next up previous contents
Next: Zaključak. Up: Struktura rješenja Previous: Kronecker-Capellijev teorem   Contents


Struktura skupa svih rješenja

Pretpostavimo da matrica sustava

$\displaystyle a_{11}\,x_1+a_{12}\,x_2+\cdots+a_{1n}\,x_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b_1$  
$\displaystyle a_{21}\,x_1+a_{22}\,x_2+\cdots +a_{2n}\,x_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b_2$  
$\displaystyle \cdots$      
$\displaystyle a_{m1}\,x_1+a_{m2}\,x_2+\cdots +a_{mn}\,x_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b_m$  

ima isti rang kao proširena matrica sustava, i to $ r.$ To znači da proširena matrica sustava $ A_b$ ima linearno nezavisnih $ r$ redaka i $ r$ stupaca. Radi jednostavnosti pretpostavimo da je prvih $ r$ redaka i prvih $ r$ stupaca marice $ A_b$ linearno nezavisno. Tada Gauss-Jordanovom metodom možemo sustav svesti na oblik

% latex2html id marker 23132
$\displaystyle \begin{array}{cccccccc}
x_1 & & & +a...
..._r & +a'_{r\,r+1}\,x_{r+1} & +\;\cdots & +a'_{rn}\,x_n & = & b'_r
\end{array}.$

Odatle čitamo
$\displaystyle x_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b'_1-a'_{1\,r+1}\,x_{r+1}-\cdots-a'_{1n}\,x_n$  
    $\displaystyle \cdots$  
$\displaystyle x_r$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b'_r-a'_{r\,r+1}\,x_{r+1}-\cdots -a'_{rn}\,x_n,$  

tako da se rješenje, odnosno skup svih rješenja može napisati u obliku

% latex2html id marker 23149
$\displaystyle \left[\begin{array}{c}
b'_1-a'_{1\,r...
...{c}
-a'_{1n} \\  \vdots \\  -a'_{rn} \\  0 \\  \vdots \\  1 \end{array}\right].$

Stavimo

% latex2html id marker 23151
$\displaystyle \boldsymbol{b}'=\left[\begin{array}{...
...{c}
-a'_{1n} \\  \vdots \\  -a'_{rn} \\  0 \\  \vdots \\  1
\end{array}\right].$

Svako rješenje $ \boldsymbol{x}$ ima oblik

$\displaystyle \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}'+x_{r+1}\boldsymbol{u}_1+\cdots+x_n\boldsymbol{u}_{n-r}.$

Pretpostavimo da je sustav na početku bio homogen, tj. da je bilo $ b_{1}=0, b_{2}=0, \ldots, b_{m}=0.$ U tom slučaju na isti način dobivamo rješenje

$\displaystyle \boldsymbol{x}_h=x_{r+1}\boldsymbol{u}_1+\cdots+x_n\boldsymbol{u}_{n-r}.$

Skup svih takvih vektora, kada parametri $ x_{r+1},\ldots,x_n$ uzimaju proizvoljne realne vrijednosti nezavisno jedan od drugog, predstavlja skup svih rješenja pripadnog homogenog sustava. Uočimo da je taj skup vektorski prostor razapet s vektorima $ \boldsymbol{u}_1,\cdots,
\boldsymbol{u}_{n-r}.$ S druge strane $ \boldsymbol{b}'$ je jedno rješenje nehomogenog sustava, i to kad stavimo $ x_{r+1}=x_{r+2}=\ldots =x_{n}=0.$ Tako vidimo da se skup svih rješenja sustava može dobiti tako da se nađe jedno rješenje nehomogenog sustava, to rješenje zovemo partikularnim, i da se zatim nađe neka baza vektorskog prostora svih rješenja pripadnog homogenog sustava. Jedna od tih baza je $ \boldsymbol{u}_1,\cdots,
\boldsymbol{u}_{n-r}.$




next up previous contents
Next: Zaključak. Up: Struktura rješenja Previous: Kronecker-Capellijev teorem   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27