Problem početnog uvjeta (Cauchyjev problem)
Želimo riješiti diferencijalnu jednadžbu
#math2693#
#tex2html_wrap_indisplay38018#
na segmentu #tex2html_wrap_inline38020# uz početni uvjet #math2694##tex2html_wrap_inline38022#
Metode približnog rješavanja koje ćemo sada opisati osnivaju se na
sljedećoj ideji. Podijelimo segment #tex2html_wrap_inline38024# na #tex2html_wrap_inline38026# jednakih dijelova
#math2695#
#tex2html_wrap_indisplay38028#
Duljina svakog podsegmenta je
#math2696#
#tex2html_wrap_indisplay38030#
Brojeve #tex2html_wrap_inline38032# zovemo čvorovima,
a broj #tex2html_wrap_inline38034# zovemo korakom. Stavimo
#math2697#
#tex2html_wrap_indisplay38036#
Cilj nam je odrediti #tex2html_wrap_inline38038# za svaki
#math2698##tex2html_wrap_inline38040# To činimo tako da derivaciju zamijenimo
odgovarajućom algebarskom aproksimacijom, kojom dolazimo do
rekurzivne formule, pomoću koje računamo #tex2html_wrap_inline38042# iz poznatog
#tex2html_wrap_inline38044# Time rješenje, koje je neprekidna funkcija, zamjenjujemo
Konačnim brojem njezinih vrijednosti. Opisani postupak se zove
diskretizacija. Očekujemo da će za dovoljno mali #tex2html_wrap_inline38046#
brojevi #tex2html_wrap_inline38048# dovoljno dobro aproksimirati prave vrijednosti funkcije.
Važno svojstvo koje diskretizacija treba imati jeste da s povećanjem
#tex2html_wrap_inline38050# dobivamo sve bolje aproksimacije, odnosno, preciznije, da brojevi
#tex2html_wrap_inline38052# teže prema pravim vrijednostima funkcije kada
#math2699##tex2html_wrap_inline38054#