Next: Ravnoteža žice.
Up: Poprečne oscilacije žice
Previous: Zakon održanja količine gibanja
  Contents
Zakoni ponašanja
Označimo s
linearnu gustoću mase žice u točki
u čas
Linearna gustoća mase je masa po jedinici duljine. Tada je
količina gibanja po jedinici duljine u točki
u čas
jednaka
umnošku mase po jedinici duljine u točki
i brzine u točki
u
čas
Tako imamo prvi zakon ponašanja
Usvojimo sada sljedeća pojednostavljenja.
Pretpostavljamo da se gibanje odvija u ravnini
i to tako da je
tj. tako da je komponenta
progiba u smjeru osi
jednaka nuli. U skladu s ovom pretpostavkom
možemo progib smatrati skalarnim poljem
Promatrat ćemo male progibe žice, tako da možemo pretpostaviti da
je

za svaki
U tom
slučaju ćemo reći da je deformacija mala. Odatle
odnosno
To znači da je apsolutni
prirast progiba u odnosu na progib u ishodištu vrlo malen prema
duljini žice.
slika
Budući da je deformacija mala, možemo pretpostaviti da je kontaktna
sila
u točki
kolinearna s jediničnim
tangencijalnim vektorom na progib žice
u točki
tj.
Funkcija
se zove
napetost žice u točki
u čas
U daljnjem ćemo
pretpostavljati da napetost ne ovisi o vremenu, i da je u svakoj
točki pozitivna, tj. da je

za svaki
Tako je
Progib
možemo shvatiti kao krivulju u ravnini s parametrizacijom
gdje je
Tada je
Budući da je
možemo zanemariti
pa imamo
odnosno
Vanjska sila po jedinici duljine djeluje u ravnini
pa možemo
pisati
Ako se s ovim vratimo u diferencijalnu jednadžbu, imamo
što se
raspada na dvije skalarne jednadžbe
Prva jednadžba omogućava
izračunavanje napetosti žice. Da bi napetost bila neovisna o
vremenu, nužno mora
biti neovisno o vremenu. Tako imamo
Integrirajmo ovu jednadžbu
Ako vanjska sila djeluje poprečno
na žicu, onda je
pa je
tj. napetost
je konstantna, i jednaka napetosti na desnom rubu. Ako vanjska sila
ima komponentu u smjeru osi
različitu od nule, onda napetosti
na desnom rubu treba dodati još doprinos od vanjske sile po
jedinici duljine.
Druga jednadžba
se zove valna
jednadžba. To je parcijalna diferencijalna
jednadžba. Napetost izračunamo iz prve jednadžbe,
je zadano
time što je zadana vanjska sila po jedinici duljine.
je
zadana linijska gustoća mase žice. Nepoznanica u jednadžbi je
progib
Osnovni problem je, dakle, izračunati
iz
valne jednadžbe. Ako pretpostavimo da je napetost konstantna duž
žice, valna jednadžba poprima oblik
Također
je prirodno pretpostaviti da je
Tada možemo podijeliti
jednadžbu s
pa imamo
gdje je
sila po jedinici duljine i po jedinici
mase u smjeru osi
Ako žica oscilira u nekom sredstvu koje pruža otpor gibanju, onda
treba uzeti u obzir silu otpora. Budući da su oscilacije male, može
se pretpostaviti da sredstvo reagira kao elastično, tj. da je sila
otpora proporcionalna progibu i suprotnog smjera
gdje je
za
faktor proporcionalnosti. U
tom slučaju imamo jednadžbu oscilacija
Next: Ravnoteža žice.
Up: Poprečne oscilacije žice
Previous: Zakon održanja količine gibanja
  Contents
Salih Suljagic
1999-01-27