next up previous contents
Next: Varijacijske metode Up: Metoda konačnih diferencija Previous: Jednadžba provođenja   Contents


Valna jednadžba

Problem koji sada rješavamo je

  $\displaystyle \frac{\textstyle{\partial^2 u(x,t)}}{\textstyle{\partial t^2}} = c^2\,\frac{\textstyle{\partial^2 u(x,t)}}{\textstyle{\partial x^2}},$ $\displaystyle \quad$ za $\displaystyle x\in [0,\ell],\;t\in [0,\infty{}\rangle{},$    
  $\displaystyle u(0,t)=0,\quad u(\ell,t)=0,$ $\displaystyle \quad$ za $\displaystyle t\in [0,\infty{}\rangle{},$    
  $\displaystyle u(x,0) = \alpha{}(x),\quad \frac{\textstyle{\partial u(x,0)}}{\textstyle{\partial t}} = \beta{}(x),$ $\displaystyle \quad$ za $\displaystyle x\in [0,\ell].$    

Diskretizaciju područja učinimo kao kod jednadžbe provođenja. Razlika je u tome što u jednadžbi dolazi druga parcijalna derivacija po $ t,$ i što imamo dodatni početni uvjet. Parcijalnu derivaciju iz početnog uvjeta možemo na razne načine aproksimirati diferencijama. Neka je na pr.

$\displaystyle \frac{u_{i\,1}-u_{i\,0}}{\tau} = \beta_i.$

U unutrašnjem čvoru $ ij$ jednadžba je

$\displaystyle \frac{u_{i\,j-1}-2\,u_{i\,j}+u_{i\,j+1}}{\tau^2} =
c^2\,\frac{u_{i-1\,j} -2\,u_{i\,j} +u_{i+1\,j}}{h^2}.$

Nakon množenja s $ \tau^2,$ i stavljanja

$\displaystyle \sigma = \frac{\tau}{h},$

imamo eksplicitni postupak dan formulom

$\displaystyle u_{i\,j+1} = -u_{i\,j-1} + c^2\,\sigma^2\,u_{i-1\,j} + 2\,(1-c^2\,\sigma^2)\,u_{i\,j} + c^2\,\sigma{}^2\,u_{i+1\,j}.$ (3.29)

Vrijednosti u prva dva reda čvorova $ (j=0,1)$ dobijemo iz početnih uvjeta. Vrijednosti u daljnjim redovima računamo sukcesivno pomoću formule (3.29). Za $ \sigma{}\leqslant{}1$ postupak je stabilan.

slika


next up previous contents
Next: Varijacijske metode Up: Metoda konačnih diferencija Previous: Jednadžba provođenja   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27