Zakon održanja količine gibanja

Uočimo proizvoljan komad žice #math1004##tex2html_wrap_inline31060#
#math1005##tex2html_wrap24234#
Ukupna količina gibanja tog dijela žice u čas #tex2html_wrap_inline31063# je #math1006#

#tex2html_wrap_indisplay31065#

a ukupna količina gibanja komada žice #tex2html_wrap_inline31067# po jedinici vremena je derivacija ukupne količine gibanja po vremenu #math1007#

#tex2html_wrap_indisplay31069#

Količina gibanja po jedinici vremena komada žice #tex2html_wrap_inline31071# u čas #tex2html_wrap_inline31073# uslijed djelovanja vanjske sile je #math1008#

#tex2html_wrap_indisplay31075#

Količina gibanja koja se po jedinici vremena prenese na #tex2html_wrap_inline31077# u čas #tex2html_wrap_inline31079# na desnom rubu, u točki #tex2html_wrap_inline31081# je #math1009#

#tex2html_wrap_indisplay31083#

a količina gibanja koja se po jedinici vremena prenese na #tex2html_wrap_inline31085# u čas #tex2html_wrap_inline31087# na lijevom rubu, u točki #tex2html_wrap_inline31089# je #math1010#

#tex2html_wrap_indisplay31091#

jer smo za pozitivan smjer prenošenja količine gibanja duž žice izabrali smjer s desna na lijevo.

<#31093#>Figure<#31093#> 2.2: <#31094#>Kontaktna sila na rubovima<#31094#>
#math1011##tex2html_wrap24236#

Ukupna količina gibanja po jedinici vremena komada #tex2html_wrap_inline31097# jednaka je zbroju količina gibanja po jedinici vremena uslijed djelovanja preostalog dijela žice i uslijed djelovanja vanjske sile. Dakle #math1012#

#tex2html_wrap_indisplay31099#

Ova jednadžba se zove jednadžba balansa ili zakon održanja količine gibanja. (Uočite da se ovdje radi o poznatom fizikalnom zakonu da je promjena količine gibanja nekog tijela u jedinici vremena jednaka zbroju sila koje djeluju na tijelo.) Pretostavka da je ukupna količina gibanja po jedinici vremena #math1013#

#tex2html_wrap_indisplay31101#

neprekidna funkcija, što fizikalno znači da se brzina promjene količine gibanja neprekidno mijenja (neprekidnost sile), omogućava da primijenimo Leibnizovo pravilo za deriviranje pod znakom integrala. Zatim, ako još #math1014#

#tex2html_wrap_indisplay31103#

shvatimo kao jednu stranu Newton-Leibnizove formule (osnovne formule integralnog računa), onda imamo #math1015#

#tex2html_wrap_indisplay31105#

odnosno #math1016#

#tex2html_wrap_indisplay31107#

Naglasimo da ovaj izvod vrijedi za proizvoljan segment žice #math1017##tex2html_wrap_inline31109#

Lema 1   <#11489#>(Osnovna lema)<#11489#> Neka je skalarna funkcija #math1018##tex2html_wrap_inline31112# neprekidna na #math1019##tex2html_wrap_inline31114# i neka je #math1020#

#tex2html_wrap_indisplay31116#

za svaki par brojeva #math1021##tex2html_wrap_inline31118# Tada je #tex2html_wrap_inline31120# tj. #tex2html_wrap_inline31122# za svaki #math1022##tex2html_wrap_inline31124#
<#12222#>Dokaz. Pretpostavimo suprotno, da postoji #tex2html_wrap_inline31126# takav da je #tex2html_wrap_inline31128# (Slično ide dokaz uz pretpostavku #tex2html_wrap_inline31130#) Zbog neprekidnosti funkcije #tex2html_wrap_inline31132# postoji #tex2html_wrap_inline31134# takav da #math1023#

#tex2html_wrap_indisplay31136#

To znači da je #tex2html_wrap_inline31138# za #math1024##tex2html_wrap_inline31140#
#math1025##tex2html_wrap24244#
Ako izaberemo #math1026##tex2html_wrap_inline31143# onda je
#math1027#

#tex2html_wrap_indisplay31145#

što je u kontradikciji s pretpostavkom u teoremu. #math1028##tex2html_wrap_inline31147#<#12222#>

Podintegralna funkcija #math1029#

#tex2html_wrap_indisplay31149#

je vektorska. Iščezavanje njezinog integrala na proizvoljnom segmentu #tex2html_wrap_inline31151# povlači iščezavanje integrala svake skalarne komponente na tom segmentu. To, prema osnovnoj lemi povlači da je svaka skalarna komponenta nulfunkcija. Slijedi

#math1030#
#tex2html_wrap_indisplay31153# (2.1)

Ova jednadžba predstavlja zakon održanja količine gibanja u diferencijalnom obliku. Ovo je opća jednadžba koja vrijedi za bilo kako napetu žicu od bilo kakvog materijala. Karakteristike materijala i način na koji je žica napeta opisuju se vezama između gore navedenih vektorskih polja. Te veze se zovu zakoni ponašanja.