next up previous contents
Next: Inverzna matrica Up: Rang matrice Previous: Elementarne transformacije   Contents


Rang matrice

Neka je $ A\in {\cal M}_{mn}.$ Njezine stupce, i njezine retke možemo shvatiti kao vektore.

% latex2html id marker 22885
$\displaystyle A=\left[\begin{array}{cccc}
\boldsy...
...bol{a}_{2\,\cdot} \\  \vdots \\  \boldsymbol{a}_{m\,\cdot}
\end{array} \right],$

Među vektorima $ \boldsymbol{a}_{\cdot 1}, \boldsymbol{a}_{\cdot 2}, \cdots, \boldsymbol{a}_{\cdot n}$ ima određeni broj linearno nezavisnih, i među vektorima $ \boldsymbol{a}_{1\,\cdot}, \boldsymbol{a}_{2\,\cdot}, \ldots, \boldsymbol{a}_{m\,\cdot}$ također ima određeni broj linearno nezavisnih.

Teorem 4   Neka je $ A\in {\cal M}_{mn}$ proizvoljna matrica.
1.
Broj linearno nezavisnih stupaca matrice $ {A}$ se ne mijenja, ako je pomnožimo s lijeva s elementarnom matricom.
2.
Broj linearno nezavisnih redaka matrice $ {A}$ se ne mijenja, ako je pomnožimo s desna s elementarnom matricom.


Dokaz. 1. Neka je $ p$ broj linearno nezavisnih stupaca matrice $ A.$ Radi jednostavnosti pretpostavimo da su to prvih $ p$ stupaca

$\displaystyle \boldsymbol{a}_{\cdot\, 1}, \boldsymbol{a}_{\cdot\,
2} , \cdots , \boldsymbol{a}_{\cdot\, p}.$

Neka je $ T$ elementarna matrica. Tada je

% latex2html id marker 22910
$\displaystyle T\,A=T\,\left[\begin{array}{cccc}
\b...
...bol{a}_{\cdot\, 2} & \cdots & T\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, n} \end{array} \right]$

Ispitajmo linearnu nezavisnost prvih $ p$ stupaca u tako dobivenoj matrici.

$\displaystyle \lambda_1\,T\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, 1} + \lambda_2\,T\,\boldsym...
...}_{\cdot\, 2}
+ \cdots + \lambda_p\,T\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, p} = \textbf{0},$

$\displaystyle T\,(\lambda_1\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, 1} + \lambda_2\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, 2} +
\cdots + \lambda_p\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, p}) = \textbf{0}.$

Matrica $ T$ je regularna, postoji $ T^{-1},$ pa je

$\displaystyle T^{-1}\,T\,(\lambda_1\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, 1}
+ \lambda_2\,\b...
...{a}_{\cdot\, 2} + \cdots + \lambda_p\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, p}) =
\textbf{0},$

$\displaystyle \lambda_1\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, 1} + \lambda_2\,\boldsymbol{a}_{\cdot\,
2} + \cdots + \lambda_p\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, p} = \textbf{0},$

odakle, zbog linearne nezavisnosti vektora $ \boldsymbol{a}_{\cdot\, 1}, \boldsymbol{a}_{\cdot\,
2} , \cdots , \boldsymbol{a}_{\cdot\, p},$ slijedi $ \lambda_1 = 0, \lambda_2 =
0, \ldots, \lambda_p = 0.$ Prema tome prvih $ p$ stupaca matrice $ T\,A$ je linearno nezavisno. Tako smo dokazali da se broj linearno nezavisnih stupaca matrice $ {A}$ ne smanjuje nakon množenja s elementarnom matricom s lijeva.
Taj broj se ne može niti uvećati, što pokazuje sljedeće razmatranje. Neka su stupci $ \boldsymbol{a}_{\cdot\, 1}, \boldsymbol{a}_{\cdot\, 2} , \cdots , \boldsymbol{a}_{\cdot\,
k}$ matrice $ {A}$ linearno zavisni. To znači da vrijedi

$\displaystyle \lambda_1\,\boldsymbol{a}_{\cdot\,
1} + \lambda_2\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, 2} + \cdots + \lambda_k\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, k}
= \textbf{0},$

za barem jedan $ \lambda_i\neq 0.$ Tada je

$\displaystyle T\,(\lambda_1\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, 1} + \lambda_2\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, 2} +
\cdots + \lambda_k\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, k}) = \textbf{0},$

$\displaystyle \lambda_1\,T\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, 1} + \lambda_2\,T\,\boldsym...
...}_{\cdot\, 2} +
\cdots + \lambda_k\,T\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, k} = \textbf{0},$

za taj isti $ \lambda_i\neq 0.$ Prema tome i vektori $ T\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, 1},
T\,\boldsymbol{a}_{\cdot\,
2} , \cdots , T\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, k}$ su linearno zavisni.
2. Ako produkt $ AT^T$ transponiramo, dobivamo $ TA^T.$ Kao u prvom dijelu dokaza imamo da se broj linearno nezavisnih stupaca u $ A^T$ nije promijenio. No, to znači da se broj linearno nezavisnih redaka u matrici $ {A}$ nije promijenio.
$ \heartsuit$

Teorem 5   (Teorem o rangu). Broj linearno nezavisnih redaka proizvoljne matrice $ {A}$ tipa $ (m,n)$ jednak je broju njezinih linearno nezavisnih stupaca. Taj broj se zove rang matrice $ {A}$, i označava se sa $ r(A).$


Dokaz. Množeći matricu $ {A}$ dovoljan (konačan) broj puta s lijeva i s desna s odgovarajućim elementernim matricama, matrica $ {A}$ se može svesti na oblik

% latex2html id marker 22975
$\displaystyle \left[\begin{array}{cccccc}
1 & \cd...
...dots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0
\end{array}\right],$

gdje je $ r\geq 0$ jedinica na dijagonali. Stupci (reci) u kojima se pojavljuju jedinice su linearno nezavisni. Dokaz je isti kao dokaz linearne nezavisnosti kanonske baze. Ako tim stupcima (recima) dodamo stupac (redak) sastavljen od samih nula, stupci (reci) će postati linearno zavisni, jer množeći taj stupac (redak) s $ 1,$ a druge s nulom, dobivamo nulstupac (nulredak). Tako imamo $ r$ linearno nezavisnih stupaca i također $ r$ linearno nezavisnih redaka. Time smo dokazali teorem o rangu. $ \heartsuit$

Dokazom ovog teorema smo ujedno dobili metodu za ispitivanje ranga matrice. Treba elementarnim operacijama svesti matricu na oblik kao u dokazu teorema, i zatim očitati broj jedinica na dijagonali.

Definicija 13   Neka su $ P$ i $ Q$ regularne matrice i neka je

$\displaystyle B= P\,A\,Q.$

Tada kažemo da su matrice $ {A}$ i $ B$ ekvivalentne.

Primjer 1.10   Treba naći rang matrice

% latex2html id marker 22999
$\displaystyle A=\left[ \begin{array}{rrrrrr}
1 & 0...
...& 1 \\
1 & 1 & -1 & 0 & 1 & -1 \\
2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3
\end{array}\right].$

Rješenje.

% latex2html id marker 23001
$\displaystyle \left[ \begin{array}{rrrrrr}
1 & 0 &...
... 2 \\
0 & 0 & 1 & 5 & 1 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 1 &1/4 & -1
\end{array} \right]$

% latex2html id marker 23003
$\displaystyle \sim\left[\begin{array}{rrrrrr}
1 & ...
... & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0
\end{array} \right],$

pa je prema tome $ r(A)=4.$


next up previous contents
Next: Inverzna matrica Up: Rang matrice Previous: Elementarne transformacije   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27