Numerička integracija

Zadatak je izračunati integral #math2588#

#tex2html_wrap_indisplay37554#

Umjesto da integriramo podintegralnu funkciju, što često nije moguće, ili zahtijeva puno posla, integriramo polinom, koji interpolira funkciju u odgovarajućim točkama. Numerički to radimo na sljedeći način. Segment #tex2html_wrap_inline37556# podijelimo na podsegmente točkama #math2589#

#tex2html_wrap_indisplay37558#

Radi jednostavnosti i određenosti postupka podjela se uzme ekvidistantnom. U tim točkama interpoliramo funkciju Lagrangeovim polinomom, i zatim integriramo polinom. Tako dobiven broj predstavlja približnu vrijednost zadanog integrala. Dakle #math2590#

#tex2html_wrap_indisplay37560#

#math2591##tex2html_wrap24652#
Ako uvrstimo Lagrangeov polinom (#eq:lagrpoli#9457>), imamo <#12287#>

#math2592#
#tex2html_wrap_indisplay37563# (3.18)

<#12287#> Da bismo razmatranje učinili neovisnim o segmentu #tex2html_wrap_inline37565# svedimo ga supstitucijom na fiksni segment #tex2html_wrap_inline37567# To možemo učiniti afinom funkcijom (polinomom prvog stupnja) čiji je graf pravac kroz točke #tex2html_wrap_inline37569# i #tex2html_wrap_inline37571#
#math2593##tex2html_wrap24656#
Jednadžba tog pravca je #math2594#

#tex2html_wrap_indisplay37574#

odnosno #math2595#

#tex2html_wrap_indisplay37576#

Supstitucija čuva ekvidistantnost, pa je #math2596#

#tex2html_wrap_indisplay37578#

ekvidistantna podjela segmenta #tex2html_wrap_inline37580# na #tex2html_wrap_inline37582# podsegmenata. Tom supstitucijom formula (#eq:numint#9480>) prelazi u #math2597#

#tex2html_wrap_indisplay37584#

gdje je

#math2598#
#tex2html_wrap_indisplay37586# (3.19)

Vidimo da ponderi #tex2html_wrap_inline37588# ne ovise o segmentu, niti o funkciji, već samo o broju #tex2html_wrap_inline37590# Iz formule (#eq:grlagr#9496>) slijedi da je greška koju pri tom činimo #math2599#

#tex2html_wrap_indisplay37592#

gdje je #math2600#

#tex2html_wrap_indisplay37594#

Točka #tex2html_wrap_inline37596# nam nije poznata, pa za ocjenu greške moramo uzeti maksimum ove derivacije na segmentu #tex2html_wrap_inline37598# #math2601#

#tex2html_wrap_indisplay37600#

gdje je #math2602#

#tex2html_wrap_indisplay37602#

Specijalno za #tex2html_wrap_inline37604# imamo #math2603##tex2html_wrap_inline37606# Zatim, #math2604#

#tex2html_wrap_indisplay37608#

pa je #math2605#

#tex2html_wrap_indisplay37610#

gdje je #math2606#

#tex2html_wrap_indisplay37612#

Za #tex2html_wrap_inline37614# imamo tri točke podjele #math2607##tex2html_wrap_inline37616# Pretpostavimo da je podjela ekvidistantna, tj. da je #math2608##tex2html_wrap_inline37618# Tada je #math2609#

#tex2html_wrap_indisplay37620#

Kad bismo ponovili postupak kao gore, dobili bismo ocjenu reda veličine #tex2html_wrap_inline37622# No, ta se ocjena može poboljšati. Zbog činjenice da je funkcija #tex2html_wrap_inline37624# simetrična u odnosu na točku #math2610##tex2html_wrap_inline37626# njezin integral po segmentu #tex2html_wrap_inline37628# iščezava. U tom slučaju se funkcija može interpolirati s polinomom 4. stupnja, tako da se točka #math2611##tex2html_wrap_inline37630# uzme kao dvostruka. O tome kako se to radi ovdje nećemo govoriti. Primijetimo samo da zbog integriranja polinoma 4. stupnja ocjena postaje reda veličine #tex2html_wrap_inline37632# Može se pokazati de je ona #math2612#

#tex2html_wrap_indisplay37634#

gdje je #math2613#

#tex2html_wrap_indisplay37636#