Lagrangeov interpolacijski polinom

Neka je dana funkcija #math2515##tex2html_wrap_inline37189# i međusobno različite točke #math2516##tex2html_wrap_inline37191# u #tex2html_wrap_inline37193# Želimo aproksimirati funkciju #tex2html_wrap_inline37195# polinomom koji u izabranim točkama ima iste vrijednosti kao funkcija #tex2html_wrap_inline37197# Ovako postavljen problem ima mnogo rješenja. Međutim, ako zahtijevamo da stupanj polinoma bude najviše #tex2html_wrap_inline37199# onda imamo samo jedno rješenje, što upravo tvrdi sljedeći teorem.

Teorem 27   Neka je dana #tex2html_wrap_inline37202# vrijednost #math2517#

#tex2html_wrap_indisplay37204#

funkcije #math2518##tex2html_wrap_inline37206# Tada postoji jedan i samo jedan polinom #tex2html_wrap_inline37208# stupnja najviše #tex2html_wrap_inline37210# takav da je #math2519#

#tex2html_wrap_indisplay37212#


<#12285#>Dokaz. Neka su polinomi #math2520##tex2html_wrap_inline37214# stupnja najviše #tex2html_wrap_inline37216# takvi da je #math2521#

#tex2html_wrap_indisplay37218#

gdje je #math2522##tex2html_wrap_inline37220# Kroneckerov simbol #kronecker#9257>. Tada je #math2523#

#tex2html_wrap_indisplay37222#

traženi polinom. Doista, #math2524#

#tex2html_wrap_indisplay37224#

Konstruirajmo sada polinome #tex2html_wrap_inline37226# Polinom #tex2html_wrap_inline37228# ima nultočke #math2525##tex2html_wrap_inline37230# Polinom minimalnog stupnja s tim svojstvom ima oblik #math2526#

#tex2html_wrap_indisplay37232#

Broj #tex2html_wrap_inline37234# je neodređen. Njega određujemo iz uvjeta #math2527##tex2html_wrap_inline37236# tj. #math2528#

#tex2html_wrap_indisplay37238#

Tako je #math2529#

#tex2html_wrap_indisplay37240#

pa je #math2530#

#tex2html_wrap_indisplay37242#

Dakle #math2531#

#tex2html_wrap_indisplay37244#

Jedinstvenost ovog polinoma slijedi ovako. Pretpostavimo da je #tex2html_wrap_inline37246# također polinom stupnja najviše #tex2html_wrap_inline37248# takav da je #math2532##tex2html_wrap_inline37250# Tada je #tex2html_wrap_inline37252# polinom stupnja najviše #tex2html_wrap_inline37254# i ima #tex2html_wrap_inline37256# nultočku. Jedna od posljedica Osnovnog teorema algebre tvrdi da je tada #tex2html_wrap_inline37258# tj. #tex2html_wrap_inline37260# za svaki #tex2html_wrap_inline37262# Dakle #math2533##tex2html_wrap_inline37264# za svaki #tex2html_wrap_inline37266# tj. #tex2html_wrap_inline37268# #math2534##tex2html_wrap_inline37270#<#12285#>

Polinom

#math2535#
#tex2html_wrap_indisplay37272# (3.13)

se zove Lagrangeov interpolacijski polinom funkcije #tex2html_wrap_inline37274# za točke #math2536##tex2html_wrap_inline37276# #math2537##tex2html_wrap_inline37278#