Simpsonova formula

U slučaju #tex2html_wrap_inline37679# iz formule (#eq:ponderi#9600>) imamo #math2627##tex2html_wrap_inline37681# pa su ponderi #math2628#

#tex2html_wrap_indisplay37683#

#math2629#

#tex2html_wrap_indisplay37685#

Prema tome formula glasi #math2630#

#tex2html_wrap_indisplay37687#

uz ocjenu greške #math2631#

#tex2html_wrap_indisplay37689#

gdje je #math2632#

#tex2html_wrap_indisplay37691#

#math2633##tex2html_wrap24662#
Kao i kod trapezne formule, točniji rezultat ćemo dobiti, ako segment #tex2html_wrap_inline37694# podijelimo na podsegmente, i na svakom od njih posebno koristimo ovu formulu. Radi jednostavnosti uzimamo ekvidistantnu podjelu. Budući da na svakom podsegmentu uzimamo još srednju točku, podsegmenata imamo zapravo #tex2html_wrap_inline37696# Neka je dakle #math2634#

#tex2html_wrap_indisplay37698#;SPMnbsp; ;SPMnbsp;<#1#>i <#1#>#tex2html_wrap_indisplay37699#

Sada primjenjujemo približnu formulu na parovima susjednih podsegmenata i to tako da srednja točka bude točka s neparnim indeksom. Tako dobivamo formulu #math2635#

#tex2html_wrap_indisplay37701#

#math2636#

#tex2html_wrap_indisplay37703#

#math2637#

#tex2html_wrap_indisplay37705#

odnosno #math2638#

#tex2html_wrap_indisplay37707#

#math2639#

#tex2html_wrap_indisplay37709#

koja se zove Simpsonova formula.
#math2640##tex2html_wrap24664#
Diskusija kao kod trapezne formule nas dovodi do ocjene greške #math2641#

#tex2html_wrap_indisplay37712#

Primjer 3.16   Pomoću numeričke integracije izračunati približno broj #tex2html_wrap_inline37715# na pet decimala točno. Rješenje. Najprije sjetimo se da je #math2642##tex2html_wrap_inline37717#<#1#> i <#1#>#tex2html_wrap_inline37718# Odatle #math2643#

#tex2html_wrap_indisplay37720#

Dakle #math2644#

#tex2html_wrap_indisplay37722#

pa treba izračunati ovaj integral na pet decimala točno. Račun ćemo provesti na dva načina, pomoću trapezne i pomoću Simpsonove formule. 1. Podintegralna funkcija je #math2645#

#tex2html_wrap_indisplay37724#

njezina druga derivacija je #math2646#

#tex2html_wrap_indisplay37726#

a treća #math2647#

#tex2html_wrap_indisplay37728#

Kako treća derivacija nema nula u intervalu #math2648##tex2html_wrap_inline37730# druga derivacija je na tom intervalu monotona. Računanjem vrijednosti na rubovima lako se vidi da ona raste i to od #tex2html_wrap_inline37732# do #tex2html_wrap_inline37734# To znači da je #tex2html_wrap_inline37736# Dakle imamo ocjenu greške za trapeznu formulu #math2649#

#tex2html_wrap_indisplay37738#

Budući da tražimo točnost prvih pet decimala, mora biti #math2650#

#tex2html_wrap_indisplay37740#

tj. #math2651#

#tex2html_wrap_indisplay37742#

Prema tome treba segment #tex2html_wrap_inline37744# podijeliti na #tex2html_wrap_inline37746# podsegmenata. 2. Pomoću Simpsonove formule račun ide ovako. Četvrta derivacija je #math2652#

#tex2html_wrap_indisplay37748#

a peta #math2653#

#tex2html_wrap_indisplay37750#

Peta derivacija se poništava u #math2654##tex2html_wrap_inline37752# ali je #tex2html_wrap_inline37754# u toj točki pozitivna, pa #tex2html_wrap_inline37756# ima u #tex2html_wrap_inline37758# minimum. Tako četvrta derivacija pada na intervalu od 0 do #tex2html_wrap_inline37761# i zatim raste na intervalu od #tex2html_wrap_inline37763# do #tex2html_wrap_inline37765# Imamo #math2655#

#tex2html_wrap_indisplay37767#

Dakle #tex2html_wrap_inline37769# i prema tome treba biti #math2656#

#tex2html_wrap_indisplay37771#

odakle #math2657##tex2html_wrap_inline37773# Budući da je broj segmenata potreban za Simpsonovu formulu paran, minimalni #tex2html_wrap_inline37775# koji treba uzeti je #tex2html_wrap_inline37777# Kad se provede potreban račun dobije se #math2658#

#tex2html_wrap_indisplay37779#