next up previous contents
Next: Slobodne oscilacije žice Up: Fourierovi redovi Previous: Konvergencija.   Contents


Neparne i parne funkcije.

$\displaystyle \int_{-\ell}^0 f(x)\,dx = \int_{\ell}^0 f(-x)\,d(-x) =
-\int_0^{\ell} f(x)\,dx,$

pa je $ a_n=0$ za $ n=0,1,2,3,\ldots\ .$ Tako je Fourierov red neparne funkcije

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin
\frac{n\,\pi\,x}{\ell}.$

Vrijedi i obrat. U ovom redu je svaki član neparna funkcija, pa ako red predstavlja neku funkciju, onda je ona također neparna. Osim toga

$\displaystyle \int_{-\ell}^0
f(x)\,\sin\frac{n\,\pi\,x}{\ell}\,dx =
\int_{\ell...
...\,\pi\,(-x)}{\ell}\,d(-x) =
\int_0^{\ell} f(x)\,\sin\frac{n\,\pi\,x}{\ell}\,dx,$

pa je

$\displaystyle b_n =
\frac{2}{\ell}\int_0^{\ell}\,f(x)\,\sin\frac{n\,\pi\,x}{\ell}\,dx.$

Slično bismo u slučaju parne funkcije dobili Fourierov red

$\displaystyle \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos\frac{n\,\pi\,x}{\ell},$

s tim da je

$\displaystyle a_0 = \frac{2}{\ell}\int_0^{\ell}\,f(x)\,dx,\hspace{1cm}
a_n = \frac{2}{\ell}\int_0^{\ell}\,f(x)\,\cos\frac{n\,\pi\,x}{\ell}\,dx.$



Salih Suljagic
1999-01-27