next up previous contents
Next: Vektori Up: Inverzna matrica Previous: Inverzna matrica   Contents


Svojstva skupa regularnih matrica.

1.
Produkt regularnih matrica je regularna matrica i vrijedi $ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.$
2.
Jedinična matrica $ I$ je regularna, i $ I^{-1}=I.$
3.
$ (\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}.$
4.
$ (A^{-1})^T=(A^T)^{-1}.$
5.
Ako je $ {A}$ regularna matrica, onda je $ \det A\neq 0.$

Nulmatrica množena s bilo kojom matricom daje nulmatricu, pa tako ne postoji njezin inverz. Dakle, nulmatrica je singularna. No to nije jedina singularna matrica kao što pokazuje sljedeći primjer.

Primjer 1.2   Matrica

% latex2html id marker 22186
$\displaystyle A=\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right]$

nema inverznu.

Rješenje. Iz primjera 1.1 se vidi da je

% latex2html id marker 22188
$\displaystyle A\,\left[\begin{array}{cc}
0 & 0 \\ ...
...\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right].$

Pretpostavimo da postoji inverz $ B$ matrice $ A.$ Tada je

% latex2html id marker 22194
$\displaystyle BA\,\left[\begin{array}{cc}
0 & 0 \\...
...d{array}\right]=B\,\left[\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right],$

tj.

% latex2html id marker 22196
$\displaystyle \left[\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0...
...\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right],$

što je u kontradikciji s definicijom jednakosti matrica.

Može se dokazati da vrijedi

$\displaystyle \det A=a_{i1}\,A_{1i}+a_{i2}\,A_{2i}+
\cdots + a_{in}\,A_{ni}$

za svaki $ i.$ No, ako algebarske komplemente elemenata jednog retka množimo s elementima drugog retka i zbrojimo, dobivamo nulu

$\displaystyle a_{i1}\,A_{1j}+a_{i2}\,A_{2j}+ \cdots + a_{in}\,A_{nj}=0,$   za $\displaystyle j\neq i$

To slijedi odatle što je lijeva strana jednaka determinanti u kojoj je umjesto $ j$-tog retka napisan $ i$-ti. Tako u determinanti imamo dva retka jednaka, pa je ona jednaka nuli. Dakle za svaki $ i,j$ vrijedi

$\displaystyle a_{i1}\,A_{1j}+a_{i2}\,A_{2j}+ \cdots + a_{in}\,A_{nj}=\delta_{ij}
\,\det A.$

Na lijevoj strani ove jednakosti se nalazi $ ij$-ti element produkta matrice $ A=[a_{ij}]$ i matrice $ B=[A_{ij}].$ Vidimo da je

$\displaystyle [a_{ij}]\,[A_{ij}] = \det A\,[\delta_{ij}],$

tj.

$\displaystyle A\,B = (\det
A)\,I.$

Odgovarajuće formule vrijede ako se uzmu stupci matrice $ {A}$ umjesto redaka, pa se može slično dobiti formula

$\displaystyle B\,A = (\det
A)\,I.$

Odavde je jasno da je

$\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,[A_{ij}].$

Matrica $ B = [A_{ij}]$ se zove adjunkta matrice $ A.$

Na temelju ove diskusije može se zaključiti da vrijedi i obrat 5. svojstva skupa regularnih matrica 1.1.2. Tako vrijedi

5'. Matrica $ {A}$ je regularna ako i samo ako je $ \det A\neq 0.$


next up previous contents
Next: Vektori Up: Inverzna matrica Previous: Inverzna matrica   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27