Varijacijski princip

Rješavamo rubni problem
#math2015#
#tex2html_wrap_indisplay34816# #tex2html_wrap_indisplay34818# #tex2html_wrap_indisplay34820#  
#tex2html_wrap_indisplay34822# #tex2html_wrap_indisplay34824# #tex2html_wrap_indisplay34826# (2.56)

Svaku funkciju #tex2html_wrap_inline34828# klase #math2016##tex2html_wrap_inline34830# takvu da je #math2017##tex2html_wrap_inline34832# zovemo dopustivom funkcijom. Pretpostavimo da je #tex2html_wrap_inline34834# ravnotežni položaj membrane, tj. rješenje gornjeg problema. Da bi se membrana pomakla iz tog položaja, potrebno je izvršiti neki rad. Taj rad ovisi o veličini perturbacije #tex2html_wrap_inline34836# Budući da je u novom položaju membrana i dalje učvršćena na rubu, mora i #tex2html_wrap_inline34838# biti dopustiva funkcija. Rad, koji izvrši vanjska sila uslijed pomaka #tex2html_wrap_inline34840# je #math2018#

#tex2html_wrap_indisplay34842#

dok je unutrašnji rad membrane #math2019#

#tex2html_wrap_indisplay34844#

Ako jednadžbu u (#vp:rp#7384>) pomnožimo s #tex2html_wrap_inline34846# i integriramo po #tex2html_wrap_inline34848# dobivamo #math2020#

#tex2html_wrap_indisplay34850#

Ova jednakost izražava Bernoullijev princip sačuvanja rada (energije). Iz prve Greenove formule #math2021#

#tex2html_wrap_indisplay34852#

slijedi #math2022#

#tex2html_wrap_indisplay34854#

jer je #tex2html_wrap_inline34856# dopustiva funkcija, pa iščezava na rubu od #tex2html_wrap_inline34858# a s njom i krivuljni integral. Kad to uvrstimo u gornju jednakost, dobivamo

#math2023#
#tex2html_wrap_indisplay34860# (2.57)

Možemo zaključiti sljedeće. Ako funkcija #tex2html_wrap_inline34862# rješava rubni problem (#vp:rp#7396>), onda za svaku dopustivu funkciju #tex2html_wrap_inline34864# vrijedi (#eq:energg#7397>). Također vrijedi i obrat. Ako #tex2html_wrap_inline34866# sa svojstvom #math2024##tex2html_wrap_inline34868# zadovoljava (#eq:energg#7399>) za svaku dopustivu funkciju #tex2html_wrap_inline34870# onda #tex2html_wrap_inline34872# rješava rubni problem (#vp:rp#7400>). Prvi dio smo dokazali. Treba dokazati obrat. Neka vrijedi (#eq:energg#7401>) za svaku dopustivu funkciju #tex2html_wrap_inline34874# i neka je #math2025##tex2html_wrap_inline34876# Tada je prema prvoj Greenovoj formuli #math2026#

#tex2html_wrap_indisplay34878#

Krivuljni integral iščezava, jer je #tex2html_wrap_inline34880# dopustiva funkcija. Tako je #math2027#

#tex2html_wrap_indisplay34882#

Uvrstimo u (#eq:energg#7407>), dobivamo #math2028#

#tex2html_wrap_indisplay34884#

#math2029#

#tex2html_wrap_indisplay34886#

za svaku dopustivu funkciju #tex2html_wrap_inline34888# Po osnovnoj lemi slijedi #math2030#

#tex2html_wrap_indisplay34890#

Kao i u jednodimenzionalnom slučaju sada dokazujemo da je Bernoullijev princip ekvivalentan problemu minimizacije funkcionala energije. Neka je dan funkcional #math2031#

#tex2html_wrap_indisplay34892#

Pogledajmo čime se odlikuje #tex2html_wrap_inline34894# ako #tex2html_wrap_inline34896# zadovoljava Bernoullijev princip, tj. zadovoljava (#eq:energg#7413>). U tu svrhu stavimo #tex2html_wrap_inline34898# gdje je #tex2html_wrap_inline34900# perturbacija ravnotežnog položaja (dopustiva funkcija). Kako je #tex2html_wrap_inline34902# ravnotežni položaj, #tex2html_wrap_inline34904# je dopustiva funkcija, pa je i #tex2html_wrap_inline34906# dopustiva. Imamo #math2032#

#tex2html_wrap_indisplay34908#

#math2033#

#tex2html_wrap_indisplay34910#

#math2034#

#tex2html_wrap_indisplay34912#

#math2035#

#tex2html_wrap_indisplay34914#

Dakle #math2036##tex2html_wrap_inline34916# i pri tom je #tex2html_wrap_inline34918# samo ako je #math2037##tex2html_wrap_inline34920# a to znači #math2038##tex2html_wrap_inline34922#<#1#> konst.<#1#>#tex2html_wrap_inline34923# a kako je na rubu #tex2html_wrap_inline34925# slijedi da je #tex2html_wrap_inline34927# samo ako je #tex2html_wrap_inline34929# Dakle #tex2html_wrap_inline34931# je jedinstvena funkcija sa svojstvom #math2039##tex2html_wrap_inline34933# koja minimizira funkcional #tex2html_wrap_inline34935# Dokažimo sada obrat, tj. da funkcija #tex2html_wrap_inline34937# koja minimizira funkcional #tex2html_wrap_inline34939# i zadovoljava rubni uvjet #math2040##tex2html_wrap_inline34941# mora zadovoljavati Bernoullijev princip, tj. (#eq:energg#7427>). Pretpostavimo da #tex2html_wrap_inline34943# ima tražena svojstva, i stavimo #math2041##tex2html_wrap_inline34945# gdje je #tex2html_wrap_inline34947# perturbacija (funkcija iz klase dopustivih). Funkcional #tex2html_wrap_inline34949# poprima minimum na funkciji #tex2html_wrap_inline34951# pa prema tome funkcija #math2042#

#tex2html_wrap_indisplay34953#

poprima minimum za #math2043##tex2html_wrap_inline34955# Imamo #math2044#

#tex2html_wrap_indisplay34957#

#math2045#

#tex2html_wrap_indisplay34959#

#math2046#

#tex2html_wrap_indisplay34961#

#math2047#

#tex2html_wrap_indisplay34963#

Ovo je polinom drugog stupnja u #math2048##tex2html_wrap_inline34965# koeficijent uz #math2049##tex2html_wrap_inline34967# je pozitivan, pa funkcija doista ima minimum u tjemenu. Apscisa tjemena parabole, koja je graf funkcije #math2050#

#tex2html_wrap_indisplay34969#

je #math2051#

#tex2html_wrap_indisplay34971#

pa ako se minimum dostiže u #math2052##tex2html_wrap_inline34973# tj. u točki s apscisom #tex2html_wrap_inline34975# onda mora biti #tex2html_wrap_inline34977# U našem slučaju slijedi #math2053#

#tex2html_wrap_indisplay34979#

za svaku dopustivu funkciju #tex2html_wrap_inline34981# Tako smo dokazali da #tex2html_wrap_inline34983# zadovoljava (#eq:energg#7449>). Iz svega rečenog možemo zaključiti da vrijedi sljedeće.

Teorem 21 (Varijacijski princip)   Da bi funkcija #tex2html_wrap_inline34986# bila rješenje rubnog problema

#math2054#
#displaymath34988# (2.58)

nužno je i dovoljno da funkcija #tex2html_wrap_inline34990# zadovoljava taj rubni uvjet i da minimizira funkcional #math2055#

#tex2html_wrap_indisplay34992#