svaka funkcija u tom redu ima period #tex2html_wrap_inline32604# i red će predstavljati periodičku funkciju perioda #tex2html_wrap_inline32606# i to onu koja se iz dane dobije periodičkim proširenjem njezine restrikcije na segmentu #math1397##tex2html_wrap_inline32608# na cijeli #tex2html_wrap_inline32610# Reći ćemo da je to red funkcije #tex2html_wrap_inline32612# na #math1398##tex2html_wrap_inline32614#
#math1399##tex2html_wrap24314#