Next: Konvergencija.
Up: Fourierova metoda
Previous: Valna jednadžba
  Contents
Fourierovi redovi
Funkcije
su
periodične, i period je broj
takav da vrijedi na pr.
Odatle
slijedi
slika
Svaka od ovih funkcija ima period
pa se nadamo da pomoću
njih možemo prikazati svaku periodičku funkciju
perioda
Uz
tu pretpostavku imamo
tj.
 |
(2.11) |
gdje su koeficijenti
neodređeni. Da bismo
koeficijente odredili tako da vrijedi ova jednakost, koristimo jedno
važno svojstvo trigonometrijskih funkcija
Svojstvo izraženo formulama, u kojima je desna strana jednaka
nuli, se zove ortogonalnost
trigonometrijskih funkcija, a formule se zovu formule
ortogonalnosti.
Sada računamo koeficijente tako da (2.11) množimo redom
s

i
i zatim integriramo po
segmentu duljine perioda, na pr.
Zbog svojstva
ortogonalnosti dobivamo
Da bi ove formule imale smisla, nužno je da
bude integrabilna
funkcija na segmentu
U tom slučaju su koeficijenti
Red
se zove
trigonometrijski red, i on se može napisati neovisno o
bilo kakvoj funkciji. Ako su u tom redu koeficijenti ovi koje
smo upravo izračunali, onda se red zove Fourierov red
funkcije
a koeficijenti se zovu Fourierovi
koeficijenti.
Do sada smo stalno imali na umu funkciju
definiranu na
U slučaju da je funkcija
definirana na
i
integrabilna na
možemo također izračunati
Fourierove koeficijente i prema tome imamo Fourierov red funkcije
Budući da svaka funkcija u tom redu ima period
i red će
predstavljati periodičnu funkciju perioda
i to onu koja se
iz dane dobije periodičkim proširenjem njezine restrikcije na
segmentu
na cijeli
Next: Konvergencija.
Up: Fourierova metoda
Previous: Valna jednadžba
  Contents
Salih Suljagic
1999-01-27