next up previous contents
Next: Struktura skupa svih rješenja Up: Struktura rješenja Previous: Struktura rješenja   Contents


Kronecker-Capellijev teorem

Teorem 6   (Kronecker-Capelli). Sustav linearnih algebarskih jednadžbi ima bar jedno rješenje, ako i samo ako je rang matrice sustava jednak rangu proširene matrice sustava.


Dokaz. Sustav


$\displaystyle a_{11}\,x_1+a_{12}\,x_2+\cdots+a_{1n}\,x_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b_1$  
$\displaystyle a_{21}\,x_1+a_{22}\,x_2+\cdots +a_{2n}\,x_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b_2$  
$\displaystyle \cdots$      
$\displaystyle a_{m1}\,x_1+a_{m2}\,x_2+\cdots +a_{mn}\,x_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b_m$  

možemo shvatiti kao jednakost dva vektorstupca

% latex2html id marker 23080
$\displaystyle \left[
\begin{array}{c} a_{11}\,x_1+...
...ft[ \begin{array}{c}
b_{1} \\  b_{2} \\  \vdots \\  b_{m}
\end{array} \right],$

što se može napisati i ovako

% latex2html id marker 23082
$\displaystyle x_1\left[ \begin{array}{c}
a_{11} \...
...ft[ \begin{array}{c}
b_{1} \\  b_{2} \\  \vdots \\  b_{m}
\end{array} \right].$

Na ovaj način zapisani sustav pokazuje da postoji rješenje sustava, ako i samo ako se desna strana može prikazati kao linearna kombinacija stupaca matrice sustava. U tom slučaju je desna strana linearno zavisna od stupaca matrice sustava, tj. rang proširene matrice sustava jednak je rangu matrice sustava. Iz ovog zapisa se vidi da je svaka uređena $ n$-torka koeficijenata linearne kombinacije koja daje desnu stranu rješenje sustava. $ \heartsuit$

Iz zapisa sustava kao u dokazu teorema se vidi još nešto. Ako sustav ima rješenja i ako su stupci matrice sustava $ {A}$ linearno nezavisni, onda se desna strana može napisati kao linearna kombinacija stupaca matrice $ {A}$ i to na jedinstven način (dokaz jedinstvenosti kao kod dokaza jedinstvenosti prikaza vektora u bazi). U tom slučaju koeficijenti linearne kombinacije čine rješenje i to jedinstveno.

Ako su stupci matrice $ {A}$ linearno zavisni, onda se desna strana može na više načina prikazati kao linearna kombinacija stupaca matrice, pa imamo više rješenja.

Konačno, ako desna strana nije linearno zavisna od stupaca matrice, onda ne postoji linearna kombinacija stupaca matrice $ {A}$ koja bi dala desnu stranu, pa je sustav nekonzistentan.


next up previous contents
Next: Struktura skupa svih rješenja Up: Struktura rješenja Previous: Struktura rješenja   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27