Next: Zakon održanja.
Up: Rubni problemi
Previous: Rubni problemi
  Contents
Oscilacije membrane
Membrana je tanka ploča od krutog materijala. Promatrat ćemo
nategnutu membranu silama koje djeluju u ravnini membrane. Sila
djeluje na luk krivulje koja je rub membrane. Zbog krutosti membrane
napetost uslijed te sile se prenosi u unutrašnjost, pa tako na svaki
komad membrane
djeluje napetost na rubu
Tako, u
svakoj točki
membrane, i za svaki luk kroz
imamo silu
po jedinici duljine luka, kojom vanjski dio membrane djeluje
na unutarnji dio.
slika
Ta sila se zove kontaktna sila (njezino djelovanje
je omogućeno isključivo kontaktom), i paralelna je s ravninom
membrane. Osnovna pretpostavka je da je ta
sila ista za sve lukove kroz
koji imaju zajednički
jedinični vektor normale
u točki
Tako
ovisi o točki i jediničnom vektoru normale u točki,
tj.
Ta ovisnost je
linearna, tj. vrijedi
slika
Teorem o divergenciji u
glasi
gdje je
područje u ravnini,
rub od
koji je po dijelovima glatka krivulja koja samu sebe ne
presijeca,
vektorsko polje klase
na nekoj okolini od
i
vektorsko polje vanjskih jediničnih normala
na
Specijalno, ako je
onda je
 |
(2.28) |
Slično
 |
(2.29) |
Ove formule se zovu Gaussove formule.
Pretpostavljamo da je membrana homogena i izotropna, što ima za
posljedicu da napetost djeluje na rubu u smjeru vektora vanjske normale
Tako je
Pretpostavljamo da se
ne mijenja s vremenom.
Ako je membrana u ravnoteži, onda ukupna sila na rubu iščezava.
Odatle

i
Budući da to vrijedi za svaki komad membrane
imamo

i
Odatle, po teoremu o divergenciji,
To vrijedi za proizvoljni komad membrane
(područje u
), pa po
osnovnoj lemi zaključujemo da je
za svaki
pa je prema tome
konst.
Osnovnim stanjem membrane smatrat ćemo ravnotežno stanje napete
membrane. Ako takvu membranu izvučemo iz položaja ravnoteže, ona se
počne gibati (oscilirati, titrati). Vektorska polja koja su nam pri
tom interesantna jesu
-
-
- progib membrane u točki
u čas
-
-
- ukupna količina gibanja membrane
po jedinici površine, u točki
u čas
-
-
- količina gibanja, koja se u
jedinici vremena prenese kroz jedinični luk izvana prema unutra
(smjer suprotan smjeru jediničnog vektora vanjske normale
) u
točki
u čas
(linijska gustoća kontaktne sile),
-
-
- količina gibanja po jedinici površine, u
jedinici vremena, koja se izvana prenese na membranu u točki
u čas
(površinska gustoća vanjske sile).
Polje
je kinematičko polje, a ostala tri polja su
dinamička.
Next: Zakon održanja.
Up: Rubni problemi
Previous: Rubni problemi
  Contents
Salih Suljagic
1999-01-27