next up previous contents
Next: Sustavi linearnih algebarskih jednadžbi Up: Vektori i matrice Previous: Produkt matrice i vektora.   Contents


Baza

Definicija 12   Neka je $ V$ vektorski prostor. Bazom u vektorskom prostoru $ V$ zovemo uređenu $ k$-torku vektora $ \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots,\boldsymbol{v}_k,$ ako su ti vektori
1.
linearno nezavisni,
2.
razapinju vektorski prostor $ X$, tj. ako se svaki vektor iz $ V$ može napisati kao linearna kombinacija vektora $ \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots,\boldsymbol{v}_k.$

Primjer 1.3   Neka su zadani vektori u $ {\cal R}_{n}$

% latex2html id marker 22422
$\displaystyle \boldsymbol{e}_1=\left[\begin{array}...
...ymbol{e}_n=\left[\begin{array}{c} 0 \\  0 \\  \vdots \\  1
\end{array} \right].$

Ovi vektori čine bazu u $ {\cal R}_{n},$ i ta baza se zove kanonska baza u $ {\cal R}_{n}.$

Rješenje. Zaista,

% latex2html id marker 22428
$\displaystyle \left[\begin{array}{c}
a_{1} \\  a_...
...a_{1}\,\boldsymbol{e}_1+a_{2}\,\boldsymbol{e}_2+\cdots+a_{n}\,\boldsymbol{e}_n,$

i također

% latex2html id marker 22430
$\displaystyle \lambda_1\left[\begin{array}{c}
1 \...
...y} \right]=\left[\begin{array}{c}
0 \\  0 \\  \vdots \\  0
\end{array} \right]$

povlači $ \lambda_1= \lambda_2= \ldots=\lambda_n=0.$ Prema tome ovi vektori razapinju $ {\cal R}_{n},$ i linearno su nezavisni.

Primjer 1.4   Neka su zadane matrice u $ {\cal M}_{mn}$

% latex2html id marker 22439
$\displaystyle E_{11}=\left[\begin{array}{cccc}
1 &...
...
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{array} \right].$

One čine bazu u $ {\cal M}_{mn},$ i ta baza se zove kanonska baza u $ {\cal M}_{mn}.$

Rješenje. Zaista,

% latex2html id marker 22445
$\displaystyle \left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a...
...\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0
\end{array} \right] +$

% latex2html id marker 22447
$\displaystyle \cdots+a_{mn}\left[\begin{array}{ccc...
...ts & 1
\end{array} \right]=a_{11}\,E_{11}+a_{12}\,E_{12}+\cdots+a_{mn}\,E_{mn},$

i također

% latex2html id marker 22449
$\displaystyle \lambda_{11}\left[\begin{array}{cccc...
... & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0
\end{array} \right] +\cdots$

% latex2html id marker 22451
$\displaystyle \cdots+\lambda_{mn}\left[\begin{arra...
...
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0
\end{array} \right]$

povlači $ \lambda_{11}= \lambda_{12}= \ldots=\lambda_{mn}=0.$ Prema tome ovi vektori razapinju $ {\cal M}_{mn},$ i linearno su nezavisni.

Teorem 2   Svaki vektor se na jedinstven način prikazuje kao linearna kombinacija vektora baze.


Dokaz. Neka je $ V$ vektorski prostor, neka je $ \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots,\boldsymbol{v}_k$ baza u $ V$ i neka je $ \boldsymbol{x}\in V$ proizvoljan. Zbog drugog svojstva baze imamo

$\displaystyle \boldsymbol{x}=\lambda_1\,\boldsymbol{v}_1 +\lambda_2\,\boldsymbol{v}_2 +\ldots
+\lambda_k\,\boldsymbol{v}_k.$

Pretpostavimo da je također

$\displaystyle \boldsymbol{x}=\mu_1\,\boldsymbol{v}_1 +\mu_2\,\boldsymbol{v}_2 +\ldots +\mu_k\,\boldsymbol{v}_k.$

Tada je

$\displaystyle \textbf{0}=(\lambda_1-\mu_1)\,\boldsymbol{v}_1
+(\lambda_2-\mu_2)\,\boldsymbol{v}_2,\ldots +(\lambda_k-\mu_k)\,\boldsymbol{v}_k.$

Zbog linearne nezavisnosti baze, slijedi

$\displaystyle \lambda_1-\mu_1=0,\;
\lambda_2-\mu_2=0,\; \ldots,\; \lambda_k-\mu_k=0.$

Dakle, nije moguće da $ \boldsymbol{x}$ ima dva različita prikaza u $ V$ u odnosu na izabranu bazu. $ \heartsuit$

Teorem 3   Neka je u vektorskom prostoru $ V$ dano $ m+1$ međusobno različitih vektora $ \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\ldots,\boldsymbol{v}_{m},\boldsymbol{v}_{m+1},$ i neka se svaki od njih može napisati kao linearna kombinacija od $ m$ vektora $ \boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\ldots,\boldsymbol{a}_{m}\in X.$ Tada su vektori $ \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\ldots,\boldsymbol{v}_{m},\boldsymbol{v}_{m+1}$ linearno zavisni.


Dokaz. Teorem ćemo dokazati matematičkom indukcijom. Za $ m=1$ tvrdnja vrijedi, jer iz $ \boldsymbol{v}_1=\lambda \,\boldsymbol{a}_1$ i $ \boldsymbol{v}_2=\mu\,\boldsymbol{a}_1$ slijedi

$\displaystyle \mu\,\boldsymbol{v}_1-\lambda \,\boldsymbol{v}_2=\textbf{0},$

odakle

$\displaystyle \boldsymbol{v}_1-\frac{\lambda}{\mu} \,\boldsymbol{v}_2=\textbf{0},$

pa su vektori $ \boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2}$ linearno zavisni. Ako je $ \mu=0,$ onda se ne može dijeliti s $ \mu,$ no u tom slučaju je $ \boldsymbol{v}_2=\textbf{0},$ pa su očito vektori $ \boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2}$ linearno zavisni.
Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za svaki prirodni broj $ k\leq m.$ Dokažimo da tvrdnja vrijedi i za $ m+1.$ Po pretpostavci imamo

$\displaystyle \lambda_{11}\,\boldsymbol{a}_1+\lambda_{12}\,\boldsymbol{a}_2+ \cdots+
\lambda_{1n}\,\boldsymbol{a}_m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \boldsymbol{v}_1$  
$\displaystyle \lambda_{21}\,\boldsymbol{a}_1+\lambda_{22}\,\boldsymbol{a}_2+ \cdots
+\lambda_{2n}\,\boldsymbol{a}_m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \boldsymbol{v}_2$  
$\displaystyle \cdots$      
$\displaystyle \lambda_{m+1\,1}\,\boldsymbol{a}_1+\lambda_{m+1\,2}\,\boldsymbol{a}_2+\cdots
+\lambda_{m+1\,m}\,\boldsymbol{a}_m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \boldsymbol{v}_{m+1}$  

Kad bi svaki koeficijent uz $ \boldsymbol{a}_1$ bio jednak nuli, onda bismo imali situaciju da su vektori $ \boldsymbol{v}_i$ linearne kombinacije od $ m-1$ vektora, pa bi po pretpostavci indukcije bili linearno zavisni. Stoga možemo pretpostaviti da je na primjer $ \lambda_{11}\neq 0.$ Pomnožimo prvu jednadžbu s $ -\lambda_{21}/\lambda_{11},$ i dodajmo je drugoj. Time vektor $ \boldsymbol{a}_1$ iščezne iz druge jednadžbe. Zatim, pomnožimo prvu jednadžbu s $ -\lambda_{31}/\lambda_{11},$ i dodajmo je trećoj. Time vektor $ \boldsymbol{a}_1$ iščezne iz treće jednadžbe, itd. Nakon tog postupka druga, treća i ostale jednadžbe izgledaju ovako

$\displaystyle \lambda_{22}'\,\boldsymbol{a}_2+\lambda_{23}'\,\boldsymbol{a}_3+ \cdots+
\lambda_{2n}'\,\boldsymbol{a}_m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \boldsymbol{v}_2'$  
$\displaystyle \lambda_{32}'\,\boldsymbol{a}_2+\lambda_{33}'\,\boldsymbol{a}_3+ \cdots
+\lambda_{2n}'\,\boldsymbol{a}_m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \boldsymbol{v}_3'$  
$\displaystyle \cdots$      
$\displaystyle \lambda_{m+1\,2}'\,\boldsymbol{a}_2+\lambda_{m+1\,3}'\,\boldsymbol{a}_3+\cdots
+\lambda_{m+1\,m}'\,\boldsymbol{a}_m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \boldsymbol{v}_{m+1}'.$  

Po pretpostavci indukcije slijedi da su vektori $ \boldsymbol{v}_2',\ldots,\boldsymbol{v}_{m+1}'$ linearno zavisni. Pri tom je

$\displaystyle \boldsymbol{v}_2' = \boldsymbol{v}_2 - \frac{\lambda_{21}}{\lambd...
...\boldsymbol{v}_{m+1} -
\frac{\lambda_{m+1\,1}}{\lambda_{11}}\,\boldsymbol{v}_1.$

To znači da postoje brojevi $ \alpha{}_2,\alpha{}_3,\ldots{},\alpha{}_{m+1},$ od kojih je barem jedan različit od nule, takvi da je

$\displaystyle \alpha{}_2\,\boldsymbol{v}_2' + \alpha{}_3\,\boldsymbol{v}_3' + \cdots +
\alpha{}_{m+1}\,\boldsymbol{v}_{m+1}' = \textbf{0},$

odnosno vrijedi

$\displaystyle -\left(\alpha{}_2\,\frac{\lambda_{21}}{\lambda_{11}} + \cdots{} +...
...\,\boldsymbol{v}_3 +
\cdots + \alpha{}_{m+1}\,\boldsymbol{v}_{m+1} = \textbf{0}$

za barem jedan $ \alpha{}_i$ različit od nule, pa su prema tome vektori $ \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\ldots,\boldsymbol{v}_{m},\boldsymbol{v}_{m+1}$ linearno zavisni. Kako su time ispunjene pretpostavke aksioma matematičke indukcije, tvrdnja vrijedi za svaki prirodni broj $ m.$ $ \heartsuit$

Posljedice.

1.
Svaka četiri vektora u $ {\cal R}_3$ su linearno zavisna.
2.
Ako su vektori $ \boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\ldots,\boldsymbol{x}_k$ iz $ {\cal R}_{n}$ linearno nezavisni, onda je $ k\leq n.$
3.
Ako je svaki vektor iz $ {\cal R}_{n}$ linearna kombinacija vektora $ \boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\ldots,\boldsymbol{x}_n,$ onda su vektori $ \boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\ldots,\boldsymbol{x}_n$ linearno nezavisni, i prema tome čine bazu.
4.
Svaka baza u vektorskom prostoru $ V$ ima jednaki broj elemenata. (Broj vektora u bazi se zove dimenzija prostora $ X$ i označava s $ dim\,X.$)
5.
$ dim\,{\cal R}_n=n,\hspace{1cm} dim\, {\cal M}_{mn}=m\cdot n.$


next up previous contents
Next: Sustavi linearnih algebarskih jednadžbi Up: Vektori i matrice Previous: Produkt matrice i vektora.   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27