next up previous contents
Next: Metoda Runge-Kutta Up: Početni (Cauchyjev) problem Previous: Početni (Cauchyjev) problem   Contents


Eulerova metoda

Neka je dana diferencijalna jednadžba

$\displaystyle y' = f(x,y),$

na segmentu $ [a,b]$ uz početni uvjet $ y(a)=\alpha.$

Na temelju Taylorovog teorema srednje vrijednosti imamo

$\displaystyle y_{i+1} = y(x_i+h) = y(x_i) + y'(x_i)\,h + \frac{1}{2}\,y''(x_i+t\,h)\,h^2.$ (3.20)

Zanemarimo zadnji član, koji sadrži $ h^2,$ pa dobivamo približnu vrijednost

% latex2html id marker 29561
$\displaystyle y_{i+1} \approx y_i + y'_i\,h.$

Odatle

% latex2html id marker 29563
$\displaystyle y_{i+1} \approx y_i + h\,f(x_i,y_i).$

Tako imamo sljedeći algoritam

Algoritam 9   (Eulerova metoda) Izaberemo dovoljno velik prirodni broj $ n.$ Za zadani korak

$\displaystyle h = \frac{b-a}{n}$

računamo niz brojeva $ (y_n)$ po formuli

$\displaystyle y_{i+1} = y_i + h\,f(x_i,y_i),\hspace{1cm}i=0,1,2,\ldots,n-1,$

s tim da je

$\displaystyle x_i = a + i\,h,$

a početna vrijednost $ y_0$ je određena početnim uvjetom.

Ova metoda je vrlo jednostavna, ali i vrlo gruba (ocjena pogreške je vrlo gruba) tako da se rijetko kada upotrebljava.



Salih Suljagic
1999-01-27