Sustavi s konstantnim koeficijentima

Elementi matrice #tex2html_wrap_inline30400#, funkcije #tex2html_wrap_inline30402# se zovu koeficijenti. Ako su koeficijenti konstantni, onda su elementi matrice #tex2html_wrap_inline30404# brojevi, pa imamo sustav

#math857#
#tex2html_wrap_indisplay30406# (1.9)

uz početni uvjet

#math858#
#tex2html_wrap_indisplay30408# (1.10)

Ovaj sustav se zove sustav linearnih diferencijalnih jednadžbi 1. reda s konstantnim koeficijentima. Ako je #math859##tex2html_wrap_inline30410#, tj. ako je #math860##tex2html_wrap_inline30412#, onda se sustav zove homogen, u protivnom sustav se zove nehomogen.

Primjer 1.28   Sustavi u primjerima #pr:uvod#2891> i #pr:sustdifjedopc#2892> sustavi su homogeni s konstantnim koeficijentima. Pri tom u primjeru #pr:uvod#2893> imamo Cauchyjev problem, koji se matrično može zapisati na sljedeći način. #math861#

#tex2html_wrap_indisplay30415#

gdje je #math862#

#displaymath30417#

Kod sustava u primjeru #pr:sustdifjedopc#2923> je matrica sustava #math863#

#tex2html_wrap_indisplay30419#

gdje je radi kratkoće stavljeno #math864##tex2html_wrap_inline30421#

Označimo s #tex2html_wrap_inline30423# skup svih rješenja nehomogenog sustava, a s #tex2html_wrap_inline30425# pripadnog homogenog sustava.

Teorem 12   Neka je #math865##tex2html_wrap_inline30428# prozvoljno (partikularno) rješenje nehomogenog sustava. Tada je #math866#

#tex2html_wrap_indisplay30430#

gdje #math867##tex2html_wrap_inline30432# označava skup #math868##tex2html_wrap_inline30434#.
<#11462#>Dokaz. 1. Neka #math869##tex2html_wrap_inline30436# rješava nehomogeni sustav, a #math870##tex2html_wrap_inline30438# pripadni homogeni sustav

#math871#
#tex2html_wrap_indisplay30440# (1.11)

To znači #math872#

#tex2html_wrap_indisplay30442#

Odatle
#math873#
#tex2html_wrap_indisplay30445# #tex2html_wrap_indisplay30447# #tex2html_wrap_indisplay30449#  
  #tex2html_wrap_indisplay30451# #tex2html_wrap_indisplay30453#  

pa prema tome #math874##tex2html_wrap_inline30455# rješava nehomogeni sustav. To znači da je #math875##tex2html_wrap_inline30457#.
2. Neka je #math876##tex2html_wrap_inline30459#, tj neka vrijedi
#math877#

#tex2html_wrap_indisplay30461#

Budući da je također #math878##tex2html_wrap_inline30463#, slijedi
#math879#
#tex2html_wrap_indisplay30466# #tex2html_wrap_indisplay30468# #tex2html_wrap_indisplay30470#  
  #tex2html_wrap_indisplay30472# #tex2html_wrap_indisplay30474#  

dakle #math880##tex2html_wrap_inline30476# rješava pripadni homogeni sustav. Tako postoji #math881##tex2html_wrap_inline30478# takav da je #math882#

#tex2html_wrap_indisplay30480#

tj. #math883#

#tex2html_wrap_indisplay30482#

Prema tome #math884##tex2html_wrap_inline30484#. Iz 1. i 2. slijedi #math885##tex2html_wrap_inline30486#. #math886##tex2html_wrap_inline30488#<#11462#>

Teorem 13   Neka je dan homogen sustav <#11463#>(#six#2965>)<#11463#> od #tex2html_wrap_inline30491# jednadžbi s #tex2html_wrap_inline30493# nepoznatih funkcija. Skup #tex2html_wrap_inline30495# svih rješenja sustava je #tex2html_wrap_inline30497#-dimenzionalni vektorski prostor.
<#12221#>Dokaz. Dokažimo najprije da je #tex2html_wrap_inline30499# vektorski prostor. Neka su #math887##tex2html_wrap_inline30501# dva rješenja sustava (#six#2967>) i #math888##tex2html_wrap_inline30503#.
#math889#
#tex2html_wrap_indisplay30506# #tex2html_wrap_indisplay30508# #tex2html_wrap_indisplay30510#  
  #tex2html_wrap_indisplay30512# #tex2html_wrap_indisplay30514#  

Prema tome linearna kombinacija funkcija iz #tex2html_wrap_inline30516# je funkcija iz #tex2html_wrap_inline30518# Tako je nulfunkcija u #tex2html_wrap_inline30520# i za svaki #math890##tex2html_wrap_inline30522# je također i #math891##tex2html_wrap_inline30524# Ostala svojstva iz definicije vektorskog prostora slijede iz svojstava zbroja dvije funkcije i množenja funkcije brojem.
Dokažimo sada da je #tex2html_wrap_inline30526# #tex2html_wrap_inline30528#-dimenzionalan. Neka je #math892##tex2html_wrap_inline30530# vektorstupac, koji na #tex2html_wrap_inline30532#-tom mjestu ima 1 a ostalo su nule. Iz teorema #skk:tm1#2970> slijedi da Cauchyev problem
#math893#

#tex2html_wrap_indisplay30534#

ima jedno i samo jedno rješenje, recimo #math894##tex2html_wrap_inline30536#. Za #math895##tex2html_wrap_inline30538# dobivamo tako #tex2html_wrap_inline30540# rješenja #math896##tex2html_wrap_inline30542#. Tvrdimo da #math897##tex2html_wrap_inline30544# rješava Cauchyev problem #math898#

#tex2html_wrap_indisplay30546#

Iz prvog dijela dokaza slijedi da #math899##tex2html_wrap_inline30548# rješava sustav. Funkcija #math900##tex2html_wrap_inline30550# zadovoljava i početni uvjet, jer
#math901#
#tex2html_wrap_indisplay30553# #tex2html_wrap_indisplay30555# #tex2html_wrap_indisplay30557#  
  #tex2html_wrap_indisplay30559# #displaymath30561#  


Svako rješenje zadovoljava neki početni uvjet, pa je prema tome svako rješenje linearna kombinacija od #math902##tex2html_wrap_inline30563#. To znači da dimenzija od #tex2html_wrap_inline30565# nije veća od #tex2html_wrap_inline30567#. Da je dimenzija točno #tex2html_wrap_inline30569# bit će dokazano ako utvrdimo da su #math903##tex2html_wrap_inline30571# linearno nezavisni. Neka je
#math904#

#tex2html_wrap_indisplay30573#

Linearna kombinacija na lijevoj strani je rješenje sustava. Zatim #math905#

#tex2html_wrap_indisplay30575#

jer je #tex2html_wrap_inline30577#, dok s druge strane #math906#

#displaymath30579#

Odatle slijedi #math907##tex2html_wrap_inline30581# #math908##tex2html_wrap_inline30583#<#12221#>

Na temelju ovog i prethodnog teorema zaključujemo da je #math909#

#tex2html_wrap_indisplay30585#proizvoljne konstante#tex2html_wrap_indisplay30586#

Dakle, da se nađe skup svih rješenja nehomogenog sustava, potrebno je naći bazu prostora #tex2html_wrap_inline30588#, tj. #tex2html_wrap_inline30590# linearno nezavisnih rješenja pripadnog homogenog i jedno rješenje nehomogenog sustava.