next up previous contents
Next: Jacobijeva metoda Up: Rješavanje sustava jednadžbi Previous: Rješavanje sustava jednadžbi   Contents


Iterativne metode

Želimo riješiti sustav linearnih algebarskih jednadžbi

$\displaystyle a_{1\,1}\,x_1+a_{1\,2}\,x_2+\cdots+a_{1\,n}\,x_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b_1$  
$\displaystyle a_{2\,1}\,x_1+a_{2\,2}\,x_2+\cdots +a_{2\,n}\,x_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b_2$  
$\displaystyle \cdots$      
$\displaystyle a_{n\,1}\,x_1+a_{n\,2}\,x_2+\cdots +a_{n\,n}\,x_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b_n,$  

koji matrično zapisan glasi

$\displaystyle A\,\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b},$

gdje je

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 28314
A = \left[
\begin{array}{cccc}
...
...n{array}{c}
x_1 \\  x_2 \\  \vdots \\  x_n
\end{array}\right].\end{displaymath}

To je matrična jednadžba, i mi ćemo često o sustavu jednadžbi govoriti kao o jednadžbi, misleći na ovu matričnu jednadžbu. Pretpostavimo da je $ {A}$ regularna matrica. Tada jednadžba ima rješenje, i označimo to rješenje s $ \boldsymbol{s}.$

Osnovna ideja iterativnih metoda se sastoji u sljedećem. Stavimo

$\displaystyle A = B - C,$

gdje su $ B$ i $ C$ također kvadratne matrice $ n$-tog reda. Jednadžbu tada možemo prepisati kao

$\displaystyle B\,\boldsymbol{x} = C\,\boldsymbol{x} + \boldsymbol{b}.$

Ako s $ \boldsymbol{x}^{(k)}$ označimo $ k$-tu aproksimaciju rješenja, onda pomoću formule

$\displaystyle B\,\boldsymbol{x}^{(k+1)} = C\,\boldsymbol{x}^{(k)} + \boldsymbol{b},$

možemo naći $ k+1$-vu aproksimaciju rješenja.

Naravno, da bi postupak uopće krenuo, treba biti zadana početna aproksimacija $ \boldsymbol{x}_0.$ Nadalje, matrica $ B$ mora biti regularna i relativno jednostavna, da bismo imali rješenje i da bismo ga mogli relativno jednostavno izračunati. Također postupak nas mora približavati k rješenju, tj. postupak mora biti takav da

$\displaystyle \lim_{k\rightarrow{}\infty}\boldsymbol{x}^{(k)} = \boldsymbol{s}.$

Opišimo sada neke od iterativnih metoda.


next up previous contents
Next: Jacobijeva metoda Up: Rješavanje sustava jednadžbi Previous: Rješavanje sustava jednadžbi   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27