next up previous contents
Next: Trapezna formula Up: Aproksimacija funkcije i numerička Previous: Metoda najmanjih kvadrata   Contents


Numerička integracija

Zadatak je izračunati integral

$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx.$

Umjesto da integriramo podintegralnu funkciju, što često nije moguće, ili zahtijeva puno posla, integriramo polinom, koji interpolira funkciju u odgovarajućim točkama. Numerički to radimo na sljedeći način. Segment $ [a,b]$ podijelimo na podsegmente točkama

$\displaystyle a=x_0<x_1<x_2<\ldots<x_{n-1}<x_n=b.$

Radi jednostavnosti i određenosti postupka podjela se uzme ekvidistantnom. U tim točkama interpoliramo funkciju Lagrangeovim polinomom, i zatim integriramo polinom. Tako dobiven broj predstavlja približnu vrijednost zadanog integrala. Dakle

% latex2html id marker 29127
$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx \approx{} \int_a^b P(x)\,dx.$

slika
Ako uvrstimo Lagrangeov polinom (3.12), imamo

% latex2html id marker 29129
$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx \approx{} \int_a^b...
...f(x_k)\,\int_a^b \prod^n_{\substack{i=0\\  i\neq k}} \frac{x-x_i}{x_k-x_i}\,dx.$ (3.15)

Da bismo razmatranje učinili neovisnim o segmentu $ [a,b],$ svedimo ga supstitucijom na fiksni segment $ [-1,1].$ To možemo učiniti afinom funkcijom (polinomom prvog stupnja) čiji je graf pravac kroz točke $ (a,-1)$ i $ (b,1).$
slika
Jednadžba tog pravca je

$\displaystyle t = -1 + \frac{2}{b-a}\,(x-a),$

odnosno

$\displaystyle x = \frac{b-a}{2}\,t + \frac{b+a}{2}.$

Supstitucija čuva ekvidistantnost, pa je

$\displaystyle -1=t_0<t_1<t_2<\ldots,t_{n-1}<t_n=1$

ekvidistantna podjela segmenta $ [-1,1]$ na $ n$ podsegmenata. Tom supstitucijom formula (3.15) prelazi u

% latex2html id marker 29149
$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx \approx{} \frac{b-a}{2}\,\sum_{k=0}^n w_k\,
f\left(\frac{b-a}{2}\,t_k + \frac{b+a}{2}\right),$

gdje je

% latex2html id marker 29151
$\displaystyle w_k = \int_{-1}^1 \prod^n_{\substack{i=0\\  i\neq k}} \frac{t-t_i}{t_k-t_i}\,dt,\hspace{1cm}k=0,1,2,\ldots,n.$ (3.16)

Vidimo da ponderi $ w_k$ ne ovise o segmentu, niti o funkciji, već samo o broju $ n.$

Iz formule (3.13) slijedi da je greška koju pri tom činimo

$\displaystyle R_n = \int_a^b f(x)\,dx - \int_a^b P(x)\,dx =
\frac{f^{(n+1)}(\xi_x)}{(n+1)!}\,\int_a^b L(x)\,dx,$

gdje je

$\displaystyle L(x) = (x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n).$

Točka $ \xi_x$ nam nije poznata, pa za ocjenu greške moramo uzeti maksimum ove derivacije na segmentu $ [a,b]$

$\displaystyle \vert R_n\vert \leqslant{} \frac{M_n}{(n+1)!}\,\left\vert\int_a^b...
...t\vert
\leqslant{} \frac{M_n}{(n+1)!}\,\int_a^b \left\vert L(x)\right\vert\,dx,$

gdje je

$\displaystyle M_n=\max_{x\in [a,b]}\left\vert f^{(n+1)}(x)\right\vert.$

Specijalno za $ n=1$ imamo $ x_0=a<x_1=b.$ Zatim,

$\displaystyle L(x) = (x-a)(x-b),$

pa je

$\displaystyle \vert R_1\vert \leqslant{} \frac{M_1}{(n+1)!}\int_a^b
(x-a)(b-x)\,dx = \frac{M_1\,\left(b-a \right)^3}{12},$

gdje je

$\displaystyle M_1 = \max_{x\in [a,b]} \left\vert f''(x)\right\vert.$

Za $ n=2,$ imamo tri točke podjele $ x_0=a<x_1<x_2=b.$ Pretpostavimo da je podjela ekvidistantna, tj. da je $ x_1=\frac{a+b}{2}.$ Tada je

$\displaystyle L(x) = \frac{1}{2}(x-a)(2\,x-(a+b))(x-b).$

Kad bismo ponovili postupak kao gore, dobili bismo ocjenu reda veličine $ (b-a)^4$ No, ta se ocjena može poboljšati. Zbog činjenice da je funkcija $ L(x)$ simetrična u odnosu na točku $ \frac{a+b}{2}$ njezin integral po segmentu $ [a,b]$ iščezava. U tom slučaju se funkcija može interpolirati s polinomom 4. stupnja, tako da se točka $ \frac{a+b}{2}$ uzme kao dvostruka. O tome kako se to radi ovdje nećemo govoriti. Primijetimo samo da zbog integriranja polinoma 4. stupnja ocjena postaje reda veličine $ (b-a)^5.$ Može se pokazati de je ona

$\displaystyle \vert R_2\vert \leqslant{} \frac{M}{90}\,\left(\frac{b-a}{2}\right)^5 =
\frac{M\,(b-a)^5}{2880},$

gdje je

$\displaystyle M = \max_{x\in [a,b]} \left\vert f^{(iv)}(x)\right\vert.$




next up previous contents
Next: Trapezna formula Up: Aproksimacija funkcije i numerička Previous: Metoda najmanjih kvadrata   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27