next up previous contents
Next: Varijacijski račun Up: Varijacijski princip Previous: Varijacijski princip   Contents

Egzistencija rješenja

Rješenje rubnog problema treba biti funkcija iz $ C^2[0,\ell].$ S druge strane za funkciju koja minimizira funkcional energije dovoljno je da bude iz $ C^1[0,\ell].$

Sljedeći primjer pokazuje da rubni problem ne mora imati rješenja, dok za pripadni funkcional energije postoji funkcija koja ga minimizira. Radi jednostavnosti promatrat ćemo rubni problem u kojem je $ p$ konstanta, i $ q=0.$

Primjer 2.3   Neka je gustoća vanjske sile dana formulom

% latex2html id marker 26323
$\displaystyle f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
0, ...
...mbox{za }\frac{\ell{}}{2} \leqslant{} x \leqslant{} \ell{}.
\end{array}\right.
$

Rubni problem

$\displaystyle p\,u''(x) + f(x) = 0,\hspace{1cm}u(0)=0,\;u'(\ell)=0.$ (2.22)

nema rješenja.

Problem minimizacije pripadnog funkcionala

$\displaystyle F(w) = \frac{p}{2}\,\int_0^{\ell}\,(w'(x))^2\,dx - \int_0^{\ell}\,f(x)\,w(x)\,dx,$

uz rubne uvjete $ w(0)=0, w'(\ell)=0$ ima rješenje, tj. postoji funkcija $ u$ takva da je $ u(0)=0, u'(\ell)=0$ i da je $ F(u)\leqslant
F(w)$ za svaku isto takvu funkciju $ w.$

Rješenje. Rubni problem ne može imati rješenje, jer ako funkcija $ u\in C^2[0,\ell]$ rješava rubni problem, onda je

$\displaystyle f(x) = - p\,u''(x),$

neprekidna funkcija na $ [0,\ell],$ što nije istina.

Da bismo našli funkciju koja minimizira funkcional, integrirajmo jednadžbu u (2.22) po području od $ x$ do $ \ell.$

$\displaystyle p\,\int_x^{\ell} u''(\xi)\,d\xi + \int_x^{\ell}
f(\xi)\,d\xi = 0,$

$\displaystyle p\,u'(\ell) - p\,u'(x) + \int_x^{\ell} f(\xi)\,d\xi = 0.$

Zbog uvjeta $ u'(\ell)=0$ na rubu, prvi član iščezava, pa je

$\displaystyle u'(x) = \frac{1}{p}\,\Phi(x),$ (2.23)

gdje je

% latex2html id marker 26357
$\displaystyle \Phi(x) = \int_x^{\ell} f(\xi)\,d\xi...
...\mbox{za }\frac{\ell{}}{2} \leqslant{} x \leqslant{} \ell{}.
\end{array}\right.$

slika
Nakon što integriramo (2.23) od 0 do $ x,$ i uzmemo u obzir uvjet $ u(0)=0,$ dobivamo

% latex2html id marker 26364
$\displaystyle u(x) = \frac{1}{p}\,\int_0^x \Phi(\x...
...\mbox{za
}\frac{\ell{}}{2} \leqslant{} x \leqslant{} \ell{}
\end{array}\right.$

% latex2html id marker 26366
$\displaystyle = \left\{
\begin{array}{ll}
\frac{\e...
...mbox{za
}\frac{\ell{}}{2} \leqslant{} x \leqslant{} \ell{}.
\end{array}\right.$

Funkcija $ \Phi$ je neprekidna, pa je tako $ u\in C^1[0,\ell].$
slika

Pokažimo sada da ova funkcija minimizira pripadni funkcional energije. Stavimo $ w(x)=u(x)+v(x),$ gdje je $ v$ proizvoljna dopustiva funkcija.

$\displaystyle F(u+v) = \frac{p}{2}\,\int_0^{\ell}\,(u'+v')^2\,dx - \int_0^{\ell}\,f\,(u+v)\,dx$

$\displaystyle =
\frac{p}{2}\,\int_0^{\ell}\,\left({u'}^2+2\,u'\,v'+{v'}^2\right)\,dx -
\int_{\frac{\ell}{2}}^{\ell} u\,dx - \int_{\frac{\ell}{2}}^{\ell}
v\,dx$

$\displaystyle = \frac{p}{2}\,\int_{0}^{\ell} {v'}^2\,dx +
\frac{p}{2}\,\int_0^...
...{2}}^{\ell} \left(\frac{(\ell-x)^2}{p^2} +
\frac{2\,(\ell-x)}{p}\,v'\right)\,dx$

$\displaystyle - \int_{\frac{\ell}{2}}^{\ell}
\frac{8\,\ell\,x-\ell^2-4\,x^2}{8\...
...rac{p}{2}\,\frac{\ell^3}{8\,p^2} +
\frac{\ell}{2}\,v\left(\frac{\ell}{2}\right)$

$\displaystyle +
\frac{p}{2}\,\frac{\ell^3}{24\,p^2} + \ell\,v(\ell) -
\ell\,v\l...
...ll}{2}}^{\ell}
v\,dx - \frac{\ell^3}{6\,p} - \int_{\frac{\ell}{2}}^{\ell}
v\,dx$

$\displaystyle = \frac{\ell^3}{16\,p} + \frac{\ell^3}{48\,p} -
\frac{\ell^3}{6\,...
...}\,{v'}^2\,dx =
-\frac{\ell^3}{12\,p} + \frac{p}{2}\,\int_0^{\ell}\,{v'}^2\,dx.$

Jedino drugi član ovisi o $ v,$ i on je nenegativan. Najmanju vrijednost poprima onda kada je $ v=0,$ i to $ -\frac{\ell^3}{12\,p}.$ Prema tome funkcija $ u$ doista minimizira funkcional $ F.$ S druge strane $ u'$ nema tangentu u $ \frac{\ell}{2},$ pa ne postoji $ u''$ na $ [0,\ell].$ Tako $ u$ ne može biti rješenje rubnog problema (2.22).


next up previous contents
Next: Varijacijski račun Up: Varijacijski princip Previous: Varijacijski princip   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27