Ortogonalne matrice

Pogledajmo kako djeluje ortogonalna matrica #tex2html_wrap_inline30035# na prostoru #math757##tex2html_wrap_inline30037# Iz #math758#

#tex2html_wrap_indisplay30039#

slijedi da #tex2html_wrap_inline30041# čuva skalarni produkt. Ako stavimo #math759##tex2html_wrap_inline30043# dobivamo #math760#

#tex2html_wrap_indisplay30045#

odakle #math761#

#tex2html_wrap_indisplay30047#

tj. ortogonalna matrica čuva duljinu vektora. Također #math762#

#tex2html_wrap_indisplay30049#

pa prema tome ortogonalna matrica čuva i kuteve do na predznak, jer je kosinus kao parna funkcija neosjetljiv na predznak. Budući da je #tex2html_wrap_inline30051# ortogonalna matrica je regularna i #math763##tex2html_wrap_inline30053# Nadalje, iz svojstava determinante (Binet-Cauchyjevog teorema) slijedi #math764#

#tex2html_wrap_indisplay30055#

Prema tome je #math765##tex2html_wrap_inline30057#