Primjer 3.16
Pomoću numeričke integracije izračunati približno broj
#tex2html_wrap_inline37715# na
pet decimala točno.
Rješenje. Najprije sjetimo se da je #math2642##tex2html_wrap_inline37717#<#1#> i <#1#>#tex2html_wrap_inline37718# Odatle
#math2643#
#tex2html_wrap_indisplay37720#
Dakle
#math2644#
#tex2html_wrap_indisplay37722#
pa treba izračunati ovaj
integral na pet decimala točno. Račun ćemo provesti na dva
načina, pomoću trapezne i pomoću Simpsonove formule.
1. Podintegralna funkcija je
#math2645#
#tex2html_wrap_indisplay37724#
njezina druga derivacija je
#math2646#
#tex2html_wrap_indisplay37726#
a treća
#math2647#
#tex2html_wrap_indisplay37728#
Kako treća derivacija nema nula u
intervalu #math2648##tex2html_wrap_inline37730# druga derivacija je na tom intervalu
monotona. Računanjem vrijednosti na rubovima lako se vidi da ona raste
i to od #tex2html_wrap_inline37732# do #tex2html_wrap_inline37734# To znači da je #tex2html_wrap_inline37736# Dakle imamo ocjenu greške
za trapeznu formulu
#math2649#
#tex2html_wrap_indisplay37738#
Budući da tražimo točnost prvih pet decimala, mora biti
#math2650#
#tex2html_wrap_indisplay37740#
tj.
#math2651#
#tex2html_wrap_indisplay37742#
Prema tome treba segment #tex2html_wrap_inline37744# podijeliti na #tex2html_wrap_inline37746# podsegmenata.
2. Pomoću Simpsonove formule račun ide ovako. Četvrta derivacija je
#math2652#
#tex2html_wrap_indisplay37748#
a peta
#math2653#
#tex2html_wrap_indisplay37750#
Peta derivacija se
poništava u #math2654##tex2html_wrap_inline37752# ali je #tex2html_wrap_inline37754# u toj točki pozitivna, pa
#tex2html_wrap_inline37756# ima u #tex2html_wrap_inline37758# minimum. Tako četvrta derivacija pada na intervalu od 0 do #tex2html_wrap_inline37761# i zatim raste na intervalu od #tex2html_wrap_inline37763# do #tex2html_wrap_inline37765# Imamo
#math2655#
#tex2html_wrap_indisplay37767#
Dakle #tex2html_wrap_inline37769# i prema tome treba biti
#math2656#
#tex2html_wrap_indisplay37771#
odakle #math2657##tex2html_wrap_inline37773# Budući da je broj segmenata potreban za Simpsonovu formulu paran, minimalni #tex2html_wrap_inline37775# koji treba uzeti je #tex2html_wrap_inline37777# Kad se provede potreban račun dobije se
#math2658#
#tex2html_wrap_indisplay37779#