Sustav običnih linearnih diferencijalnih jednadžbi 1. reda

Definicija 15   Sustav diferencijalnih jednadžbi oblika
#math841#
#tex2html_wrap_indisplay30332# #tex2html_wrap_indisplay30334# #tex2html_wrap_indisplay30336#  
#tex2html_wrap_indisplay30338# #tex2html_wrap_indisplay30340# #tex2html_wrap_indisplay30342#  
#tex2html_wrap_indisplay30344#   #tex2html_wrap_indisplay30346#  
#tex2html_wrap_indisplay30348# #tex2html_wrap_indisplay30350# #tex2html_wrap_indisplay30352#  

gdje su #math842##tex2html_wrap_inline30354#, za #math843##tex2html_wrap_inline30356#, neprekidne funkcije na nekom intervalu #tex2html_wrap_inline30358# u #tex2html_wrap_inline30360# zovemo sustavom običnih linearnih diferencijalnih jednadžbi 1. reda.

Riješiti ovaj sustav znači naći funkcije #math844##tex2html_wrap_inline30362# neprekidno derivabilne na intervalu #tex2html_wrap_inline30364# takve da zadovoljavaju svaku od jednadžbi u sustavu. Uređena #tex2html_wrap_inline30366#-torka funkcija #math845##tex2html_wrap_inline30368# se zove rješenje. Cauchyev problem ili problem početnog uvjeta jeste problem da se za dani #tex2html_wrap_inline30370# i proizvoljne brojeve #math846##tex2html_wrap_inline30372# nađe rješenje sustava tako da vrijedi #math847#

#tex2html_wrap_indisplay30374#

Ako stavimo #math848#

#displaymath30376#

#math849#

#displaymath30378#

onda se sustav može zapisati kao

#math850#
#tex2html_wrap_indisplay30380# (1.7)

Također Cauchyev problem možemo pisati u obliku

#math851#
#tex2html_wrap_indisplay30382# (1.8)

Teorem 11   Neka su #math852##tex2html_wrap_inline30385# neprekidne funkcije na #tex2html_wrap_inline30387# za #math853##tex2html_wrap_inline30389#. Neka je #tex2html_wrap_inline30391# i #math854##tex2html_wrap_inline30393#. Tada Cauchyev problem #math855#

#tex2html_wrap_indisplay30395#

ima jedno i samo jedno rješenje.
<#11461#>Dokaz. #math856##tex2html_wrap_inline30397#<#11461#>