next up previous contents
Next: Metoda najmanjih kvadrata Up: Lagrangeov interpolacijski polinom Previous: Lagrangeov interpolacijski polinom   Contents


Ocjena greške

Radi jednostavnosti pretpostavimo da je

$\displaystyle x_0<x_1<x_2<\ldots <x_{n-1}<x_n.$

Teorem 26   Neka funkcija $ f$ osim uvjeta iz teorema 25 zadovoljava još uvjet da ima $ n+1$-vu neprekidnu derivaciju. Neka je $ x\in
[a,b]$ proizvoljan, i neka je $ S$ najmanji segment koji sadrži točke $ x,x_0,x_1,x_2,\ldots,x_n.$ Tada postoji $ \xi_x\in S$ takav da je

$\displaystyle f(x) - P(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi_x)}{(n+1)!}\,(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n).$ (3.13)


Dokaz. Ako je $ x=x_k$ za neki $ k,$ onda nemamo što dokazivati, jer su tada obje strane u (3.13) jednake nuli. Zato pretpostavimo da je $ x\in{}[a,b],$ i $ x\neq{}x_k$ za svaki $ k.$ Stavimo, radi kraćeg zapisa

$\displaystyle L(x) = (x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n).$

Formirajmo pomoćnu funkciju

$\displaystyle F(t) = f(t) - P(t) - c\,L(t),$ (3.14)

gdje je

$\displaystyle c = \frac{f(x)-P(x)}{L(x)}.$

Imamo

$\displaystyle F(x_k) = f(x_k) - P(x_k) - c\,L(x_k) = 0,\hspace{1cm}k=0,1,2,\ldots,n.$

Također je

$\displaystyle F(x) = f(x) - P(x) - c\,L(x) = f(x) - P(x) -
\frac{f(x)-P(x)}{L(x)}\,L(x) = 0.$

Tako funkcija $ F$ ima $ n+2$ međusobno različite nultočke u $ S.$ Prema Rolleovom teoremu njezina derivacija $ F'$ ima barem $ n+1$ nultočku u $ S,$ druga derivacija $ F''$ mora imati barem $ n$ nultočaka u $ S,$ $ \ldots,$ $ n+1$-va derivacija $ F^{(n+1)}$ ima barem jednu nultočku u $ S.$ Neka je $ \xi_x$ jedna od tih točaka, u kojima se $ F^{(n+1)}$ poništava. Derivirajmo (3.14) (po $ t$ jer je $ t$ varijabla, dok $ x$ smatramo fiksnim) $ n+1$ puta i uvrstimo $ t=\xi_x.$ Budući da je polinom $ P$ stupnja najviše $ n,$ slijedi $ P^{(n+1)}=0.$ Zatim, $ L$ je polinom $ n+1$-vog stupnja, koeficijent uz $ x^{n+1}$ je $ 1,$ pa je $ L^{(n+1)}(t)=(n+1)!.$ Tako imamo

$\displaystyle 0 = F^{(n+1)}(\xi_x) = f^{(n+1)}(\xi_x) - c\,(n+1)!,$

odnosno

$\displaystyle c = \frac{f(x)-P(x)}{L(x)} = \frac{f^{(n+1)}(\xi_x)}{(n+1)!}.$

Odatle

$\displaystyle f(x)-P(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi_x)}{(n+1)!}\,L(x).$

$ \heartsuit$

Iz ovog teorema proizlazi sljedeća ocjena greške. Neka je

$\displaystyle M_n=\max_{x\in [a,b]}\left\vert f^{(n+1)}(x)\right\vert.$

Tada za svaki $ x\in
[a,b]$ vrijedi

$\displaystyle \vert f(x)-P(x)\vert \leqslant \frac{M_n}{(n+1)!}\,\vert x-x_0\vert\vert x-x_1\vert\vert x-x_2\vert\cdots
\vert x-x_n\vert.$


next up previous contents
Next: Metoda najmanjih kvadrata Up: Lagrangeov interpolacijski polinom Previous: Lagrangeov interpolacijski polinom   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27