next up previous contents
Next: Ravnoteža pravokutne membrane Up: Metoda separacije varijabli Previous: Metoda separacije varijabli   Contents


Dirichletov problem za ravnotežu kružne membrane

Dirichletov problem za ravnotežu kružne membrane glasi

% latex2html id marker 27058
$\displaystyle \begin{array}{l}
\Delta\,u = 0, \\
u\vert _{\partial K} =\alpha,
\end{array}$

gdje $ K$ označava krug radiusa $ R,$ a $ \partial K$ njegov rub, kružnicu radiusa $ R.$
slika
Prirodno je koordinatni sustav izabrati sukladno geometrijskim karakteristikama područja. Zato u ovom slučaju koristimo polarni koordinatni sustav u ravnini, i to tako da ishodište stavimo u središte kruga.

U polarnom koordinatnom sustavu su koordinate $ r$ i $ \varphi,$

$\displaystyle x = r\,\cos\varphi,\hspace{1cm}y = r\,\sin\varphi,$

pa je

$\displaystyle u(x,y) = u(r\,\cos\varphi,r\,\sin\varphi) = \tilde{u}(r,\varphi),$

% latex2html id marker 27076
$\displaystyle r = \sqrt{x^2 + y^2},\hspace{1cm}\varphi = {\rm Arctg}\,\frac{y}{x}.$

Postavlja se pitanje u što se transformira

$\displaystyle \Delta\,u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2
u}{\partial y^2}$

kad se pređe na funkciju $ \tilde{u}.$ Po lančanom pravilu

$\displaystyle \frac{\partial \tilde{u}}{\partial x} = \frac{\partial \tilde{u}}...
...rac{\partial \tilde{u}}{\partial
\varphi}\,\frac{\partial \varphi}{\partial x},$

$\displaystyle \frac{\partial^2 \tilde{u}}{\partial x^2} = \frac{\partial^2
\til...
...\partial \tilde{u}}{\partial
\varphi}\,\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}.$

Slično

$\displaystyle \frac{\partial^2 \tilde{u}}{\partial y^2} = \frac{\partial^2
\til...
...\partial \tilde{u}}{\partial \varphi}\,\frac{\partial^2
\varphi}{\partial y^2}.$

Iz formula veze koordinatnih sustava slijedi

$\displaystyle \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} =
\cos\v...
...t)^2}\left(-\frac{y}{x^2}\right) =
-\frac{y}{x^2+y^2} = -\frac{\sin\varphi}{r},$

$\displaystyle \frac{\partial r}{\partial y} = {\frac{y}{{\sqrt{{x^2} + {y^2}}}}...
...tial \varphi}{\partial y} = {\frac{x}{{x^2} + {y^2}}} =
\frac{\cos \varphi}{r},$

$\displaystyle \frac{\partial^2 r}{\partial x^2} = {\frac{{y^2}}
{{{\left( {x^2}...
...ac{2\,x\,y}{{{\left(
{x^2} + {y^2} \right) }^2}} = \frac{\sin 2\,\varphi}{r^2},$

$\displaystyle \frac{\partial^2 r}{\partial y^2} = \frac{{x^2}}
{{{\left( {x^2} ...
...y}{{{\left(
{x^2} + {y^2} \right) }^2}} = -{\frac{\sin
2\,\varphi}{{{{r}}^2}}}.$

Kad to uvrstimo u $ \Delta\,\tilde{u},$ dobivamo

$\displaystyle \Delta\,\tilde{u} =
\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\tilde{u}}{\part...
...frac{\partial\tilde{u}}{\partial r} +
\frac{\partial^2\tilde{u}}{\partial r^2},$

ili drukčije napisano

$\displaystyle \Delta\,\tilde{u} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial
r}\,\left...
...partial r}\right) +
\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\tilde{u}}{\partial\varphi^2}.$

U daljnjem ćemo umjesto $ \tilde{u}$ pisati radije $ u,$ pa jednadžba prema tome glasi

$\displaystyle \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial
r}\,\left(r\,\frac{\partial u}{\partial r}\right) +
\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial\varphi^2} = 0.$

Budući da smo ishodište polarnog koordinatnog sustava postavili u središte kruga, čiji je radius $ R,$ rubni uvjet se može zapisati ovako

$\displaystyle u(R,\varphi) = \alpha(\varphi).$

Rješenje tražimo u obliku

$\displaystyle u(r,\varphi) = A(r)\,\Phi(\varphi).$

Uvrstimo u jednadžbu, dobivamo

$\displaystyle \Phi(\varphi)\,\frac{1}{r}\frac{d}{d
r}\,\left(r\,\frac{d A(r)}{d r}\right) +
\frac{1}{r^2}\,A(r)\,\frac{d^2 \Phi}{d\varphi^2} = 0.$

Podijelimo s $ A\Phi,$ i pomnožimo s $ r^2,$ pa imamo

$\displaystyle \frac{r}{A}\,\frac{d}{d
r}\,\left(r\,\frac{d A(r)}{d r}\right) = -\frac{1}{\Phi}\,\frac{d^2
\Phi}{d\varphi^2} = a.$

Budući da smo separirali varijable, ovi izrazi su jednaki nekoj konstanti $ a.$ Imamo

$\displaystyle \Phi'' + a\,\Phi = 0.$

Budući da je $ \Phi$ periodička funkcija (zbog geometrije problema), $ a$ mora biti pozitivan, na pr. $ a=\lambda^2.$ Slijedi

% latex2html id marker 27132
$\displaystyle \begin{array}{l}
r\,(r\,A')' - \lambda^2\,A = 0,\\
\Phi'' + \lambda^2\,\Phi = 0.
\end{array}$

Opće rješenje druge jednadžbe je

$\displaystyle \Phi(\varphi) = C_1\,\cos\lambda\varphi + C_2\,\sin\lambda\varphi.$

Period funkcije $ \Phi$ je $ 2\pi,$ pa slijedi

$\displaystyle \lambda = n,\hspace{1cm}n\in Z.$

Za drugu jednadžbu imamo dakle ova rješenja

$\displaystyle \Phi_n(\varphi) = C_{1n}\,\cos n\varphi + C_{2n}\,\sin n\varphi.$

Prva jednadžba sada glasi

$\displaystyle r\,(r\,A'_n)' - n^2\,A_n = 0.$

Za $ n=0$ imamo

$\displaystyle r\,(r\,A'_0)' = 0,$

što nakon dijeljenja s $ r$ postaje

$\displaystyle r\,A'_0 = D.$

U slučaju $ D=0,$ imamo

$\displaystyle A_{01} = D_{01}.$

Ako je $ D\neq 0,$ onda nakon još jednog dijeljenja s $ r,$ i integriranja, dobivamo

$\displaystyle A_{02} = D_{02}\,\ln r,$

pa je u tom slučaju opće rješenje

$\displaystyle A_0(r) = D_{01} + D_{02}\,\ln r.$

Rješenja za $ n\neq 0$ potražimo u obliku

$\displaystyle A_n(r) = r^{\gamma}.$

Lako se vidi da je

$\displaystyle (r\,A'_n)' = \gamma^2\,r^{\gamma - 1}.$

Prema tome jednadžba se svodi na

$\displaystyle \gamma^2\,r^{\gamma} - n^2\,r^{\gamma} = 0,$

odakle

$\displaystyle \gamma = \pm n,$

pa su tako rješenja prve jednadžbe za $ n>0$

$\displaystyle A_{1n}(r) = r^n,\hspace{1cm}A_{2n}(r) = r^{-n}.$

Opće rješenje za $ n>0$ je

$\displaystyle A_n(r) = D_{1n}\,r^n + D_{2n}\,r^{-n} = D_{1n}\,r^n +
\frac{D_{2n}}{r^{n}}.$

Budući da se radi o krugu, za koji je $ 0\leq r\leq R,$ rješenja $ \ln
r$ za $ n=0,$ i $ \frac{1}{r^{n}}$ ne dolaze u obzir, jer te funkcije teže u $ \infty$ kad $ r\rightarrow 0.$ Tako imamo rješenja

$\displaystyle u_n(r,\varphi) = r^n\,(C_{1n}\,\cos n\varphi + C_{2n}\,\sin
n\varphi),\hspace{1cm}n=0,1,2,3,\ldots\ .$

Sve ovo smo dobili direktno iz jednadžbe uz uvažavanje određenih fizikalnih činjenica. Iskoristimo sada rubni uvjet. Nijedno od rješenja $ u_n$ ne mora zadovoljavati rubni uvjet. Zato pretpostavimo rješenje rubnog problema u obliku

$\displaystyle u(r,\varphi) = \sum_{n=0}^{\infty} u_n(r,\varphi) =
\sum_{n=0}^{\infty} r^n\,(C_{1n}\,\cos n\varphi + C_{2n}\,\sin n\varphi),$

što se može napisati ovako

$\displaystyle u(r,\varphi) = C_{10} + \sum_{n=1}^{\infty} r^n\,(C_{1n}\,\cos
n\varphi + C_{2n}\,\sin n\varphi).$

Ovo rješenje mora zadovoljavati rubni uvjet

$\displaystyle \alpha(\varphi) = u(R,\varphi) = C_{10} + \sum_{n=1}^{\infty}
R^n\,(C_{1n}\,\cos n\varphi + C_{2n}\,\sin n\varphi).$

To je Fourierov red funkcije $ \alpha,$ pa slijedi

$\displaystyle C_{10} = \frac{1}{2\,\pi}\,\int_{-\pi}^{\pi}\,\alpha(\varphi)\,d\...
... \frac{1}{R^n\pi}\,\int_{-\pi}^{\pi}\,\alpha(\varphi)\,\cos
n\varphi\,d\varphi,$

$\displaystyle C_{2n} = \frac{1}{R^n\pi}\,\int_{-\pi}^{\pi}\,\alpha(\varphi)\,\cos
n\varphi\,d\varphi.$

Da se radilo o beskonačnoj membrani s rupom u obliku kruga,

slika
onda bismo morali izbaciti rješenja $ r^n$ i $ \ln r,$ pa bi sličnim rezoniranjem došli do rješenja

$\displaystyle u(r,\varphi) = C_{10} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{r^n}\,\left(C_{1n}\,\cos
n\varphi + C_{2n}\,\sin n\varphi\right),$

gdje je, koristeći rubni uvjet,

$\displaystyle C_{10} = \frac{1}{2\,\pi}\,\int_{-\pi}^{\pi}\,\alpha(\varphi)\,d\...
...= \frac{R^n}{\pi}\,\int_{-\pi}^{\pi}\,\alpha(\varphi)\,\cos
n\varphi\,d\varphi,$

$\displaystyle C_{2n} = \frac{R^n}{\pi}\,\int_{-\pi}^{\pi}\,\alpha(\varphi)\,\cos
n\varphi\,d\varphi.$

Konačno, možemo promatrati kružnu membranu s rupom u obliku kruga u sredini.

slika
U tom slučaju imamo dva rubna uvjeta

$\displaystyle u(R_1,\varphi) = \alpha(\varphi),$

$\displaystyle u(R_2,\varphi) = \beta(\varphi),$

gdje je $ r=R_1$ unutrašnji, a $ r=R_2$ vanjski rub. Sada ne smijemo izbaciti niti jedno partikularno rješenje, pa rješenje rubnog problema pretpostavljamo u obliku

$\displaystyle u(r,\varphi) = A_{0} + B_{0}\,\ln r + \sum_{n=1}^{\infty}
\left[\...
...n\varphi + \left(A_{2n}\,r^n + \frac{B_{2n}}{r^n}\right)\,\sin
n\varphi\right].$

Za $ r=R_1$ desnu stranu možemo shvatiti kao Fourierov red funkcije $ \alpha,$ a za $ r=R_2$ kao Fourierov red funkcije $ \beta.$ Tako imamo

$\displaystyle A_{0} + B_{0}\,\ln R_1 = \frac{1}{2\,\pi}\,\int_{-\pi}^{\pi}\,
\a...
...B_{0}\,\ln R_2 =
\frac{1}{2\,\pi}\,\int_{-\pi}^{\pi}\,\beta(\varphi)\,d\varphi,$

$\displaystyle A_{1n}\,R_1^n + \frac{B_{1n}}{R_1^n} = \frac{1}{\pi}\,\int_{-\pi}...
...} = \frac{1}{\pi}\,\int_{-\pi}^{\pi}\,
\beta(\varphi)\,\cos n\varphi\,d\varphi,$

$\displaystyle A_{2n}\,R_1^n + \frac{B_{2n}}{R_1^n} = \frac{1}{\pi}\,\int_{-\pi}...
...} = \frac{1}{\pi}\,\int_{-\pi}^{\pi}\,
\beta(\varphi)\,\sin n\varphi\,d\varphi,$

za $ n = 1,2,3,\ldots\ .$ Za svaki $ n$ treba riješiti sustav od dvije jednadžbe s dvije nepoznanice da bi se dobili neodređeni koeficijenti u rješenju.


next up previous contents
Next: Ravnoteža pravokutne membrane Up: Metoda separacije varijabli Previous: Metoda separacije varijabli   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27