Metoda separacije varijabli za nestacionarne probleme

Nestacionarni problemi su opisani valnom jednadžbom #math1975#

#tex2html_wrap_indisplay34701#

ili jednadžbom provođenja #math1976#

#tex2html_wrap_indisplay34703#

na nekom području #tex2html_wrap_inline34705# Ovdje smo radi jednostavnosti uzeli da su gustoća mase #tex2html_wrap_inline34707# i specifična toplina #tex2html_wrap_inline34709# konstante. Također smo pretpostavili da nema vanjskog utjecaja, tj. da je #tex2html_wrap_inline34711# Pretpostavimo da je rubni uvjet Dirichletov #math1977#

#tex2html_wrap_indisplay34713#

Početni uvjeti za valnu jednadžbu neka su #math1978#

#tex2html_wrap_indisplay34715#

za #math1979##tex2html_wrap_inline34717# Ovdje #math1980##tex2html_wrap_inline34719# označava područje #tex2html_wrap_inline34721# zajedno s rubom #math1981##tex2html_wrap_inline34723# Osnovna pretpostavka je da se rješenje može predstaviti u obliku produkta #math1982#

#tex2html_wrap_indisplay34725#

Uvrstimo u jednadžbu, na pr. valnu #math1983#

#tex2html_wrap_indisplay34727#

i podijelimo s #math1984##tex2html_wrap_inline34729# #math1985#

#tex2html_wrap_indisplay34731#

Budući da smo separirali varijable, i da su one nezavisne, #tex2html_wrap_inline34733# je konstanta. #math1986#

#tex2html_wrap_indisplay34735#

Pomnožimo ovu jednadžbu s #tex2html_wrap_inline34737# i integriramo po #tex2html_wrap_inline34739# #math1987#

#tex2html_wrap_indisplay34741#

Imamo (#eq:g1#7301>) <#12276#>#math1988#

#tex2html_wrap_indisplay34743#

<#12276#> jer se #tex2html_wrap_inline34745# poništava na #math1989##tex2html_wrap_inline34747# Tako je #math1990#

#tex2html_wrap_indisplay34749#

Dakle možemo staviti #math1991##tex2html_wrap_inline34751# Tako se početna jednadžba raspada na dvije jednadžbe #math1992#

#tex2html_wrap_indisplay34753#

#math1993#

#tex2html_wrap_indisplay34755#

Rubni uvjet je sada #math1994#

#tex2html_wrap_indisplay34757#;SPMnbsp; ;SPMnbsp;<#1#> za <#1#>#tex2html_wrap_indisplay34758#

Kako to vrijedi za svaki #tex2html_wrap_inline34760# mora biti #tex2html_wrap_inline34762# na #math1995##tex2html_wrap_inline34764# Tako imamo rubni problem #math1996#

#displaymath34766#

Oni #math1997##tex2html_wrap_inline34768# za koje postoji netrivijalno rješenje ovog problema zovu se vlastite vrijednosti, a pripadne funkcije vlastite funkcije ovog rubnog problema. Neka su #tex2html_wrap_inline34770# i #tex2html_wrap_inline34772# dvije međusobno različite vlastite vrijednosti, i #tex2html_wrap_inline34774# odnosno #tex2html_wrap_inline34776# pripadne vlastite funkcije. Tada <#11897#>#math1998#

#tex2html_wrap_indisplay34778#

<#11897#> S druge strane, prema drugoj Greenovoj formuli, koja se izvodi iz (#eq:g1#7343>), #math1999#

#tex2html_wrap_indisplay34780#

jer je #math2000##tex2html_wrap_inline34782# za #math2001##tex2html_wrap_inline34784# Tako je #math2002#

#tex2html_wrap_indisplay34786#

Budući da je #math2003##tex2html_wrap_inline34788# slijedi #math2004#

#tex2html_wrap_indisplay34790#

Zbog ovog svojstva kažemo da su vlastite funkcije, koje pripadaju različitim vlastitim vrijednostima, međusobno okomite. Opravdanje leži u činjenici da produkt #math2005#

#tex2html_wrap_indisplay34792#

koji paru funkcija pridružuje broj (skalar), ima sva svojstva skalarnog produkta. Pretpostavimo sada da su #math2006##tex2html_wrap_inline34794# vlastite vrijednosti, a #math2007##tex2html_wrap_inline34796# vlastite funkcije rubnog problema. Tada vremenska jednadžba glasi #math2008#

#tex2html_wrap_indisplay34798#

Rješenja su #math2009#

#tex2html_wrap_indisplay34800#

Rješenje cijelog rubno-početnog problema tražimo u obliku #math2010#

#tex2html_wrap_indisplay34802#

Neodređene konstante #math2011##tex2html_wrap_inline34804# računamo iz početnih uvjeta, pomoću Fourierovih redova. Kod jednadžbe provođenja jedina je razlika u vremenskoj jednadžbi. Ona u tom slučaju glasi #math2012#

#tex2html_wrap_indisplay34806#

pa je #math2013#

#tex2html_wrap_indisplay34808#

Rješenje cijelog problema se tada traži u obliku #math2014#

#tex2html_wrap_indisplay34810#

a neodređene konstante #tex2html_wrap_inline34812# se određuju iz početnog uvjeta pomoću Fourierovog reda.