Next: Dijagonalizacija simetrične matrice
Up: Problem vlastitih ...
Previous: Problem vlastitih ...
  Contents
Vlastite vrijednosti i vlastiti vektori
Definicija 14
Neka je

kvadratna matrica reda

Za broj

kažemo da
je
vlastita (svojstvena) vrijednost matrice

a za
vektor

kažemo da je
vlastiti
(svojstveni) vektor matrice

ako vrijedi
Skup svih vlastitih vrijednosti matrice
se zove spektar
matrice 
Neka je
Tada je također
Dakle,
ako je
vlastiti vektor za vlastitu vrijednost
onda je
i svaki s njim kolinearan vektor također vlastiti vektor koji pripada
istoj vlastitoj vrijednosti.
Jednadžba
se može
drukčije napisati kao
Da se nađe
vlastiti vektor, potrebno je riješiti ovu matričnu jednadžbu. Ako
je
i
ta jednadžba se može
napisati kao homogen sustav linearnih algebarskih jednadžbi
Homogen sustav linearnih algebarskih jednadžbi ima netrivijalno
rješenje, ako i samo ako je determinanta sustava jednaka nuli. Dakle,
Ako raspišemo ovu determinantu i jednadžbu pomnožimo s
dobivamo algebarsku jednadžbu
-tog reda
Ova jednadžba se zove karakteristična jednadžba matrice
Polinom na lijevoj strani se zove
karakteristični polinom matrice
Poznato je da algebarska jednadžba
-tog reda ima
općenito
kompleksnih rješenja, računajući njihovu kratnost. Ta rješenja su
vlastite vrijednosti. Nas će, međutim, interesirati samo matrice i
vektori s realnim brojevima. Tako ćemo, u slučaju kad rješenje nije
realan broj, ponekad reći da vlastita vrijednost ne postoji.
Uvrštavanjem pojedinog rješenja u gornji homogeni sustav,
dobivamo sustav jednadžbi koji, zbog toga što je homogen i što je
determinanta jednaka nuli, ima beskonačno mnogo rješenja. To je u
skladu s činjenicom da je svaki vektor, kolinearan s vlastitim
vektorom, također vlastiti.
Primjer 1.13
Nađimo vlastite vrijednosti i vlastite vektore matrice
Rješenje. Karakteristična jednadžba je
Vlastite vrijednosti su dakle
Za
pripadni vlastiti vektor dobivamo kao rješenje sustava
Iz druge jednadžbe imamo

Uvrstimo u treću i dobivamo

Tako je vlastiti vektor
Za

imamo sustav
Rješenja su

pa je vlastiti vektor
Za

imamo sustav
Rješenja su

pa je vlastiti vektor
Teorem 7
(Hamilton-Cayley) Ako je polinom
karakteristični polinom matrice

onda je

tj.
Dokaz.

Next: Dijagonalizacija simetrične matrice
Up: Problem vlastitih ...
Previous: Problem vlastitih ...
  Contents
Salih Suljagic
1999-01-27