Metoda separacije varijabli za nestacionarne probleme
Nestacionarni problemi su opisani valnom jednadžbom
#math1975#
#tex2html_wrap_indisplay34701#
ili jednadžbom provođenja
#math1976#
#tex2html_wrap_indisplay34703#
na nekom području #tex2html_wrap_inline34705# Ovdje smo radi jednostavnosti uzeli da
su gustoća mase #tex2html_wrap_inline34707# i specifična toplina #tex2html_wrap_inline34709#
konstante. Također smo pretpostavili da nema vanjskog utjecaja, tj.
da je #tex2html_wrap_inline34711#
Pretpostavimo da je rubni uvjet Dirichletov
#math1977#
#tex2html_wrap_indisplay34713#
Početni uvjeti za valnu jednadžbu neka su
#math1978#
#tex2html_wrap_indisplay34715#
za #math1979##tex2html_wrap_inline34717# Ovdje #math1980##tex2html_wrap_inline34719# označava područje
#tex2html_wrap_inline34721# zajedno s rubom #math1981##tex2html_wrap_inline34723#
Osnovna pretpostavka je da se rješenje može predstaviti u obliku
produkta
#math1982#
#tex2html_wrap_indisplay34725#
Uvrstimo u jednadžbu, na pr. valnu
#math1983#
#tex2html_wrap_indisplay34727#
i podijelimo s #math1984##tex2html_wrap_inline34729#
#math1985#
#tex2html_wrap_indisplay34731#
Budući da smo separirali varijable, i da su one nezavisne, #tex2html_wrap_inline34733# je konstanta.
#math1986#
#tex2html_wrap_indisplay34735#
Pomnožimo ovu jednadžbu s #tex2html_wrap_inline34737# i integriramo po #tex2html_wrap_inline34739#
#math1987#
#tex2html_wrap_indisplay34741#
Imamo (#eq:g1#7301>)
<#12276#>#math1988#
#tex2html_wrap_indisplay34743#
<#12276#>
jer se #tex2html_wrap_inline34745# poništava na #math1989##tex2html_wrap_inline34747# Tako je
#math1990#
#tex2html_wrap_indisplay34749#
Dakle možemo staviti #math1991##tex2html_wrap_inline34751# Tako se početna jednadžba
raspada na dvije jednadžbe
#math1992#
#tex2html_wrap_indisplay34753#
#math1993#
#tex2html_wrap_indisplay34755#
Rubni uvjet je sada
#math1994#
#tex2html_wrap_indisplay34757#;SPMnbsp; ;SPMnbsp;<#1#> za <#1#>#tex2html_wrap_indisplay34758#
Kako to vrijedi za svaki #tex2html_wrap_inline34760# mora biti #tex2html_wrap_inline34762# na
#math1995##tex2html_wrap_inline34764# Tako imamo rubni problem
#math1996#
#displaymath34766#
Oni #math1997##tex2html_wrap_inline34768# za koje postoji netrivijalno rješenje ovog problema
zovu se vlastite vrijednosti, a pripadne funkcije
vlastite funkcije ovog rubnog problema.
Neka su #tex2html_wrap_inline34770# i #tex2html_wrap_inline34772# dvije međusobno različite vlastite
vrijednosti, i #tex2html_wrap_inline34774# odnosno #tex2html_wrap_inline34776# pripadne vlastite funkcije. Tada
<#11897#>#math1998#
#tex2html_wrap_indisplay34778#
<#11897#>
S druge strane, prema drugoj Greenovoj formuli, koja se izvodi iz (#eq:g1#7343>),
#math1999#
#tex2html_wrap_indisplay34780#
jer je #math2000##tex2html_wrap_inline34782# za #math2001##tex2html_wrap_inline34784# Tako je
#math2002#
#tex2html_wrap_indisplay34786#
Budući da je #math2003##tex2html_wrap_inline34788# slijedi
#math2004#
#tex2html_wrap_indisplay34790#
Zbog ovog svojstva kažemo da su vlastite funkcije, koje pripadaju
različitim vlastitim vrijednostima, međusobno okomite. Opravdanje
leži u činjenici da produkt
#math2005#
#tex2html_wrap_indisplay34792#
koji paru funkcija pridružuje broj (skalar),
ima sva svojstva skalarnog produkta.
Pretpostavimo sada da su #math2006##tex2html_wrap_inline34794# vlastite
vrijednosti, a #math2007##tex2html_wrap_inline34796# vlastite funkcije rubnog
problema. Tada vremenska jednadžba glasi
#math2008#
#tex2html_wrap_indisplay34798#
Rješenja su
#math2009#
#tex2html_wrap_indisplay34800#
Rješenje cijelog rubno-početnog problema tražimo u obliku
#math2010#
#tex2html_wrap_indisplay34802#
Neodređene konstante #math2011##tex2html_wrap_inline34804# računamo iz
početnih uvjeta, pomoću Fourierovih redova.
Kod jednadžbe provođenja jedina je razlika u vremenskoj
jednadžbi. Ona u tom slučaju glasi
#math2012#
#tex2html_wrap_indisplay34806#
pa je
#math2013#
#tex2html_wrap_indisplay34808#
Rješenje cijelog problema se tada traži u obliku
#math2014#
#tex2html_wrap_indisplay34810#
a neodređene konstante #tex2html_wrap_inline34812# se određuju iz početnog uvjeta pomoću
Fourierovog reda.