Teorem 9
Vlastite vrijednosti simetrične matrice
#math680##tex2html_wrap_inline29742# su realni brojevi.
<#12219#>Dokaz. Neka je #math681##tex2html_wrap_inline29744#
simetrična matrica, #tex2html_wrap_inline29746# njezina vlastita vrijednost, i
#math682##tex2html_wrap_inline29748# pripadni vlastiti vektor. Tada je
#math683#
#tex2html_wrap_indisplay29750#
Ako
konjugiramo ovu jednakost, i uzmemo u obzir da je #math684##tex2html_wrap_inline29752# jer su
elementi matrice #tex2html_wrap_inline29754# realni brojevi, dobivamo
#math685#
#tex2html_wrap_indisplay29756#
Odatle
#math686#
#tex2html_wrap_indisplay29758#
#math687#
#tex2html_wrap_indisplay29760#
Zbog
simetričnosti matrice #tex2html_wrap_inline29762# imamo
#math688#
#tex2html_wrap_indisplay29764#
Tako je
#math689#
#tex2html_wrap_indisplay29766#
tj.
#math690#
#tex2html_wrap_indisplay29768#
Zbog #math691##tex2html_wrap_inline29770# skalarni produkt
#math692##tex2html_wrap_inline29772# ne može biti jednak nuli,
pa slijedi #math693##tex2html_wrap_inline29774# #math694##tex2html_wrap_inline29776#<#12219#>