Gauss-Seidelova metoda

Gauss-Seidelova metoda je poboljšanje Jacobijeve metode u sljedećem smislu. Pod pretpostavkom da je #math2347#

#tex2html_wrap_indisplay36628#

#tex2html_wrap_inline36630#-ta aproksimacija rješenja, #tex2html_wrap_inline36632#-vu nalazimo iz sustava
#math2348#
#tex2html_wrap_indisplay36635# #tex2html_wrap_indisplay36637# #tex2html_wrap_indisplay36639#  
#tex2html_wrap_indisplay36641# #tex2html_wrap_indisplay36643# #tex2html_wrap_indisplay36645#  
#tex2html_wrap_indisplay36647#      
#tex2html_wrap_indisplay36649# #tex2html_wrap_indisplay36651# #tex2html_wrap_indisplay36653#  

Dakle #math2349##tex2html_wrap_inline36655# koji smo izračunali iz prve jednadžbe pomoću komponenti #tex2html_wrap_inline36657#-te aproksimacije rješenja, koristimo odmah u drugoj, trećoj, ..., #tex2html_wrap_inline36659#-toj jednadžbi; #math2350##tex2html_wrap_inline36661# koristimo u trećoj, četvrtoj, ..., #tex2html_wrap_inline36663#-toj jednadžbi; itd. Taj sustav možemo zapisati u matričnom obliku #math2351#

#tex2html_wrap_indisplay36665#

odnosno #math2352#

#tex2html_wrap_indisplay36667#

Tako imamo formulu iterativnog postupka #math2353#

#tex2html_wrap_indisplay36669#

Nedostatak ove formule je u tome što treba naći inverz matrice #tex2html_wrap_inline36671# što je teže nego naći inverz od #tex2html_wrap_inline36673# Zato radimo malo drukčije. Pomnožimo ovu jednadžbu s #tex2html_wrap_inline36675# #math2354#

#tex2html_wrap_indisplay36677#

Odatle #math2355#

#tex2html_wrap_indisplay36679#

Tako dolazimo do sljedećeg algoritma.

Algoritam 6   <#11986#>(Gauss-Seidelova metoda)<#11986#> Izaberemo proizvoljnu početnu aproksimaciju #math2356#

#tex2html_wrap_indisplay36682#

i zatim računamo sljedeće aproksimacije #math2357##tex2html_wrap_inline36684# po formuli #math2358#

#tex2html_wrap_indisplay36686#

odnosno
#math2359#
#tex2html_wrap_indisplay36689# #tex2html_wrap_indisplay36691# #tex2html_wrap_indisplay36693#  
#tex2html_wrap_indisplay36695# #tex2html_wrap_indisplay36697# #tex2html_wrap_indisplay36699#  
#tex2html_wrap_indisplay36701#      
#tex2html_wrap_indisplay36703# #tex2html_wrap_indisplay36705# #tex2html_wrap_indisplay36707#  

gdje je #math2360##tex2html_wrap_inline36709#

Primjer 3.10   Riješiti sljedeći sustav jednadžbi
#math2361#
#tex2html_wrap_indisplay36713# #tex2html_wrap_indisplay36715# #tex2html_wrap_indisplay36717#  
#tex2html_wrap_indisplay36719# #tex2html_wrap_indisplay36721# #tex2html_wrap_indisplay36723#  
#tex2html_wrap_indisplay36725# #tex2html_wrap_indisplay36727# #tex2html_wrap_indisplay36729#  

Rješenje. Radi jednostavnosti ćemo radije vektorstupac rješenja pisati u obliku #math2362##tex2html_wrap_inline36731# Ako počnemo s #math2363##tex2html_wrap_inline36733# Jacobijeva metoda daje redom sljedeće aproksimacije. #math2364#

#tex2html_wrap_indisplay36735#

#math2365#

#tex2html_wrap_indisplay36737#

#math2366#

#tex2html_wrap_indisplay36739#

#math2367#

#tex2html_wrap_indisplay36741#

Gauss-Seidelova metoda daje #math2368#

#tex2html_wrap_indisplay36743#

#math2369#

#tex2html_wrap_indisplay36745#

Međutim, ako se promijeni poredak jednadžbi, tako da prva jednadžba dođe na treće mjesto, druga na prvo, a treća na drugo, tj. ako sustav napišemo u obliku
#math2370#
#tex2html_wrap_indisplay36748# #tex2html_wrap_indisplay36750# #tex2html_wrap_indisplay36752#  
#tex2html_wrap_indisplay36754# #tex2html_wrap_indisplay36756# #tex2html_wrap_indisplay36758#  
#tex2html_wrap_indisplay36760# #tex2html_wrap_indisplay36762# #tex2html_wrap_indisplay36764#  

onda Jacobijevom metodom dobivamo #math2371#

#tex2html_wrap_indisplay36766#

#math2372#

#tex2html_wrap_indisplay36768#

#math2373#

#tex2html_wrap_indisplay36770#

#math2374#

#tex2html_wrap_indisplay36772#

a Gauss-Seidelovom #math2375#

#tex2html_wrap_indisplay36774#

#math2376#

#tex2html_wrap_indisplay36776#

#math2377#

#tex2html_wrap_indisplay36778#

#math2378#

#tex2html_wrap_indisplay36780#

Inače, točno rješenje je #math2379#

#tex2html_wrap_indisplay36782#