next up previous contents
Next: Provođenje topline kroz štap Up: Fourierova metoda Previous: Homogenizacija rubnih uvjeta.   Contents


Prisilne oscilacije

Ako je zadana vanjska sila po jedinici duljine $ f(x,t),$ onda treba riješiti sljedeći rubni problem

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 25904
\begin{cases}\frac{\textstyle{\...
...artial u(x,0)}}{\textstyle{\partial t}} = \beta(x), \end{cases}\end{displaymath} (2.15)

gdje je $ h(x,t) = \frac{f(x,t)}{\rho(x)}.$

Uzimajući u obzir rezultate prethodne točke, 2.3.3 rješenje možemo pretpostaviti u obliku

$\displaystyle u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}
D_n(t)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x.$

Ovom formom rješenja uzeli smo u obzir osnovnu pretpostavku Fourierove metode, i rubne uvjete. Neodređene funkcije $ D_n(t)$ određujemo pomoću jednadžbe i početnih uvjeta. Kad uvrstimo $ u(x,t)$ u jednadžbu, dobivamo

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} D_n''(t)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x =
-\sum_{n...
...,D_n(t)\,
\left(\frac{n\,\pi}{\ell}\right)^2 \sin\frac{n\,\pi}{\ell}x +
h(x,t),$

odnosno

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}
\left[D''_n(t) + \left(c\,\frac{n\,\pi}{\ell}\right)^2D_n(t)\right]
\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x = h(x,t).$

Za svaki $ t$ ovo je Fourierov red po sinusima za funkciju $ h(x,t),$ shvaćenu kao funkcija od $ x.$ Neka je

$\displaystyle h(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}
A_n(t)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x,$

gdje je

$\displaystyle A_n(t) =
\frac{2}{\ell}\int_0^{\ell}\,h(x,t)\,\sin\frac{n\,\pi\,x}{\ell}\,dx.$

Slijedi

$\displaystyle D''_n(t) + \left(c\,\frac{n\,\pi}{\ell}\right)^2D_n(t) = A_n(t).$

Nadalje

$\displaystyle u(x,0) = \alpha(x) = \sum_{n=1}^{\infty}
D_n(0)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x,$

pa je

$\displaystyle D_n(0) = \alpha_n =
\frac{2}{\ell}\int_0^{\ell}\,\alpha(x)\,\sin\frac{n\,\pi\,x}{\ell}\,dx.$

Analogno

$\displaystyle \frac{{\partial u(x,0)}}{{\partial t}} = \beta(x) =
\sum_{n=1}^{\infty} D'_n(0)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x,$

pa je

$\displaystyle D'_n(0) = \beta_n = \frac{2}{\ell}\int_0^{\ell}\,
\alpha(x)\,\sin\frac{n\,\pi\,x}{\ell}\,dx.$

Tako imamo familiju diferencijalnih jednadžbi s početnim uvjetima

% latex2html id marker 25938
$\displaystyle \left.
\begin{array}{l}
D''_n(t) + \...
... \hspace{1cm}D'_n(0) = \beta_n
\end{array}\right\}\hspace{3cm} n=1,2,3,\ldots $

i svaka daje jedno rješenje $ D_n(t),$ što zatim uvrstimo u formulu za $ u(x,t).$


next up previous contents
Next: Provođenje topline kroz štap Up: Fourierova metoda Previous: Homogenizacija rubnih uvjeta.   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27