Egzistencija rješenja

Rješenje rubnog problema treba biti funkcija iz #math1643##tex2html_wrap_inline33487# S druge strane za funkciju koja minimizira funkcional energije dovoljno je da bude iz #math1644##tex2html_wrap_inline33489# Sljedeći primjer pokazuje da rubni problem ne mora imati rješenja, dok za pripadni funkcional energije postoji funkcija koja ga minimizira. Radi jednostavnosti promatrat ćemo rubni problem u kojem je #tex2html_wrap_inline33491# konstanta, i #tex2html_wrap_inline33493#

Primjer 2.19   Neka je gustoća vanjske sile dana formulom #math1645#

#tex2html_wrap_indisplay33496#

Rubni problem

#math1646#
#tex2html_wrap_indisplay33498# (2.37)

nema rješenja. Problem minimizacije pripadnog funkcionala #math1647#

#tex2html_wrap_indisplay33500#

uz rubne uvjete #math1648##tex2html_wrap_inline33502# ima rješenje, tj. postoji funkcija #tex2html_wrap_inline33504# takva da je #math1649##tex2html_wrap_inline33506# i da je #math1650##tex2html_wrap_inline33508# za svaku isto takvu funkciju #tex2html_wrap_inline33510# Rješenje. Rubni problem ne može imati rješenje, jer ako funkcija #math1651##tex2html_wrap_inline33512# rješava rubni problem, onda je #math1652#

#tex2html_wrap_indisplay33514#

neprekidna funkcija na #tex2html_wrap_inline33516# što nije istina. Da bismo našli funkciju koja minimizira funkcional, integrirajmo jednadžbu u (#eq:simplerpr#5963>) po području od #tex2html_wrap_inline33518# do #tex2html_wrap_inline33520# #math1653#

#tex2html_wrap_indisplay33522#

#math1654#

#tex2html_wrap_indisplay33524#

Zbog uvjeta #math1655##tex2html_wrap_inline33526# na rubu, prvi član iščezava, pa je

#math1656#
#tex2html_wrap_indisplay33528# (2.38)

gdje je #math1657#

#tex2html_wrap_indisplay33530#

#math1658##tex2html_wrap24350#
Nakon što integriramo (#eq:funku#6010>) od 0 do #tex2html_wrap_inline33534# i uzmemo u obzir uvjet #tex2html_wrap_inline33536# dobivamo #math1659#

#tex2html_wrap_indisplay33538#

#math1660#

#tex2html_wrap_indisplay33540#

Funkcija #tex2html_wrap_inline33542# je neprekidna, pa je tako #math1661##tex2html_wrap_inline33544#
#math1662##tex2html_wrap24352#
Pokažimo sada da ova funkcija minimizira pripadni funkcional energije. Stavimo #math1663##tex2html_wrap_inline33547# gdje je #tex2html_wrap_inline33549# proizvoljna dopustiva funkcija. <#12263#>#math1664#

#tex2html_wrap_indisplay33551#

#math1665#

#tex2html_wrap_indisplay33553#

#math1666#

#tex2html_wrap_indisplay33555#

#math1667#

#tex2html_wrap_indisplay33557#

#math1668#

#tex2html_wrap_indisplay33559#

#math1669#

#tex2html_wrap_indisplay33561#

<#12263#> Jedino drugi član ovisi o #tex2html_wrap_inline33563# i on je nenegativan. Najmanju vrijednost poprima onda kada je #tex2html_wrap_inline33565# No tada je #math1670##tex2html_wrap_inline33567#<#1#>const.<#1#>#tex2html_wrap_inline33568# pa zbog #tex2html_wrap_inline33570# je #tex2html_wrap_inline33572# Pri tom minimum iznosi #math1671##tex2html_wrap_inline33574# Prema tome funkcija #tex2html_wrap_inline33576# doista minimizira funkcional #tex2html_wrap_inline33578# S druge strane #tex2html_wrap_inline33580# nema tangentu u #math1672##tex2html_wrap_inline33582# pa ne postoji #tex2html_wrap_inline33584# na #tex2html_wrap_inline33586# Tako #tex2html_wrap_inline33588# ne može biti rješenje rubnog problema (#eq:simplerpr#6152>).

Primjer 2.20   Naći skalarnu funkciju #tex2html_wrap_inline33591# na segmentu #tex2html_wrap_inline33593# koja minimizira funkcional

#math1673#
#tex2html_wrap_indisplay33595# (2.39)

uz početni uvjet #tex2html_wrap_inline33597# i izračunati minimum funkcionala #tex2html_wrap_inline33599# Rješenje. Stavimo #math1674#

#tex2html_wrap_indisplay33601#

gdje je #tex2html_wrap_inline33603# proizvoljna dopustiva funkcija (neprekidno derivabilna i #tex2html_wrap_inline33605#), a #tex2html_wrap_inline33607# proizvoljan broj.
#math1675#
#tex2html_wrap_indisplay33610# #tex2html_wrap_indisplay33612# #tex2html_wrap_indisplay33614#  
  #tex2html_wrap_indisplay33616# #tex2html_wrap_indisplay33618#  
  #tex2html_wrap_indisplay33620# #tex2html_wrap_indisplay33622#  

Da bi #tex2html_wrap_inline33624# minimizirala dani funkcional, mora #math1676##tex2html_wrap_inline33626# imati minimalnu vrijednost za #math1677##tex2html_wrap_inline33628# No, #math1678##tex2html_wrap_inline33630# je polinom drugog stupnja u #tex2html_wrap_inline33632# njegov graf je parabola, pa se minimalna vrijednost dostiže u tjemenu. Apscisa tjemena je #math1679#

#tex2html_wrap_indisplay33634#

Kako se minimum ostvaruje za #math1680##tex2html_wrap_inline33636# nužno mora biti #tex2html_wrap_inline33638# U ovom slučaju je #math1681#

#tex2html_wrap_indisplay33640#

Slijedi #math1682#

#tex2html_wrap_indisplay33642#

Drugi integral parcijalno integriramo #math1683#

#tex2html_wrap_indisplay33644#

pa imamo, zbog #tex2html_wrap_inline33646#

#math1684#
#tex2html_wrap_indisplay33648# (2.40)

Ova jednakost vrijedi za svaku dopustivu funkciju, pa i za svaku takvu za koju je #tex2html_wrap_inline33650# Zaključujemo da je #math1685#

#tex2html_wrap_indisplay33652#

za svaku takvu funkciju #tex2html_wrap_inline33654# Odatle slijedi #math1686#

#tex2html_wrap_indisplay33656#

Prema tome integral u (#eq:prvarrac#6176>) iščezava, pa je #math1687#

#tex2html_wrap_indisplay33658#

za svaku dopustivu funkciju, pa i za takve za koje je #math1688##tex2html_wrap_inline33660# Slijedi #math1689#

#tex2html_wrap_indisplay33662#

Dakle, problem minimizacije funkcionala (#eq:fcnl#6177>) vodi na rješavanje rubnog problema #math1690#

#displaymath33664#

Rješenje je #math1691#

#tex2html_wrap_indisplay33666#

Minimalna vrijednost funkcionala, uz zadani poz1etni uvjet #tex2html_wrap_inline33668# je #math1692#

#tex2html_wrap_indisplay33670#