Rang matrice

Neka je #math529##tex2html_wrap_inline28964# Njezine stupce, i njezine retke možemo shvatiti kao vektore. #math530#

#tex2html_wrap_indisplay28966#

Među vektorima #math531##tex2html_wrap_inline28968# ima određeni broj linearno nezavisnih, i među vektorima #math532##tex2html_wrap_inline28970# također ima određeni broj linearno nezavisnih.

Teorem 4   Neka je #math533##tex2html_wrap_inline28973# proizvoljna matrica.
<#28978#>1.<#28978#>
Broj linearno nezavisnih stupaca matrice #tex2html_wrap_inline28975# se ne mijenja, ako je pomnožimo s lijeva s elementarnom matricom.
<#28979#>2.<#28979#>
Broj linearno nezavisnih redaka matrice #tex2html_wrap_inline28977# se ne mijenja, ako je pomnožimo s desna s elementarnom matricom.

<#12217#>Dokaz. 1. Neka je #tex2html_wrap_inline28981# broj linearno nezavisnih stupaca matrice #tex2html_wrap_inline28983# Radi jednostavnosti pretpostavimo da su to prvih #tex2html_wrap_inline28985# stupaca #math534#

#tex2html_wrap_indisplay28987#

Neka je #tex2html_wrap_inline28989# elementarna matrica. Tada je #math535#

#tex2html_wrap_indisplay28991#

Ispitajmo linearnu nezavisnost prvih #tex2html_wrap_inline28993# stupaca u tako dobivenoj matrici. #math536#

#tex2html_wrap_indisplay28995#

#math537#

#tex2html_wrap_indisplay28997#

Matrica #tex2html_wrap_inline28999# je regularna, postoji #tex2html_wrap_inline29001# pa je #math538#

#tex2html_wrap_indisplay29003#

#math539#

#tex2html_wrap_indisplay29005#

odakle, zbog linearne nezavisnosti vektora #math540##tex2html_wrap_inline29007# slijedi #math541##tex2html_wrap_inline29009# Prema tome prvih #tex2html_wrap_inline29011# stupaca matrice #tex2html_wrap_inline29013# je linearno nezavisno. Tako smo dokazali da se broj linearno nezavisnih stupaca matrice #tex2html_wrap_inline29015# ne smanjuje nakon množenja s elementarnom matricom s lijeva.
Taj broj se ne može niti uvećati, što pokazuje sljedeće razmatranje. Neka su stupci #math542##tex2html_wrap_inline29017# matrice #tex2html_wrap_inline29019# linearno zavisni. To znači da vrijedi
#math543#

#tex2html_wrap_indisplay29021#

za barem jedan #math544##tex2html_wrap_inline29023# Tada je #math545#

#tex2html_wrap_indisplay29025#

#math546#

#tex2html_wrap_indisplay29027#

i pri tom je barem jedan #math547##tex2html_wrap_inline29029# Prema tome i vektori #math548##tex2html_wrap_inline29031# su linearno zavisni.
2. Ako produkt #tex2html_wrap_inline29033# transponiramo, dobivamo #tex2html_wrap_inline29035# Kao u prvom dijelu dokaza imamo da se broj linearno nezavisnih stupaca u #tex2html_wrap_inline29037# nije promijenio. No, to znači da se broj linearno nezavisnih redaka u matrici #tex2html_wrap_inline29039# nije promijenio.
#math549##tex2html_wrap_inline29041#
<#12217#>

Teorem 5   (Teorem o rangu). Broj linearno nezavisnih redaka proizvoljne matrice #tex2html_wrap_inline29044# tipa #tex2html_wrap_inline29046# jednak je broju njezinih linearno nezavisnih stupaca. Taj broj se zove rang matrice #tex2html_wrap_inline29048#, i označava se sa #tex2html_wrap_inline29050#
<#12218#>Dokaz. Množeći matricu #tex2html_wrap_inline29052# dovoljan (konačan) broj puta s lijeva i s desna s odgovarajućim elementernim matricama, matrica #tex2html_wrap_inline29054# se može svesti na oblik #math550#

#tex2html_wrap_indisplay29056#

gdje je #tex2html_wrap_inline29058# jedinica na dijagonali. Stupci (reci) u kojima se pojavljuju jedinice su linearno nezavisni. Dokaz je isti kao dokaz linearne nezavisnosti kanonske baze (primjer #pr:kanbaza#1688>). Ako tim stupcima (recima) dodamo stupac (redak) sastavljen od samih nula, stupci (reci) će postati linearno zavisni, jer množeći taj stupac (redak) s #tex2html_wrap_inline29060# a druge s nulom, dobivamo nulstupac (nulredak). Tako imamo #tex2html_wrap_inline29062# linearno nezavisnih stupaca i također #tex2html_wrap_inline29064# linearno nezavisnih redaka. Time smo dokazali teorem o rangu. #math551##tex2html_wrap_inline29066#<#12218#>

Dokazom ovog teorema smo ujedno dobili metodu za ispitivanje ranga matrice. Treba elementarnim operacijama svesti matricu na oblik kao u dokazu teorema, i zatim očitati broj jedinica na dijagonali.

Primjer 1.14   Treba naći rang matrice #math552#

#tex2html_wrap_indisplay29069#

Rješenje. #math553#

#tex2html_wrap_indisplay29071#

#math554#

#tex2html_wrap_indisplay29073#

pa je prema tome #tex2html_wrap_inline29075#

Primjer 1.15   Odrediti rang slijedeće matrice u ovisnosti o #tex2html_wrap_inline29078# #math555#

#tex2html_wrap_indisplay29080#

Rješenje. Najprije zamjenom redaka i stupaca imamo #math556#

#tex2html_wrap_indisplay29082#

Sada množenjem prvog retka redom s #tex2html_wrap_inline29084# i #tex2html_wrap_inline29086# i dodavanjem trećem i četvrtom retku dobivamo #math557#

#tex2html_wrap_indisplay29088#

Množenjem prvog stupca s odgovarajućim brojevima i dodavanjem ostalim stupcima možemo u prvom retku dobiti same nule. Budući da su u ostalim recima prvog stupca nule, to neće imati nikakvog utjecaja na elemente u ostalim recima. Zato smijemo jednostavno u prvom retku upisati nule. Zatim pomnožimo četvrti redak redom s #tex2html_wrap_inline29090# i s #tex2html_wrap_inline29092# i dodamo drugom i trećem retku. Nakon toga četvrti redak preselimo na mjesto drugog. #math558#

#tex2html_wrap_indisplay29094#

Sada s drugim stupcem možemo anulirati elemente u drugom retku, a da se ništa drugo ne promijeni. Tako imamo konačno #math559#

#tex2html_wrap_indisplay29096#

Korijeni polinoma #math560##tex2html_wrap_inline29098# su #tex2html_wrap_inline29100# Prema tome, ako je #math561##tex2html_wrap_inline29102# rang je #tex2html_wrap_inline29104# ako je #math562##tex2html_wrap_inline29106# rang je #tex2html_wrap_inline29108# ako je #math563##tex2html_wrap_inline29110# rang je #tex2html_wrap_inline29112#