Jacobijeva metoda

Pretpostavimo da su elementi na glavnoj dijagonali matrice #tex2html_wrap_inline36561# različiti od nule (ako je potrebno, premještanjem redaka u regularnoj matrici se to uvijek može postići). Rastavimo #tex2html_wrap_inline36563# kako slijedi #math2334#

#tex2html_wrap_indisplay36565#

gdje je #math2335#

#displaymath36567#

#math2336#

#displaymath36569#

Tako je #tex2html_wrap_inline36571# donja, #tex2html_wrap_inline36573# gornja trokutasta, a #tex2html_wrap_inline36575# je dijagonalana matrica. Ako stavimo #math2337#

#tex2html_wrap_indisplay36577#

imamo iterativni postupak oblika #math2338#

#tex2html_wrap_indisplay36579#

Budući da su elementi na glavnoj dijagonali matrice #tex2html_wrap_inline36581# a prema tome i matrice #tex2html_wrap_inline36583# različiti od nule, postoji #tex2html_wrap_inline36585# Inverz od dijagonalne matrice se vrlo lako računa. Iz #math2339##tex2html_wrap_inline36587# slijedi #math2340##tex2html_wrap_inline36589# Tako gornju jednadžbu možemo pomnožiti s lijeva s #tex2html_wrap_inline36591# pa imamo sljedeći algoritam.

Algoritam 5   <#11981#>(Jacobijeva metoda)<#11981#> Proizvoljno izaberemo početnu aproksimaciju #math2341#

#tex2html_wrap_indisplay36594#

i zatim računamo sljedeće aproksimacije #math2342##tex2html_wrap_inline36596# po formuli #math2343#

#tex2html_wrap_indisplay36598#

odnosno
#math2344#
#tex2html_wrap_indisplay36601# #tex2html_wrap_indisplay36603# #tex2html_wrap_indisplay36605#  
#tex2html_wrap_indisplay36607# #tex2html_wrap_indisplay36609# #tex2html_wrap_indisplay36611#  
#tex2html_wrap_indisplay36613#      
#tex2html_wrap_indisplay36615# #tex2html_wrap_indisplay36617# #tex2html_wrap_indisplay36619#  

gdje je #math2345##tex2html_wrap_inline36621#

Budući da dijelimo s #math2346##tex2html_wrap_inline36623# poželjno je, ako je to moguće, poredati retke u matrici #tex2html_wrap_inline36625# (jednadžbe u sustavu) tako da svaki element na glavnoj dijagonali bude po apsolutnoj vrijednosti veći od sume apsolutnih vrijednosti ostalih elemenata u retku u kojem se nalazi.