next up previous contents
Next: Greenova funkcija Up: Rubni problemi Previous: Slučaj (sredstvo pruža otpor   Contents


Koncentrirano djelovanje

U dosadašnjim razmatranjima vanjska sila je bila zadana po jedinici duljine, što znači da je $ {f}(x,t)$ gustoća sile (linearna kad se radi o jednodimenzionalnom objektu kao što je žica). Ako je u točki $ x_0$ napete žice obješen uteg mase $ m,$ onda kažemo da se radi o koncentriranom djelovanju. U tom slučaju ne vrijedi izvod zakona o sačuvanju količine gibanja u 2.1.1.

Pretpostavimo da masa utega nije prevelika, tako da se ne događa kidanje žice niti plastična deformacija. To znači da je progib $ u(x,t),$ kao funkcija od $ x,$ neprekidna funkcija, tj.

$\displaystyle \lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}u(x_0+\varepsilon,t) =
\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}u(x_0-\varepsilon,t).$

Ovu jednakost zapisujemo ovako

$\displaystyle u(x_0+0,t) = u(x_0-0,t).$

Promatrajmo mali komad žice $ \langle
x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon\rangle$ oko točke $ x_0.$ Promjena količine gibanja tog komada žice u jedinici vremena jednaka je sili koja djeluje na taj komad

$\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon}
\rho(x)\,\fr...
...t)}{\partial t}\,dx =
\psi(x_0+\varepsilon,t) - \psi(x_0-\varepsilon,t) + F(t),$

tj.

$\displaystyle \int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon}
\rho(x)\,\frac{\partial^...
...{\partial
t^2}\,dx =
\psi(x_0+\varepsilon,t) - \psi(x_0-\varepsilon,t) + F(t),$

gdje smo s $ F(t)$ označili koncentriranu silu u točki $ x_0.$ Promjena količine gibanja u jedinici vremena je veličina koja se neprekidno mijenja u vremenu, pa je $ \rho(x)\,\frac{\partial^2\vec{u}(x,t)}{\partial
t^2}$ neprekidna funkcija. Odatle, po teoremu srednje vrijednosti za integrale

$\displaystyle \lim_{\varepsilon\rightarrow 0+}
\int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\var...
...repsilon\,\rho(\xi)\,\frac{\partial^2\vec{u}(\xi,t)}{\partial
t^2}\right] = 0.$

Dakle imamo

$\displaystyle \psi(x_0+0,t) -
\psi(x_0-0,t) + F(t) = 0,$

$\displaystyle p(x_0)\,
\left(\frac{\partial u(x_0+0,t)}{\partial x} - \frac{\partial
u(x_0-0,t)}{\partial x}\right) + F(t) = 0,$

$\displaystyle \frac{\partial
u(x_0+0,t)}{\partial x} - \frac{\partial
u(x_0-0,t)}{\partial x} = -\frac{F(t)}{p(x_0)}.$

Ova jednakost pokazuje da derivacija polja $ u$ po $ x$ ima u točki $ x_0$ prekid. Geometrijski to znači da je progib krivulja, koja u točki $ x_0$ nema tangentu. Izvan točke $ x_0$ progib ima tangentu, i kad prolazimo kroz točku $ x_0$ koeficijent smjera tangente skoči.
slika
Izvan točke $ x_0$ vrijedi izvedena diferencijalna jednadžba za žicu, ali s vanjskom silom $ f(x,t)=0.$

Za funkciju, koja u točki $ x_0$ ima konačan limes slijeve strane i konačan limes s desne strane,ali se ti limesi razlikuju, kažemo da ima u točki $ x_0$ prekid prve vrste.


next up previous contents
Next: Greenova funkcija Up: Rubni problemi Previous: Slučaj (sredstvo pruža otpor   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27