next up previous contents
Next: Ortogonalne matrice Up: Dijagonalizacija simetrične matrice Previous: Dijagonalizacija simetrične matrice. Opći   Contents


Hamilton-Cayleyev teorem za simetrične matrice.

Dijagonalizacija simetrične matrice nam omogućava da teorem 7 dokažemo za simetrične matrice elegantno.

Uočimo najprije da je

% latex2html id marker 23631
$\displaystyle A=X\,[\lambda_j\,
\delta_{ij}]\,X^{-...
...s & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_n
\end{array}\right]\,X^{-1}.$

Odatle

% latex2html id marker 23633
$\displaystyle A^2=X\,\left[\begin{array}{cccc}
\la...
...s & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_n
\end{array}\right]\,X^{-1}=$

% latex2html id marker 23635
$\displaystyle = X\,\left[\begin{array}{cccc}
\lamb...
...& \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_n^2
\end{array}\right]\,X^{-1}.$

Indukcijom se može dokazati da općenito vrijedi

% latex2html id marker 23637
$\displaystyle A^k=
X\,\left[\begin{array}{cccc}
...
...& \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_n^k
\end{array}\right]\,X^{-1},$   za $\displaystyle k=1,2,\ldots\,.$

Prema tome i za proizvoljni polinom $ p$ vrijedi

% latex2html id marker 23642
$\displaystyle p(A)=
X\,\left[\begin{array}{cccc}
...
... \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & p(\lambda_n)
\end{array}\right]\,X^{-1}.$

Neka je sada $ p_A$ karakteristični polinom matrice $ A.$ Budući da su $ \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n, $ vlastite vrijednosti matrice $ A,$ slijedi $ p_A(\lambda_i)
= 0$ za svaki $ i.$ U tom slučaju je dijagonalna matrica na desnoj strani nulmatrica, pa je

$\displaystyle p_A(A) = O.$



Salih Suljagic
1999-01-27