Interpretacija rješenja.

#math1478#

#tex2html_wrap_indisplay32872#

#math1479#

#tex2html_wrap_indisplay32874#

Budući da je #math1480#

#tex2html_wrap_indisplay32876#

postoji #tex2html_wrap_inline32878# takav da je #math1481#

#tex2html_wrap_indisplay32880#

pa je #math1482#

#tex2html_wrap_indisplay32882#

Tako je #math1483#

#tex2html_wrap_indisplay32884#

Za #tex2html_wrap_inline32886# imamo #math1484#

#tex2html_wrap_indisplay32888#

U odnosu na varijablu #tex2html_wrap_inline32890# ova funkcija ima temeljni period #math1485#

#tex2html_wrap_indisplay32892#

To znači da rubne točke #tex2html_wrap_inline32894# i #tex2html_wrap_inline32896# miruju, i zbog toga se zovu čvorovi, a ostale se gibaju sinkrono s frekvencijom #math1486#

#tex2html_wrap_indisplay32898#

i s amplitudom #math1487#

#tex2html_wrap_indisplay32900#

#math1488##tex2html_wrap24328#
Za #tex2html_wrap_inline32903# imamo #math1489#

#tex2html_wrap_indisplay32905#

U odnosu na varijablu #tex2html_wrap_inline32907# ova funkcija ima temeljni period #math1490#

#tex2html_wrap_indisplay32909#

To znači da su sada čvorovi točke #tex2html_wrap_inline32911# #math1491##tex2html_wrap_inline32913# i #tex2html_wrap_inline32915# Ostale se gibaju sinkrono s frekvencijom #math1492#

#tex2html_wrap_indisplay32917#

i s amplitudom #math1493#

#tex2html_wrap_indisplay32919#

#math1494##tex2html_wrap24330#
Za #tex2html_wrap_inline32922# imamo čvorove #math1495##tex2html_wrap_inline32924# frekvencija titranja je #math1496#

#tex2html_wrap_indisplay32926#

#math1497##tex2html_wrap24332#
itd. Ovakva titranja se zovu stojni valovi. Stvarno slobodno titranje je superpozicija ovakvih titranja. Kad se radi o napetoj žici, ona prilikom titranja proizvodi ton. Broj #math1498##tex2html_wrap_inline32929# se zove frekvencija osnovnog tona, a ostale frekvencije se zovu frekvencije viših harmonika. Amplitude viših harmonika vrlo brzo opadaju prema nuli. Njihova distribucija daje boju proizvedenom tonu. Primijetimo na kraju da je frekvencija osnovnog tona #math1499#

#tex2html_wrap_indisplay32931#

Primjer 2.16   Naći oscilacije napete homogene žice, duljine #tex2html_wrap_inline32934# učvršćene na rubovima, u sredstvu s otporom proporcionalnim brzini, ako su početni uvjeti kao u primjeru #pr:sloscpom#5456>. Rješenje. Rubni i početni uvjeti su kao u primjeru #pr:sloscpom#5457>, a jednadžba glasi #math1500#

#tex2html_wrap_indisplay32936#

Stavimo #math1501##tex2html_wrap_inline32938# i podijelimo s #math1502##tex2html_wrap_inline32940# Dobivamo #math1503#

#tex2html_wrap_indisplay32942#

Varijable su separirane, pa je svaka strana ove jednakosti konstanta. Kao i ranije zaključujemo da je ta konstanta negativna, i da su vlastite vrijednosti #math1504#

#tex2html_wrap_indisplay32944#

i vlastite funkcije #math1505#

#tex2html_wrap_indisplay32946#

Vremenska jednadžba sada glasi #math1506#

#tex2html_wrap_indisplay32948#

Ovo je obična linearna diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima. Pretpostavka #math1507##tex2html_wrap_inline32950# vodi na karakterističnu jednadžbu #math1508#

#tex2html_wrap_indisplay32952#

Rješenja su #math1509#

#tex2html_wrap_indisplay32954#

Ako je #math1510##tex2html_wrap_inline32956# tj. ako je otpor dovoljno velik, onda nema osciliranja. Pretpostavimo da je otpor dovoljno malen tako da je #math1511##tex2html_wrap_inline32958# Tada je #math1512#

#tex2html_wrap_indisplay32960#

Tako je #math1513#

#tex2html_wrap_indisplay32962#

što se pomoću Eulerove formule može napisati kao #math1514#

#tex2html_wrap_indisplay32964#

Stavimo #math1515#

#tex2html_wrap_indisplay32966#

Tada je rješenje oblika #math1516#

#tex2html_wrap_indisplay32968#

Koeficijenti #tex2html_wrap_inline32970# i #tex2html_wrap_inline32972# se računaju kao i u primjeru #pr:sloscpom#5493>. Faktor #math1517##tex2html_wrap_inline32974# teži k nuli kad #math1518##tex2html_wrap_inline32976# Zato titranje postaje sve slabije kako #tex2html_wrap_inline32978# raste. Tako imamo prigušene oscilacije.