Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata je modifikacija Ritzove metode u tom smislu da što više elemenata matrice krutosti bude jednako nuli. Budući da su elementi matrice krutosti #math2820#

#tex2html_wrap_indisplay38739#

funkcije #tex2html_wrap_inline38741# treba birati tako da međusobni produkti njihovih derivacija budu nulfunkcije u što više slučajeva. Pogledajmo na primjeru kako se to radi. Neka je dan rubni problem #math2821#

#tex2html_wrap_indisplay38743#

Podijelimo segment #tex2html_wrap_inline38745# na #tex2html_wrap_inline38747# jednakih dijelova. Time smo dobili čvorove #math2822#

#tex2html_wrap_indisplay38749#

gdje je #math2823#

#tex2html_wrap_indisplay38751#

korak diskretizacije. Rješenje tražimo u obliku #math2824#

#tex2html_wrap_indisplay38753#

gdje su #tex2html_wrap_inline38755# koordinatne funkcije definirane formulom

#math2825#
#tex2html_wrap_indisplay38757# (3.27)

za #math2826##tex2html_wrap_inline38759# Koordinatne funkcije #tex2html_wrap_inline38761# i #tex2html_wrap_inline38763# su definirane ovako

#math2827#
#tex2html_wrap_indisplay38765# (3.28)

#math2828#
#tex2html_wrap_indisplay38767# (3.29)

#math2829##tex2html_wrap24686#
Rješenje će biti oblika #math2830#

#tex2html_wrap_indisplay38770#

Navedimo sada neka svojstva koordinatnih funkcija. Najprije #math2831#

#tex2html_wrap_indisplay38772#

pa je prema tome

#math2832#
#tex2html_wrap_indisplay38774# (3.30)

Dakle, neodređeni koeficijenti #tex2html_wrap_inline38776# su upravo vrijednosti približnog rješenja u odgovarajućim čvorovima. Budući da je uvjet na lijevom rubu homogen, imamo #math2833#

#tex2html_wrap_indisplay38778#

pa će, prema tome, rješenje biti oblika #math2834#

#tex2html_wrap_indisplay38780#

Budući da na desnom rubu imamo prirodni (Neumannov) uvjet, nema nikakvih daljnjih zahtjeva na oblik rješenja. Iz formule (#eq:koordfunkmke#10296>) slijedi #math2835#

#tex2html_wrap_indisplay38782#

Odatle dobivamo

#math2836#
#tex2html_wrap_indisplay38784# (3.31)

Dalje radimo isto kao kod Ritzove metode, da bismo na kraju dobili sustav linearnih algebarskih jednadžbi #math2837#

#tex2html_wrap_indisplay38786#

Elementi #tex2html_wrap_inline38788# za fiksni #tex2html_wrap_inline38790# čine #tex2html_wrap_inline38792#-ti redak matrice krutosti #tex2html_wrap_inline38794# Formula (#eq:intkoordfunk#10337>) nam daje sljedeće važno svojstvo koordinatnih funkcija, a to je da u jednom retku matrica #tex2html_wrap_inline38796# ima najviše tri elementa različita od nule. To znatno pojednostavnjuje rješavanje sustava.

Primjer 3.21   Riješimo primjer #pr:ritz1dim#10339> metodom konačnih elemenata. Rješenje. Budući da je uvjet na desnom rubu homogen i prirodan, njega ne treba uzimati u obzir kod izbora koordinatnih funkcija. Uvjet na lijevom rubu nam kaže da treba isključiti funkciju #tex2html_wrap_inline38799# Dakle rješenje treba tražiti kao #math2838#

#tex2html_wrap_indisplay38801#

Kad se izračunaju #tex2html_wrap_inline38803# i #tex2html_wrap_inline38805# dobije se sljedeći sustav jednadžbi
#math2839#
#tex2html_wrap_indisplay38808# #tex2html_wrap_indisplay38810# #tex2html_wrap_indisplay38812#  
#tex2html_wrap_indisplay38814# #tex2html_wrap_indisplay38816# #tex2html_wrap_indisplay38818#  
#tex2html_wrap_indisplay38820# #tex2html_wrap_indisplay38822# #tex2html_wrap_indisplay38824#  
#tex2html_wrap_indisplay38826# #tex2html_wrap_indisplay38828# #tex2html_wrap_indisplay38830#  
#tex2html_wrap_indisplay38832# #tex2html_wrap_indisplay38834# #tex2html_wrap_indisplay38836#  
#tex2html_wrap_indisplay38838# #tex2html_wrap_indisplay38840# #tex2html_wrap_indisplay38842#  
#tex2html_wrap_indisplay38844# #tex2html_wrap_indisplay38846# #tex2html_wrap_indisplay38848#  
#tex2html_wrap_indisplay38850# #tex2html_wrap_indisplay38852# #tex2html_wrap_indisplay38854#  
#tex2html_wrap_indisplay38856# #tex2html_wrap_indisplay38858# #tex2html_wrap_indisplay38860#  
#tex2html_wrap_indisplay38862# #tex2html_wrap_indisplay38864# #tex2html_wrap_indisplay38866#  

Iz ovog sustava se izračunaju koeficijenti #math2840#

#tex2html_wrap_indisplay38868#

#math2841#

#tex2html_wrap_indisplay38870#

Budući da je rješenje između dva susjedna čvora linearna kombinacija polinoma prvog stupnja, rezultat će opet biti polinom prvog stupnja, tj. graf će biti dio pravca. Prema (#eq:svojstvokoef#10402>) rješenje je na rubu jednako odgovarajućim koeficijentima. Tako je za grafički prikaz rješenja dovoljno nanijeti točke #tex2html_wrap_inline38872# kojima je dodana točka #tex2html_wrap_inline38874# na lijevom rubu #math2842#

#tex2html_wrap_indisplay38876#

#math2843#

#tex2html_wrap_indisplay38878#

i zatim te točke spojiti segmentima (dijelovima pravaca).