Oscilacije membrane
Membrana je tanka ploča od krutog materijala. Promatrat ćemo
nategnutu membranu silama koje djeluju u ravnini membrane.
#math1749##tex2html_wrap24380#
Sila
djeluje na luk krivulje koja je rub membrane. Zbog krutosti membrane
napetost uslijed te sile prenosi se u unutrašnjost, pa tako na svaki
komad membrane #tex2html_wrap_inline33877# djeluje napetost na rubu #math1750##tex2html_wrap_inline33879#
#math1751##tex2html_wrap24382#
Tako, u
svakoj točki #tex2html_wrap_inline33882# membrane, i za svaki luk kroz točku #tex2html_wrap_inline33884# imamo silu
#tex2html_wrap_inline33886# po jedinici duljine luka, kojom vanjski dio membrane djeluje
na unutarnji dio.
Ta sila se zove kontaktna sila (njezino djelovanje
je omogućeno isključivo kontaktom), i paralelna je s ravninom
membrane. Pretpostavljamo, radi jednostavnosti, da napetost ne ovisi o
vremenu. Osnovna pretpostavka (Cauchyjev aksiom) je da je ta
sila ista za sve lukove kroz #tex2html_wrap_inline33888# koji imaju zajednički
jedinični vektor normale #tex2html_wrap_inline33890# u točki #tex2html_wrap_inline33892#
#math1752##tex2html_wrap24384#
Tako
#tex2html_wrap_inline33895# ovisi o točki i jediničnom vektoru normale u točki,
tj. #math1753##tex2html_wrap_inline33897# Ta ovisnost je
linearna, pa prema tome, ako je
#math1754#
#tex2html_wrap_indisplay33899#
onda vrijedi
#math1755#
#tex2html_wrap_indisplay33901# |
(2.45) |
Prema tome napetost #tex2html_wrap_inline33903# je određena svojim djelovanjem na
vektore #math1756##tex2html_wrap_inline33905# Neka je
#math1757#
#tex2html_wrap_indisplay33908# |
#tex2html_wrap_indisplay33910# |
#tex2html_wrap_indisplay33912# |
(2.46) |
#tex2html_wrap_indisplay33914# |
#tex2html_wrap_indisplay33916# |
#tex2html_wrap_indisplay33918# |
(2.47) |
Time je napetost u točki #tex2html_wrap_inline33920# dana matricom
#math1758#
#tex2html_wrap_indisplay33922# |
(2.48) |
Napetost u
smjeru vektora #tex2html_wrap_inline33924# možemo izračunati tako da identificiramo
radijvektore s vektorstupcima, i da zatim vektorstupac #math1759##tex2html_wrap_inline33926#
pomnožimo matricom #tex2html_wrap_inline33928#
#math1760#
#tex2html_wrap_indisplay33930#
To isto se dobije, ako uvrstimo (#pi#6498>) i (#pj#6499>) u (#eq:linnap#6500>).
Pretpostavljamo da je membrana homogena i izotropno napeta, što ima za
posljedicu da napetost djeluje na rubu u smjeru vektora vanjske normale
#math1761##tex2html_wrap_inline33932# (U tom slučaju je matrica napetosti skalarna)
#math1762##tex2html_wrap24386#
Tako je #math1763##tex2html_wrap_inline33935#
Ako je membrana u ravnoteži, onda ukupna sila na rubu iščezava.
#math1764#
#tex2html_wrap_indisplay33937#
Odatle
#math1765#
#tex2html_wrap_indisplay33939#;SPMnbsp; ;SPMnbsp;<#1#>i<#1#>#tex2html_wrap_indisplay33940#
Budući da to vrijedi za svaki komad membrane #tex2html_wrap_inline33942# imamo
#math1766#
#tex2html_wrap_indisplay33944#;SPMnbsp; ;SPMnbsp;<#1#>i<#1#>#tex2html_wrap_indisplay33945# |
(2.49) |
Teorem o divergenciji u #tex2html_wrap_inline33947# glasi
#math1767#
#tex2html_wrap_indisplay33949#
gdje je #tex2html_wrap_inline33951# područje u ravnini, #math1768##tex2html_wrap_inline33953# rub od
#tex2html_wrap_inline33955# koji je po dijelovima glatka krivulja koja samu sebe ne
presijeca, #tex2html_wrap_inline33957# vektorsko polje klase #tex2html_wrap_inline33959# na nekoj okolini od
#tex2html_wrap_inline33961# i #tex2html_wrap_inline33963# vektorsko polje vanjskih jediničnih normala
na #math1769##tex2html_wrap_inline33965#
Specijalno, ako je
#math1770##tex2html_wrap_inline33967# onda je
#math1771#
#tex2html_wrap_indisplay33969# |
(2.50) |
Slično
#math1772#
#tex2html_wrap_indisplay33971# |
(2.51) |
Ove formule se zovu Gaussove formule.
Dakle, po teoremu o divergenciji, iz (#eq:napkomp#6545>) slijedi
#math1773#
#tex2html_wrap_indisplay33973#
To vrijedi za proizvoljni komad membrane #tex2html_wrap_inline33975# (područje u #tex2html_wrap_inline33977#), pa po
osnovnoj lemi zaključujemo da je
#math1774#
#tex2html_wrap_indisplay33979#
za svaki #math1775##tex2html_wrap_inline33981# pa je prema tome
#math1776#
#tex2html_wrap_indisplay33983#<#1#>konst.<#1#>
Osnovnim stanjem membrane smatrat ćemo ravnotežno stanje napete
membrane. Ako takvu membranu izvučemo iz položaja ravnoteže, ona se
počne gibati (oscilirati, titrati). Vektorska polja koja su nam pri
tom interesantna jesu
- <#34014#><#33984#><#33984#><#34014#>
- #math1777##tex2html_wrap_inline33989# - progib membrane u točki #tex2html_wrap_inline33991# u čas
#tex2html_wrap_inline33993# (polje pomaka),
- <#34015#><#33985#><#33985#><#34015#>
- #math1778##tex2html_wrap_inline33995# - ukupna količina gibanja membrane
po jedinici površine, u točki #tex2html_wrap_inline33997# u čas #tex2html_wrap_inline33999#
(površinska gustoća količine gibanja),
- <#34016#><#33986#><#33986#><#34016#>
- #math1779##tex2html_wrap_inline34001# - količina gibanja, koja se u
jedinici vremena prenese kroz jedinični luk izvana prema unutra
(smjer suprotan smjeru jediničnog vektora vanjske normale #tex2html_wrap_inline34003#) u
točki #tex2html_wrap_inline34005# u čas #tex2html_wrap_inline34007# (linijska gustoća kontaktne sile),
- <#34017#><#33987#><#33987#><#34017#>
- #math1780##tex2html_wrap_inline34009# - količina gibanja po jedinici površine,
koja se u jedinici vremena izvana prenese na membranu u točki
#tex2html_wrap_inline34011# u čas #tex2html_wrap_inline34013# (površinska gustoća vanjske sile).
Polje #math1781##tex2html_wrap_inline34019# je kinematičko polje, a ostala tri polja su
dinamička.