Next: Rubni problemi
Up: Rubni problemi
Previous: Provođenje topline
  Contents
Filtracija
Promatrat ćemo filtraciju nestlačive tekućine kroz poroznu
sredinu. Polja koja su nam ovdje važna jesu
-
-
- tlak tekućine u točki
u čas
-
-
- ukupna masa tekućine po jedinici
volumena, u točki
u čas
-
-
- masa tekućine, koja se u
jedinici vremena prenese kroz jediničnu površinu izvana prema unutra
(smjer suprotan smjeru jediničnog vektora vanjske normale
) u
točki
u čas
-
-
- masa tekućine po jedinici volumena, u
jedinici vremena, koja se unese u tijelo (izvori, ponori unutar
tijela) u točki
u čas 
Polje
je kinematičko polje, a ostala tri polja su
dinamička.
Zakoni ponašanja su
gdje je
gustoća mase tekućine,
poroznost, tj. omjer praznog prostora i ukupnog volumena porozne sredine, a
koeficijent filtracije. Za nestlačivu tekućinu
je
konstanta, pa bilo kakva derivacija od
iščezava. Nadalje, prema Darcyjevom zakonu filtracije
(eksperimentalno utvrđenom) vrijedi
gdje je
viskoznost tekućine, a
permeabilnost porozne
sredine. Pod pretpostavkom da su i ove veličine konstantne, dobivamo,
kao kod membrane, jednadžbu filtracije
Izostanak derivacije tlaka
po vremenu tumačimo tako da se tlak u
nestlačivoj tekućini prenosi trenutno. Ovu jednadžbu možemo
prepisati u obliku
Jednadžba oblika
se zove Poissonova jednadžba, a jednadžba
Laplaceova jednadžba. Ravnotežna stanja membrane i
provođenja i filtracija nestlačive tekućine se opisuju Poissonovom
jednadžbom. Ako pri tom nije bilo vanjske sile, topline, mase, onda
se ta stanja opisuju Laplaceovom jednadžbom. Poissonova jednadžba je
linearna diferencijalna jednadžba, a Laplaceova je njoj pripadna
homogena jednadžba. Tako možemo zaključiti da se skup svih
rješenja Poissonove jednadžbe može dobiti tako da se jednom
partikularnom rješenju Poissonove jednadžbe dodaju sva moguća
rješenja Laplaceove jednadžbe. Funkcije koje rješavaju Laplaceovu
jednadžbu se zovu harmonijske funkcije. Kad se radi o
ravninskim problemima, onda se harmonijske funkcije pojavljuju kao
realni i imaginarni dijelovi analitičkih funkcija. To pokazuje da se
funkcije kompleksne varijable mogu koristiti kod ravninskih rubnih
problema ili onih prostornih koji se mogu svesti na ravninske.
Next: Rubni problemi
Up: Rubni problemi
Previous: Provođenje topline
  Contents
Salih Suljagic
1999-01-27