Numerička integracija
Zadatak je izračunati integral
#math2588#
#tex2html_wrap_indisplay37554#
Umjesto da integriramo podintegralnu funkciju, što često nije
moguće, ili zahtijeva puno posla, integriramo polinom,
koji interpolira funkciju u odgovarajućim točkama.
Numerički to radimo na sljedeći način. Segment #tex2html_wrap_inline37556# podijelimo
na podsegmente točkama
#math2589#
#tex2html_wrap_indisplay37558#
Radi jednostavnosti i
određenosti postupka podjela se uzme ekvidistantnom. U tim točkama
interpoliramo funkciju Lagrangeovim polinomom, i zatim integriramo
polinom. Tako dobiven broj predstavlja približnu vrijednost zadanog
integrala. Dakle
#math2590#
#tex2html_wrap_indisplay37560#
#math2591##tex2html_wrap24652#
Ako uvrstimo Lagrangeov polinom (#eq:lagrpoli#9457>), imamo
<#12287#>
#math2592#
#tex2html_wrap_indisplay37563# |
(3.18) |
<#12287#>
Da bismo razmatranje učinili neovisnim o segmentu #tex2html_wrap_inline37565# svedimo ga
supstitucijom na fiksni segment #tex2html_wrap_inline37567# To možemo učiniti
afinom funkcijom (polinomom prvog stupnja) čiji je graf pravac kroz
točke #tex2html_wrap_inline37569# i #tex2html_wrap_inline37571#
#math2593##tex2html_wrap24656#
Jednadžba tog pravca je
#math2594#
#tex2html_wrap_indisplay37574#
odnosno
#math2595#
#tex2html_wrap_indisplay37576#
Supstitucija čuva ekvidistantnost, pa je
#math2596#
#tex2html_wrap_indisplay37578#
ekvidistantna podjela segmenta #tex2html_wrap_inline37580# na #tex2html_wrap_inline37582# podsegmenata. Tom
supstitucijom formula (#eq:numint#9480>) prelazi u
#math2597#
#tex2html_wrap_indisplay37584#
gdje je
#math2598#
#tex2html_wrap_indisplay37586# |
(3.19) |
Vidimo da ponderi #tex2html_wrap_inline37588# ne
ovise o segmentu, niti o funkciji, već samo o broju #tex2html_wrap_inline37590#
Iz formule (#eq:grlagr#9496>) slijedi da je greška koju pri tom činimo
#math2599#
#tex2html_wrap_indisplay37592#
gdje je
#math2600#
#tex2html_wrap_indisplay37594#
Točka #tex2html_wrap_inline37596# nam nije poznata, pa za ocjenu greške moramo uzeti
maksimum ove derivacije na segmentu #tex2html_wrap_inline37598#
#math2601#
#tex2html_wrap_indisplay37600#
gdje je
#math2602#
#tex2html_wrap_indisplay37602#
Specijalno za #tex2html_wrap_inline37604# imamo #math2603##tex2html_wrap_inline37606# Zatim,
#math2604#
#tex2html_wrap_indisplay37608#
pa je
#math2605#
#tex2html_wrap_indisplay37610#
gdje je
#math2606#
#tex2html_wrap_indisplay37612#
Za #tex2html_wrap_inline37614# imamo tri točke podjele #math2607##tex2html_wrap_inline37616# Pretpostavimo da
je podjela ekvidistantna, tj. da je #math2608##tex2html_wrap_inline37618# Tada je
#math2609#
#tex2html_wrap_indisplay37620#
Kad bismo ponovili
postupak kao gore, dobili bismo ocjenu reda veličine #tex2html_wrap_inline37622# No, ta
se ocjena može poboljšati. Zbog činjenice da je funkcija #tex2html_wrap_inline37624#
simetrična u odnosu na točku #math2610##tex2html_wrap_inline37626# njezin integral po
segmentu #tex2html_wrap_inline37628# iščezava. U tom slučaju se funkcija može
interpolirati s polinomom 4. stupnja, tako da se točka
#math2611##tex2html_wrap_inline37630# uzme kao dvostruka. O tome kako se to radi ovdje
nećemo govoriti. Primijetimo samo da zbog integriranja polinoma 4.
stupnja ocjena postaje reda veličine #tex2html_wrap_inline37632# Može se pokazati de
je ona
#math2612#
#tex2html_wrap_indisplay37634#
gdje je
#math2613#
#tex2html_wrap_indisplay37636#