Hamilton-Cayleyev teorem za simetrične matrice.
Dijagonalizacija simetrične matrice nam omogućava da teorem
#HCtm#2478> dokažemo za simetrične matrice elegantno.
Uočimo najprije da je #math749#
#tex2html_wrap_indisplay30007#
Odatle #math750#
#tex2html_wrap_indisplay30009#
#math751#
#tex2html_wrap_indisplay30011#
Indukcijom se može dokazati da
općenito vrijedi #math752#
#tex2html_wrap_indisplay30013#;SPMnbsp; ;SPMnbsp;za #tex2html_wrap_indisplay30014#
Prema tome i za proizvoljni polinom #tex2html_wrap_inline30016# vrijedi #math753#
#tex2html_wrap_indisplay30018#
Neka je sada #tex2html_wrap_inline30020# karakteristični
polinom matrice #tex2html_wrap_inline30022# Budući da su #math754##tex2html_wrap_inline30024# vlastite vrijednosti matrice #tex2html_wrap_inline30026# slijedi #math755##tex2html_wrap_inline30028# za svaki #tex2html_wrap_inline30030# U tom slučaju je dijagonalna matrica na desnoj
strani nulmatrica, pa je #math756#
#tex2html_wrap_indisplay30032#