next up previous contents
Next: Pitanja Up: Varijacijske metode Previous: Ritzova metoda   Contents


Metoda konačnih elemenata

Navedene nedostatke donekle ispravlja metoda konačnih elemenata. Područje $ \Omega$ podijelimo jednostavnim likovima (trokutima četverokutima i sl.) na dijelove, elemente. Vrhove elemenata zovemo čvorovima. Podjela se vrši tako da niti jedan čvor ne leži na stranici nekog drugog čvora. Numeriramo elemente i čvorove. Čvorove treba pažljivo numerirati, da matrica sustava koji ćemo konačno dobiti bude što uža, tj. da pojas oko glavne dijagonale izvan kojeg su same nule bude što uži. Zatim odaberemo koordinatne funkcije $ v_i, i=1,2,\ldots, n$ tako da $ v_i$ u čvoru $ i$ ima vrijednost $ 1,$ a u ostalim čvorovima vrijednost $ 0.$ Na elementima, koji nemaju čvor $ i$ kao vrh, $ v_i$ ima vrijednost $ 0.$ Na elementima, koji imaju čvor $ i$ kao svoj vrh, funkciju $ v_i$ definiramo kao polinom prvog stupnja ili viših stupnjeva ako to zahtijeva problem koji rješavamo. Objasnimo sada na jednom jednostavnom primjeru metodu konačnih elemenata za problem ravnoteže membrane.

Primjer 3.4   Neka na napetu kvadratnu membranu duljine stranice $ 1,$ učvršćene na rubu u ravnini $ xy,$ djeluje vanjska sila u smjeru osi $ z$ po iznosu jednaka $ 1.$ Treba naći ravnotežni položaj membrane.

Rješenje. Rubni problem za ovaj zadatak glasi, uz dodatnu pretpostavku da je $ c=1,$

$\displaystyle -$ $\displaystyle \Delta\,u = 1,$ $\displaystyle \quad$ na $\displaystyle \Omega$    
  $\displaystyle u = 0$ $\displaystyle \quad$ na $\displaystyle \partial\Omega$    

gdje je $ \Omega$ kvadrat stranice $ 1,$ koji možemo uzeti u ravnini $ xy$ tako da su mu vrhovi točke $ (0,0),(1,0),(1,1),(0,1).$ Podijelimo na devet jednakih kvadrata i zatim svaki od tih kvadrata na dva trokuta. Time je $ \Omega$ podijeljen na 18 elemenata (trokuta). Također imamo 16 čvorova, od toga 12 na rubu. To su točke

$\displaystyle (0,0), (1/3,0), (2/3,0), (1,0), (0,1/3), (1/3,1/3), (2/3,1/3),
(1,1/3),$

$\displaystyle (0,2/3), (1/3,2/3), (2/3,2/3), (1,2/3), (0,1), (1/3,1),
(2/3,1), (1,1).$

slika

Funkcional energije u ovom slučaju je

% latex2html id marker 30438
$\displaystyle F(w) = \frac{1}{2}\,\iint_{\Omega}\,({\rm grad\,}w)^2dxdy - \iint_{\Omega}\,w\,dxdy.$

Za svaki čvor definiramo koordinatnu funkciju

$\displaystyle v_1,v_2,v_3,\ldots{},v_{16},$

tako da stavimo $ v_i = 1$ u $ i$-tom čvoru, a u ostalim čvorovima $ v_i = 0.$ Na elementu $ e$ koji ima $ i$-ti čvor kao vrh stavimo

$\displaystyle v_i^e(x,y) = \alpha{}_i^e + \beta{}_i^e\,x + \gamma{}_i^e\,y.$

Za $ i=6$ imamo $ v_6^1,v_6^2,v_6^4,v_6^7,v_6^9,v_6^{10}.$ Nađimo na pr. $ v_6^9.$ Zbog svojstva koordinatnih funkcija imamo

$\displaystyle \alpha{}_6^9 + \beta{}_6^9\,\frac{1}{3} + \gamma{}_6^9\,\frac{1}{3}$ $\displaystyle = 1$    
$\displaystyle \alpha{}_6^9 + \beta{}_6^9\,\frac{2}{3} + \gamma{}_6^9\,\frac{1}{3}$ $\displaystyle = 0$    
$\displaystyle \alpha{}_6^9 + \beta{}_6^9\,\frac{2}{3} + \gamma{}_6^9\,\frac{2}{3}$ $\displaystyle = 0.$    

Rješenje je $ \alpha{}_6^9=2,\beta{}_6^9=-3,\gamma{}_6^9=0,$ pa je

$\displaystyle v_6^9 = 2 - 3\,x.$

Na isti način možemo naći da je

$\displaystyle v_6^1 = 3\,y,\;v_6^2 = 3\,x,\;v_6^4 = 1 - 3\,x + 3\,y,\;v_6^7 = 1 +
3\,x - 3\,y,\;v_6^{10} = 2 - 3\,y,$

a također i ostale koordinatne funkcije. Primijetimo da je zbog geometrijskih razloga

$\displaystyle v_6^1 = v_7^3,\;v_6^2 = v_{10}^8,\;v_{10}^7 = v_{11}^9,\;v_7^4 =
v_{11}^{10},\;v_6^7 = v_{11}^{15},\;v_6^4 = v_{11}^{12},$

$\displaystyle v_6^{10} =
v_7^{12},\;v_6^9 = v_{10}^{15},\;v_7^{11} = v_{11}^{17},\;v_{10}^{16}
= v_{11}^{18}.$

Rješenje tražimo u obliku

$\displaystyle u(x,y) = c_1\,v_1(x,y) + c_2\,v_2(x,y) + \cdots{} + c_{16}\,v_{16}(x,y).$

U čvoru na rubu, na pr. prvom, $ (0,0),$ funkcija $ u$ se poništava. Dakle

$\displaystyle 0 = c_1\,v_1(0,0) + c_2\,v_2(0,0) + \cdots{} + c_{16}\,v_{16}(0,0).$

U prvom čvoru funkcija $ v_1$ prima vrijednost $ 1,$ a ostale funkcije primaju vrijednost $ 0.$ Tako imamo

$\displaystyle 0 = c_1.$

Za svaki čvor na rubu možemo na taj način dobiti da je, zbog uvjeta na rubu, pripadni koeficijent jednak $ 0.$ Tako imamo

$\displaystyle c_1 = c_2 = c_3 = c_4 = c_5 = c_8 = c_9 = c_{12} = c_{13} = c_{14} = c_{15} =
c_{16} = 0.$

Preostaje dakle

$\displaystyle u(x,y) = c_6\,v_6(x,y) + c_7\,v_7(x,y) + c_{10}\,v_{10}(x,y) +
c_{11}\,v_{11}(x,y).$

Dakle zadatak je odrediti koeficijente $ c_6,c_7,c_{10},c_{11}.$ To ćemo učiniti tako da u Bernoullijev princip (2.8) uvrstimo ovaj $ u,$ i redom $ v=v_i,$ gdje je $ i=6,7,10,11.$ Tako imamo

% latex2html id marker 30506
$\displaystyle \iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_i\cdot{\rm grad\,}\sum_j c_j\,v_j\,dxdy = \iint_{\Omega}\,
v_i\,dxdy,\quad i=6,7,10,11,$

% latex2html id marker 30508
$\displaystyle \sum_j c_j\,\iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_i\cdot{\rm grad\,}v_j\,dxdy = \iint_{\Omega}\,
v_i\,dxdy,\quad i=6,7,10,11.$

Da bi se dobila jednadžba za čvor $ i=6,$ treba izračunati

% latex2html id marker 30512
$\displaystyle \iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_6\cdot{\rm grad\,}v_j\,dxdy,\quad j=6,7,10,11,$   i $\displaystyle \quad \iint_{\Omega}\,v_6\,dxdy.$

Integral po $ \Omega$ je suma integrala po elementima. Zbog svojstava koordinatnih funkcija, integral po mnogim elementima iščezava. Na pr.

% latex2html id marker 30517
$\displaystyle \iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_6\cdot...
...rad\,}v_6\,dxdy = \iint_1 + \iint_2 + \iint_4 +
\iint_7 + \iint_9 + \iint_{10}.$

% latex2html id marker 30519
$\displaystyle {\rm grad\,}v_6^1 = \{0,3\},\;{\rm grad\,}v_6^2 = \{3,0\},\;{\rm grad\,}v_6^4 =
\{-3,3\},$

% latex2html id marker 30521
$\displaystyle {\rm grad\,}v_6^7 = \{3,-3\},\;{\rm grad\,}v_6^9 = \{-3,0\},\;{\rm grad\,}
v_6^{10} = \{0,-3\}.$

Tako je

$\displaystyle \iint_1 = \iint_2 = \iint_9 = \iint_{10} = 9\,\frac{1}{18} =
\frac{1}{2},\quad \iint_4 = \iint_7 = 18\,\frac{1}{18} = 1,$

i prema tome

% latex2html id marker 30525
$\displaystyle \iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_6\cdot{\rm grad\,}v_6\,dxdy = 4.$

Zatim

% latex2html id marker 30527
$\displaystyle \iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_6\cdot{\rm grad\,}v_7\,dxdy = \iint_4 + \iint_9.$

$\displaystyle v_7^4 = -1 + 3\,x,\quad v_7^9 = 3\,x - 3\,y,$

% latex2html id marker 30531
$\displaystyle {\rm grad\,}v_7^4 = \{3,0\},\quad {\rm grad\,}v_7^9 = \{3,-3\},$

pa je

$\displaystyle \iint_4 = -9\,\frac{1}{18} = -\frac{1}{2},\quad \iint_9 =
-9\,\frac{1}{18} = -\frac{1}{2},$

i prema tome

% latex2html id marker 30535
$\displaystyle \iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_6\cdot{\rm grad\,}v_7\,dxdy = -1.$

% latex2html id marker 30537
$\displaystyle \iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_6\cdot{\rm grad\,}v_{10}\,dxdy = \iint_7 + \iint_{10}.$

$\displaystyle v_{10}^7 = -1 + 3\,y,\quad v_{10}^{10} = - 3\,x + 3\,y,$

% latex2html id marker 30541
$\displaystyle {\rm grad\,}v_{10}^7 = \{0,3\},\quad {\rm grad\,}v_{10}^{10} = \{-3,3\},$

pa je

$\displaystyle \iint_7 = -9\,\frac{1}{18} = -\frac{1}{2},\quad \iint_{10} =
-9\,\frac{1}{18} = -\frac{1}{2},$

i prema tome

% latex2html id marker 30545
$\displaystyle \iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_6\cdot{\rm grad\,}v_{10}\,dxdy = -1.$

% latex2html id marker 30547
$\displaystyle \iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_6\cdot{\rm grad\,}v_{11}\,dxdy = \iint_9 + \iint_{10}.$

$\displaystyle v_{11}^9 = v_{10}^7 = -1 + 3\,y,\quad v_{11}^{10} = - 3\,x + 3\,y,$

% latex2html id marker 30551
$\displaystyle {\rm grad\,}v_{11}^9 = \{0,3\},\quad {\rm grad\,}v_{11}^{10} = v_7^4 = \{3,0\},$

pa je

$\displaystyle \iint_9 = \iint_{10} = 0,$

i prema tome

% latex2html id marker 30555
$\displaystyle \iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_6\cdot{\rm grad\,}v_{11}\,dxdy = 0.$

Osim toga je

$\displaystyle \iint_{\Omega}\,v_6\,dxdy = \iint_1 v_6^1 + \iint_2 v_6^2 + \iint_4 v_6^4 +
\iint_7 v_6^7 + \iint_9 v_6^9 + \iint_{10} v_6^{10} = \frac{2}{27}.$

Isti rezultat dobivamo i ako umjesto $ v_6$ stavimo $ v_7,v_{10}$ ili $ v_{11}.$ Tako je jednadžba za čvor $ i=6$

$\displaystyle 4\,c_6 - c_7 - c_{10} = \frac{2}{27}.$

Također je očito

% latex2html id marker 30569
$\displaystyle \iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_i\cdot...
...iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_6\cdot{\rm grad\,}
v_6\,dxdy = 4,\qquad i=7,10,11.$

% latex2html id marker 30571
$\displaystyle \iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_7\cdot...
...11}\,dxdy = \iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_6\cdot{\rm grad\,}
v_{10}\,dxdy = -1,$

pa jednadžba za čvor $ i=7$ glasi

$\displaystyle - c_6 + 4\,c_7 - c_{11} = \frac{2}{27}.$

% latex2html id marker 30577
$\displaystyle \iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v_{10}\c...
...v_{11}\,dxdy = \iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}
v_6\cdot{\rm grad\,}v_7\,dxdy = -1,$

pa jednadžbe za čvorove $ i=10,11$ glase

$\displaystyle - c_6 + 4\,c_{10} - c_{11} = \frac{2}{27}.$

$\displaystyle - c_7 - c_{10} + 4\,c_{11} = \frac{2}{27}.$

Rješenje sustava je

$\displaystyle c_6 = c_7 = c_{10} = c_{11} = \frac{1}{27}.$

To su ujedno vrijednosti funkcije $ u$ u čvorovima $ i=6,7,10,11.$


next up previous contents
Next: Pitanja Up: Varijacijske metode Previous: Ritzova metoda   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27