next up previous contents
Next: Jednadžba provođenja Up: Metoda konačnih diferencija Previous: Metoda konačnih diferencija   Contents


Jednadžba ravnoteže

Neka je dan rubni problem

  $\displaystyle \Delta\,u(x,y) = f(x,y),$ $\displaystyle \hspace{1cm}$ na $\displaystyle \Omega{}=[a,b]\times{}[c,d]$    
  $\displaystyle u(x,y) = g(x,y),$ $\displaystyle \hspace{1cm}$ na $\displaystyle \partial{}\Omega{},$    

gdje je $ f$ neprekidna funkcija na $ \Omega{},$ a $ g$ na rubu $ \partial{\Omega{}}.$

Područje $ \Omega$ prekrijemo mrežom koju dobijemo tako da segmente na osi $ x$ i osi $ y$ podijelimo ekvidistantno na podsegmenate. Tako imamo

$\displaystyle h = \frac{b-a}{n},\hspace{1cm}k = \frac{d-c}{m}.$

Broj $ h$ se zove korak mreže po $ x$ osi, a $ k$ korak mreže po $ y$ osi. Tako imamo točke podjele

$\displaystyle x_i = a + i\,h,\quad i=0,1,2,\ldots{},n\hspace{1cm}y_j = c + j\,k,\quad
j=0,1,2,\ldots{},m$

na osima. Točku s koordinatama

$\displaystyle (x_i,y_j) = (a + i\,h,c + j\,k)$

zovemo $ ij$-tim čvorom mreže. Čvor zovemo unutrašnjim, ako je $ 1\leqslant{}i\leqslant{}n-1$ i $ 1\leqslant{}j\leqslant{}m-1.$ U protivnom kažemo da je čvor rubni. Stavimo

$\displaystyle u(x_i,y_j) = u_{i\,j},\hspace{1cm}f(x_i,y_j) = f_{i\,j}.$

Kao i u slučaju običnih derivacija, aproksimacije parcijalnih derivacija možemo dobiti pomoću Taylorove formule za funkcije od dvije varijable. Tako imamo

% latex2html id marker 30172
$\displaystyle \frac{\partial{}^2u(x_i,y_j)}{\parti...
..._j)}{\partial{}y^2} \approx{}
\frac{u_{i\,j-1} -2\,u_{i\,j} +u_{i\,j+1}}{k^2}.$

Neka je $ ij$ unutrašnji čvor. Tada diferencijalnu jednadžbu u tom čvoru možemo zamijeniti algebarskom jednadžbom

$\displaystyle \frac{u_{i-1\,j} -2\,u_{i\,j} +u_{i+1\,j}}{h^2} + \frac{u_{i\,j-1}
-2\,u_{i\,j} +u_{i\,j+1}}{k^2} = f_{i\,j}.$

slika
Ako je čvor $ ij$ rubni, onda imamo

$\displaystyle u_{i\,j} = g_{i\,j}.$

Time smo dobili onoliko linearnih algebarskih jednadžbi koliko imamo nepoznanica $ u_{i\,j}.$ Rješavati treba samo sustav jednadžbi unutrašnjih čvorova. Pretpostavimo, radi jednostavnosti, da su $ a,b,c,d,n,m$ takvi da je $ h=k.$ Tada, nakon množenja s $ h^2,$ jednadžba $ ij$-tog čvora postaje

$\displaystyle u_{i\,j-1}+u_{i-1\,j} -4\,u_{i\,j} +u_{i+1\,j} + u_{i\,j+1} =
h^2\,f_{i\,j}.$

Vidimo da u svakom retku matrice ima najviše pet elemenata različitih od nule. Čvorove, a time i jednadžbe u sustavu možemo poredati na različite načine. Jedan od njih je poredak kao na slici
slika
dakle

$\displaystyle 1\,1,\quad 2\,1,\quad 1\,2,\quad 3\,1,\quad 2\,2,\quad
1\,3,\quad4\,1,\quad3\,2,\quad2\,3,\quad1\,4,\quad\ldots{}\ .$

Stavimo

% latex2html id marker 30196
$\displaystyle u_{\text{\footnotesize\ding{192}}} =...
... = u_{1\,2},\quad
u_{\text{\footnotesize\ding{195}}} = u_{3\,1},\quad \ldots\ .$

Na taj način dobivamo sljedeći sustav linearnih algebarskih jednadžbi

% latex2html id marker 30197
$\displaystyle -4\,u_{\text{\footnotesize\ding{192}}} + u_{\text{\footnotesize\ding{193}}} + u_{\text{\footnotesize\ding{194}}}$ $\displaystyle = h^2\,f_{1\,1} - g_{1\,0} - g_{0\,1}$    
% latex2html id marker 30199
$\displaystyle u_{\text{\footnotesize\ding{192}}} -...
...93}}} + u_{\text{\footnotesize\ding{195}}} + u_{\text{\footnotesize\ding{196}}}$ $\displaystyle = h^2\,f_{2\,1} - g_{2\,0}$    
% latex2html id marker 30201
$\displaystyle u_{\text{\footnotesize\ding{192}}} -...
...94}}} + u_{\text{\footnotesize\ding{196}}} + u_{\text{\footnotesize\ding{197}}}$ $\displaystyle = h^2\,f_{1\,2} - g_{0\,2}$    
% latex2html id marker 30203
$\displaystyle u_{\text{\footnotesize\ding{193}}} -...
...95}}} + u_{\text{\footnotesize\ding{198}}} + u_{\text{\footnotesize\ding{199}}}$ $\displaystyle = h^2\,f_{3\,1} - g_{3\,0}$    
% latex2html id marker 30205
$\displaystyle u_{\text{\footnotesize\ding{193}}} +...
...96}}} + u_{\text{\footnotesize\ding{199}}} + u_{\text{\footnotesize\ding{200}}}$ $\displaystyle = h^2\,f_{2\,2}$    
$\displaystyle \ldots$      

Prilikom izbora poretka treba paziti na to da matrica dobivenog sustava jednadžbi bude što uža.


next up previous contents
Next: Jednadžba provođenja Up: Metoda konačnih diferencija Previous: Metoda konačnih diferencija   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27