next up previous contents
Next: Fourierova metoda Up: Rubni problemi Previous: Koncentrirano djelovanje   Contents


Greenova funkcija

Promatrajmo ravnotežu žice pod utjecajem koncentrirane sile $ f=1$ u točki $ \xi.$ Imamo

$\displaystyle (p\,u')' - q\,u = 0,$   za $\displaystyle 0<x<\xi,$

$\displaystyle (p\,u')' - q\,u = 0,$   za $\displaystyle \xi<x<\ell.$

U točki $ \xi$ funkcija $ u$ je neprekidna, ali njezina derivacija ima skok prve vrste

$\displaystyle (p\,u')(\xi+0) - (p\,u')(\xi-0) + 1 = 0.$

Rješenje ove diferencijalne jednadžbe uz neke rubne uvjete, i ove pretpostavke o neprekidnosti rješenja i prekidu njegove derivacije ovisi o $ x,$ i o $ \xi,$ stoga ga označavamo s $ G(x,\xi).$ Funkcija $ G$ je dakle funkcija od dvije varijable, definirana na $ [0,\ell{}]\times{}[0,\ell{}].$ Ona se zove Greenova funkcija.

Primjer 2.1   Izračunajmo Greenovu funkciju za rubni problem

$\displaystyle p\,u''(x) = 0,\hspace{1cm}u(0) = u(\ell{}) = 0.$

Rješenje. Zbog

$\displaystyle p\,u''(x) = 0\hspace{1cm}\Rightarrow\hspace{1cm}u(x) = A\,x + B,$

slijedi

% latex2html id marker 25388
$\displaystyle G(x,\xi) = \left\{
\begin{array}{ll}
C_1\,x + C_2, & 0<x<\xi, \\
D_1\,x + D_2, & \xi<x<\ell.
\end{array}\right.$

Iz $ u(0)=G(0,\xi)=0$ slijedi $ C_2=0.$ Zatim, iz $ u(\ell{})=G(\ell{},\xi)=0$ slijedi $ D_1\,\ell{}+D_2=0,$ odnosno $ D_2=-D_1\,\ell{}.$ Tako imamo

% latex2html id marker 25400
$\displaystyle G(x,\xi) = \left\{
\begin{array}{ll}
C_1\,x, & 0<x<\xi, \\
D_1\,(x - \ell{}), & \xi<x<\ell.
\end{array}\right.$

Konačno uvjet neprekidnosti u točki $ \xi$ daje jednadžbu

$\displaystyle C_1\,\xi = D_1\,(\xi - \ell{}),$

a skok prve derivacije daje

$\displaystyle p\,D_1 - p\,C_1 + 1 = 0.$

Odatle

$\displaystyle C_1=\frac{\ell-\xi}{\ell\,p},\hspace{1cm}D_1=-\frac{\xi}{\ell\,p},$

pa je

% latex2html id marker 25410
$\displaystyle G(x,\xi) = \left\{
\begin{array}{ll}...
...xi<\ell, \\
\frac{\xi}{\ell\,p}\,(\ell-x), & 0<\xi<x<\ell.
\end{array}\right.$

Neka je $ q\neq 0,$ ustvari $ q\geqslant{}0.$ Neka su $ u_1$ i $ u_2$ dva rješenja jednadžbe

$\displaystyle (p\,u')' - q\,u = 0,$

tako da $ u_1$ zadovoljava homogen rubni uvjet u $ x=0,$ a $ u_2$ homogen rubni uvjet u $ x=\ell.$ Za proizvoljne $ C_1$ i $ C_2$ funkcije $ C_1u_1$ odnosno $ C_2u_2$ zadovoljavaju isto što i $ u_1$ odnosno $ u_2.$ Zato Greenovu funkciju tražimo u obliku

% latex2html id marker 25442
$\displaystyle G(x,\xi) = \left\{
\begin{array}{ll}
C_1\,u_1(x), & 0<x<\xi, \\
C_2\,u_2(x), & \xi<x<\ell.
\end{array}\right.$

Uvjet neprekidnosti rješenja i skoka njegove prve derivacije daje sustav od dvije linearne algebarske jednadžbe za nepoznanice $ C_1,C_2$

$\displaystyle C_1\,u_1(\xi) - C_2\,u_2(\xi) = 0,$

$\displaystyle C_1\,u'_1(\xi) - C_2\,u'_2(\xi) = \frac{1}{p(\xi)}.$

Ovaj sustav je nehomogen, pa ima rješenje ako i samo ako je determinanta sustava različita od nule. Determinanta sustava je

% latex2html id marker 25450
$\displaystyle W(\xi)=\left\vert
\begin{array}{ll}
u_1(\xi) & u_2(\xi) \\
u'_1(\xi) & u'_2(\xi)
\end{array}\right\vert.$

Ako su $ u_1$ i $ u_2$ linearno nezavisna rješenja diferencijalne jednadžbe, onda je ova determinanta različita od nule, pa postoji rješenje i ono se može naći na pr. pomoću Cramerovog pravila

$\displaystyle C_1 = \frac{-u_2(\xi)}{p(\xi)\,W(\xi)},\hspace{1cm}C_2 =
\frac{u_1(\xi)}{p(\xi)\,W(\xi)}.$

Tako je

% latex2html id marker 25458
$\displaystyle G(x,\xi) = \left\{
\begin{array}{ll}...
...\xi)}}{\textstyle{p(\xi)\,W(\xi)}}\,u_2(x), &
0<\xi<x<\ell.
\end{array}\right.$

Neka je sada koncentrirana sila $ f=f(\xi).$ Rješenje ovog problema se dobije tako da se rješenje problema kad je $ f=1$ pomnoži s $ f(\xi),$ dakle

$\displaystyle u(x) = f(\xi)\,G(x,\xi).$

Ako na žicu djeluje više koncentriranih sila $ f_1(\xi_1),f_2(\xi_2),\ldots,f_n(\xi_n)$ u točkama $ \xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_n,$ onda je rješenje

$\displaystyle u(x) = f(\xi_1)\,G(x,\xi_1)+f(\xi_2)\,G(x,\xi_2)+\cdots
+f(\xi_n)\,G(x,\xi_n)=\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\,G(x,\xi_i).$

Konačno, ako vanjska sila nije koncentrirana, već je zadana kao linearna gustoća sile, tj. ako imamo na pr. rubni problem

$\displaystyle (p\,u')' - q\,u + f = 0,\hspace{1cm}u(0) = u(\ell{}) = 0,$

onda podijelimo segment $ [0,\ell{}]$ na $ n$ podsegmenata, uzmemo proizvoljne točke $ \xi_i$ u tim segmentima, i umjesto zadane sile uzmemo koncentriranu silu $ f(\xi_i)\Delta\,\xi_i$ u točki $ \xi_i.$ Približno rješenje je

$\displaystyle u(x) = \sum_{i=1}^n G(x,\xi_i)\,f(\xi_i)\,\Delta\,\xi_i.$

Na desnoj strani imamo integralnu sumu za funkciju $ G(x,\xi)f(\xi)$ u odnosu na varijablu $ \xi.$ Dakle, ako je funkcija $ G(x,\xi)f(\xi)$ integrabilna kao funkcija od $ \xi,$ onda je rješenje
$\displaystyle u(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_0^{\ell}\,G(x,\xi)\,f(\xi)\,d\xi$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_0^x \frac{u_1(\xi)}{p(\xi)\,W(\xi)}\,u_2(x)\,f(\xi)\,d\xi
+ \int_x^{\ell} \frac{-u_2(\xi)}{p(\xi)\,W(\xi)}\,u_1(x)\,f(\xi)\,d\xi$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle u_2(x)\!\int_0^x\! \frac{u_1(\xi)}{p(\xi)W(\xi)}f(\xi)d\xi
- u_1(x)\!\int_x^{\ell}\! \frac{u_2(\xi)}{p(\xi)W(\xi)}f(\xi)d\xi.$ (2.9)

Dakle, kad želimo riješiti neki rubni problem pomoću Greenove funkcije, dovoljno je naći dva linearno nezavisna rješenja $ u_1$ i $ u_2$ pripadne homogene jednadžbe, takva da $ u_1$ zadovoljava homogeni uvjet u $ x=0,$ dok $ u_2$ zadovoljava homogeni uvjet u $ x=\ell,$ zatim izračunati determinantu $ W,$ i sve to uvrstiti u formulu (2.9).

Primjer 2.2   Riješiti, pomoću Greenove formule, rubni problem

$\displaystyle p\,u''(x) = x^2,\hspace{1cm}u(0) = u(\ell{}) = 0.$

Rješenje. Najprije treba primijetiti da je

$\displaystyle f(x) = -x^2.$

Opće rješenje pripadne homogene jednadžbe je

$\displaystyle u(x) = A\,x + B.$

Najjednostavnija ovakva funkcija, koja zadovoljava uvjet $ u(0)=0,$ je

$\displaystyle u_1(x) = x,$

ona koja zadovoljava uvjet $ u(\ell{}) = 0$ je

$\displaystyle u_2(x) = \ell - x.$

Nadalje imamo

% latex2html id marker 25540
$\displaystyle W(x)=\left\vert
\begin{array}{ll}
x & \ell{}-x \\
1 & -1
\end{array}\right\vert = -\ell{}.$

Uvrstimo u (2.9)

$\displaystyle u(x) = (\ell - x)\,\int_0^x \frac{\xi}{p\,\ell}\,\xi^2\,d\xi
- x\...
...- \xi}{p\,\ell}\,\xi^2\,d\xi =
\frac{x\,\left( {\ell}^3 - x^3 \right) }{12\,p}.$

Ova funkcija očito zadovoljava rubne uvjete, a nakon uvrštavanja, lako provjerimo da zadovoljava i jednadžbu.

Primijetimo također da za nalaženje funkcija $ u_1,u_2,W$ uopće nije bilo važno koliki je $ f.$ Funkcija $ f$ se uvrsti tek na kraju u formulu. Prema tome, kad jednom nađemo $ u_1,u_2,W,$ umetanjem u formulu raznih funkcija $ f$ rješavamo svaki mogući nehomogeni problem.


next up previous contents
Next: Fourierova metoda Up: Rubni problemi Previous: Koncentrirano djelovanje   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27