Dijagonalizacija matrice sustava

Sustav #math968#

#tex2html_wrap_indisplay30832#

možemo vrlo elegantno riješiti, ako se matrica #tex2html_wrap_inline30834# može dijagonalizirati. Pretpostavimo da je to moguće, i da je #math969#

#tex2html_wrap_indisplay30836#

Da bismo dobili dijagonalnu matricu pomnožimo jednadžbu s #tex2html_wrap_inline30838# s lijeva. #math970#

#tex2html_wrap_indisplay30840#

#math971#

#tex2html_wrap_indisplay30842#

#math972#

#tex2html_wrap_indisplay30844#

#math973#

#tex2html_wrap_indisplay30846#

gdje smo stavili #math974#

#tex2html_wrap_indisplay30848#

Ovaj sustav, kad se raspiše, svodi se na #tex2html_wrap_inline30850# nezavisnih jednadžbi #math975#

#tex2html_wrap_indisplay30852#

Svaka od ovih jednadžbi je linearna diferencijalna jednadžba 1. reda, čije rješenje je #math976#

#tex2html_wrap_indisplay30854#

Konstanta #tex2html_wrap_inline30856# se izračuna iz početnog uvjeta, koji je sada #math977#

#tex2html_wrap_indisplay30858#

Kad tako dobijemo #math978##tex2html_wrap_inline30860# rješenje #math979##tex2html_wrap_inline30862# nađemo iz formule #math980#

#tex2html_wrap_indisplay30864#

Ova metoda omogućava elegantno rješavanje, ako je matrica simetrična. Neke nesimetrične matrice se također mogu dijagonalizirati, kao što pokazuje primjer #pr:vlvr#3282>. Riješimo sada metodom dijagonalizacije upravo jedan takav primjer sustava diferencijalnih jednadžbi.

Primjer 1.34   Riješimo sljedeći sustav linearnih diferencijalnih jednadžbi 1. reda s konstantnim koeficijentima metodom dijagonalizacije.
#math981#
#tex2html_wrap_indisplay30868# #tex2html_wrap_indisplay30870# #tex2html_wrap_indisplay30872#  
#tex2html_wrap_indisplay30874# #tex2html_wrap_indisplay30876# #tex2html_wrap_indisplay30878#  
#tex2html_wrap_indisplay30880# #tex2html_wrap_indisplay30882# #tex2html_wrap_indisplay30884#  

Rješenje. Matrica sustava je #math982#

#tex2html_wrap_indisplay30886#

U primjeru #pr:vlvr#3290> smo ustanovili da su vlastite vrijednosti #math983##tex2html_wrap_inline30888# Vlastiti vektori su #math984#

#tex2html_wrap_indisplay30890#

Tako imamo #math985#

#tex2html_wrap_indisplay30892#

Zatim #math986#

#tex2html_wrap_indisplay30894#

Tako se sustav raspada na tri nezavisne linearne diferencijalne jednadžbe 1. reda.
#math987#
#tex2html_wrap_indisplay30897# #tex2html_wrap_indisplay30899# #tex2html_wrap_indisplay30901#  
#tex2html_wrap_indisplay30903# #tex2html_wrap_indisplay30905# #tex2html_wrap_indisplay30907#  
#tex2html_wrap_indisplay30909# #tex2html_wrap_indisplay30911# #tex2html_wrap_indisplay30913#  

Svaku od njih riješimo, na pr. po formuli za rješenje linearne diferencijalne jednadžbe 1. reda. Rješenje je
#math988#
#tex2html_wrap_indisplay30916# #tex2html_wrap_indisplay30918# #tex2html_wrap_indisplay30920#  
#tex2html_wrap_indisplay30922# #tex2html_wrap_indisplay30924# #tex2html_wrap_indisplay30926#  
#tex2html_wrap_indisplay30928# #tex2html_wrap_indisplay30930# #tex2html_wrap_indisplay30932#  

Da dobijemo rješenje zadanog sustava, trebamo naći #math989##tex2html_wrap_inline30934# To znači
#math990#
#tex2html_wrap_indisplay30937# #tex2html_wrap_indisplay30939# #tex2html_wrap_indisplay30941#  
#tex2html_wrap_indisplay30943# #tex2html_wrap_indisplay30945# #tex2html_wrap_indisplay30947#  
#tex2html_wrap_indisplay30949# #tex2html_wrap_indisplay30951# #tex2html_wrap_indisplay30953#  

tj.
#math991#
#tex2html_wrap_indisplay30956# #tex2html_wrap_indisplay30958# #tex2html_wrap_indisplay30960#  
#tex2html_wrap_indisplay30962# #tex2html_wrap_indisplay30964# #tex2html_wrap_indisplay30966#  
#tex2html_wrap_indisplay30968# #tex2html_wrap_indisplay30970# #tex2html_wrap_indisplay30972#  

Na sljedećoj slici su dani grafovi rješenja uz zadani početni uvjet #math992#

#tex2html_wrap_indisplay30974#

koje je
#math993#
#tex2html_wrap_indisplay30977# #tex2html_wrap_indisplay30979# #tex2html_wrap_indisplay30981#  
#tex2html_wrap_indisplay30983# #tex2html_wrap_indisplay30985# #tex2html_wrap_indisplay30987#  
#tex2html_wrap_indisplay30989# #tex2html_wrap_indisplay30991# #tex2html_wrap_indisplay30993#  

<#30995#>Figure<#30995#> 1.29: <#30996#>Rješenje sustava uz navedeni početni uvjet.<#30996#>
#math994##tex2html_wrap24226#

No postoje matrice koje se ne mogu dijagonalizirati. Najjednostavniji oblik na koji se proizvoljna matrica može svesti je Jordanova forma. U slučaju međusobno različitih vlastitih vrijednosti Jordanova forma je dijagonalna matrica s vlastitim vrijednostima na glavnoj dijagonali, dok u slučaju višestrukih vlastitih vrijednosti, na pr. trostruke vlastite vrijednosti #tex2html_wrap_inline30999# Jordanova forma matrice trećeg reda je jedna od sljedeće tri matrice #math995#

#tex2html_wrap_indisplay31001#

Detaljnije o Jordanovoj formi u [#kurepa:kondim##1###].