next up previous contents
Next: Metoda separacije varijabli za Up: Metoda separacije varijabli Previous: Dirichletov problem za ravnotežu   Contents

Ravnoteža pravokutne membrane

Rubni problem za ravnotežu pravokutne membrane učvršćene na rubu glasi

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 27251
\begin{array}{l}
\Delta\,u(x,y) = f(x,y), \\
u\vert _{\partial P}=\alpha(x,y),
\end{array}\end{displaymath}

gdje je $ P$ pravokutnik $ [0,a]\times [0,b].$

Pretpostavimo da je $ f=0,$ i da je

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 27259
\begin{array}{l}
u(x,0) = \alpha(x),\\
u(0,y)=u(a,y)=u(x,b)=0,
\end{array}\end{displaymath}

s tim da, zbog pretpostavke o neprekidnosti membrane, mora biti $ \alpha(0) = \alpha(a) = 0.$

Pretpostavimo rješenje u obliku

$\displaystyle u(x,y) = X(x)\,Y(y).$

Iz $ \Delta\,u = 0$ slijedi

$\displaystyle Y(y)\,X''(x) + Y''(y)\,X(x) =0,$

$\displaystyle \frac{X''(x)}{X(x)} = -\frac{Y''(y)}{Y(y)} = c,$

gdje je $ c$ konstanta, jer smo separirali varijable. O njezinoj pozitivnosti ili negativnosti odlučujemo na temelju analize samog rubnog problema. Budući da periodičnost rješenja možemo očekivati po varijabli $ x,$ jer je $ u(0,y)=u(a,y),$ konstanta je u ovom slučaju negativna, tj. $ c=-\lambda^2.$

Ovdje je ključno bilo to što diferencijalna jednadžba oblika

$\displaystyle y''(x) + k^2\,y(x) = 0$

ima rješenja $ e^{ikx},e^{-ikx},$ i odatle pomoću Eulerove formule $ \cos kx, \sin kx,$ a to su periodičke funkcije. S druge strane jednadžba oblika

$\displaystyle y''(x) - k^2\,y(x) = 0$

ima rješenja $ e^{kx},e^{-kx},$ i odatle % latex2html id marker 27289
$ {\rm ch}\,kx, {\rm sh}\,kx,$ a to nisu periodičke funkcije.

Dakle, uz $ c=-\lambda^2,$ imamo

$\displaystyle X''(x) + \lambda^2\,X(x) = 0.$ (2.30)

Nadalje, iz uvjeta na rubu

$\displaystyle u(0,y) = X(0)\,Y(y) = 0,$

$\displaystyle u(a,y) = X(a)\,Y(y) = 0,$

slijedi

$\displaystyle X(0) = 0,\hspace{1cm}X(a) = 0.$

Rješenja jednadžbe (2.30) uz ove rubne uvjete jesu

$\displaystyle X_n(x) = \sin\frac{n\,\pi}{a}\,x.$

Druga jednadžba

$\displaystyle Y''(y) - \lambda^2\,Y(y) = 0$

daje rješenja

% latex2html id marker 27305
$\displaystyle Y_n(y) = A_n\,{\rm ch}\,\frac{n\,\pi}{a}\,y +
B_n\,{\rm sh}\,\frac{n\,\pi}{a}\,y.$

Rješenje rubnog problema tražimo u obliku

% latex2html id marker 27307
$\displaystyle u(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty} X_n(x)\...
...i}{a}\,y +
B_n\,{\rm sh}\,\frac{n\,\pi}{a}\,y\right)\,\sin\frac{n\,\pi}{a}\,x.$

Iz rubnog uvjeta $ u(x,b)=0$ slijedi

% latex2html id marker 27311
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}
\left(A_n\,{\rm ...
...}\,b +
B_n\,{\rm sh}\,\frac{n\,\pi}{a}\,b\right)\,\sin\frac{n\,\pi}{a}\,x = 0,$

pa je

% latex2html id marker 27313
$\displaystyle B_n = - A_n\,{\rm cth}\,\frac{n\,\pi\,b}{a}.$

Iz rubnog uvjeta $ u(x,0)=\alpha(x)$ imamo

$\displaystyle \alpha(x) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n\,\sin\frac{n\,\pi}{a}\,x.$

Odatle

$\displaystyle A_n = \frac{2}{a} \int_0^a \alpha(x)\,\sin\frac{n\,\pi}{a}\,x\,dx.$

Ako je uvjet na rubu složeniji, onda se problem rastavlja na nekoliko ovakvih.


next up previous contents
Next: Metoda separacije varijabli za Up: Metoda separacije varijabli Previous: Dirichletov problem za ravnotežu   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27