next up previous contents
Next: Rang matrice Up: Rang matrice Previous: Rang matrice   Contents


Elementarne transformacije

Elementarnim transformacijama nad matricom zovemo sljedeće operacije:

1.
zamjena dva retka (dva stupca) u matrici,
2.
množenje proizvoljnog retka (stupca) brojem različitim od nule,
3.
množenje proizvoljnog retka (stupca) matrice brojem, i dodavanje bilo kojem drugom retku (stupcu) matrice.

Kako pokazuju sljedeći primjeri, ove operacije se mogu ostvariti množenjem matrice regularnim matricama s lijeva ili s desna.

Primjer 1.7  

% latex2html id marker 22834
$\displaystyle \left[\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 0 ...
...}
1 & 0 & -1 \\
1 & 1 & -1 \\
0 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 1
\end{array} \right],$

% latex2html id marker 22836
$\displaystyle \left[ \begin{array}{rrr}
1 & 0 & -1...
...}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 2 \\
1 & -1 & 1 \\
2 & 1 & 1
\end{array} \right].$

Dakle, množeći matricu s lijeva jediničnom matricom u kojoj su zamijenjeni drugi i treći redak, dobili smo matricu u kojoj su zamijenjeni drugi i treći redak.

Množeći matricu s desna jediničnom matricom u kojoj su zamijenjeni drugi i treći stupac, dobili smo matricu u kojoj su zamijenjeni drugi i treći stupac.

Primjer 1.8  

% latex2html id marker 22839
$\displaystyle \left[\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 0 ...
...}
1 & 0 & -1 \\
0 & 2 & 1 \\
3 & 3 & -3 \\
2 & 1 & 1
\end{array} \right],$

% latex2html id marker 22841
$\displaystyle \left[ \begin{array}{rrr}
1 & 0 & -1...
...}
1 & 0 & -1 \\
0 & 6 & 1 \\
1 & 3 & -1 \\
2 & 3 & 1
\end{array} \right].$

Dakle, množeći matricu s lijeva jediničnom matricom u kojoj je treći redak pomnožen brojem $ 3$ (različitim od nule), dobili smo matricu u kojoj je treći redak pomnožen brojem $ 3.$

Množeći matricu s desna jediničnom matricom u kojoj je drugi stupac pomnožen brojem $ 3$ (različitim od nule), dobili smo matricu u kojoj je drugi stupac pomnožen brojem $ 3.$

Primjer 1.9  

% latex2html id marker 22852
$\displaystyle \left[\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 0 ...
...}
1 & 0 & -1 \\
0 & 2 & 1 \\
1 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 3
\end{array} \right],$

% latex2html id marker 22854
$\displaystyle \left[ \begin{array}{rrr}
1 & 0 & -1...
...
3 & 0 & -1 \\
-2 & 2 & 1 \\
3 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 1
\end{array} \right].$

Dakle, množeći matricu s lijeva jediničnom matricom u kojoj smo prvi redak pomnožili brojem $ -2$ i dodali četvrtom, dobili smo matricu u kojoj je prvi redak pomnožen brojem $ -2$ dodan četvrtom retku.

Množeći matricu s desna jediničnom matricom u kojoj smo treći stupac pomnožili brojem $ -2$ i dodali prvom, dobili smo matricu u kojoj je treći stupac pomnožen brojem $ -2$ dodan prvom stupcu.

Zaključak.

1.
Što želimo učiniti s recima matrice $ {A}$ učinimo to na jediničnoj matrici i s tako dobivenom matricom množimo matricu $ {A}$ s lijeva.
2.
Što želimo učiniti sa stupcima matrice $ {A}$ učinimo to na jediničnoj matrici i s tako dobivenom matricom množimo matricu $ {A}$ s desna.

Ove intervencije na jediničnoj matrici dovode do regularnih matrica. Zaista, ako jediničnu matricu u kojoj su zamijenjeni drugi i treći redak (stupac) pomnožimo s istom takvom s lijeva (s desna), dobit ćemo jediničnu matricu. Ako jediničnu matricu u kojoj je treći redak (stupac) pomnožen brojem $ 3$ pomnožimo s lijeva (s desna) s jediničnom matricom u kojoj je treći redak (stupac) pomnožen brojem $ \frac{1}{3},$ dobit ćemo jediničnu matricu. Ako jediničnu matricu u kojoj je trećem retku (stupcu) dodan prvi pomnožen s $ -2$ pomnožimo s lijeva (s desna) s jediničnom matricom u kojoj je trećem retku (stupcu) dodan prvi pomnožen s $ 2,$ dobit ćemo jediničnu matricu.

Ove matrice koje vrše elementarne operacije zvat ćemo elementarnim matricama.

Gaussov i Gauss-Jordanov postupak eliminacije se može provoditi tako da se nad proširenom matricom sustava provode elementarne operacije, ali samo s recima. Vršeći elementarne operacije nad stupcima, pobrkali bismo nepoznanice do te mjere da više ne bismo znali što smo na kraju izračunali.


next up previous contents
Next: Rang matrice Up: Rang matrice Previous: Rang matrice   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27