next up previous contents
Next: Prisilne oscilacije Up: Slobodne oscilacije žice Previous: Interpretacija rješenja.   Contents


Homogenizacija rubnih uvjeta.

Kad rubni uvjeti nisu homogeni, onda ih možemo homogenizirati, međutim tada jednadžba prestaje biti homogenom. Tako dolazimo do problema

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 25871
\begin{cases}\frac{\textstyle{\...
...artial u(x,0)}}{\textstyle{\partial t}} = \beta(x). \end{cases}\end{displaymath} (2.14)

Rješenje pretpostavljamo u obliku

$\displaystyle u(x,t) = v(x,t) + w(x),$

gdje je $ w$ rješenje stacionarnog rubnog problema

$\displaystyle c^2\,w''(x) + h(x) = 0,\hspace{1cm}
w(0)=w(\ell)=0.$

Uvrstimo $ u(x,t)$ u jednadžbu. Budući da $ w$ ne ovisi o $ t,$ imamo

$\displaystyle \frac{\textstyle{\partial^2
v(x,t)}}{\textstyle{\partial t^2}} = ...
...extstyle{\partial^2
v(x,t)}}{\textstyle{\partial x^2}} + w''(x)\right) + h(x),$

$\displaystyle \frac{\textstyle{\partial^2 v(x,t)}}{\textstyle{\partial t^2}} =
c^2\,\frac{\textstyle{\partial^2 v(x,t)}}{\textstyle{\partial
x^2}},$

jer je $ c^2w''+h=0.$

Rubni uvjeti ostaju isti, a početni uvjeti se mijenjaju

$\displaystyle u(x,0)=
v(x,0) +w(x) = \alpha(x),$

pa je tako početni položaj

$\displaystyle v(x,0) =
\alpha(x) - w(x) = \alpha_1(x),$

a početna brzina ostaje

$\displaystyle \frac{{\partial v(x,0)}}{\textstyle{\partial t}} = \beta(x),$

jer $ w$ ne ovisi o $ t.$ Tako smo problem sveli na homogenu jednadžbu i homogene rubne uvjete, što smo već riješili.



Salih Suljagic
1999-01-27