Neka je
klase
na
Želimo riješiti
jednadžbu
Netwonova metoda, koja se često zove
Newton-Raphsonova metoda ili metoda
tangente, sastoji se u sljedećem.
Pretpostavimo da nam je poznata -ta aproksimacija
rješenja
i da želimo naći
-vu aproksimaciju
Taylorova formula za funkciju
za
u točki
glasi
Time smo dobili sljedeći algoritam.
Objasnimo sada zašto se ova metoda zove još i metoda
tangente. Jednadžba tangente na graf funkcije
u točki
je
Tada Newtonova metoda konvergira k rješenju jednadžbe
za
bilo koju početnu aproksimaciju
Dokaz. Kombinirajući uvjete iz
teorema, mogli bismo promatrati razne slučajeve, no može se
pokazati da se svaki od njih, uzimajući
umjesto
i/ili
umjesto
može svesti na slučaj
Rješenje. Izračunati -ti
korijen iz broja
znači riješiti po
jednadžbu
Što se tiče izbora početne aproksimacije
i konvergencije,
primijetimo sljedeće. Za
imamo
Zatim, zbog
za svaki
je
i
Na kraju, iz pozitivnosti
funkcije
slijedi rast funkcije
pa je
onaj rub segmenta
u kojem
ima manju vrijednost. Da bi vrijedilo
U programskom paketu Mathematica se ovaj postupak programira vrlo jednostavno
Map[Nest[((k-1) # + c/#^(k-1))/k&,x0,#1]&,Range[p]]//Ngdje je
p
broj aproksimacija koje želimo, a broj x0
je početna
aproksimacija. Naravno k
je broj korijena koji se vadi.
Specijalno kad je
imamo formulu za približno računanje drugog
korijena
Rješenje. To je isto kao približno riješiti jednadžbu
Ako želimo ocijeniti grešku, primijetimo da je Newtonova metoda zapravo metoda iteracije, ako stavimo
Neka je