Next: Trapezna formula
Up: Aproksimacija funkcije i numerička
Previous: Metoda najmanjih kvadrata
  Contents
Numerička integracija
Zadatak je izračunati integral
Umjesto da integriramo podintegralnu funkciju, što često nije
moguće, ili zahtijeva puno posla, integriramo polinom,
koji interpolira funkciju u odgovarajućim točkama.
Numerički to radimo na sljedeći način. Segment
podijelimo
na podsegmente točkama
Radi jednostavnosti i
određenosti postupka podjela se uzme ekvidistantnom. U tim točkama
interpoliramo funkciju Lagrangeovim polinomom, i zatim integriramo
polinom. Tako dobiven broj predstavlja približnu vrijednost zadanog
integrala. Dakle
slika
Ako uvrstimo Lagrangeov polinom (3.12), imamo
 |
(3.15) |
Da bismo razmatranje učinili neovisnim o segmentu
svedimo ga
supstitucijom na fiksni segment
To možemo učiniti
afinom funkcijom (polinomom prvog stupnja) čiji je graf pravac kroz
točke
i
slika
Jednadžba tog pravca je
odnosno
Supstitucija čuva ekvidistantnost, pa je
ekvidistantna podjela segmenta
na
podsegmenata. Tom
supstitucijom formula (3.15) prelazi u
gdje je
 |
(3.16) |
Vidimo da ponderi
ne
ovise o segmentu, niti o funkciji, već samo o broju
Iz formule (3.13) slijedi da je greška koju pri tom činimo
gdje je
Točka
nam nije poznata, pa za ocjenu greške moramo uzeti
maksimum ove derivacije na segmentu
gdje je
Specijalno za
imamo
Zatim,
pa je
gdje je
Za
imamo tri točke podjele
Pretpostavimo da
je podjela ekvidistantna, tj. da je
Tada je
Kad bismo ponovili
postupak kao gore, dobili bismo ocjenu reda veličine
No, ta
se ocjena može poboljšati. Zbog činjenice da je funkcija
simetrična u odnosu na točku
njezin integral po
segmentu
iščezava. U tom slučaju se funkcija može
interpolirati s polinomom 4. stupnja, tako da se točka
uzme kao dvostruka. O tome kako se to radi ovdje
nećemo govoriti. Primijetimo samo da zbog integriranja polinoma 4.
stupnja ocjena postaje reda veličine
Može se pokazati de
je ona
gdje je
Next: Trapezna formula
Up: Aproksimacija funkcije i numerička
Previous: Metoda najmanjih kvadrata
  Contents
Salih Suljagic
1999-01-27