Next: Egzistencija rješenja
Up: Varijacijske metode
Previous: Varijacijske metode
  Contents
Varijacijski princip
Neka je zadan rubni problem ravnoteže žice
 |
(2.17) |
i pretpostavimo da je
ravnotežni položaj. Pretpostavljamo da je proizvoljni položaj žice
određen neprekidnom funkcijom
klase
takvom da je
Nazovimo sve takve funkcije dopustivima. Funkciju
ćemo zvati perturbacijom ravnotežnog stanja
(položaja). Pri tom
je pomak od ravnotežnog stanja a ne od osi
slika
Ako jednadžbu iz (2.17) pomnožimo s
i integriramo
duž žice, dobit ćemo
Parcijalno integrirajmo prvi integral
Zbog
i
slijedi
 |
(2.18) |
Jednadžba (2.18) predstavlja Bernoullijev princip
sačuvanja rada. Prvi član je rad kontaktne sile
koja
se opire deformaciji
iz ravnotežnog stanja. Drugi član je
rad sile otpora, a treći rad vanjske sile čija je gustoća
Bernoullijev princip tvrdi da je ukupni rad vanjskih i unutarnjih
sila na perturbaciji ravnotežnog položaja jednak
Drugim
riječima, ako žicu perturbiramo, svaki komadić žice prijeđe neki
put iz ravnotežnog stanja. Vanjske sile na tom putu izvrše neki
rad. Rad uslijed sile napetosti žice, koja nastoji vratiti žicu u
ravnotežni položaj jednak je po apsolutnom iznosu radu vanjskih
sila, ali suprotnog predznaka. Tako je suma svih radova jednaka nuli.
Možemo
zaključiti sljedeće. Ako
rješava zadani rubni problem, onda
vrijedi jednadžba (2.18) za svaku dopustivu funkciju
Pretpostavimo da je funkcija
takva da je
i da zadovoljava
uvjet (Bernoullijev princip)
za svaku dopustivu funkciju
Integrirajmo parcijalno prvi član
na lijevoj strani. Dobivamo
Za dopustivu funkciju
to je, zbog
 |
(2.19) |
Ovo vrijedi za svaku dopustivu funkciju, pa i takvu za koju
je
Za takvu
ova jednakost postaje
odnosno
Na temelju ove leme zaključujemo da je nužno
Dakle
zadovoljava diferencijalnu jednadžbu. Po pretpostavci zadovoljava
homogeni kinematički uvjet
Dokažimo na kraju da
zadovoljava i dinamički uvjet
Jednadžba
(2.19) se sada svodi na
Kako ona vrijedi za svaku dopustivu funkciju, vrijedi i za
takvu za koju je
Osim toga je
pa
prema tome mora biti
Možemo zaključiti sljedeće. Ako
zadovoljava
Bernoullijev princip, i
onda
rješava rubni problem
(2.17).
Tako smo dokazali sljedeći teorem.
Teorem 16
- 1.
- Neka je funkcija
rješenje rubnog
problema
 |
(2.20) |
Tada vrijedi
za svaku dopustivu funkciju
- 2.
- Neka je funkcija
neka je
i
neka funkcija
zadovoljava uvjet
za svaku dopustivu funkciju
Tada
rješava rubni problem
(2.20).
Primijetimo da se u drugoj tvrdnji zahtijeva od funkcije
samo
zadovoljavanje kinematičkog rubnog uvjeta, dok dinamički rubni
uvjet,
nužno slijedi iz činjenice da
zadovoljava
Bernoullijev princip.
Promatrajmo i dalje rubni problem (2.20). Stavimo
gdje je
ravnotežni položaj,
perturbacija, a
rezultanta. Svakom takvom rezultantnom položaju
možemo
pridružiti broj
 |
(2.21) |
Prema tome tu se radi o funkciji koja funkcijama
pridružuje
brojeve (kao na pr. kod Riemannovog integrala). Takva funkcija se zove
funkcional. Prvi integral je unutrašnja potencijalna
energija uslijed napetosti žice, drugi integral je potencijalna
energija vanjske sile, dok je treći integral potencijalna energija
elastične sile otpora. Zato se ovaj funkcional zove
funkcional energije.
Interesira nas čime se odlikuje ravnotežno stanje
, među svim
mogućim funkcijama
u odnosu na ponašanje funkcionala
zadanog
formulom (2.21). Neka je
dopustiva funkcija. Podsjetimo da to znači da je
klase
i da je
Neka je
U formulama, koje
slijede, nećemo pisati varijablu
radi kratkoće.
Drugi član je nenegativan zato jer je takva podintegralna funkcija, a
treći je nula zbog Bernoullijevog principa. Tako imamo
Dakle možemo zaključiti sljedeće. Od svih rezultanti
ona
rezultanta, koja predstavlja ravnotežni položaj, pridaje
funkcionalu
najmanju vrijednost. Za funkciju na kojoj funkcional
poprima najmanju vrijednost kažemo da minimizira
funkcional
Tako smo dokazali prvu tvrdnju ovog teorema.
Teorem 17
(Varijacijski princip, Dirichletov princip)
- 1.
- Neka je funkcija
rješenje rubnog problema
(2.20). Tada
minimizira funkcional
- 2.
- Neka je funkcija
neka je
i
neka
minimizira funkcional
Tada je
rješenje rubnog
problema (2.20).
Dokažimo drugu tvrdnju (obrat prve). Pretpostavimo da
minimizira
funkcional
tj. da je
za proizvoljnu
dopustivu funkciju
Ako je
dopustiva funkcija, onda je i
za
neki
dopustiva. Stavimo
Tako vidimo da je
polinom drugog stupnja u
varijabli
Graf polinoma drugog stupnja je parabola. Kako je
koeficijent uz
pozitivan parabola ima u svom tjemenu
minimum. Apscisa tjemena je
Da bi se minimum
dogodio za
što se mora desiti jer smo pretpostavili da
je
mora nužno biti
To znači da mora biti
Dopustiva funkcija
je bila proizvoljna, pa prema tome ova jednakost vrijedi za svaku
dopustivu funkciju
Osim toga pretpostavka je da je
Odatle, po Bernoullijevom principu slijedi da
rješava rubni
problem (2.20).
Primijetimo na kraju da teorem 17 izražava poznati
mehanički princip da je ravnotežno stanje fizikalnog sustava ono
stanje u kojem je njegova potencijalna energija minimalna.
Next: Egzistencija rješenja
Up: Varijacijske metode
Previous: Varijacijske metode
  Contents
Salih Suljagic
1999-01-27