Next: Fourierovi redovi
Up: Fourierova metoda
Previous: Fourierova metoda
  Contents
Valna jednadžba
Valna jednadžba
opisuje
oscilacije žice, longitudinalne oscilacije štapa i torzione
oscilacije štapa. Pretpostavimo da ne djeluje vanjska sila,
i neka su zadani homogeni rubni uvjeti.
gdje je
Budući da
su oscilacije u pravilu periodična
gibanja u odnosu na vrijeme, potražimo rješenja ovog rubnog
problema u obliku

ili
Imamo
dok je
Uvrstimo u jednadžbu
i ako uzmemo u obzir rubne uvjete
dobivamo sljedeći rubni problem za običnu diferencijalnu
jednadžbu
 |
(2.10) |
gdje je
Ovo
je homogena obična linearna diferencijalna jednadžba 2. reda,
njezina karakteristična jednadžba je
pa je opće rješenje
odakle,
pomoću Eulerove formule
dobivamo opće rješenje
Iz
slijedi
pa je
Iz
slijedi
Dakle imamo
zapravo diskretan skup vrijednosti za
Ovi
brojevi se zovu vlastite vrijednosti, a pripadne funkcije
se zovu
vlastite funkcije rubnog problema (2.10). Budući da je
sinus neparna funkcija, dovoljno je uzeti
Tako
imamo rješenja oblika

ili
Problem oscilacija žice je potpuno zadan tek kad zadamo još i
početne uvjete. Očekujemo da ćemo tada kao rješenje imati
nekakvu kombinaciju ovih rješenja. Budući da su trigonometrijske
funkcije s frekvencijama
linearno
nezavisne, može se dogoditi da u takvoj kombinaciji učestvuje
beskonačno mnogo funkcija. To nas dovodi do pojma Fourierovih
redova.
Next: Fourierovi redovi
Up: Fourierova metoda
Previous: Fourierova metoda
  Contents
Salih Suljagic
1999-01-27