next up previous contents
Next: Rubni problem Up: Početni (Cauchyjev) problem Previous: Eulerova metoda   Contents


Metoda Runge-Kutta

U metodi Runge-Kutta se također računa $ y_{i+1}$ pomoću već poznate vrijednosti $ y_i.$ Taj račun je točniji, jer uzima u obzir i neke međuvrijednosti funkcije $ f.$ Tako imamo sljedeći algoritam

Algoritam 10   (Metoda Runge-Kutta) Izaberemo dovoljno velik prirodni broj $ n.$ Za zadani korak

$\displaystyle h = \frac{b-a}{n}$

računamo niz brojeva $ (y_n)$ po formuli

$\displaystyle y_{i+1}$ $\displaystyle = y_{i} + \frac{1}{6}\,\left(k_1 + 2\,k_2 + 2\,k_3 + k_4\right),\qquad i=0,1,2,\ldots,n-1,$    

gdje je


$\displaystyle k_1$ $\displaystyle = h\,f(x_i,y_i)$    
$\displaystyle k_2$ $\displaystyle = h\,f\left(x_i + {\scriptstyle{\frac{h}{2}}},y_i + \scriptstyle{\frac{k_1}{2}}\right)$    
$\displaystyle k_3$ $\displaystyle = h\,f\left(x_i + {\scriptstyle{\frac{h}{2}}},y_i + \scriptstyle{\frac{k_2}{2}}\right)$    
$\displaystyle k_4$ $\displaystyle = h\,f(x_i + h,y_i + k_3).$    

Početna vrijednost $ y_0$ je određena početnim uvjetom.

Radi bolje preglednosti prilikom računanja se koristi tabela

$ i$ $ x_i$ $ y_i$ $ h\,f$  
0 $ x_0=a$ $ y_0$ $ k_1$ $ k_1$
  $ x_0+\frac{h}{2}$ $ y_0+\frac{k_1}{2}$ $ k_2$ $ 2\,k_2$
  $ x_0+\frac{h}{2}$ $ y_0+\frac{k_2}{2}$ $ k_3$ $ 2\,k_3$
  $ x_0+h$ $ y_0+k_3$ $ k_4$ $ k_4$
        % latex2html id marker 29645
$ \frac{1}{6}\,\sum\approx{}y_1-y_0$
$ 1$ $ x_1$ $ y_1$ $ k_1$ $ k_1$
  $ x_1+\frac{h}{2}$ $ y_1+\frac{k_1}{2}$ $ k_2$ $ 2\,k_2$
  $ x_1+\frac{h}{2}$ $ y_1+\frac{k_2}{2}$ $ k_3$ $ 2\,k_3$
  $ x_1+h$ $ y_1+k_3$ $ k_4$ $ k_4$
        % latex2html id marker 29681
$ \frac{1}{6}\,\sum\approx{}y_2-y_1$
$ 2$ $ x_2$ $ y_2$ $ k_1$ $ k_1$
  ... ... ... ...

Postoji cijela familija metoda zasnovanih na ideji da se podsegment podijeli na još manje dijelove kako bi se izračunala vrijednost u sljedećem čvoru. Sve one nose naziv Runge-Kutta metode. Opisani postupak se najčešće upotrebljava.


next up previous contents
Next: Rubni problem Up: Početni (Cauchyjev) problem Previous: Eulerova metoda   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27