Jednadžba ravnoteže

Neka je dan rubni problem

  #tex2html_wrap_indisplay38964# #tex2html_wrap_indisplay38965# na #tex2html_wrap_indisplay38966# ;SPMnbsp;;SPMnbsp;;SPMnbsp;
  #tex2html_wrap_indisplay38967# #tex2html_wrap_indisplay38968# na #tex2html_wrap_indisplay38969# ;SPMnbsp;;SPMnbsp;;SPMnbsp;

gdje je #tex2html_wrap_inline38971# neprekidna funkcija na #math2867##tex2html_wrap_inline38973# a #tex2html_wrap_inline38975# na rubu #math2868##tex2html_wrap_inline38977# Područje #tex2html_wrap_inline38979# prekrijemo mrežom koju dobijemo tako da segmente na osi #tex2html_wrap_inline38981# i osi #tex2html_wrap_inline38983# podijelimo ekvidistantno na podsegmenate. Tako imamo #math2869#

#tex2html_wrap_indisplay38985#

Broj #tex2html_wrap_inline38987# se zove korak mreže po #tex2html_wrap_inline38989# osi, a #tex2html_wrap_inline38991# korak mreže po #tex2html_wrap_inline38993# osi. Tako imamo točke podjele #math2870#

#tex2html_wrap_indisplay38995#

na osima. Točku s koordinatama #math2871#

#tex2html_wrap_indisplay38997#

zovemo #tex2html_wrap_inline38999#-tim čvorom mreže. Čvor zovemo unutrašnjim, ako je #math2872##tex2html_wrap_inline39001# i #math2873##tex2html_wrap_inline39003# U protivnom kažemo da je čvor rubni. Stavimo #math2874#

#tex2html_wrap_indisplay39005#

Kao i u slučaju običnih derivacija, aproksimacije parcijalnih derivacija možemo dobiti pomoću Taylorove formule za funkcije od dvije varijable. Tako imamo #math2875#

#tex2html_wrap_indisplay39007#

Neka je #tex2html_wrap_inline39009# unutrašnji čvor. Tada diferencijalnu jednadžbu u tom čvoru možemo zamijeniti algebarskom jednadžbom #math2876#

#tex2html_wrap_indisplay39011#

#math2877##tex2html_wrap24690#
Ako je čvor #tex2html_wrap_inline39014# rubni, onda imamo #math2878#

#tex2html_wrap_indisplay39016#

Time smo dobili onoliko linearnih algebarskih jednadžbi koliko imamo nepoznanica #tex2html_wrap_inline39018# Rješavati treba samo sustav jednadžbi unutrašnjih čvorova. Pretpostavimo, radi jednostavnosti, da su #math2879##tex2html_wrap_inline39020# takvi da je #tex2html_wrap_inline39022# Tada, nakon množenja s #tex2html_wrap_inline39024# jednadžba #tex2html_wrap_inline39026#-tog čvora postaje #math2880#

#tex2html_wrap_indisplay39028#

Vidimo da u svakom retku matrice ima najviše pet elemenata različitih od nule. Čvorove, a time i jednadžbe u sustavu možemo poredati na različite načine. Jedan od njih je poredak kao na slici
#math2881##tex2html_wrap24692#
dakle #math2882#

#tex2html_wrap_indisplay39031#

Stavimo #math2883#

#tex2html_wrap_indisplay39033#

Na taj način dobivamo sljedeći sustav linearnih algebarskih jednadžbi

#tex2html_wrap_indisplay39034# #tex2html_wrap_indisplay39035# ;SPMnbsp;;SPMnbsp;;SPMnbsp;
#tex2html_wrap_indisplay39036# #tex2html_wrap_indisplay39037# ;SPMnbsp;;SPMnbsp;;SPMnbsp;
#tex2html_wrap_indisplay39038# #tex2html_wrap_indisplay39039# ;SPMnbsp;;SPMnbsp;;SPMnbsp;
#tex2html_wrap_indisplay39040# #tex2html_wrap_indisplay39041# ;SPMnbsp;;SPMnbsp;;SPMnbsp;
#tex2html_wrap_indisplay39042# #tex2html_wrap_indisplay39043# ;SPMnbsp;;SPMnbsp;;SPMnbsp;
#tex2html_wrap_indisplay39044#   ;SPMnbsp;;SPMnbsp;;SPMnbsp;

Prilikom izbora poretka treba paziti na to da matrica dobivenog sustava jednadžbi bude što uža.