#math1834#
#tex2html_wrap_indisplay34243#
#math1835#
#tex2html_wrap_indisplay34245#;SPMnbsp; ;SPMnbsp;<#1#>ili<#1#>#tex2html_wrap_indisplay34246#
Taj problem ćemo rješavati pomoću energetske jednadžbe. Pomnožimo
Poissonovu jednadžbu s #tex2html_wrap_inline34248# i zatim integrirajmo po cijelom području
#math1836#
#tex2html_wrap_indisplay34250#
Za skalarna polja #tex2html_wrap_inline34252# i #tex2html_wrap_inline34254# imamo
#math1837#
#tex2html_wrap_indisplay34256#
Stavimo #tex2html_wrap_inline34258# pa imamo
#math1838#
#tex2html_wrap_indisplay34260#
#math1839#
#tex2html_wrap_indisplay34262# |
(2.52) |
Po teoremu o divergenciji
#math1840#
#tex2html_wrap_indisplay34264#
pa nakon uvrštavanja dobivamo energetsku jednadžbu
#math1841#
#tex2html_wrap_indisplay34266#
Teorem 19
Neka je
#tex2html_wrap_inline34269# ograničeno područje u #tex2html_wrap_inline34271# Dirichletov rubni problem
#math1842#
#tex2html_wrap_indisplay34273#
#math1843#
#tex2html_wrap_indisplay34275#
ima najviše jedno rješenje.
<#12264#>Dokaz. Zaista, pretpostavimo da su
#tex2html_wrap_inline34277# i #tex2html_wrap_inline34279# dva rješenja. Tada funkcija
#math1844##tex2html_wrap_inline34281# rješava rubni problem
#math1845#
#tex2html_wrap_indisplay34283#
#math1846#
#tex2html_wrap_indisplay34285#
Uvrstimo #tex2html_wrap_inline34287# u energetsku jednadžbu umjesto #tex2html_wrap_inline34289# Imamo
#math1847#
#tex2html_wrap_indisplay34291#
Slijedi
#math1848#
#tex2html_wrap_indisplay34293#
odakle
#math1849#
#tex2html_wrap_indisplay34295#
pa je #tex2html_wrap_inline34297# konstanta. No,
#math1850##tex2html_wrap_inline34299# povlači #tex2html_wrap_inline34301# tj.
#math1851#
#tex2html_wrap_indisplay34303#
#math1852##tex2html_wrap_inline34305#<#12264#>
Teorem 20
Neka je
#tex2html_wrap_inline34308# ograničeno područje u #tex2html_wrap_inline34310# i neka je zadan
Neumannov rubni problem
#math1853#
#tex2html_wrap_indisplay34312#
#math1854#
#tex2html_wrap_indisplay34314#
- <#34317#>1.<#34317#>
- Nužan uvjet za postojanje rješenja je
#math1855#
#tex2html_wrap_indisplay34316#
- <#34318#>2.<#34318#>
- Bilo koja dva rješenja se razlikuju za konstantu.
<#12265#>Dokaz. 1. Ako je #tex2html_wrap_inline34320# rješenje, onda
iz jednadžbe slijedi
#math1856#
#tex2html_wrap_indisplay34322#
#math1857#
#tex2html_wrap_indisplay34324#
Po teoremu o divergenciji slijedi
#math1858#
#tex2html_wrap_indisplay34326#
#math1859#
#tex2html_wrap_indisplay34328#
dakle
#math1860#
#tex2html_wrap_indisplay34330#
Ovaj uvjet izražava činjenicu da vanjska sila i Neumannov rubni
uvjet moraju biti pažljivo izabrani, tako da membrana bude u
ravnoteži. Kod Dirichletovog uvjeta nije bio potreban toliki oprez,
jer je u tom slučaju membrana na rubu učvršćena.
2. Neka su #tex2html_wrap_inline34332# i
#tex2html_wrap_inline34334# dva rješenja. Tada funkcija
#math1861##tex2html_wrap_inline34336# rješava rubni problem
#math1862#
#tex2html_wrap_indisplay34338#
#math1863#
#tex2html_wrap_indisplay34340#
Uvrstimo #tex2html_wrap_inline34342# u energetsku jednadžbu umjesto #tex2html_wrap_inline34344# Imamo
#math1864#
#tex2html_wrap_indisplay34346#
Slijedi
#math1865#
#tex2html_wrap_indisplay34348#
odakle
#math1866#
#tex2html_wrap_indisplay34350#
pa je #tex2html_wrap_inline34352# konstanta. Tako se #tex2html_wrap_inline34354# i #tex2html_wrap_inline34356# razlikuju za konstantu.
#math1867##tex2html_wrap_inline34358#<#12265#>