Ravnoteža pravokutne membrane

Rubni problem za ravnotežu pravokutne membrane učvršćene na rubu glasi #math1940#

#displaymath34589#

gdje je #tex2html_wrap_inline34591# pravokutnik #math1941##tex2html_wrap_inline34593# Pretpostavimo da je #tex2html_wrap_inline34595# i da je #math1942#

#displaymath34597#

s tim da, zbog pretpostavke o neprekidnosti membrane, mora biti #math1943##tex2html_wrap_inline34599# Pretpostavimo rješenje u obliku #math1944#

#tex2html_wrap_indisplay34601#

Iz #math1945##tex2html_wrap_inline34603# slijedi #math1946#

#tex2html_wrap_indisplay34605#

#math1947#

#tex2html_wrap_indisplay34607#

gdje je #tex2html_wrap_inline34609# konstanta, jer smo separirali varijable. Odatle #math1948#

#tex2html_wrap_indisplay34611#

Kao i u #sec:osc#7189> zaključujemo da je #tex2html_wrap_inline34613# negativan, pa možemo pisati #math1949##tex2html_wrap_inline34615# Tako imamo

#math1950#
#displaymath34617# (2.55)

Rješenja problema (#sepvar:prav#7195>) jesu funkcije #math1951#

#tex2html_wrap_indisplay34619#

Druga jednadžba #math1952#

#tex2html_wrap_indisplay34621#

daje rješenja #math1953#

#tex2html_wrap_indisplay34623#

Rješenje rubnog problema tražimo u obliku #math1954#

#tex2html_wrap_indisplay34625#

Iz rubnog uvjeta #tex2html_wrap_inline34627# slijedi #math1955#

#tex2html_wrap_indisplay34629#

pa je #math1956#

#tex2html_wrap_indisplay34631#

Iz rubnog uvjeta #math1957##tex2html_wrap_inline34633# imamo #math1958#

#tex2html_wrap_indisplay34635#

Odatle #math1959#

#tex2html_wrap_indisplay34637#

Ako je uvjet na rubu složeniji, onda se problem rastavlja na nekoliko ovakvih.

Primjer 2.23   Naći ravnotežu pravokutne tanke ploče (membrane) uz sljedeće uvjete na rubu #math1960#

#tex2html_wrap_indisplay34640#

#math1961#

#tex2html_wrap_indisplay34642#

Rješenje. Treba riješiti problem #math1962#

#displaymath34644#

Objasnili smo kako se rješava rubni problem za ravnotežu pravokutne membrane u slučaju kad je rubni uvjet homogen na tri od četiri ruba. Ovaj problem ćemo riješiti tako da ga rastavimo na nekoliko problema, od kojih je svaki problem tipa koji smo objasnili. Prvi korak u tome je da pogodnom, jednostavnom supstitucijom osiguramo da pomak membrane u vrhovima pravokutnika bude #tex2html_wrap_inline34646# Stavimo #math1963#

#tex2html_wrap_indisplay34648#

i odredimo #math1964##tex2html_wrap_inline34650# tako da je #math1965#

#tex2html_wrap_indisplay34652#

Dobivamo sustav jednadžbi
#math1966#
#tex2html_wrap_indisplay34655# #tex2html_wrap_indisplay34657# 0  
#tex2html_wrap_indisplay34660# #tex2html_wrap_indisplay34662# 0  
#tex2html_wrap_indisplay34665# #tex2html_wrap_indisplay34667# 0  
#tex2html_wrap_indisplay34670# #tex2html_wrap_indisplay34672# #tex2html_wrap_indisplay34674#  

Rješenje je #math1967#

#tex2html_wrap_indisplay34676#

Prema tome početni problem smo sveli na sljedeći #math1968#

#displaymath34678#

Neka je #tex2html_wrap_inline34680# rješenje rubnog problema #math1969#

#displaymath34682#

#tex2html_wrap_inline34684# rješenje rubnog problema #math1970#

#displaymath34686#

#tex2html_wrap_inline34688# rješenje rubnog problema #math1971#

#displaymath34690#

#tex2html_wrap_inline34692# rješenje rubnog problema #math1972#

#displaymath34694#

Tada je očito #math1973#

#tex2html_wrap_indisplay34696#

odnosno #math1974#

#tex2html_wrap_indisplay34698#