next up previous contents
Next: Struktura rješenja Up: Rang matrice Previous: Rang matrice   Contents


Inverzna matrica

Primijetimo najprije da je u dokazu teorema 5 korišteno samo svojstvo regularnosti matrice $ T,$ tako da teorem vrijedi i u slučaju da je $ T$ bilo koja regularna matrica. Budući da za regularnu kvadratnu matricu $ {A}$ vrijedi $ A^{-1}A=I,$ i da množenje s regularnom matricom $ A^{-1}$ ne mijenja rang (broj linearno nezavisnih redaka ili stupaca), slijedi da su stupci (reci) regularne matrice linearno nezavisni. Također vrijedi i obrat. Ako su stupci (reci) kvadratne matrice linearno nezavisni, onda je matrica regularna.

Neka je $ {A}$ kvadratna regularna matrica. Gauss-Jordanovom metodom, odnosno množenjem s lijeva s elementarnim matricama $ Q_1,Q_2,\ldots,Q_k$ svedemo $ {A}$ na $ I$

$\displaystyle Q_1\,Q_2\,\cdots\,Q_k\,A =
I.$

Tada je $ Q_1Q_2\cdots
Q_k=A^{-1},$ i

% latex2html id marker 23030
$\displaystyle Q_1Q_2\cdots Q_k\left[ \begin{array}...
..._k \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{cc} I &
A^{-1} \end{array} \right].$

Ova formula nam daje postupak za invertiranje matrice. Taj postupak se sastoji u tome da formiramo pravokutnu matricu tako da matrici $ {A}$ dodamo jediničnu matricu $ I$ istog reda, i zatim elementarnim operacijama nad recima prvi dio pravokutne matrice (onaj gdje se prvobitno nalazila matrica $ {A}$) svedemo na jediničnu matricu. U drugom dijelu pravokutne matrice se tada nalazi $ A^{-1}.$

Primjer 1.11   Treba invertirati matricu

% latex2html id marker 23041
$\displaystyle A=\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & ...
...1 \\
1 & 2 & 2 & 2 \\
1 & 2 & 3 & 3 \\
1 & 2 & 3 & 4
\end{array}\right].$

Rješenje.

% latex2html id marker 23043
$\displaystyle \left[\begin{array}{rrrrrrrr}
1 & 1 ...
... 2 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 3 & -1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]$

% latex2html id marker 23045
$\displaystyle \sim\left[\begin{array}{rrrrrrrr}
1 ...
... 1 & 1 & 0 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1
\end{array}\right]$

% latex2html id marker 23047
$\displaystyle \sim\left[\begin{array}{rrrrrrrr}
1 ...
...1 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1
\end{array}\right]$

% latex2html id marker 23049
$\displaystyle \sim\left[\begin{array}{rrrrrrrr}
1 ...
... & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1
\end{array}\right].$

Odatle

% latex2html id marker 23051
$\displaystyle A^{-1}=\left[\begin{array}{rrrr}
2 &...
...
-1 & 2 & -1 & 0 \\
0 & -1 & 2 & -1 \\
0 & 0 & -1 & 1
\end{array}\right].$

Množenjem se lako može provjeriti da je to doista inverzna matrica matrice $ A.$


next up previous contents
Next: Struktura rješenja Up: Rang matrice Previous: Rang matrice   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27