Next: Višedimenzionalni problemi
Up: Varijacijske metode
Previous: Egzistencija rješenja
  Contents
Varijacijski račun
U 2.4.1 smo razmatrali problem minimizacije funkcionala
energije određenog rubnog problema. Ovdje ćemo razmatrati problem
minimizacije puno opæenitijeg funkcionala.
Neka je dana neprekidno derivabilna funkcija od tri varijable
Neka je
i
Tada imamo kompoziciju
funkcija (složenu funkciju) od jedne varijable
U vezi s tom funkcijom možemo promatrati
sljedeći funkcional
Ovo
je općenitiji funkcional od onih koje smo promatrali. Na pr. ako
stavimo
onda kompozicija kao gore daje
funkcional energije (2.21).
Osim same formule, važno je odrediti domenu funkcionala. Kao što se
iz formule vidi, funkcional
pridružuje funkciji
broj. Važno je definirati kojem skupu funkcija pripada
To naravno
ovisi o problemu o kojem se radi. Pretpostavimo da je funkcional
definiran na skupu
Skup
je vektorski prostor, jer je bilo koja linearna
kombinacija elemenata iz
opet element iz
Elemente
iz
ćemo zvati dopustivim funkcijama.
Posebno nas interesiraju funkcije na kojima funkcional poprima
minimalnu ili maksimalnu vrijednost. Svaka takva funkcija se zove
ekstremala. Nađimo sada uvjet koji treba ispunjavati
funkcija
da bude ekstremala funkcionala
U tu svrhu
stavimo
gdje je
dopustiva funkcija.
je funkcija od
i za
ona ima ekstrem. Budući da je
funkcija
neprekidno derivabilna, to znači da mora biti
 |
(2.24) |
Kako je
neprekidno derivabilna, imamo
Preciznije
Zbog (2.24) imamo
 |
(2.25) |
Jednom parcijalno integrirajmo drugi
integral
Funkcija
je dopustiva, pa je
Tako imamo
Kad to uvrstimo u (2.25), dobivamo
 |
(2.26) |
Ova jednakost vrijedi za svaku dopustivu funkciju, pa i za takve za
koje je
Za takve dopustive funkcije imamo
Na osnovu leme 2 slijedi
ili kraće
 |
(2.27) |
Ako se s time vratimo u jednadžbu (2.26), te zbog
proizvoljnosti dopustive funkcije
uzmemo
takvu da je
slijedi da mora vrijediti također
Ova jednakost se zove prirodni uvjet na rubu
Jednadžba (2.27) se zove Eulerova diferencijalna
jednadžba za dani funkcional. Dakle, da bi funkcija
bila
ekstremala funkcionala
nužno mora zadovoljavati pripadnu
Eulerovu diferencijalnu jednadžbu. To je nužan uvjet, ali ne i
dovoljan. Dovoljne uvjete ovdje nećemo razmatrati. Napomenimo da se
iz prirode problema često može zaključiti da li ekstremala postoji
ili ne. Ako postoji, i ima neprekidne derivacije dovoljno visokog
reda, onda je dovoljno naći rješenje Eulerove jednadžbe, koje
zadovoljava rubne uvjete.
Primjer 2.4
Problem brahistohrone. Interesira nas koji oblik putanje
treba izabrati tako da se za najkraće vrijeme, u polju sile teže,
stigne iz točke

u točku
slika
Krivulja s tim svojstvom se zove
brahistohrona.
2.1
Rješenje. Zakon o sačuvanju energije glasi

konst.
Nadalje
Predznak

dolazi stoga što smo pozitivni dio osi

okrenuli
prema dolje. Tako je

konst.
U točki

je

i

pa slijedi da je konstanta jednaka
nuli, tj.
jer ćemo u daljnjem visinu označavati s

Zadatak je naći
funkciju
S druge strane brzina je
Odatle je
pa je vrijeme gibanja po krivulji
Od svih puteva

treba izabrati onaj uz koji ovaj funkcional
poprima najmanju vrijednost uz uvjete
Budući da konstanta

ne utječe na to da li je

ekstremala ili ne, možemo uzeti
Budući da u

ne dolazi eksplicitno

Eulerova jednadžba
glasi
S druge strane
jer je izraz u zagradi upravo lijeva strana Eulerove jednadžbe. Dakle
Odatle
U našem slučaju
tj.
Stavimo
gdje je

parametar.
pa je
Sada treba

izraziti kao funkciju od

pa ćemo tako dobiti
parametarski određenu traženu krivulju.
Isto tako
Tako je
Odatle
Mora biti

da bi istovremeno

i

težili k
nuli. Stavimo

Tada je
dok je
Konstanta

se određuje iz preostalog rubnog uvjeta

ili preciznije

Ove parametarske
jednadžbe predstavljaju cikloidu.
Next: Višedimenzionalni problemi
Up: Varijacijske metode
Previous: Egzistencija rješenja
  Contents
Salih Suljagic
1999-01-27