Primjer 2.16
Naći oscilacije napete homogene žice, duljine
#tex2html_wrap_inline32934#
učvršćene na rubovima, u sredstvu s otporom proporcionalnim
brzini, ako su početni uvjeti kao u primjeru #pr:sloscpom#5456>.
Rješenje. Rubni i početni uvjeti su kao u primjeru #pr:sloscpom#5457>, a
jednadžba glasi
#math1500#
#tex2html_wrap_indisplay32936#
Stavimo #math1501##tex2html_wrap_inline32938# i podijelimo s #math1502##tex2html_wrap_inline32940# Dobivamo
#math1503#
#tex2html_wrap_indisplay32942#
Varijable su separirane, pa je svaka strana ove jednakosti
konstanta. Kao i ranije zaključujemo da je ta konstanta negativna, i
da su vlastite vrijednosti
#math1504#
#tex2html_wrap_indisplay32944#
i vlastite funkcije
#math1505#
#tex2html_wrap_indisplay32946#
Vremenska jednadžba sada glasi
#math1506#
#tex2html_wrap_indisplay32948#
Ovo je obična linearna diferencijalna jednadžba drugog reda s
konstantnim koeficijentima. Pretpostavka #math1507##tex2html_wrap_inline32950# vodi na
karakterističnu jednadžbu
#math1508#
#tex2html_wrap_indisplay32952#
Rješenja su
#math1509#
#tex2html_wrap_indisplay32954#
Ako je #math1510##tex2html_wrap_inline32956# tj. ako je otpor dovoljno velik, onda nema
osciliranja. Pretpostavimo da je otpor dovoljno malen tako da je
#math1511##tex2html_wrap_inline32958# Tada je
#math1512#
#tex2html_wrap_indisplay32960#
Tako je
#math1513#
#tex2html_wrap_indisplay32962#
što se pomoću Eulerove formule može napisati kao
#math1514#
#tex2html_wrap_indisplay32964#
Stavimo
#math1515#
#tex2html_wrap_indisplay32966#
Tada je rješenje oblika
#math1516#
#tex2html_wrap_indisplay32968#
Koeficijenti #tex2html_wrap_inline32970# i #tex2html_wrap_inline32972# se računaju kao i u primjeru
#pr:sloscpom#5493>.
Faktor #math1517##tex2html_wrap_inline32974# teži k nuli kad #math1518##tex2html_wrap_inline32976# Zato titranje postaje sve slabije kako #tex2html_wrap_inline32978# raste. Tako imamo prigušene oscilacije.