Next: Inverzna matrica
Up: Rang matrice
Previous: Elementarne transformacije
  Contents
Rang matrice
Neka je
Njezine stupce, i njezine retke možemo
shvatiti kao vektore.
Među vektorima
ima određeni broj linearno nezavisnih, i među vektorima
također ima
određeni broj linearno nezavisnih.
Teorem 4
Neka je

proizvoljna matrica.
- 1.
- Broj linearno nezavisnih stupaca matrice
se ne mijenja,
ako je pomnožimo s lijeva s elementarnom matricom.
- 2.
- Broj linearno nezavisnih redaka matrice
se ne mijenja,
ako je pomnožimo s desna s elementarnom matricom.
Dokaz. 1. Neka je
broj
linearno nezavisnih stupaca matrice
Radi jednostavnosti
pretpostavimo da su to prvih
stupaca
Neka je
elementarna matrica. Tada je
Ispitajmo linearnu nezavisnost prvih
stupaca u tako
dobivenoj matrici.
Matrica
je regularna, postoji
pa je
odakle, zbog
linearne nezavisnosti vektora
slijedi
Prema tome prvih
stupaca matrice
je
linearno nezavisno. Tako smo dokazali da se broj linearno nezavisnih
stupaca matrice
ne smanjuje nakon množenja s elementarnom
matricom s lijeva.
Taj broj se ne može niti
uvećati, što pokazuje sljedeće razmatranje. Neka su stupci
matrice
linearno zavisni. To znači da vrijedi
za barem jedan
Tada je
za taj
isti
Prema tome i vektori
su linearno
zavisni.
2. Ako produkt
transponiramo,
dobivamo
Kao u prvom dijelu dokaza imamo da se broj linearno
nezavisnih stupaca u
nije promijenio. No, to znači da se broj
linearno nezavisnih redaka u matrici
nije promijenio.

Teorem 5
(Teorem o rangu).
Broj linearno nezavisnih redaka proizvoljne
matrice

tipa

jednak je broju njezinih linearno
nezavisnih stupaca. Taj broj se zove
rang matrice 
, i
označava se sa
Dokaz. Množeći matricu
dovoljan (konačan) broj puta s lijeva i s desna s odgovarajućim
elementernim matricama, matrica
se može svesti na oblik
gdje je
jedinica na
dijagonali. Stupci (reci) u kojima se pojavljuju
jedinice su linearno nezavisni. Dokaz je isti kao dokaz
linearne nezavisnosti kanonske baze. Ako tim stupcima (recima)
dodamo stupac (redak) sastavljen od samih nula, stupci (reci) će
postati linearno zavisni, jer množeći taj stupac (redak) s
a druge s nulom, dobivamo nulstupac (nulredak). Tako imamo
linearno nezavisnih stupaca i također
linearno nezavisnih
redaka. Time smo dokazali teorem o rangu.

Dokazom ovog teorema smo ujedno dobili metodu za ispitivanje ranga
matrice. Treba elementarnim operacijama svesti matricu na oblik kao u
dokazu teorema, i zatim očitati broj jedinica na dijagonali.
Definicija 13
Neka su

i

regularne matrice i neka je
Tada
kažemo da su matrice

i
ekvivalentne.
Primjer 1.10
Treba naći rang matrice
Rješenje.
pa je prema tome

Next: Inverzna matrica
Up: Rang matrice
Previous: Elementarne transformacije
  Contents
Salih Suljagic
1999-01-27