next up previous contents
Next: Jedinstvenost rješenja Up: Linearnost Previous: Linearnost   Contents


Homogenizacija rubnih uvjeta.

Ako su rubni uvjeti homogeni, tj. $ u(0,t)=0$ ili $ \frac{\partial{}u(0,t)}{\partial{}x}=0$ i slično na drugom kraju, onda gornji teoremi vrijede i za slučaj skupova rješenja koji zadovoljavaju rubne uvjete, jer linearne kombinacije rješenja jednadžbe zadovoljavaju i rubne uvjete. Međutim, ako su rubni uvjeti nehomogeni, onda linearne kombinacije više ne zadovoljavaju iste rubne uvjete, pa gornji teoremi više ne vrijede. Prema tome pogodno je imati homogene rubne uvjete. To se može postići na sljedeći način. Neka je dan na pr. sljedeći rubni problem

% latex2html id marker 25117
$\displaystyle \begin{array}{l}
\rho\,\frac{\textst...
...c{\textstyle{\partial
u(x,0)}}{\textstyle{\partial t}} = \beta(x).
\end{array}$

Izaberimo proizvoljnu što jednostavniju funkciju $ v(x)$ klase $ C^2$ ali tako da zadovoljava rubne uvjete

$\displaystyle v(0) = a,\hspace{1cm}v(\ell) = b.$

Stavimo $ \tilde{u}(x,t)=u(x,t)-v(x).$ Tada funkcija $ \tilde{u}$ zadovoljava homogene rubne uvjete

$\displaystyle \tilde{u}(0,t) = u(0,t) - v(0)
= 0,\hspace{1cm}\tilde{u}(0,t) = u(\ell,t) - v(\ell) = 0.$

S druge strane, da bismo vidjeli koju jednadžbu zadovoljava $ \tilde{u},$ uvrstimo $ u(x,t) = \tilde{u}(x,t) + v(x)$ u jednadžbu iz rubnog problema

$\displaystyle \rho\,\frac{\partial^2 (\tilde{u}(x,t)+v(x))}{\partial t^2} =
\fr...
...al x}\left(p\,\frac{\partial
(\tilde{u}(x,t)+v(x))}{\partial x}\right)+f(x,t),$

$\displaystyle \rho\,\frac{\partial^2 \tilde{u}(x,t)}{\partial
t^2} = \frac{\par...
...partial}{\partial
x}\left(p\,\frac{\partial v(x)}{\partial x}\right) +
f(x,t),$

$\displaystyle \rho\,\frac{\partial^2 \tilde{u}(x,t)}{\partial
t^2} = \frac{\par...
...
x}\left(p\,\frac{\partial
\tilde{u}(x,t)}{\partial x}\right) + \tilde{f}(x,t),$

gdje je

$\displaystyle \tilde{f}(x,t) = \frac{\partial}{\partial
x}\left(p\,\frac{\partial v(x)}{\partial x}\right) +
f(x,t).$



Salih Suljagic
1999-01-27