next up previous contents
Next: Homogenizacija rubnih uvjeta. Up: Rubni problemi Previous: Početni uvjeti   Contents


Linearnost

Opća jednadžba u primjerima koje smo promatrali je

$\displaystyle \frac{\partial\varphi}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(p\,\frac{\partial u}{\partial x}\right) + f.$ (2.3)

Funkciju $ f$ zovemo slobodnim članom. Ako je $ f=0,$ onda jednadžbu

$\displaystyle \frac{\partial\varphi}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(p\,\frac{\partial u}{\partial x}\right)$ (2.4)

zovemo homogenom, u protivnom je zovemo nehomogenom.

Ograničimo razmatranje na one primjere u kojima je

$\displaystyle \varphi(u) = \rho\,\frac{\partial u}{\partial t}$   ili$\displaystyle \hspace{1cm}\varphi(u) = \gamma\,u.$ (2.5)

Interesira nas kakvu strukturu ima skup svih rješenja ove jednadžbe. U tu svrhu promatrajmo najprije pripadnu homogenu jednadžbu.

Teorem 13   Neka su $ u_1$ i $ u_2$ dva rješenja jednadžbe (2.4), i $ \lambda_1$ i $ \lambda_2$ proizvoljni brojevi. Tada je

$\displaystyle \lambda_1\,u_1 + \lambda_2\,u_2$

također rješenje jednadžbe (2.4).


Dokaz. U svrhu dokaza napišimo jednadžbu drukčije

$\displaystyle \frac{\partial\varphi(u)}{\partial t} - \frac{\partial}{\partial
x}\left(p\,\frac{\partial u}{\partial x}\right) = 0.$

Bez obzira koji $ \varphi$ iz (2.5) bio u jednadžbi, vrijedi

$\displaystyle \varphi(\lambda_1\,u_1 +
\lambda_2\,u_2) = \lambda_1\,\varphi(u_1) +
\lambda_2\,\varphi(u_2).$

Također

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial
x}\left(p\,\frac{\partial (\lambda_1\,u_...
..._2\,\frac{\partial}{\partial x}\left(p\,\frac{\partial
u_2}{\partial x}\right).$

Prema tome

$\displaystyle \frac{\partial\varphi(\lambda_1\,u_1 + \lambda_2\,u_2)}{\partial
...
...x}\left(p\,\frac{\partial
(\lambda_1\,u_1 + \lambda_2\,u_2)}{\partial x}\right)$

$\displaystyle =
\lambda_1\,\frac{\partial\varphi (u_1)}{\partial t} +
\lambda_2...
..._2\,\frac{\partial}{\partial x}\left(p\,\frac{\partial
u_2}{\partial x}\right)$

$\displaystyle = \lambda_1\,\left[\frac{\partial\varphi
(u_1)}{\partial t} - \fr...
...partial}{\partial x}\left(p\,\frac{\partial u_2}{\partial
x}\right)\right] = 0.$

$ \heartsuit$

Iz ovog teorema slijedi da je skup svih rješenja homogene jednadžbe vektorski prostor. Za skup rješenja nehomogene jednadžbe imamo sljedeće tvrdnje.

Teorem 14   Neka je $ w$ rješenje jednadžbe (2.3), te $ u$ rješenje jednadžbe (2.4). Tada je $ u+w$ rješenje jednadžbe (2.3).


Dokaz. Koristeći svojstva funkcije $ \varphi$ iz dokaza prethodnog teorema, možemo napisati

$\displaystyle \frac{\partial\varphi(w+u)}{\partial t} - \frac{\partial}{\partia...
...t) -
\frac{\partial}{\partial x}\left(p\,\frac{\partial (u)}{\partial
x}\right)$

$\displaystyle = \frac{\partial\varphi(w)}{\partial t} -
\frac{\partial}{\partia...
...artial}{\partial x}\left(p\,\frac{\partial (u)}{\partial
x}\right) = f + 0 = f.$

$ \heartsuit$

Teorem 15   Neka su $ w_1$ i $ w_2$ dva rješenja jednadžbe (2.3). Tada je $ w_1-w_2$ rješenje jednadžbe (2.4).


Dokaz.

$\displaystyle \frac{\partial\varphi(w_1-w_2)}{\partial t} - \frac{\partial}{\pa...
... +
\frac{\partial}{\partial x}\left(p\,\frac{\partial (w_2)}{\partial
x}\right)$

$\displaystyle = \frac{\partial\varphi(w_1)}{\partial t} -
\frac{\partial}{\part...
...partial x}\left(p\,\frac{\partial (w_2)}{\partial
x}\right)\right] = f - f = 0.$

$ \heartsuit$

Ako s $ X_f$ označimo skup svih rješenja jednadžbe (2.3), a s $ X_0$ skup svih rješenja jednadžbe (2.4), onda ovi teoremi pokazuju da vrijedi

$\displaystyle X_f = \{w + u;\;u\in X_0\},$

gdje je $ w$ jedno partikularno rješenje nehomogene jednadžbe.




next up previous contents
Next: Homogenizacija rubnih uvjeta. Up: Rubni problemi Previous: Početni uvjeti   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27