Teorem 2
Svaki vektor se na jedinstven način prikazuje kao linearna
kombinacija vektora baze.
Dokaz. Neka je
vektorski
prostor, neka je
baza u
i neka je
proizvoljan. Zbog drugog svojstva baze
imamo
Pretpostavimo da je također
Tada je
Zbog linearne nezavisnosti
baze, slijedi
Dakle, nije moguće da
ima dva
različita prikaza u
u odnosu na izabranu bazu.

Teorem 3
Neka je u vektorskom prostoru

dano

međusobno različitih
vektora

i neka se
svaki od njih može napisati kao linearna kombinacija od

vektora

Tada su vektori

linearno zavisni.
Dokaz. Teorem ćemo dokazati
matematičkom indukcijom. Za
tvrdnja vrijedi, jer iz
i
slijedi
odakle
pa su vektori
linearno zavisni. Ako je
onda se ne može dijeliti s
no u tom slučaju je
pa su očito vektori
linearno zavisni.
Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za svaki prirodni broj
Dokažimo da tvrdnja vrijedi i za
Po pretpostavci imamo
Kad bi svaki koeficijent uz
bio jednak
nuli, onda bismo imali situaciju da su vektori
linearne kombinacije od
vektora, pa bi po pretpostavci indukcije
bili linearno zavisni. Stoga možemo pretpostaviti da je na primjer
Pomnožimo prvu jednadžbu s
i dodajmo je drugoj. Time vektor
iščezne iz druge jednadžbe. Zatim, pomnožimo
prvu jednadžbu s
i dodajmo je
trećoj. Time vektor
iščezne iz treće
jednadžbe, itd. Nakon tog postupka druga, treća i ostale jednadžbe
izgledaju ovako
Po pretpostavci indukcije slijedi da su vektori
linearno zavisni. Pri
tom je
To
znači da postoje brojevi
od kojih je barem
jedan različit od nule, takvi da je
odnosno vrijedi
za barem jedan
različit od nule, pa su prema
tome vektori
linearno zavisni. Kako su time ispunjene pretpostavke aksioma
matematičke indukcije, tvrdnja vrijedi za svaki prirodni broj
