next up previous contents
Next: Determinanta Up: Vektori i matrice Previous: Linearna nezavisnost.   Contents

Kvadratne matrice

Definicija 3   U kvadratnoj matrici $ A=[a_{ij}]$ reda $ n$ elementi $ a_{11},a_{22},\ldots
,a_{nn}$ čine glavnu dijagonalu.

Zbroj elemenata na glavnoj dijagonali kvadratne matrice zovemo trag matrice i pišemo % latex2html id marker 22012
$ {\rm tr\,}A.$ Dakle,

$\displaystyle tr\,A=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}.$

Kvadratne matrice imaju redaka koliko i stupaca, pa se mogu množiti u bilo kojem poretku, no i u tom slučaju produkt nije komutativan kao što pokazuje sljedeći primjer.

Primjer 1.1   Neka su dane matrice $ A,B\in {\cal M}_{2},$

% latex2html id marker 22019
$\displaystyle A=\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\  ...
...ght],\hspace{1cm}B=\left[\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}\right].$

% latex2html id marker 22021
$\displaystyle A\,B=\left[\begin{array}{cc}
a & b \...
...],\hspace{1cm}B\,A=\left[\begin{array}{cc}
a & 0 \\
c & 0
\end{array}\right],$

dakle $ A\,B\neq B\,A.$

Definicija 4   Neka je $ {A}$ kvadratna matrica. Matrica $ {A}$ se zove
-
dijagonalna matrica, ako je $ A=[a_{ij}\,\delta_{ij}],$ tj. ako su joj elementi izvan glavne dijagonale jednaki nuli,
-
skalarna matrica, ako je $ A=[a\,\delta_{ij}],$ tj. ako je dijagonalna i ako su joj elementi na glavnoj dijagonali međusobno jednaki,
-
gornja trokutasta, ako su joj elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli,
-
donja trokutasta, ako su joj elementi iznad glavne dijagonale jednaki nuli.

Skalarna matrica je dijagonalna, dok obrat naravno ne vrijedi. Nulmatrica $ O$ i jedinična matrica $ I$ su skalarne matrice. Dapače, svaka skalarna matrica ima oblik $ \lambda\,I.$

Budući da je $ A\,I=I\,A$ za svaku kvadratnu matricu $ A,$ bilo koja skalarna matrica komutira sa svakom matricom $ A\in{\cal M}_{n}.$

Definicija 5   Neka je $ {A}$ kvadratna matrica. Matrica $ {A}$ se zove
-
simetrična matrica, ako je $ A^T=A,$
-
antisimetrična matrica, ako je $ A^T=-A,$
-
ortogonalna matrica, ako je $ A^T\,A=I.$

Elementi na glavnoj dijagonali antisimetrične matrice su nule. Svaka kvadratna matrica se može na jedinstven način razložiti na zbroj simetrične i antisimetrične marice:

$\displaystyle A=\frac{1}{2}\,(A+A^T)+\frac{1}{2}\,(A-A^T).$

Da je $ A+A^T$ simetrična, a $ A-A^T$ antisimetrična matrica, lako se vidi upotrebom gornjih svojstava.




next up previous contents
Next: Determinanta Up: Vektori i matrice Previous: Linearna nezavisnost.   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27