next up previous contents
Next: Fourierovi redovi Up: Fourierova metoda Previous: Fourierova metoda   Contents


Valna jednadžba

Valna jednadžba

$\displaystyle \rho(x)\,\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} =
p(x)\,\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} + f(x,t)$

opisuje oscilacije žice, longitudinalne oscilacije štapa i torzione oscilacije štapa. Pretpostavimo da ne djeluje vanjska sila, $ f(x,t)
= 0,$ i neka su zadani homogeni rubni uvjeti.

$\displaystyle \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} =
c^2\,\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2},\hspace{1cm}
u(0,t)=0,u(\ell,t)=0,$

gdje je $ c^2 = \frac{p(x)}{\rho(x)}.$ Budući da su oscilacije u pravilu periodična gibanja u odnosu na vrijeme, potražimo rješenja ovog rubnog problema u obliku

$\displaystyle u(x,t)=X(x)\,\cos \omega t,$   ili$\displaystyle \hspace{1cm}
u(x,t)=X(x)\,\sin \omega t.$

Imamo

$\displaystyle \frac{\partial^2
u(x,t)}{\partial t^2} = -X(x)\,\omega^2\,\cos \omega t,$

dok je

$\displaystyle \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} = X''(x)\,\cos \omega t.$

Uvrstimo u jednadžbu

$\displaystyle -X(x)\,\omega^2\,\cos \omega t =
X''(x)\,\cos \omega t,$

i ako uzmemo u obzir rubne uvjete

$\displaystyle u(0,t) =
X(0)\,\cos\omega t = 0,\hspace{1cm}u(\ell,t) = X(\ell)\,\cos\omega t = 0,$

dobivamo sljedeći rubni problem za običnu diferencijalnu jednadžbu

$\displaystyle X''(x) + \left(\frac{\omega}{c}\right)^2\,X(x) = 0,\hspace{1cm}
X(0) = 0,\,X(\ell) = 0,$

$\displaystyle X''(x) + \lambda^2\,X(x) = 0,\hspace{1cm}X(0) = 0,\,X(\ell) = 0,$ (2.10)

gdje je $ \lambda = \frac{\omega}{c}.$ Ovo je homogena obična linearna diferencijalna jednadžba 2. reda, njezina karakteristična jednadžba je

$\displaystyle r^2 + \lambda^2 = 0,\hspace{1cm}
r_{1,2} = \pm i\,\lambda$

pa je opće rješenje

$\displaystyle X(x) =
A\,e^{i\,\lambda\,x} + B\,e^{-i\,\lambda\,x},$

odakle, pomoću Eulerove formule

$\displaystyle e^{\pm i\,\lambda\,x} =
\cos\lambda\,x\pm i\,\sin\lambda\,x,$

dobivamo opće rješenje

$\displaystyle X(x) =
C_1\,\cos\lambda\,x + C_2\,\sin\lambda\,x.$

Iz $ X(0)=0$ slijedi $ C_1=0,$ pa je

$\displaystyle X(x) = C_2\,\sin\lambda\,x.$

Iz $ X(\ell)=0$ slijedi

$\displaystyle C_2\,\sin\lambda\,\ell = 0\hspace{1cm}\Rightarrow\hspace{1cm}
\lambda\,\ell = n\,\pi,\;\;n\in Z.$

Dakle imamo zapravo diskretan skup vrijednosti za $ \lambda$

$\displaystyle \lambda =
\frac{n\,\pi}{\ell}\hspace{1cm}n=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots\;.$

Ovi brojevi se zovu vlastite vrijednosti, a pripadne funkcije

$\displaystyle X_n(x) =
B_n\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x\hspace{1cm}n=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots\ .$

se zovu vlastite funkcije rubnog problema (2.10). Budući da je sinus neparna funkcija, dovoljno je uzeti $ n = 1,2,3,\ldots\ .$ Tako imamo rješenja oblika

$\displaystyle u_n(x,t)=X_n(x)\,\cos c\,\lambda_n\,
t,$   ili$\displaystyle \hspace{1cm}u_n(x,t)=X_n(x)\,\sin c\,\lambda_n\, t.$

Problem oscilacija žice je potpuno zadan tek kad zadamo još i početne uvjete. Očekujemo da ćemo tada kao rješenje imati nekakvu kombinaciju ovih rješenja. Budući da su trigonometrijske funkcije s frekvencijama $ \lambda_n,\,n=1,2,3,\ldots$ linearno nezavisne, može se dogoditi da u takvoj kombinaciji učestvuje beskonačno mnogo funkcija. To nas dovodi do pojma Fourierovih redova.


next up previous contents
Next: Fourierovi redovi Up: Fourierova metoda Previous: Fourierova metoda   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27