Navedene nedostatke donekle ispravlja metoda konačnih elemenata.
Područje #tex2html_wrap_inline39224# podijelimo jednostavnim likovima (trokutima
četverokutima i sl.) na dijelove, elemente. Vrhove elemenata
zovemo čvorovima. Podjela se vrši tako da niti jedan čvor
ne leži na stranici nekog drugog čvora. Numeriramo elemente i
čvorove. Čvorove treba pažljivo numerirati, da matrica sustava
koji ćemo konačno dobiti bude što uža, tj. da pojas oko glavne
dijagonale izvan kojeg su same nule bude što uži. Zatim odaberemo
koordinatne funkcije #math2920##tex2html_wrap_inline39226# tako da #tex2html_wrap_inline39228# u čvoru #tex2html_wrap_inline39230#
ima vrijednost #tex2html_wrap_inline39232# a u ostalim čvorovima vrijednost #tex2html_wrap_inline39234# Na
elementima, koji nemaju čvor #tex2html_wrap_inline39236# kao vrh, #tex2html_wrap_inline39238# ima vrijednost #tex2html_wrap_inline39240#
Na elementima, koji imaju čvor #tex2html_wrap_inline39242# kao svoj vrh, funkciju #tex2html_wrap_inline39244#
definiramo kao polinom prvog stupnja ili viših stupnjeva ako to
zahtijeva problem koji rješavamo. Objasnimo sada na jednom
jednostavnom primjeru metodu konačnih elemenata za problem ravnoteže
membrane.
Primjer 3.22
Neka na napetu kvadratnu membranu duljine stranice #tex2html_wrap_inline39247# učvršćene
na rubu u ravnini #tex2html_wrap_inline39249# djeluje vanjska sila u smjeru osi #tex2html_wrap_inline39251# po
iznosu jednaka #tex2html_wrap_inline39253# Treba naći ravnotežni položaj membrane.
Rješenje. Rubni problem za ovaj zadatak glasi, uz dodatnu pretpostavku da je
#tex2html_wrap_inline39255#
#tex2html_wrap_indisplay39256#
#tex2html_wrap_indisplay39257#
#tex2html_wrap_indisplay39258#
na #tex2html_wrap_indisplay39259#
;SPMnbsp;;SPMnbsp;;SPMnbsp;
#tex2html_wrap_indisplay39260#
#tex2html_wrap_indisplay39261#
na #tex2html_wrap_indisplay39262#
;SPMnbsp;;SPMnbsp;;SPMnbsp;
gdje je #tex2html_wrap_inline39264# kvadrat stranice #tex2html_wrap_inline39266# koji možemo uzeti u ravnini
#tex2html_wrap_inline39268# tako da su mu vrhovi točke #math2921##tex2html_wrap_inline39270# Podijelimo
na devet jednakih kvadrata i zatim svaki od tih kvadrata na dva
trokuta. Time je #tex2html_wrap_inline39272# podijeljen na 18 elemenata
(trokuta). Također imamo 16 čvorova, od toga 12 na rubu. To su
točke
#math2922#
#tex2html_wrap_indisplay39274#
#math2923#
#tex2html_wrap_indisplay39276#
#math2924##tex2html_wrap24766#
Na ovoj slici su brojevima označeni čvorovi, a brojevima u
kružnicama konačni elementi (u ovom slučaju trokuti).
Funkcional energije u ovom slučaju je
#math2925#
#tex2html_wrap_indisplay39279#
Za svaki čvor definiramo koordinatnu funkciju
#math2926#
#tex2html_wrap_indisplay39281#
tako da stavimo #tex2html_wrap_inline39283# u #tex2html_wrap_inline39285#-tom čvoru, a u ostalim čvorovima
#tex2html_wrap_inline39287# Na elementu #tex2html_wrap_inline39289# koji ima #tex2html_wrap_inline39291#-ti čvor kao vrh stavimo
#math2927#
#tex2html_wrap_indisplay39293#
Za #tex2html_wrap_inline39295# imamo #math2928##tex2html_wrap_inline39297# Nađimo na
pr. #tex2html_wrap_inline39299# Zbog svojstva koordinatnih funkcija imamo
#tex2html_wrap_indisplay39300#
#tex2html_wrap_indisplay39301#
;SPMnbsp;;SPMnbsp;;SPMnbsp;
#tex2html_wrap_indisplay39302#
#tex2html_wrap_indisplay39303#
;SPMnbsp;;SPMnbsp;;SPMnbsp;
#tex2html_wrap_indisplay39304#
#tex2html_wrap_indisplay39305#
;SPMnbsp;;SPMnbsp;;SPMnbsp;
Rješenje je #math2929##tex2html_wrap_inline39307# pa je
#math2930#
#tex2html_wrap_indisplay39309#
Na isti način možemo naći da je
#math2931#
#tex2html_wrap_indisplay39311#
a također i ostale koordinatne funkcije. Primijetimo da je zbog
geometrijskih razloga
#math2932#
#tex2html_wrap_indisplay39313#
#math2933#
#tex2html_wrap_indisplay39315#
Rješenje tražimo u obliku
#math2934#
#tex2html_wrap_indisplay39317#
U čvoru na rubu, na pr. prvom, #tex2html_wrap_inline39319# funkcija #tex2html_wrap_inline39321# se
poništava. Dakle
#math2935#
#tex2html_wrap_indisplay39323#
U prvom čvoru funkcija #tex2html_wrap_inline39325# prima vrijednost #tex2html_wrap_inline39327# a ostale funkcije
primaju vrijednost #tex2html_wrap_inline39329# Tako imamo
#math2936#
#tex2html_wrap_indisplay39331#
Za svaki čvor na rubu možemo na taj način dobiti da je, zbog uvjeta
na rubu, pripadni koeficijent jednak #tex2html_wrap_inline39333# Tako imamo
#math2937#
#tex2html_wrap_indisplay39335#
Preostaje dakle
#math2938#
#tex2html_wrap_indisplay39337#
Dakle zadatak je odrediti koeficijente #math2939##tex2html_wrap_inline39339# To
ćemo učiniti tako da u Bernoullijev princip (#eq:energ#10844>)
uvrstimo ovaj #tex2html_wrap_inline39341# i redom #tex2html_wrap_inline39343# gdje je #math2940##tex2html_wrap_inline39345# Tako imamo
#math2941#
#tex2html_wrap_indisplay39347#
#math2942#
#tex2html_wrap_indisplay39349#
Da bi se dobila jednadžba za čvor #tex2html_wrap_inline39351# treba izračunati
#math2943#
Integral po #tex2html_wrap_inline39356# je suma integrala po elementima. Zbog svojstava
koordinatnih funkcija, integral po mnogim elementima iščezava. Na
pr.
#math2944#
#tex2html_wrap_indisplay39358#
#math2945#
#tex2html_wrap_indisplay39360#
#math2946#
#tex2html_wrap_indisplay39362#
Tako je
#math2947#
#tex2html_wrap_indisplay39364#
i prema tome
#math2948#
#tex2html_wrap_indisplay39366#
Zatim
#math2949#
#tex2html_wrap_indisplay39368#
#math2950#
#tex2html_wrap_indisplay39370#
#math2951#
#tex2html_wrap_indisplay39372#
pa je
#math2952#
#tex2html_wrap_indisplay39374#
i prema tome
#math2953#
#tex2html_wrap_indisplay39376#
#math2954#
#tex2html_wrap_indisplay39378#
#math2955#
#tex2html_wrap_indisplay39380#
#math2956#
#tex2html_wrap_indisplay39382#
pa je
#math2957#
#tex2html_wrap_indisplay39384#
i prema tome
#math2958#
#tex2html_wrap_indisplay39386#
#math2959#
#tex2html_wrap_indisplay39388#
#math2960#
#tex2html_wrap_indisplay39390#
#math2961#
#tex2html_wrap_indisplay39392#
pa je
#math2962#
#tex2html_wrap_indisplay39394#
i prema tome
#math2963#
#tex2html_wrap_indisplay39396#
Osim toga je
#math2964#
#tex2html_wrap_indisplay39398#
Isti rezultat dobivamo i ako umjesto #tex2html_wrap_inline39400# stavimo #math2965##tex2html_wrap_inline39402# ili
#tex2html_wrap_inline39404# Tako je jednadžba za čvor #tex2html_wrap_inline39406#
#math2966#
#tex2html_wrap_indisplay39408#
Također je očito
#math2967#
#tex2html_wrap_indisplay39410#
#math2968#
#tex2html_wrap_indisplay39412#
pa jednadžba za čvor #tex2html_wrap_inline39414# glasi
#math2969#
#tex2html_wrap_indisplay39416#
#math2970#
#tex2html_wrap_indisplay39418#
pa jednadžbe za čvorove #tex2html_wrap_inline39420# glase
#math2971#
#tex2html_wrap_indisplay39422#
#math2972#
#tex2html_wrap_indisplay39424#
Rješenje sustava je
#math2973#
#tex2html_wrap_indisplay39426#
To su ujedno vrijednosti funkcije #tex2html_wrap_inline39428# u čvorovima #math2974##tex2html_wrap_inline39430#