next up previous contents
Next: Konvergencija. Up: Fourierova metoda Previous: Valna jednadžba   Contents


Fourierovi redovi

Funkcije

$\displaystyle \sin \frac{n\,\pi}{\ell}x,\;\;\hspace{1cm}n=1,2,3,\ldots$

su periodične, i period je broj $ \tau>0$ takav da vrijedi na pr.

$\displaystyle \sin
\frac{n\,\pi}{\ell}(x + \tau) = \sin \frac{n\,\pi}{\ell}x.$

Odatle slijedi

$\displaystyle \frac{n\,\pi}{\ell}\,\tau = 2\,\pi\hspace{1cm}\Rightarrow\hspace{1cm}\tau
= \frac{2\,\ell}{n}.$

slika

Svaka od ovih funkcija ima period $ 2\ell,$ pa se nadamo da pomoću njih možemo prikazati svaku periodičku funkciju $ f$ perioda $ 2\ell.$ Uz tu pretpostavku imamo

$\displaystyle f(x)=\frac{a_0}{2}+a_1\cos
\frac{\pi\,x}{\ell}+a_2\cos \frac{2\,\pi\,x}{\ell}+\cdots+a_n\cos
\frac{n\,\pi\,x}{\ell}+\cdots$

$\displaystyle +b_1\sin \frac{\pi\,x}{\ell}+b_2\sin
\frac{2\,\pi\,x}{\ell}+\cdots+b_n\sin
\frac{n\,\pi\,x}{\ell}+\cdots\;,$

tj.

$\displaystyle f(x)= \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty} \left(a_k\cos \frac{k\,\pi\,x}{\ell}+b_k\sin \frac{k\,\pi\,x}{\ell}\right),$ (2.11)

gdje su koeficijenti $ a_k,b_k,\;n=1,2,3,\ldots$ neodređeni. Da bismo koeficijente odredili tako da vrijedi ova jednakost, koristimo jedno važno svojstvo trigonometrijskih funkcija

% latex2html id marker 25635
$\displaystyle \int_{-\ell}^{\ell}\,\sin
\frac{n\,\...
...ll, & \mbox{ako je $m=n$} \\
0, & \mbox{ako je $m\neq n$}
\end{array}\right.,$

% latex2html id marker 25637
$\displaystyle \int_{-\ell}^{\ell}\,\cos\frac{n\,\p...
...ll, & \mbox{ako je $m=n$} \\
0, & \mbox{ako je $m\neq n$}
\end{array}\right.,$

$\displaystyle \int_{-\ell}^{\ell}\,\sin\frac{n\,\pi\,x}{\ell}\,\cos \frac{m\,\pi\,x}{\ell}\,dx =
0.$

Svojstvo izraženo formulama, u kojima je desna strana jednaka nuli, se zove ortogonalnost trigonometrijskih funkcija, a formule se zovu formule ortogonalnosti.

Sada računamo koeficijente tako da (2.11) množimo redom s

$\displaystyle \cos\frac{n\,\pi\,x}{\ell},$   i$\displaystyle \hspace{1cm}
\sin\frac{n\,\pi\,x}{\ell},\hspace{1cm}n=1,2,3,\ldots,$

i zatim integriramo po segmentu duljine perioda, na pr. $ [-\ell,\ell].$ Zbog svojstva ortogonalnosti dobivamo

$\displaystyle \int_{-\ell}^{\ell}\,f(x)\,dx = \frac{a_0}{2}\,2\,\ell,\;\;
\int_{-\ell}^{\ell}\,f(x)\,\cos\frac{n\,\pi\,x}{\ell}\,dx = a_n\,\ell,$

$\displaystyle \int_{-\ell}^{\ell}\,
f(x)\,\sin\frac{n\,\pi\,x}{\ell}\,dx = b_n\,\ell,\hspace{1cm}n=1,2,3,\ldots\
.$

Da bi ove formule imale smisla, nužno je da $ f$ bude integrabilna funkcija na segmentu $ [-\ell,\ell].$ U tom slučaju su koeficijenti

$\displaystyle a_0 = \frac{1}{\ell}\int_{-\ell}^{\ell}\,f(x)\,dx,\hspace{1cm}a_n =
\frac{1}{\ell}\int_{-\ell}^{\ell}\,
f(x)\,\cos\frac{n\,\pi\,x}{\ell}\,dx,$

$\displaystyle b_n = \frac{1}{\ell}\int_{-\ell}^{\ell}\,
f(x)\,\sin\frac{n\,\pi\,x}{\ell}\,dx,\hspace{1cm}n=1,2,3,\ldots\ .$

Red

$\displaystyle \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty} \left(a_k\cos
\frac{k\,\pi\,x}{\ell}+b_k\sin \frac{k\,\pi\,x}{\ell}\right)$

se zove trigonometrijski red, i on se može napisati neovisno o bilo kakvoj funkciji. Ako su u tom redu koeficijenti ovi koje smo upravo izračunali, onda se red zove Fourierov red funkcije $ f,$ a koeficijenti se zovu Fourierovi koeficijenti.

Do sada smo stalno imali na umu funkciju $ f$ definiranu na $ [-\ell,\ell].$ U slučaju da je funkcija $ f$ definirana na $ R,$ i integrabilna na $ [-\ell,\ell],$ možemo također izračunati Fourierove koeficijente i prema tome imamo Fourierov red funkcije $ f.$ Budući da svaka funkcija u tom redu ima period $ 2\ell,$ i red će predstavljati periodičnu funkciju perioda $ 2\ell,$ i to onu koja se iz dane dobije periodičkim proširenjem njezine restrikcije na segmentu $ [-\ell,\ell]$ na cijeli $ R.$




next up previous contents
Next: Konvergencija. Up: Fourierova metoda Previous: Valna jednadžba   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27