Next: Ravnoteža pravokutne membrane
Up: Metoda separacije varijabli
Previous: Metoda separacije varijabli
  Contents
Dirichletov problem za ravnotežu kružne membrane
Dirichletov problem za ravnotežu kružne membrane glasi
gdje
označava krug radiusa
a
njegov rub,
kružnicu radiusa
slika
Prirodno je koordinatni sustav izabrati
sukladno geometrijskim karakteristikama područja. Zato u ovom
slučaju koristimo polarni koordinatni sustav u ravnini, i to tako da
ishodište stavimo u središte kruga.
U polarnom koordinatnom sustavu su koordinate
i
pa je
Postavlja se pitanje u što se transformira
kad se pređe na funkciju
Po lančanom pravilu
Slično
Iz formula veze koordinatnih sustava slijedi
Kad to uvrstimo u
dobivamo
ili drukčije napisano
U daljnjem ćemo umjesto
pisati radije
pa jednadžba
prema tome glasi
Budući da smo ishodište polarnog koordinatnog sustava postavili u
središte kruga, čiji je radius
rubni uvjet se može zapisati
ovako
Rješenje tražimo u obliku
Uvrstimo u jednadžbu, dobivamo
Podijelimo s
i pomnožimo s
pa imamo
Budući da smo separirali varijable, ovi izrazi su jednaki nekoj
konstanti
Imamo
Budući da je
periodička funkcija (zbog geometrije problema),
mora biti pozitivan, na pr.
Slijedi
Opće rješenje druge jednadžbe je
Period funkcije
je
pa slijedi
Za drugu jednadžbu imamo dakle ova rješenja
Prva jednadžba sada glasi
Za
imamo
što nakon dijeljenja s
postaje
U slučaju
imamo
Ako je
onda nakon još jednog dijeljenja s
i
integriranja, dobivamo
pa je u tom slučaju opće rješenje
Rješenja za
potražimo u obliku
Lako se vidi da je
Prema tome jednadžba se svodi na
odakle
pa su tako rješenja prve jednadžbe za
Opće rješenje za
je
Budući da se radi o krugu, za koji je
rješenja
za
i
ne dolaze u obzir, jer te funkcije
teže u
kad
Tako imamo rješenja
Sve ovo smo dobili direktno iz jednadžbe uz uvažavanje određenih
fizikalnih činjenica. Iskoristimo sada rubni uvjet. Nijedno od
rješenja
ne mora zadovoljavati rubni uvjet. Zato pretpostavimo
rješenje rubnog problema u obliku
što se može napisati ovako
Ovo rješenje mora zadovoljavati rubni uvjet
To je Fourierov red funkcije
pa slijedi
Da se radilo o beskonačnoj membrani s rupom u obliku kruga,
slika
onda
bismo morali izbaciti rješenja
i
pa bi sličnim
rezoniranjem došli do rješenja
gdje je, koristeći rubni uvjet,
Konačno, možemo promatrati kružnu membranu s rupom u obliku kruga u
sredini.
slika
U tom slučaju imamo dva rubna uvjeta
gdje je
unutrašnji, a
vanjski rub. Sada ne smijemo
izbaciti niti jedno partikularno rješenje, pa rješenje rubnog
problema pretpostavljamo u obliku
Za
desnu stranu možemo shvatiti kao Fourierov red funkcije
a za
kao Fourierov red funkcije
Tako imamo
za
Za svaki
treba riješiti sustav od dvije
jednadžbe s dvije nepoznanice da bi se dobili neodređeni
koeficijenti u rješenju.
Next: Ravnoteža pravokutne membrane
Up: Metoda separacije varijabli
Previous: Metoda separacije varijabli
  Contents
Salih Suljagic
1999-01-27