Next: Struktura skupa svih rješenja
Up: Struktura rješenja
Previous: Struktura rješenja
  Contents
Kronecker-Capellijev teorem
Teorem 6
(Kronecker-Capelli). Sustav linearnih algebarskih
jednadžbi ima bar jedno rješenje, ako i samo ako je rang matrice
sustava jednak rangu proširene matrice sustava.
Dokaz. Sustav
možemo shvatiti kao jednakost dva vektorstupca
što se može napisati i ovako
Na ovaj način zapisani sustav pokazuje da postoji rješenje sustava,
ako i samo ako se desna strana može prikazati kao linearna kombinacija
stupaca matrice sustava. U tom slučaju je desna strana linearno
zavisna od stupaca matrice sustava, tj. rang proširene matrice
sustava jednak je rangu matrice sustava. Iz ovog zapisa se vidi da je
svaka uređena
-torka koeficijenata linearne kombinacije koja daje
desnu stranu rješenje sustava.

Iz zapisa sustava kao u dokazu teorema se vidi još nešto. Ako sustav
ima rješenja i ako su stupci matrice sustava
linearno nezavisni,
onda se desna strana može napisati kao linearna kombinacija stupaca
matrice
i to na jedinstven način (dokaz jedinstvenosti kao kod
dokaza jedinstvenosti prikaza vektora u bazi). U tom slučaju
koeficijenti linearne kombinacije čine rješenje i to jedinstveno.
Ako su stupci matrice
linearno zavisni, onda se desna strana može
na više načina prikazati kao linearna kombinacija stupaca matrice,
pa imamo više rješenja.
Konačno, ako desna strana nije linearno zavisna od
stupaca matrice, onda ne postoji linearna kombinacija stupaca matrice
koja bi dala desnu stranu, pa je sustav nekonzistentan.
Next: Struktura skupa svih rješenja
Up: Struktura rješenja
Previous: Struktura rješenja
  Contents
Salih Suljagic
1999-01-27