next up previous contents
Next: Metoda separacije varijabli Up: Rubni problemi Previous: Rubni problemi   Contents


Jedinstvenost rješenja rubnih problema

Laplaceova jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja. Dovoljno je vidjeti da je funkcije oblika $ u(x,y,z) = a\,x\,y + b\,y\,z + c\,z\,x
+ \alpha{}\,x + \beta{}\,y + \gamma{}\,z + \delta{}$ zadovoljavaju, za bilo kakve vrijednosti parametara $ a,b,c,d,\alpha,\beta,\gamma,\delta.$ Tako i Poissonova jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja. Realna fizikalna situacija je membrana određenog oblika, s određenim uvjetima na rubu. To drastično smanjuje broj rješenja. Razmotrimo sada problem jedinstvenosti rubnog problema

$\displaystyle -\Delta\,u = f,$

$\displaystyle u\vert _{\partial\Omega} = \alpha,$   ili$\displaystyle \hspace{1cm}\left.\frac{\partial
u}{\partial\vec{n}}\right\vert _{\partial\Omega} = \beta$

Taj problem ćemo rješavati pomoću energetske jednadžbe. Pomnožimo Poissonovu jednadžbu s $ u$ i zatim integrirajmo po cijelom području

$\displaystyle -\iiint_{\Omega}\,u\,\Delta\,u\,dV = \iiint_{\Omega}\,f\,u\,dV.$

Za skalarna polja $ u$ i $ v$ imamo

% latex2html id marker 26950
$\displaystyle {\rm div\,}(u\,{\rm grad\,}v) = {\rm grad\,}u\cdot{\rm grad\,}v + u\,\Delta v.$

Stavimo $ v=u,$ pa imamo

% latex2html id marker 26954
$\displaystyle u\,\Delta u = {\rm div\,}(u\,{\rm grad\,}u) - {\rm grad\,}u\cdot{\rm grad\,}u,$

% latex2html id marker 26956
$\displaystyle \iiint_{\Omega} u\,\Delta u\,dV =
\i...
...}(u\,{\rm grad\,}u)\,dV - \iiint_{\Omega} {\rm grad\,}
u\cdot{\rm grad\,}u\,dV.$

Po teoremu o divergenciji

% latex2html id marker 26958
$\displaystyle \iiint_{\Omega} {\rm div\,}(u\,{\rm ...
...vec{n}\,dS = \iint_{\partial\Omega} u\,\frac{\partial
u}{\partial \vec{n}}\,dS,$

pa nakon uvrštavanja dobivamo energetsku jednadžbu

% latex2html id marker 26960
$\displaystyle \iiint_{\Omega}\,({\rm grad\,}u)^2\,...
...f\,u\,dV + \iint_{\partial\Omega}\,
u\,\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}\,dS.$

Teorem 18   Neka je $ \Omega$ ograničeno područje u $ R^3.$ Dirichletov rubni problem

$\displaystyle -\Delta\,u = f,$

$\displaystyle u\vert _{\partial\Omega} = \alpha$

ima najviše jedno rješenje.


Dokaz. Zaista, pretpostavimo da su $ u_1$ i $ u_2$ dva rješenja. Tada funkcija $ w = u_1 - u_2$ rješava rubni problem

$\displaystyle -\Delta\,w = 0,$

$\displaystyle w\vert _{\partial\Omega} = 0.$

Uvrstimo $ w$ u energetsku jednadžbu umjesto $ u.$ Imamo

% latex2html id marker 26985
$\displaystyle \iiint_{\Omega}\,({\rm grad\,}w)^2\,dV = 0.$

Slijedi

% latex2html id marker 26987
$\displaystyle {\rm grad\,}w = \vec{0},$

odakle

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial w}{\partial
y} = \frac{\partial w}{\partial z} = 0,$

pa je $ w$ konstanta. No, $ w\vert _{\partial\Omega} = 0$ povlači $ w = 0,$ tj.

$\displaystyle u_1 =
u_2.$

$ \heartsuit$

Teorem 19   Neka je $ \Omega$ ograničeno područje u $ R^3,$ i neka je zadan Neumannov rubni problem

$\displaystyle -\Delta\,u = f,$

$\displaystyle \left.\frac{\partial u}{\partial\vec{n}}\right\vert _{\partial\Omega} = \beta.$

Rješenje problema postoji samo ako $ f$ i $ \beta$ zadovoljavaju uvjet

$\displaystyle \iiint_{\Omega}\,f\,dV + \iint_{\partial\Omega}\,\beta\,dS = 0,$

i tada je rješenje jedinstveno do na konstantu.


Dokaz. Ako je $ u$ rješenje, onda iz jednadžbe slijedi

$\displaystyle -\iiint_{\Omega}\,\Delta\,u\,dV = \iiint_{\Omega}\,f\,dV,$

% latex2html id marker 27020
$\displaystyle -\iiint_{\Omega}\,{\rm div\,}({\rm grad\,}u)\,dV = \iiint_{\Omega}\,f\,dV.$

Po teoremu o divergenciji slijedi

% latex2html id marker 27022
$\displaystyle -\iint_{\partial\Omega}\,\ {\rm grad\,}u\cdot \vec{n}\,dS = \iiint_{\Omega}\,f\,dV,$

$\displaystyle \iint_{\partial\Omega}\,\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}\,dS + \iiint_{\Omega}\,f\,dV = 0,$

dakle

$\displaystyle \iiint_{\Omega}\,f\,dV + \iint_{\partial\Omega}\,\beta\,dS = 0.$

Ovaj uvjet izražava činjenicu da vanjska sila i Neumannov rubni uvjet moraju biti pažljivo izabrani, tako da membrana bude u ravnoteži. Kod Dirichletovog uvjeta nije bio potreban toliki oprez, jer je u tom slučaju membrana na rubu učvršćena.
Dokažimo sada jedinstvenost do na konstantu. Neka su $ u_1$ i $ u_2$ dva rješenja. Tada funkcija $ w = u_1 - u_2$ rješava rubni problem

$\displaystyle -\Delta\,w = 0,$

$\displaystyle \left.\frac{\partial w}{\partial\vec{n}}\right\vert _{\partial\Omega} = 0.$

Uvrstimo $ w$ u energetsku jednadžbu umjesto $ u.$ Imamo

% latex2html id marker 27042
$\displaystyle \iiint_{\Omega}\,({\rm grad\,}w)^2\,dV = 0.$

Slijedi

% latex2html id marker 27044
$\displaystyle {\rm grad\,}w = \vec{0},$

odakle

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial w}{\partial
y} = \frac{\partial w}{\partial z} = 0,$

pa je $ w$ konstanta. Tako se $ u_1$ i $ u_2$ razlikuju za konstantu. $ \heartsuit$


next up previous contents
Next: Metoda separacije varijabli Up: Rubni problemi Previous: Rubni problemi   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27