Rješavanje rubnih problema pomoću Greenove funkcije

Ako u točki #tex2html_wrap_inline32291# na žicu djeluje koncentrirana sila #tex2html_wrap_inline32293# umjesto jedinične sile, onda je rješenje (progib) #math1300#

#tex2html_wrap_indisplay32295#

Ako na žicu djeluje više koncentriranih sila #math1301##tex2html_wrap_inline32297# u točkama #math1302##tex2html_wrap_inline32299#
#math1303##tex2html_wrap24296#
onda je rješenje #math1304#

#tex2html_wrap_indisplay32302#

Konačno, ako vanjska sila nije koncentrirana, već je zadana kao linearna gustoća sile, tj. ako imamo na pr. rubni problem #math1305#

#tex2html_wrap_indisplay32304#

onda podijelimo segment #math1306##tex2html_wrap_inline32306# na #tex2html_wrap_inline32308# podsegmenata, uzmemo proizvoljne točke #tex2html_wrap_inline32310# u tim segmentima, i umjesto zadane sile uzmemo koncentriranu silu #math1307##tex2html_wrap_inline32312# u točki #tex2html_wrap_inline32314#
#math1308##tex2html_wrap24298#
Približno rješenje je #math1309#

#tex2html_wrap_indisplay32317#

Na desnoj strani imamo integralnu sumu za funkciju #math1310##tex2html_wrap_inline32319# u odnosu na varijablu #tex2html_wrap_inline32321# Kad podjelu sve više profinjujemo, integralna suma teži prema integralu, pa je rješenje

#math1311#
#tex2html_wrap_indisplay32323# (2.15)

Iz formule (#eq:opcerjgreen#4693>) se vidi da su u Greenovoj funkciji sadržane informacije o pripadnoj homogenoj diferencijalnoj jednadžbi i o danim rubnim uvjetima. Kako Greenova funkcija ima različite formule ovisno o tome da li se #tex2html_wrap_inline32325# nalazi ispred #tex2html_wrap_inline32327# ili iza, integral treba rastaviti na dva dijela, od 0 do #tex2html_wrap_inline32330# i od #tex2html_wrap_inline32332# do #tex2html_wrap_inline32334#
#math1312#
#tex2html_wrap_indisplay32337# #tex2html_wrap_indisplay32339# #tex2html_wrap_indisplay32341#  
  #tex2html_wrap_indisplay32343# #tex2html_wrap_indisplay32345#  

Integrira se po #tex2html_wrap_inline32347# pa #tex2html_wrap_inline32349# i #tex2html_wrap_inline32351# smijemo izlučiti. Tako imamo konačnu formulu

#math1313#
#tex2html_wrap_indisplay32353# (2.16)

Dakle, kad želimo riješiti neki rubni problem pomoću Greenove funkcije, dovoljno je naći dva linearno nezavisna rješenja #tex2html_wrap_inline32355# i #tex2html_wrap_inline32357# pripadne homogene jednadžbe, takva da #tex2html_wrap_inline32359# zadovoljava homogeni uvjet na lijevom rubu, a #tex2html_wrap_inline32361# na desnom rubu. Zatim treba izračunati determinantu #tex2html_wrap_inline32363# i uvrstiti u formulu (#eq:rjegreen#4709>).

Primjer 2.9   Riješiti, pomoću Greenove formule, rubni problem #math1314#

#tex2html_wrap_indisplay32366#

Rješenje. Najprije treba primijetiti da je #math1315#

#tex2html_wrap_indisplay32368#

Opće rješenje pripadne homogene jednadžbe je #math1316#

#tex2html_wrap_indisplay32370#

Najjednostavnija ovakva funkcija, koja zadovoljava uvjet #tex2html_wrap_inline32372# je #math1317#

#tex2html_wrap_indisplay32374#

ona koja zadovoljava uvjet #math1318##tex2html_wrap_inline32376# je #math1319#

#tex2html_wrap_indisplay32378#

Nadalje imamo #math1320#

#tex2html_wrap_indisplay32380#

Uvrstimo u (#eq:rjegreen#4718>) #math1321#

#tex2html_wrap_indisplay32382#

Ova funkcija očito zadovoljava rubne uvjete, a nakon uvrštavanja, lako provjerimo da zadovoljava i jednadžbu.
#math1322##tex2html_wrap24300#

Primijetimo također da za nalaženje funkcija #tex2html_wrap_inline32385# uopće nije bilo važno koliki je #tex2html_wrap_inline32387# Funkcija #tex2html_wrap_inline32389# se uvrsti tek na kraju u formulu. Prema tome, kad jednom nađemo #math1323##tex2html_wrap_inline32391# umetanjem u formulu raznih funkcija #tex2html_wrap_inline32393# rješavamo svaki mogući nehomogeni problem.