Uvod

Primjer 1.26   Neka su dvije mase spojene oprugama za fiksnu točku kao na slici #fig:hosc#2725>.

<#30229#>Figure<#30229#> 1.27: <#30230#>Sustav od dva harmonijska oscilatora: a) ravnotežni položaj, b) u nekom trenutku #tex2html_wrap_inline30232#<#30230#>
#math819##tex2html_wrap24212#

Ako zanemarimo otpor sredstva i težinu, onda za male oscilacije (u okviru kojih vrijedi Hookeov zakon) imamo #math820#

#tex2html_wrap_indisplay30237#

#math821#

#tex2html_wrap_indisplay30239#

Brojevi #tex2html_wrap_inline30241# i #tex2html_wrap_inline30243# su pozitivni i oni karakteriziraju opruge. Oscilacije ovog sistema će biti potpuno zadane ako definiramo u čas #tex2html_wrap_inline30245# početne položaje i početne brzine: #math822#

#tex2html_wrap_indisplay30247#

Stavimo #math823##tex2html_wrap_inline30249#. Dobivamo sustav diferencijalnih jednadžbi
#math824#
#tex2html_wrap_indisplay30252# #tex2html_wrap_indisplay30254# #tex2html_wrap_indisplay30256#  
#tex2html_wrap_indisplay30258# #tex2html_wrap_indisplay30260# #tex2html_wrap_indisplay30262#  
#tex2html_wrap_indisplay30264# #tex2html_wrap_indisplay30266# #tex2html_wrap_indisplay30268#  
#tex2html_wrap_indisplay30270# #tex2html_wrap_indisplay30272# #tex2html_wrap_indisplay30274#  

uz početni uvjet #math825#

#tex2html_wrap_indisplay30276#

Osim što ovaj primjer pokazuje kako modeliranje konkretnog fizikalnog problema dovodi do sustava diferencijalnih jednadžbi, on pokazuje također kako se sustav u kojem se pojavljuju derivacije višeg reda može svesti na sustav u kojem dolaze samo prve derivacije. Cijena za to je povećanje broja jednadžbi, no to pokazuje da se možemo ograničiti na razmatranje sustava u kojima dolaze samo prve derivacije.

Primjer 1.27   Dajmo jedan općenitiji primjer. Neka je fizikalni sustav #tex2html_wrap_inline30279# u nekom vremenskom trenutku #tex2html_wrap_inline30281# u potpunosti zadan s #tex2html_wrap_inline30283# veličina, koje opisujemo kao funkcije vremena #math826##tex2html_wrap_inline30285# Pretpostavimo zatim da brzina promjene tih veličina ovisi samo o njima samima. To se matematički izražava ovako #math827#

#tex2html_wrap_indisplay30287#

Ponašanje sustava #tex2html_wrap_inline30289# ovisi još o stanju u kojem se nalazi u početnom trenutku. To zadajemo početnim uvjetom za svaku veličinu #math828#

#tex2html_wrap_indisplay30291#

Posebno interesantne su one vrijednosti #tex2html_wrap_inline30293# za koje je #math829#

#tex2html_wrap_indisplay30295#

Tada je #math830#

#tex2html_wrap_indisplay30297#

brzina promjene veličina #math831##tex2html_wrap_inline30299# jednaka je nuli, pa se sustav #tex2html_wrap_inline30301# nalazi u ravnoteži. Pitanje je da li je ta ravnoteža stabilna. To ispitujemo na taj način da sustav #tex2html_wrap_inline30303# pomaknemo malo iz položaja ravnoteže i ustanovimo što se događa. Stavimo #math832#

#tex2html_wrap_indisplay30305#

i uvrstimo u diferencijalne jednadžbe #math833#

#tex2html_wrap_indisplay30307#

Uz dodatni uvjet da funkcije #tex2html_wrap_inline30309# imaju neprekidne derivacije, možemo primijeniti teorem srednje vrijednosti #math834#

#tex2html_wrap_indisplay30311#

gdje je #tex2html_wrap_inline30313# stanje sustava između stanja #math835##tex2html_wrap_inline30315# i #math836##tex2html_wrap_inline30317# Budući da su pomaci iz ravnotežnog stanja maleni, možemo umjesto #tex2html_wrap_inline30319# staviti #math837##tex2html_wrap_inline30321# Tako imamo, uzimajući u obzir da je #math838##tex2html_wrap_inline30323# #math839#

#tex2html_wrap_indisplay30325#

gdje je #math840#

#tex2html_wrap_indisplay30327#