next up previous contents
Next: Problem vlastitih ... Up: Struktura skupa svih rješenja Previous: Struktura skupa svih rješenja   Contents

Zaključak.

Ako s $ X_0$ označimo skup svih rješenja pripadnog homogenog, a s $ X_b$ skup svih rješenja nehomogenog sustava, onda je $ X_0$ vektorski prostor dimenzije $ n-r,$ gdje je $ r$ rang matrice sustava, i vrijedi

$\displaystyle X_0 = \{\lambda_1\,\boldsymbol{u}_1 +\lambda_2\,\boldsymbol{u}_2 +\cdots
+\lambda_{n-r}\,\boldsymbol{u}_{n-r}\},$

gdje $ \boldsymbol{u}_1, \boldsymbol{u}_2,
\ldots, \boldsymbol{u}_{n-r}$ čine bazu u $ X_0,$ a $ \lambda_1, \lambda_2,
\ldots, \lambda_{n-r}$ su proizvoljni brojevi. Također vrijedi

$\displaystyle X_b = \{\boldsymbol{x}_p+\boldsymbol{u};\,\boldsymbol{u}\in X_0\}.$

Primjer 1.12   Riješiti sustav jednadžbi

% latex2html id marker 23193
$\displaystyle \begin{array}{rrrrrrr}
2\,x_1 & +3\,...
...= & 1 \\
5\,x_1 & -3\,x_2 & +2\,x_3 & +7\,x_4 & -\,x_5 & = & -8.
\end{array} $

Rješenje. Rješenje ovog sustava je svaka uređena petorka (vektorstupac)

% latex2html id marker 23195
$\displaystyle \left[ \begin{array}{r}
x_1 \\  x_2 \\  x_3 \\  x_4 \\  x_5
\end{array} \right],$

koja zadovoljava svaku jednadžbu. Gauss-Jordanovim postupkom dolazimo do sustava
$\displaystyle x_1\hspace{.8cm}+x_3+2\,x_4+x_5$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$  
$\displaystyle x_2+x_3+x_4+2\,x_5$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1.$  

Odatle,
$\displaystyle x_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1-x_3-2\,x_4-x_5$  
$\displaystyle x_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-x_3-x_4-2\,x_5,$  

pa je rješenje

% latex2html id marker 23223
$\displaystyle \boldsymbol{x}=\left[ \begin{array}{...
...t]+x_5
\left[ \begin{array}{r}
-1 \\  -2 \\  0 \\  0 \\  1
\end{array} \right].$

Pri tom je % latex2html id marker 23225
$ \left[ \begin{array}{r}
-1 \\  1 \\  0 \\  0 \\  0
\end{array} \right]$ partikularno rješenje, a vektori % latex2html id marker 23227
$ \left[ \begin{array}{r}
-1 \\  -1 \\  1 \\  0 \\ ...
...ght],\;
\left[ \begin{array}{r}
-1 \\  -2 \\  0 \\  0 \\  1
\end{array} \right]$

čine bazu u vektorskom prostoru svih rješenja pripadnog homogenog sustava.


next up previous contents
Next: Problem vlastitih ... Up: Struktura skupa svih rješenja Previous: Struktura skupa svih rješenja   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27