next up previous contents
Next: Rješavanje sustava jednadžbi Up: Modifikacije Newtonove metode Previous: Whittakerova metoda.   Contents

Metoda `Regula falsi' ili metoda sekante.

Kod ove metode se $ f'(x_n)$ zamjenjuje s koeficijentom sekante

$\displaystyle \frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}},$

tako da imamo formulu postupka

$\displaystyle x_{n+1} = x_n - \frac{(x_n-x_{n-1})\,f(x_n)}{f(x_n)-f(x_{n-1})} =
\frac{x_{n-1}\,f(x_n) - x_n\,f(x_{n-1})}{f(x_n) - f(x_{n-1})}.$

Pri tom uzimamo $ x_0=a,$ $ x_1=b,$ pa $ x_2$ izračunamo iz formule. Da bismo izračunali $ x_3,$ stavimo u formulu $ x_2$ umjesto $ x_n,$ a umjesto $ x_{n-1}$ stavimo onaj od brojeva $ x_0,x_1$ u kojem funkcija prima vrijednost suprotnog znaka od onog u točki $ x_2.$ Tako nastavljamo dalje. Da bismo izračunali $ x_{n+2},$ trebamo uzeti $ x_{n+1},$ i kao $ x_n$ uzeti onaj između $ x_{n-1}$ i $ x_n$ u kojem funkcija ima suprotan znak nego u $ x_{n+1}.$

Tako imamo sljedeći algoritam

Algoritam 4   Stavimo $ x_0=a$ i $ x_1=b.$ Zatim računamo niz $ (x_n),
n=2,3,4,\ldots\ $ po formuli

$\displaystyle x_{k+1} = \frac{x_l\,f(x_k) - x_k\,f(x_l)}{f(x_k) - f(x_l)},$

gdje je

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 28286
x_l = \left\{
\begin{array}{ll}...
...& \mbox{ako\ je\ }f(x_{k-2})\,f(x_k)<0. \\
\end{array}\right.\end{displaymath}

Metoda uvijek konvergira. Konvergencija je brža nego kod metode polovljenja, ali sporija nego kod Newtonove metode.



Salih Suljagic
1999-01-27