Ocjena greške

Radi jednostavnosti pretpostavimo da je #math2538#

#tex2html_wrap_indisplay37281#

Teorem 28   Neka funkcija #tex2html_wrap_inline37284# osim uvjeta iz teorema #tm:lagrinterpol#9303> zadovoljava još uvjet da ima #tex2html_wrap_inline37286#-vu neprekidnu derivaciju. Neka je #math2539##tex2html_wrap_inline37288# proizvoljan, i neka je #tex2html_wrap_inline37290# najmanji segment koji sadrži točke #math2540##tex2html_wrap_inline37292# Tada postoji #math2541##tex2html_wrap_inline37294# takav da je

#math2542#
#tex2html_wrap_indisplay37296# (3.14)


<#12286#>Dokaz. Ako je #tex2html_wrap_inline37298# za neki #tex2html_wrap_inline37300# onda nemamo što dokazivati, jer su tada obje strane u (#eq:grlagr#9310>) jednake nuli. Zato pretpostavimo da je #math2543##tex2html_wrap_inline37302# i #math2544##tex2html_wrap_inline37304# za svaki #tex2html_wrap_inline37306# Stavimo, radi kraćeg zapisa #math2545#

#tex2html_wrap_indisplay37308#

Formirajmo pomoćnu funkciju

#math2546#
#tex2html_wrap_indisplay37310# (3.15)

gdje je #math2547#

#tex2html_wrap_indisplay37312#

Imamo #math2548#

#tex2html_wrap_indisplay37314#

Također je #math2549#

#tex2html_wrap_indisplay37316#

Tako funkcija #tex2html_wrap_inline37318# ima #tex2html_wrap_inline37320# međusobno različite nultočke u #tex2html_wrap_inline37322# Prema Rolleovom teoremu njezina derivacija #tex2html_wrap_inline37324# ima barem #tex2html_wrap_inline37326# nultočku u #tex2html_wrap_inline37328# druga derivacija #tex2html_wrap_inline37330# mora imati barem #tex2html_wrap_inline37332# nultočaka u #tex2html_wrap_inline37334# #tex2html_wrap_inline37336# #tex2html_wrap_inline37338#-va derivacija #tex2html_wrap_inline37340# ima barem jednu nultočku u #tex2html_wrap_inline37342# Neka je #tex2html_wrap_inline37344# jedna od tih točaka, u kojima se #tex2html_wrap_inline37346# poništava. Derivirajmo (#eq:pomocna#9325>) (po #tex2html_wrap_inline37348# jer je #tex2html_wrap_inline37350# varijabla, dok #tex2html_wrap_inline37352# smatramo fiksnim) #tex2html_wrap_inline37354# puta i uvrstimo #tex2html_wrap_inline37356# Budući da je polinom #tex2html_wrap_inline37358# stupnja najviše #tex2html_wrap_inline37360# slijedi #math2550##tex2html_wrap_inline37362# Zatim, #tex2html_wrap_inline37364# je polinom #tex2html_wrap_inline37366#-vog stupnja, koeficijent uz #tex2html_wrap_inline37368# je #tex2html_wrap_inline37370# pa je #math2551##tex2html_wrap_inline37372# Tako imamo #math2552#

#tex2html_wrap_indisplay37374#

odnosno #math2553#

#tex2html_wrap_indisplay37376#

Odatle #math2554#

#tex2html_wrap_indisplay37378#

#math2555##tex2html_wrap_inline37380#<#12286#>

Iz ovog teorema proizlazi sljedeća ocjena greške. Neka je #math2556#

#tex2html_wrap_indisplay37382#

Tada za svaki #math2557##tex2html_wrap_inline37384# vrijedi

#math2558#
#tex2html_wrap_indisplay37386# (3.16)

Primjer 3.14   Naći Lagrangeov interpolacioni polinom za funkciju #math2559##tex2html_wrap_inline37389# uzimajući da je #math2560#

#tex2html_wrap_indisplay37391#

zatim pomoću njega naći približnu vrijednost #tex2html_wrap_inline37393# i ocijeniti grešku. Rješenje. Po formuli (#eq:lagrpoli#9353>) imamo
#math2561#
#tex2html_wrap_indisplay37396# #tex2html_wrap_indisplay37398# #tex2html_wrap_indisplay37400#  
  #tex2html_wrap_indisplay37402# #tex2html_wrap_indisplay37404#  

Odatle #math2562#

#tex2html_wrap_indisplay37406#

Ocijenimo sada grešku. #math2563#

#tex2html_wrap_indisplay37408#

Dakle, prema formuli (#eq:grlagrint#9369>), greška koju pri tom činimo nije veća od #math2564#

#tex2html_wrap_indisplay37410#