next up previous contents
Next: Zaključak. Up: Ortogonalne matrice drugog reda Previous: 1. slučaj.   Contents


2. slučaj.

Radijvektor koji pripada točki zatvara kut $ \varphi-\pi/2$ s pozitivnim dijelom osi $ x,$ pa imamo

$\displaystyle q_{12}=\sin \varphi,\hspace{1cm} q_{22}=-\cos \varphi.$

Matrica je sada

% latex2html id marker 23763
$\displaystyle Q=
\left[ \begin{array}{cc}
\cos {\...
... & \sin {\varphi } \\
\sin {\varphi } & -\cos {\varphi }
\end{array} \right],$

simetrična je, pa se može dijagonalizirati. Karakteristična jednadžba je

$\displaystyle \lambda^2-\cos^2\varphi-\sin^2\varphi=0,$

pa su vlastite vrijednosti $ \lambda_1=1,$ $ \lambda_2=-1,$ a vlastiti vektori su

% latex2html id marker 23771
$\displaystyle \left[ \begin{array}{c}
\cos\frac{\v...
...ray}{c}
-\sin\frac{\varphi }{2} \\  \cos\frac{\varphi }{2}
\end{array} \right].$

Ako formiramo matricu $ X$ od ovih vektora, onda je

% latex2html id marker 23775
$\displaystyle X^{-1}Q\,X=\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right]$

U ovom slučaju se radi o simetriji u ravnini u odnosu na pravac čiji je koeficijent smjera % latex2html id marker 23777
$ k={\rm tg}\,\frac{\varphi }{2}.$

U ovom slučaju je očito $ \det Q=-1.$



Salih Suljagic
1999-01-27