next up previous contents
Next: Dijagonalizacija simetrične matrice Up: Problem vlastitih ... Previous: Problem vlastitih ...   Contents


Vlastite vrijednosti i vlastiti vektori

Definicija 14   Neka je $ {A}$ kvadratna matrica reda $ n.$ Za broj $ \lambda$ kažemo da je vlastita (svojstvena) vrijednost matrice $ A,$ a za vektor $ \boldsymbol{x}\neq \textbf{0}$ kažemo da je vlastiti (svojstveni) vektor matrice $ A,$ ako vrijedi

$\displaystyle A\,\boldsymbol{x}=\lambda\,\boldsymbol{x}.$

Skup svih vlastitih vrijednosti matrice $ {A}$ se zove spektar matrice $ A.$

Neka je

$\displaystyle A\,\boldsymbol{x}=\lambda\,\boldsymbol{x}.$

Tada je također

$\displaystyle A\,(\alpha\,\boldsymbol{x}) =
\alpha\,A\,\boldsymbol{x} = \alpha\,\lambda\,\boldsymbol{x} = \lambda\,(\alpha\,\boldsymbol{x}).$

Dakle, ako je $ \boldsymbol{x}$ vlastiti vektor za vlastitu vrijednost $ \lambda,$ onda je i svaki s njim kolinearan vektor također vlastiti vektor koji pripada istoj vlastitoj vrijednosti.

Jednadžba $ {A}\boldsymbol{x}=\lambda\,\boldsymbol{x}$ se može drukčije napisati kao

$\displaystyle ({A}-\lambda\, {I})\,\boldsymbol{x}=\textbf{0}.$

Da se nađe vlastiti vektor, potrebno je riješiti ovu matričnu jednadžbu. Ako je $ A=[a_{ij}],$ i $ \boldsymbol{x}=[x_i],$ ta jednadžba se može napisati kao homogen sustav linearnih algebarskih jednadžbi

$\displaystyle (a_{11}-\lambda)\,x_1+a_{12}\,x_2+\cdots+a_{1n}\,x_n$ $\displaystyle =$ 0  
$\displaystyle a_{21}\,x_1+(a_{22}-\lambda)\,x_2+\cdots +a_{2n}\,x_n$ $\displaystyle =$ 0  
$\displaystyle \cdots$      
$\displaystyle a_{n1}\,x_1+a_{n2}\,x_2+\cdots +(a_{nn}-\lambda)\,x_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0 .$  

Homogen sustav linearnih algebarskih jednadžbi ima netrivijalno rješenje, ako i samo ako je determinanta sustava jednaka nuli. Dakle,

% latex2html id marker 23286
$\displaystyle \det(A-\lambda\, I)=\left\vert \begi...
...dots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}-\lambda
\end{array} \right\vert=0.$

Ako raspišemo ovu determinantu i jednadžbu pomnožimo s $ (-1)^n,$ dobivamo algebarsku jednadžbu $ n$-tog reda

% latex2html id marker 23292
$\displaystyle \lambda^n-({\rm tr\,}A)\,\lambda^{n-1}+\cdots +(-1)^n\,\det A=0.$

Ova jednadžba se zove karakteristična jednadžba matrice $ A.$ Polinom na lijevoj strani se zove karakteristični polinom matrice $ A.$

Poznato je da algebarska jednadžba $ n$-tog reda ima $ n$ općenito kompleksnih rješenja, računajući njihovu kratnost. Ta rješenja su vlastite vrijednosti. Nas će, međutim, interesirati samo matrice i vektori s realnim brojevima. Tako ćemo, u slučaju kad rješenje nije realan broj, ponekad reći da vlastita vrijednost ne postoji.

Uvrštavanjem pojedinog rješenja u gornji homogeni sustav, dobivamo sustav jednadžbi koji, zbog toga što je homogen i što je determinanta jednaka nuli, ima beskonačno mnogo rješenja. To je u skladu s činjenicom da je svaki vektor, kolinearan s vlastitim vektorom, također vlastiti.

Primjer 1.13   Nađimo vlastite vrijednosti i vlastite vektore matrice

% latex2html id marker 23303
$\displaystyle A=\left[ \begin{array}{ccc}
3 & -2 & -4 \\
-1 & 1 & 1 \\
1 & -2 & -2
\end{array} \right].$

Rješenje. Karakteristična jednadžba je

% latex2html id marker 23305
$\displaystyle \det(A-\lambda\, I)=\left\vert\begin...
...1 & -2 & -2-\lambda
\end{array}\right\vert=-\lambda^3+2\,\lambda^2+\lambda-2=0.$

Vlastite vrijednosti su dakle $ \lambda_1=1,\lambda_2=-1,\lambda_3=2.$

Za $ \lambda_1=1$ pripadni vlastiti vektor dobivamo kao rješenje sustava


$\displaystyle 2\,x_1-2\,x_2-4\,x_3$ $\displaystyle =$ 0  
$\displaystyle -x_1\hspace{1.5cm}+x_3$ $\displaystyle =$ 0  
$\displaystyle x_1-2\,x_2-3\,x_3$ $\displaystyle =$ 0  

Iz druge jednadžbe imamo $ x_3=x_1.$ Uvrstimo u treću i dobivamo $ x_2=-x_1.$ Tako je vlastiti vektor

% latex2html id marker 23331
$\displaystyle \left[\begin{array}{c}
x_1 \\  -x_1 ...
...\end{array}\right]=x_1\left[\begin{array}{c}
1 \\  -1 \\  1
\end{array}\right].$

Za $ \lambda_2=-1$ imamo sustav

$\displaystyle 4\,x_1-2\,x_2-4\,x_3$ $\displaystyle =$ 0  
$\displaystyle -x_1+2\,x_2+x_3$ $\displaystyle =$ 0  
$\displaystyle x_1-2\,x_2-\,x_3$ $\displaystyle =$ 0  

Rješenja su $ x_2=0, x_3=x_1,$ pa je vlastiti vektor

% latex2html id marker 23353
$\displaystyle \left[\begin{array}{c}
x_1 \\  0 \\ ...
...
\end{array}\right]=x_1\left[\begin{array}{c}
1 \\  0 \\  1
\end{array}\right].$

Za $ \lambda_3=2$ imamo sustav

$\displaystyle x_1-2\,x_2-4\,x_3$ $\displaystyle =$ 0  
$\displaystyle -x_1-x_2+x_3$ $\displaystyle =$ 0  
$\displaystyle x_1-2\,x_2-4\,x_3$ $\displaystyle =$ 0  

Rješenja su $ x_1=-2\,x_2, x_3=-x_2,$ pa je vlastiti vektor

% latex2html id marker 23375
$\displaystyle \left[\begin{array}{c}
-2\,x_2 \\  x...
...end{array}\right]=x_2\left[\begin{array}{c}
-2 \\  1 \\  -1
\end{array}\right].$

Teorem 7   (Hamilton-Cayley) Ako je polinom

$\displaystyle P_A(\lambda)=\lambda^n-\sigma_1\,\lambda^{n-1}-\cdots-\sigma_n$

karakteristični polinom matrice $ A,$ onda je $ P_A(A)=O,$ tj.

$\displaystyle A^n-\sigma_1\,A^{n-1}-\cdots-\sigma_n\,I=O.$


Dokaz. $ \heartsuit$


next up previous contents
Next: Dijagonalizacija simetrične matrice Up: Problem vlastitih ... Previous: Problem vlastitih ...   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27