next up previous contents
Next: Galerkinova metoda Up: Rubni problem Previous: Ritzova metoda   Contents


Metoda konačnih elemenata

Metoda konačnih elemenata je modifikacija Ritzove metode u tom smislu da što više elemenata matrice krutosti bude jednako nuli. Budući da su elementi matrice krutosti

$\displaystyle K_{i\,j} = \int_0^{\ell}\,p\,v'_i\,v'_j\,dx,$

funkcije $ v_i$ treba birati tako da međusobni produkti njihovih derivacija budu nulfunkcije u što više slučajeva.

Pogledajmo na primjeru kako se to radi. Neka je dan rubni problem

$\displaystyle (p(x)\,u'(x))' +f(x) = 0,\qquad u(0) = 0,\;\;u'(\ell{}) = 0.$

Podijelimo segment $ [0,\ell{}]$ na $ n$ jednakih dijelova. Time smo dobili čvorove

$\displaystyle x_i = i\,h,\qquad i=0,1,2,\ldots,n,$

gdje je

$\displaystyle h = \frac{\ell}{n}$

korak diskretizacije. Rješenje tražimo u obliku

$\displaystyle u_n = \sum_{i=0}^n c_i\,v_i,$

gdje su $ v_i$ koordinatne funkcije definirane formulom

% latex2html id marker 30003
$\displaystyle v_i(x) = \begin{cases}\frac{x}{h} - ...
...o je }x_i\leqslant{}x\leqslant{}x_{i+1} \\  [1mm] 0,& \text{inače}, \end{cases}$ (3.24)

za $ i=1,2,\ldots,n-1.$ Koordinatne funkcije $ v_0$ i $ v_n$ se definiraju ovisno o rubnim uvjetima. Budući da na desnom rubu imamo prirodni (Neumannov) uvjet, funkcija $ v_n$ se ne definira (iz varijacijskog principa je jasno da se prirodni uvjet ostvaruje samim minimiziranjem funkcionala). Na lijevom rubu imamo Dirichletov rubni uvjet, pa definiramo

% latex2html id marker 30013
$\displaystyle v_0(x) = \begin{cases}-\frac{x}{h} +...
...ako je }x_{0}\leqslant{}x\leqslant{}x_1 \\  [1mm] 0,& \text{inače}, \end{cases}$ (3.25)

slika
Kako smo definirali samo funkcije $ v_0,v_1,\ldots,v_{n-1},$ rješenje će biti oblika

$\displaystyle u_n = \sum_{i=0}^{n-1} c_i\,v_i.$

Navedimo sada neka svojstva koordinatnih funkcija. Najprije

$\displaystyle v_i(x_j) = \delta_{i\,j},$

pa je prema tome

$\displaystyle u(x_j) = \sum_{i=0}^{n-1} c_i\,v_i(x_j) = \sum_{i=0}^{n-1}
c_i\,\delta_{i\,j} = c_j.$

Dakle, neodređeni koeficijenti $ c_i$ su upravo vrijednosti približnog rješenja u odgovarajućim čvorovima. Budući da je uvjet na lijevom rubu homogen, imamo

$\displaystyle u(0) = u(x_0) = c_0 = 0,$

pa će, prema tome, rješenje biti oblika

$\displaystyle u_n = \sum_{i=1}^{n-1} c_i\,v_i.$

Zatim, iz formule (3.24) slijedi

% latex2html id marker 30029
$\displaystyle v_i'(x) =
\begin{cases}
\frac{1}{h}...
... je }x_i\leqslant{}x\leqslant{}x_{i+1} \\  [1mm]
0,& \text{inače}.
\end{cases}$

Odatle dobivamo

% latex2html id marker 30031
$\displaystyle K_{i\,j} = \int_0^{\ell}\,p\,v'_i\,v...
...x_{i+1}} p(x)\,dx,& \text{ako je }j=i+1 \\  [2mm] 0,& \text{inače}. \end{cases}$ (3.26)

Dalje radimo isto kao kod Ritzove metode, da bismo na kraju dobili sustav linearnih algebarskih jednadžbi

$\displaystyle \sum_{j=1}^n K_{i\,j}\,c_j = b_i,\qquad i=1,2,\ldots,n-1.$

Elementi $ K_{i\,j}$ za fiksni $ i$ čine $ i$-ti redak matrice krutosti $ K.$ Formula (3.26) nam daje sljedeće važno svojstvo koordinatnih funkcija, a to je da u jednom retku matrica $ K$ ima najviše tri elementa različita od nule. To znatno pojednostavnjuje rješavanje sustava.


next up previous contents
Next: Galerkinova metoda Up: Rubni problem Previous: Ritzova metoda   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27