Prisilne oscilacije

Ako je zadana vanjska sila po jedinici duljine #tex2html_wrap_inline33014# onda treba riješiti sljedeći rubni problem

#math1529#
#displaymath33016# (2.28)

gdje je #math1530##tex2html_wrap_inline33018# Uzimajući u obzir rezultate prethodne točke, #sec:osc#5546>, rješenje (#eq:val:rubpocpris#5547>) možemo pretpostaviti u obliku #math1531#

#tex2html_wrap_indisplay33020#

Ovom formom rješenja pretpostavljamo da se rješenje može razviti u red po vlastitim funkcijama rubnog problema. Neodređene funkcije #tex2html_wrap_inline33022# određujemo pomoću jednadžbe i početnih uvjeta. Kad uvrstimo #tex2html_wrap_inline33024# u jednadžbu, dobivamo #math1532#

#tex2html_wrap_indisplay33026#

odnosno #math1533#

#tex2html_wrap_indisplay33028#

Za svaki #tex2html_wrap_inline33030# ovo je Fourierov red po sinusima za funkciju #tex2html_wrap_inline33032# shvaćenu kao funkciju od #tex2html_wrap_inline33034# Neka je #math1534#

#tex2html_wrap_indisplay33036#

gdje je #math1535#

#tex2html_wrap_indisplay33038#

Slijedi #math1536#

#tex2html_wrap_indisplay33040#

Nadalje #math1537#

#tex2html_wrap_indisplay33042#

pa je #math1538#

#tex2html_wrap_indisplay33044#

Analogno #math1539#

#tex2html_wrap_indisplay33046#

pa je #math1540#

#tex2html_wrap_indisplay33048#

Tako imamo familiju diferencijalnih jednadžbi s početnim uvjetima #math1541#

#tex2html_wrap_indisplay33050#

i svaka daje jedno rješenje #tex2html_wrap_inline33052# što zatim uvrstimo u formulu za #tex2html_wrap_inline33054#

Primjer 2.17   Riješiti rubno-početni problem #math1542#

#displaymath33057#

Rješenje. Imamo #math1543#

#tex2html_wrap_indisplay33059#

Dakle diferencijalne jednadžbe za koeficijent #tex2html_wrap_inline33061# glase #math1544#

#tex2html_wrap_indisplay33063#

Budući da su početni uvjeti homogeni, početni uvjeti za ovu familiju diferencijalnih jednadžbi su također homogeni #math1545#

#tex2html_wrap_indisplay33065#

Rješenja su #math1546#

#tex2html_wrap_indisplay33067#

pa je rješenje problema #math1547#

#tex2html_wrap_indisplay33069#