Metoda polovljenja

#math2079##tex2html_wrap24570#
Metoda polovljenja se sastoji u tome da se segment #tex2html_wrap_inline35094# na kojem je ispunjen uvjet #math2080##tex2html_wrap_inline35096# raspolovi, tj. nađe polovište #tex2html_wrap_inline35098# Ako je #tex2html_wrap_inline35100# onda je #tex2html_wrap_inline35102# U protivnom se ponovi operacija na onom od segmenata #tex2html_wrap_inline35104# ili #tex2html_wrap_inline35106# na kojem je ispunjen uvjet (#eq:uvjet#7556>), itd. Tako imamo sljedeći algoritam.

Algoritam 1   , Za #math2081##tex2html_wrap_inline35109# računamo #math2082#

#tex2html_wrap_indisplay35111#;SPMnbsp; ;SPMnbsp;<#1#> ako je <#1#>#tex2html_wrap_indisplay35112#

#math2083#

#tex2html_wrap_indisplay35114#;SPMnbsp; ;SPMnbsp;<#1#> ako je <#1#>#tex2html_wrap_indisplay35115#

s tim da je #math2084#

#tex2html_wrap_indisplay35117#

Ovaj algoritam omogućava sljedeći program u programskom paketu 'Mathematica'.

Mathematica program 1   <#7579#> (Metoda polovljenja)<#7579#>
verbatim169#

Metoda uvijek konvergira, ali vrlo sporo. Očito je #math2085#

#tex2html_wrap_indisplay35120#

Tako za #tex2html_wrap_inline35122#-tu aproksimaciju imamo ocjenu greške

#math2086#
#tex2html_wrap_indisplay35124# (3.3)

Ova ocjena se zove apriorna, jer se može izračunati prije nego smo postupak iteracije uopće započeli. Naravno, ova ocjena nam ne kaže kolika je greška, već samo to da greška nije veća od tog broja.

Primjer 3.1   Riješiti metodom polovljenja jednadžbu #math2087#

#tex2html_wrap_indisplay35127#

Rješenje. Računanjem vrijednosti polinoma #math2088##tex2html_wrap_inline35129# na skupu cijelih brojeva, dobivamo da je #tex2html_wrap_inline35131# a #tex2html_wrap_inline35133# Tako na segmentu #tex2html_wrap_inline35135# postoji bar jedno rješenje. Ako na ovaj problem primijenimo gornji program, dobivamo sljedeću tablicu.
#tex2html_wrap_inline35137# #tex2html_wrap_inline35139# #tex2html_wrap_inline35141# #tex2html_wrap_inline35143# #tex2html_wrap_inline35145# #math2089##tex2html_wrap_inline35147# #math2090##tex2html_wrap_inline35149#
0 #tex2html_wrap_inline35152# #tex2html_wrap_inline35154# #tex2html_wrap_inline35156# #tex2html_wrap_inline35158# #tex2html_wrap_inline35160# #tex2html_wrap_inline35162#
#tex2html_wrap_inline35164# #tex2html_wrap_inline35166# #tex2html_wrap_inline35168# #tex2html_wrap_inline35170# #tex2html_wrap_inline35172# #tex2html_wrap_inline35174# #tex2html_wrap_inline35176#
#tex2html_wrap_inline35178# #tex2html_wrap_inline35180# #tex2html_wrap_inline35182# #tex2html_wrap_inline35184# #tex2html_wrap_inline35186# #tex2html_wrap_inline35188# #tex2html_wrap_inline35190#
#tex2html_wrap_inline35192# #tex2html_wrap_inline35194# #tex2html_wrap_inline35196# #tex2html_wrap_inline35198# #tex2html_wrap_inline35200# #tex2html_wrap_inline35202# #tex2html_wrap_inline35204#
#tex2html_wrap_inline35206# #tex2html_wrap_inline35208# #tex2html_wrap_inline35210# #tex2html_wrap_inline35212# #tex2html_wrap_inline35214# #math2091##tex2html_wrap_inline35216# #tex2html_wrap_inline35218#
#tex2html_wrap_inline35220# #tex2html_wrap_inline35222# #tex2html_wrap_inline35224# #tex2html_wrap_inline35226# #math2092##tex2html_wrap_inline35228# #tex2html_wrap_inline35230# #tex2html_wrap_inline35232#
#tex2html_wrap_inline35234# #tex2html_wrap_inline35236# #tex2html_wrap_inline35238# #tex2html_wrap_inline35240# #tex2html_wrap_inline35242# #tex2html_wrap_inline35244# #tex2html_wrap_inline35246#
#tex2html_wrap_inline35248# #tex2html_wrap_inline35250# #tex2html_wrap_inline35252# #tex2html_wrap_inline35254# #tex2html_wrap_inline35256# #math2093##tex2html_wrap_inline35258# #tex2html_wrap_inline35260#
#tex2html_wrap_inline35262# #tex2html_wrap_inline35264# #tex2html_wrap_inline35266# #tex2html_wrap_inline35268# #tex2html_wrap_inline35270# #math2094##tex2html_wrap_inline35272# #math2095##tex2html_wrap_inline35274#
#tex2html_wrap_inline35276# #tex2html_wrap_inline35278# #tex2html_wrap_inline35280# #tex2html_wrap_inline35282# #math2096##tex2html_wrap_inline35284# #math2097##tex2html_wrap_inline35286# #math2098##tex2html_wrap_inline35288#
#tex2html_wrap_inline35290# #tex2html_wrap_inline35292# #tex2html_wrap_inline35294# #tex2html_wrap_inline35296# #tex2html_wrap_inline35298# #tex2html_wrap_inline35300# #tex2html_wrap_inline35302#
#tex2html_wrap_inline35304# #tex2html_wrap_inline35306# #tex2html_wrap_inline35308# #tex2html_wrap_inline35310# #math2099##tex2html_wrap_inline35312# #math2100##tex2html_wrap_inline35314# #math2101##tex2html_wrap_inline35316#
Računalo je tek u pedesetoj aproksimaciji došlo do granica svoje točnosti. Točnost ispisanih rezultata (pet znamanaka) se postiže u sedamnaestoj aproksimaciji, što se moglo unaprijed izračunati. Budući da je #tex2html_wrap_inline35409# greška #tex2html_wrap_inline35411#-te aproksimacije nije veća od #math2102##tex2html_wrap_inline35413# pa zbog #math2103#

#tex2html_wrap_indisplay35415#

rješenje na pet decimala točno se postiže u sedamnaestoj aproksimaciji.

Zadatak iz primjera #pr:kubna#7622> se može doduše egzaktno riješiti pomoću Cardanovih formula. Ipak te formule nisu tako jednostavne kao formula za rješenje kvadratne jednadžbe, pa se algebarske jednadžbe trećeg stupnja često rješavaju približnim metodama. U sljedećem primjeru se rješava jednadžba koju ne možemo egzaktno riješiti.

Primjer 3.2   Naći najmanje pozitivno rješenje jednadžbe (v. #eq:vlfnk#7625>) #math2104#

#tex2html_wrap_indisplay35418#

metodom polovljenja. Rješenje. Iz slike #fig:vlfunk1#7628> se vidi da se traženo rješenje nalazi u intervalu #math2105##tex2html_wrap_inline35420# Neka je #math2106#

#tex2html_wrap_indisplay35422#

Imamo #math2107#

#tex2html_wrap_indisplay35424#

Prema tome, za početni segment možemo uzeti segment #math2108##tex2html_wrap_inline35426# Izračunajmo sada koju aproksimaciju treba izračunati da bi se dobila točnost na četiri decimale. Iz formule (#eq:aprocjena#7649>) slijedi da treba naći #tex2html_wrap_inline35428# tako da bude #math2109#

#tex2html_wrap_indisplay35430#

Odatle slijedi #math2110##tex2html_wrap_inline35432# pa treba izračunati šesnaestu aproksimaciju. Koristeći program #prg:metpol#7661> dobivamo
#tex2html_wrap_inline35434# #tex2html_wrap_inline35436# #tex2html_wrap_inline35438# #tex2html_wrap_inline35440# #tex2html_wrap_inline35442# #math2111##tex2html_wrap_inline35444# #math2112##tex2html_wrap_inline35446#
0 #tex2html_wrap_inline35449# #tex2html_wrap_inline35451# #tex2html_wrap_inline35453# #tex2html_wrap_inline35455# #tex2html_wrap_inline35457# #tex2html_wrap_inline35459#
#tex2html_wrap_inline35461# #tex2html_wrap_inline35463# #tex2html_wrap_inline35465# #tex2html_wrap_inline35467# #tex2html_wrap_inline35469# #math2113##tex2html_wrap_inline35471# #tex2html_wrap_inline35473#
#tex2html_wrap_inline35475# #tex2html_wrap_inline35477# #tex2html_wrap_inline35479# #tex2html_wrap_inline35481# #math2114##tex2html_wrap_inline35483# #tex2html_wrap_inline35485# #tex2html_wrap_inline35487#
#tex2html_wrap_inline35489# #tex2html_wrap_inline35491# #tex2html_wrap_inline35493# #tex2html_wrap_inline35495# #math2115##tex2html_wrap_inline35497# #tex2html_wrap_inline35499# #tex2html_wrap_inline35501#
#tex2html_wrap_inline35503# #tex2html_wrap_inline35505# #tex2html_wrap_inline35507# #tex2html_wrap_inline35509# #math2116##tex2html_wrap_inline35511# #math2117##tex2html_wrap_inline35513# #tex2html_wrap_inline35515#
#tex2html_wrap_inline35517# #tex2html_wrap_inline35519# #tex2html_wrap_inline35521# #tex2html_wrap_inline35523# #math2118##tex2html_wrap_inline35525# #tex2html_wrap_inline35527# #tex2html_wrap_inline35529#
#tex2html_wrap_inline35531# #tex2html_wrap_inline35533# #tex2html_wrap_inline35535# #tex2html_wrap_inline35537# #math2119##tex2html_wrap_inline35539# #tex2html_wrap_inline35541# #tex2html_wrap_inline35543#
#tex2html_wrap_inline35545# #tex2html_wrap_inline35547# #tex2html_wrap_inline35549# #tex2html_wrap_inline35551# #math2120##tex2html_wrap_inline35553# #math2121##tex2html_wrap_inline35555# #tex2html_wrap_inline35557#
#tex2html_wrap_inline35559# #tex2html_wrap_inline35561# #tex2html_wrap_inline35563# #tex2html_wrap_inline35565# #math2122##tex2html_wrap_inline35567# #tex2html_wrap_inline35569# #tex2html_wrap_inline35571#
#tex2html_wrap_inline35573# #tex2html_wrap_inline35575# #tex2html_wrap_inline35577# #tex2html_wrap_inline35579# #math2123##tex2html_wrap_inline35581# #tex2html_wrap_inline35583# #tex2html_wrap_inline35585#
#tex2html_wrap_inline35587# #tex2html_wrap_inline35589# #tex2html_wrap_inline35591# #tex2html_wrap_inline35593# #math2124##tex2html_wrap_inline35595# #tex2html_wrap_inline35597# #tex2html_wrap_inline35599#
#tex2html_wrap_inline35601# #tex2html_wrap_inline35603# #tex2html_wrap_inline35605# #tex2html_wrap_inline35607# #math2125##tex2html_wrap_inline35609# #tex2html_wrap_inline35611# #tex2html_wrap_inline35613#
#tex2html_wrap_inline35615# #tex2html_wrap_inline35617# #tex2html_wrap_inline35619# #tex2html_wrap_inline35621# #math2126##tex2html_wrap_inline35623# #tex2html_wrap_inline35625# #tex2html_wrap_inline35627#
#tex2html_wrap_inline35629# #tex2html_wrap_inline35631# #tex2html_wrap_inline35633# #tex2html_wrap_inline35635# #math2127##tex2html_wrap_inline35637# #tex2html_wrap_inline35639# #tex2html_wrap_inline35641#
#tex2html_wrap_inline35643# #tex2html_wrap_inline35645# #tex2html_wrap_inline35647# #tex2html_wrap_inline35649# #tex2html_wrap_inline35651# #math2128##tex2html_wrap_inline35653# #tex2html_wrap_inline35655#
#tex2html_wrap_inline35657# #tex2html_wrap_inline35659# #tex2html_wrap_inline35661# #tex2html_wrap_inline35663# #math2129##tex2html_wrap_inline35665# #math2130##tex2html_wrap_inline35667# #tex2html_wrap_inline35669#
#tex2html_wrap_inline35671# #tex2html_wrap_inline35673# #tex2html_wrap_inline35675# #tex2html_wrap_inline35677# #math2131##tex2html_wrap_inline35679# #math2132##tex2html_wrap_inline35681# #math2133##tex2html_wrap_inline35683#
Dakle rješenje, na četiri decimale točno, je #math2134#

#tex2html_wrap_indisplay35811#