Slučaj #math1220##tex2html_wrap_inline31941# (sredstvo pruža otpor gibanju)

Uvjet #tex2html_wrap_inline31943# znači ustvari da je #tex2html_wrap_inline31945# za barem jedan #tex2html_wrap_inline31947# U ovom slučaju sva tri rubna problema imaju jedinstveno rješenje. To ćemo dokazati pomoću energetske jednadžbe. #math1221#

#tex2html_wrap_indisplay31949#

#math1222#

#tex2html_wrap_indisplay31951#

Jednom parcijalno integriramo prvi integral #math1223#

#tex2html_wrap_indisplay31953#

i rezultat uvrstimo. Dobivamo

#math1224#
#tex2html_wrap_indisplay31955# (2.12)

Ova jednadžba se zove energetska jednadžba. Naziv ima opravdanje u sljedećem razmatranju. #math1225##tex2html_wrap_inline31957# predstavlja približno vanjsku silu koja djeluje na komadić žice #tex2html_wrap_inline31959# a #math1226##tex2html_wrap_inline31961# je rad te sile na putu progiba #tex2html_wrap_inline31963# Prema tome zadnji integral na lijevoj strani jednadžbe (#eq:energ#4421>) je rad vanjske sile koji djeluje na cijelu žicu na putu progiba. Sila otpora je #math1227##tex2html_wrap_inline31965# pa je srednji integral ukupni rad sile otpora duž cijele žice na putu progiba. Prvi integral predstavlja energiju deformacije, #math1228##tex2html_wrap_inline31967# je rad kontaktne sile na desnom rubu na putu #math1229##tex2html_wrap_inline31969# a #math1230##tex2html_wrap_inline31971# je rad kontaktne sile na lijevom rubu na putu #tex2html_wrap_inline31973# Neka su #tex2html_wrap_inline31975# i #tex2html_wrap_inline31977# dva rješenja bilo kojeg od tri rubna problema koja promatramo. Funkcija #math1231#

#tex2html_wrap_indisplay31979#

rješava homogenu jednadžbu #math1232#

#tex2html_wrap_indisplay31981#

i pri tom zadovoljava homogene rubne uvjete. Energetska jednadžba (#eq:energ#4426>) sada glasi #math1233#

#tex2html_wrap_indisplay31983#

#math1234#

#tex2html_wrap_indisplay31985#

Budući da je #tex2html_wrap_inline31987# i #math1235##tex2html_wrap_inline31989# slijedi #math1236#

#tex2html_wrap_indisplay31991#

Kako je podintegralna funkcija neprekidna, nenegativna, i njezin je integral duž žice jednak #tex2html_wrap_inline31993# slijedi da je sama podintegralna funkcija jednaka nuli #math1237#

#tex2html_wrap_indisplay31995#

Zbroj dvije nenegativne funkcije može biti jednak nuli samo tako da je svaka od njih jednaka nuli. Tako je #math1238#

#tex2html_wrap_indisplay31997#

pa je #tex2html_wrap_inline31999# konstanta, tj. #tex2html_wrap_inline32001# S druge strane je #math1239#

#tex2html_wrap_indisplay32003#

Kako je #tex2html_wrap_inline32005# za barem jedan #tex2html_wrap_inline32007# slijedi da je #tex2html_wrap_inline32009# Prema tome #math1240#

#tex2html_wrap_indisplay32011#

tj. #math1241#

#tex2html_wrap_indisplay32013#

Dakle rješenje je doista jedinstveno.