Provođenje topline kroz štap

Neka su #tex2html_wrap_inline33072# i #tex2html_wrap_inline33074# (v. #subsec:zptopl#5644>) konstante, i neka je #math1548##tex2html_wrap_inline33076# Tada je rubno-početni problem provođenja zadan kako slijedi

#math1549#
#displaymath33078# (2.29)

Rješenje tražimo u obliku #math1550#

#tex2html_wrap_indisplay33080#

Uz ovu pretpostavku jednadžba postaje #math1551#

#tex2html_wrap_indisplay33082#

Podijelimo s #math1552##tex2html_wrap_inline33084# Dobivamo #math1553#

#tex2html_wrap_indisplay33086#

Negativnost ove konstante se dokazuje kao kod valne jednadžbe (v. #sec:osc#5662>). Na isti način kao kod valne jednadžbe iz rubnih uvjeta dobivamo #math1554#

#tex2html_wrap_indisplay33088#

S druge strane #math1555#

#tex2html_wrap_indisplay33090#

Rješenje ove jednadžbe je #math1556#

#tex2html_wrap_indisplay33092#

Tako je #math1557#

#tex2html_wrap_indisplay33094#

Ove funkcije rješavaju jednadžbu, i zadovoljavaju rubne uvjete. No da bi bio zadovoljen i početni uvjet, treba rješenje pretpostaviti u obliku beskonačnog reda (v. #sec:osc#5677>) #math1558#

#tex2html_wrap_indisplay33096#

Početni uvjet daje #math1559#

#tex2html_wrap_indisplay33098#

Dakle #tex2html_wrap_inline33100# su Fourierovi koeficijenti funkcije #tex2html_wrap_inline33102# proširene po neparnosti s #tex2html_wrap_inline33104# na #math1560##tex2html_wrap_inline33106# Tako je #math1561#

#tex2html_wrap_indisplay33108#

Neka je jednadžba nehomogena #math1562#

#tex2html_wrap_indisplay33110#

gdje je #tex2html_wrap_inline33112# toplina po jedinici duljine podijeljena s toplinskim kapacitetom jedinice duljine štapa #tex2html_wrap_inline33114# Uz iste rubne i početne uvjete rješenje pretpostavljamo u obliku #math1563#

#tex2html_wrap_indisplay33116#

Neodređene koeficijente #tex2html_wrap_inline33118# ćemo odrediti tako da #tex2html_wrap_inline33120# zadovoljava jednadžbu i početni uvjet. #math1564#

#tex2html_wrap_indisplay33122#

odnosno #math1565#

#tex2html_wrap_indisplay33124#

Lijeva strana je Fourierov red, ako #tex2html_wrap_inline33126# shvatimo kao parametar. Pretpostavimo da je #math1566#

#tex2html_wrap_indisplay33128#

gdje je #math1567#

#tex2html_wrap_indisplay33130#

Slijedi #math1568#

#tex2html_wrap_indisplay33132#

Početni uvjet nam daje #math1569#

#tex2html_wrap_indisplay33134#

tj. #math1570#

#tex2html_wrap_indisplay33136#

Tako smo dobili familiju diferencijalnih jednadžbi s pripadnim početnim uvjetima, čija rješenja daju neodređene koeficijente.

Primjer 2.18   Naći raspodjelu temperature u homogenom tankom štapu, duljine #tex2html_wrap_inline33139# bočno toplinski izoliranom, ako se na lijevom kraju održava temperatura #tex2html_wrap_inline33141# a na desnom se mijenja s vremenom po formuli #math1571##tex2html_wrap_inline33143# Početna temperatura štapa je #tex2html_wrap_inline33145# Rješenje. Rubno-početni problem glasi #math1572#

#displaymath33147#

Najprije treba homogenizirati rubne uvjete. Očito funkcija #math1573#

#tex2html_wrap_indisplay33149#

zadovoljava homogene rubne uvjete. Pripadni rubno-početni problem za #tex2html_wrap_inline33151# je #math1574#

#displaymath33153#

Sada homogeniziramo jednadžbu. Stavimo #math1575#

#tex2html_wrap_indisplay33155#

gdje je #tex2html_wrap_inline33157# rješenje problema #math1576#

#displaymath33159#

Rješenje ovog problema je #math1577#

#tex2html_wrap_indisplay33161#

Na taj način smo homogenizirali rubne uvjete i jednadžbu, ali se nehomogenost pojavila u početnom uvjetu. Tako #tex2html_wrap_inline33163# rješava sljedeći rubno-početni problem #math1578#

#displaymath33165#

#math1579#

#tex2html_wrap_indisplay33167#

pa je rješenje rubnog problema za #tex2html_wrap_inline33169# #math1580#

#tex2html_wrap_indisplay33171#

Rješenje početnog problema je #math1581#

#tex2html_wrap_indisplay33173#

dakle #math1582#

#tex2html_wrap_indisplay33175#