Galerkinova metoda

Galerkinova metoda ili preciznije metoda Bubnova-Galerkina osniva se na sljedećoj jednostavnoj činjenici. Neka je dan vektorski prostor #tex2html_wrap_inline38881# baza #math2844##tex2html_wrap_inline38883# u #tex2html_wrap_inline38885# i skalarni produkt u #tex2html_wrap_inline38887# Tada je #math2845##tex2html_wrap_inline38889# nulvektor, ako i samo ako je #math2846##tex2html_wrap_inline38891# okomit na #math2847##tex2html_wrap_inline38893# za svaki #tex2html_wrap_inline38895# Ta tvrdnja je jasna, ako za #tex2html_wrap_inline38897# uzmemo vektorski prostor radijvektora u prostoru ili ravnini. Ono što nas zanima je rubni problem, na pr. #math2848#

#tex2html_wrap_indisplay38899#

Rješenje tražimo u skupu #tex2html_wrap_inline38901# funkcija koje su klase #math2849##tex2html_wrap_inline38903# i koje zadovoljavaju rubne uvjete. Taj skup nije vektorski prostor, jer linearne kombinacije takvih funkcija više ne zadovoljavaju ove rubne uvjete. Međutim, ako su rubni uvjeti <#10413#>homogeni<#10413#>, onda skup #tex2html_wrap_inline38905# jeste vektorski prostor. Homogenizacijom rubnih uvjeta možemo svaki rubni problem svesti na problem s homogenim uvjetima. Promatrajmo dakle rubni problem #math2850#

#tex2html_wrap_indisplay38907#

U skupu #tex2html_wrap_inline38909# koji je sada vektorski prostor, definirajmo skalarni produkt #math2851#

#tex2html_wrap_indisplay38911#

Izaberimo u #tex2html_wrap_inline38913# linearno nezavisne funkcije #math2852#

#tex2html_wrap_indisplay38915#

tako da čine bazu u #tex2html_wrap_inline38917# U pravilu funkcija #tex2html_wrap_inline38919# ima beskonačno mnogo. Neka je #tex2html_wrap_inline38921# rješenje rubnog problema. Tada je #tex2html_wrap_inline38923# i prema tome postoje brojevi #math2853##tex2html_wrap_inline38925# takvi da je #math2854#

#tex2html_wrap_indisplay38927#

Zbog diferencijalne jednadžbe rubnog problema, funkcija #math2855##tex2html_wrap_inline38929# je okomita na #tex2html_wrap_inline38931# za svaki #tex2html_wrap_inline38933# pa nepoznati koeficijenti #tex2html_wrap_inline38935# moraju zadovoljavati sljedeće jednadžbe #math2856#

#tex2html_wrap_indisplay38937#

Problem je u tome što je to beskonačno mnogo jednadžbi s beskonačno mnogo nepoznanica. Zato uzmemo konačno mnogo funkcija iz baze #math2857#

#tex2html_wrap_indisplay38939#

i rješenje pretpostavimo u obliku #math2858#

#tex2html_wrap_indisplay38941#

Nepoznate koeficijente #math2859##tex2html_wrap_inline38943# određujemo iz sustava jednadžbi #math2860#

#tex2html_wrap_indisplay38945#

Ovaj sustav jednadžbi možemo prepisati u obliku #math2861#

#tex2html_wrap_indisplay38947#

Stavimo #math2862#

#tex2html_wrap_indisplay38949#

Tada sustav poprima oblik #math2863#

#tex2html_wrap_indisplay38951#

odnosno matrično

#math2864#
#tex2html_wrap_indisplay38953# (3.32)

gdje je #math2865##tex2html_wrap_inline38955# U ovom slučaju se u formuli za #tex2html_wrap_inline38957# može jednom parcijalno integrirati pa, uzevši u obzir rubne uvjete, imamo #math2866#

#tex2html_wrap_indisplay38959#

Na taj način sustav jednadžbi (#eq:galerkmatr#10437>) postaje identičan onome kod Ritzove metode. To se događa ako rubni problem ispunjava određene uvjete, o čemu ovdje nećemo detaljnije govoriti. Istaknimo ovdje bitnu razliku u ideji između Ritzove i Galerkinove metode. Nužan uvjet za primjenu Ritzove metode je bila egzistencija varijacijske formulacije rubnog problema u kojoj se pojavljuje funkcional energije, dok za Galerkinovu metodu to uopće nije važno. Formalno, Galerkinova metoda se može primijeniti uvijek, pa i u slučaju nelinearnih rubnih problema. Tada sustav jednadžbi koji dobijemo nije više linearan, pa se ne može zapisati u matričnom obliku. Rješivost takvog sustava i konvergencija metode zahtijevaju složena razmatranja.