next up previous contents
Next: Gaussova kvadratura Up: Numerička integracija Previous: Trapezna formula   Contents


Simpsonova formula

U slučaju $ n=2,$ iz formule (3.16) imamo $ t_0=-1,t_1=0,t_2=1$ pa su ponderi

$\displaystyle w_0 = \int_{-1}^1 \frac{t(t-1)}{2}\,dt = \frac{1}{3},\hspace{1cm}w_1 = -\int_{-1}^1
(t+1)(t-1)\,dt = \frac{4}{3},$

$\displaystyle w_2 = \int_{-1}^1 \frac{t(t+1)}{2} =
\frac{1}{3}.$

Prema tome formula glasi

% latex2html id marker 29250
$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx \approx{} \frac{b-a}{6}\,\left[f(a) +
4\, f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b)\right],$

uz ocjenu greške

$\displaystyle \vert R_2\vert \leqslant{} \frac{M}{90}\,\left(\frac{b-a}{2}\right)^5,$

gdje je

$\displaystyle M = \max_{x\in [a,b]} \left\vert f^{(iv)}(x)\right\vert.$

slika
Kao i kod trapezne formule, točniji rezultat ćemo dobiti, ako segment $ [a,b]$ podijelimo na podsegmente, i na svakom od njih posebno koristimo ovu formulu. Radi jednostavnosti uzimamo ekvidistantnu podjelu. Budući da na svakom podsegmentu uzimamo još srednju točku, podsegmenata imamo zapravo $ 2m.$ Neka je dakle

$\displaystyle \frac{b-a}{2\,m}=h,$   i $\displaystyle \hspace{1cm}
a=x_0<x_1<x_2<\ldots{}<x_{2m-1}<x_{2m}=b.$

Sada primjenjujemo približnu formulu na parovima susjednih podsegmenata i to tako da srednja točka bude točka s neparnim indeksom. Tako dobivamo formulu

% latex2html id marker 29263
$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx \approx{} \frac{b-a}{6\,m}\,\left[f(a) +
4\, f(x_1) + f(x_2)\right]+$

$\displaystyle + \frac{b-a}{6\,m}\,\left[f(x_2) +
4\, f(x_3) + f(x_4)\right] + \cdots{}+$

$\displaystyle +
\frac{b-a}{6\,m}\,\left[f(x_{2m-2}) +
4\, f(x_{2m-1}) + f(x_{b})\right],$

odnosno

% latex2html id marker 29269
$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\approx\frac{h}{3}\{f(a)+2\,[f(x_2)+f(x_4)+\cdots
+f(x_{2m-2})]$

$\displaystyle +4\,[f(x_1)+f(x_3)+\cdots+f(x_{2m-1})]+f(b)\}.$

slika
Diskusija kao kod trapezne formule nas dovodi do ocjene greške

$\displaystyle \vert R_S\vert \leqslant{} \max_{x\in [a,b]} \left\vert f^{(iv)}(...
...x_{x\in [a,b]} \left\vert f^{(iv)}(x)\right\vert
\,\frac{(b-a)^5}{180\,(2m)^4}.$



Salih Suljagic
1999-01-27