next up previous contents
Next: Varijacijski princip. Up: Višedimenzionalni problemi Previous: Metoda separacije varijabli za   Contents


Varijacijski princip

Rješavamo rubni problem

$\displaystyle -\Delta\,u(x,y)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x,y),\hspace{1cm}(x,y)\in \Omega$  
$\displaystyle u\vert _{\partial \Omega}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0 .$ (2.31)

Svaku funkciju $ v$ klase $ C^1(\Omega{})$ takvu da je $ v\vert _{\partial\Omega{}} = 0$ zovemo dopustivom funkcijom.

Pretpostavimo da je $ u(x,y)$ ravnotežni položaj membrane, tj. rješenje gornjeg problema. Da bi se membrana pomakla iz tog položaja, potrebno je izvršiti neki rad. Taj rad ovisi o veličini perturbacije $ v(x,y).$ Budući da je u novom položaju membrana i dalje učvršćena na rubu, mora i $ v$ biti dopustiva funkcija. Rad, koji izvrši vanjska sila uslijed pomaka $ v,$ je

$\displaystyle \iint_{\Omega}\,f\,v\,dxdy,$

dok je unutrašnji rad membrane

$\displaystyle \iint_{\Omega}\,v\,\Delta\,u\,dxdy.$

Ako jednadžbu u (2.31) pomnožimo s $ v$ i integriramo po $ \Omega{},$ dobivamo

$\displaystyle \iint_{\Omega}\,v\,\Delta\,u\,dxdy + \iint_{\Omega}\,f\,v\,dxdy = 0.$

Ova jednakost izražava princip sačuvanja rada (energije). Iz prve Greenove formule

% latex2html id marker 27473
$\displaystyle \iint_{\Omega{}} \left({\rm grad\,}v...
...ght)\,dxdy = \int_{\partial\Omega{}}
v\,\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}\,ds$

slijedi

% latex2html id marker 27475
$\displaystyle \iint_{\Omega{}} v\,\Delta u\,dxdy = -\iint_{\Omega{}} {\rm grad\,}
v\cdot{\rm grad\,}u\,dxdy,$

jer je $ v$ dopustiva funkcija, pa iščezava na rubu od $ \Omega{},$ a s njom i krivuljni integral. Kad to uvrstimo u gornju jednakost, dobivamo

% latex2html id marker 27481
$\displaystyle \iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v\cdot{\rm grad\,}u\,dxdy = \iint_{\Omega}\,f\,v\,dxdy.$ (2.32)

Možemo zaključiti sljedeće. Ako funkcija $ u$ rješava rubni problem (2.31), onda za svaku dopustivu funkciju $ v$ vrijedi (2.32). Također vrijedi i obrat. Ako $ u$ sa svojstvom $ u\vert _{\partial \Omega} = 0$ zadovoljava (2.32) za svaku dopustivu funkciju $ v,$ onda $ u$ rješava rubni problem (2.31).

Ova tvrdnja je poznata kao Bernoullijev princip. Prvi dio smo dokazali. Treba dokazati obrat.

Neka vrijedi (2.32) za svaku dopustivu funkciju $ v,$ i neka je $ u\vert _{\partial \Omega} = 0.$ Tada je prema prvoj Greenovoj formuli

% latex2html id marker 27499
$\displaystyle \iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v\cdot{\...
...\,\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}\,ds - \iint_{\Omega{}}
v\,\Delta u\,dxdy.$

Krivuljni integral iščezava, jer je $ v$ dopustiva funkcija. Tako je

% latex2html id marker 27503
$\displaystyle \iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v\cdot{\rm grad\,}u\,dxdy = - \iint_{\Omega}\,v\,\Delta u\,dxdy.$

Uvrstimo u (2.32), dobivamo

$\displaystyle \iint_{\Omega}\,v\,\Delta u\,dxdy + \iint_{\Omega}\,f\,v\,dxdy = 0,$

$\displaystyle \iint_{\Omega}\,\left[\Delta u + f\right]\,v\,dxdy = 0,$

za svaku dopustivu funkciju $ v.$ Po osnovnoj lemi slijedi

$\displaystyle -\Delta\,u = f.$

Kao i u jednodimenzionalnom slučaju sada dokazujemo da je Bernoullijev princip ekvivalentan problemu minimizacije funkcionala energije

Neka je dan funkcional

% latex2html id marker 27513
$\displaystyle F(w) = \frac{1}{2}\,\iint_{\Omega}\,({\rm grad\,}w)^2dxdy - \iint_{\Omega}\,f\,w\,dxdy.$

Pogledajmo čime se odlikuje $ F(u),$ ako $ u$ zadovoljava Bernoullijev princip, tj. zadovoljava (2.32). U tu svrhu stavimo $ w=u+v,$ gdje je $ v$ perturbacija ravnotežnog položaja (dopustiva funkcija). Kako je $ u$ ravnotežni položaj, $ u$ je dopustiva funkcija, pa je i $ w$ dopustiva. Imamo

% latex2html id marker 27529
$\displaystyle F(w) = F(u+v) = \frac{1}{2}\,\iint_{\Omega}\,({\rm grad\,}u + {\rm grad\,}v)^2dxdy - \iint_{\Omega}\,
f\,(u+v)\,dxdy$

% latex2html id marker 27531
$\displaystyle = \frac{1}{2}\,\iint_{\Omega}\,({\rm grad\,}u)^2dxdy +
\iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}u\cdot{\rm grad\,}v\,dxdy$

% latex2html id marker 27533
$\displaystyle + \frac{1}{2}\,\iint_{\Omega}\,
({\rm grad\,}v)^2dxdy - \iint_{\Omega}\,f\,u\,dxdy - \iint_{\Omega}\,f\,v\,dxdy$

% latex2html id marker 27535
$\displaystyle = F(u) + \frac{1}{2}\,\iint_{\Omega}\,({\rm grad\,}v)^2dxdy \geqslant F(u).$

Dakle $ F(w)\geqslant{}F(u),$ i pri tom je $ F(w)=F(u)$ samo ako je % latex2html id marker 27541
$ {\rm grad\,}v=\vec{0},$ a to znači $ v=$ konst.$ ,$ a kako je na rubu $ v=0,$ slijedi da je $ F(w)=F(u)$ samo ako je $ w=u.$ Dakle $ u$ je jedinstvena funkcija sa svojstvom $ u\vert _{\partial \Omega} = 0$ koja minimizira funkcional $ F.$

Dokažimo sada obrat, tj. da funkcija $ u$ koja minimizira funkcional $ F,$ i zadovoljava rubni uvjet $ u\vert _{\partial \Omega} = 0,$ mora zadovoljavati Bernoullijev princip, tj. (2.32). Pretpostavimo da $ u$ ima tražena svojstva, i stavimo $ w=u+\lambda{v},$ gdje je $ v$ perturbacija (funkcija iz klase dopustivih). Funkcional $ F$ poprima minimum na funkciji $ u,$ pa prema tome funkcija

$\displaystyle h(\lambda{}) = F(u + \lambda{}\,v)$

poprima minimum za $ \lambda{}=0.$ Imamo

% latex2html id marker 27578
$\displaystyle h(\lambda{}) = F(u+\lambda{}\,v) = \...
...d\,}u +
\lambda\,{\rm grad\,}v)^2dxdy - \iint_{\Omega}\,f\,(u+\lambda\,v)\,dxdy$

% latex2html id marker 27580
$\displaystyle = \frac{1}{2}\,\iint_{\Omega}\,({\rm grad\,}u)^2dxdy - \iint_{\Omega}\,f\,u\,dxdy$

% latex2html id marker 27582
$\displaystyle +
\lambda{}\left[\iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}u\cdot{\rm grad\,}v\,dxdy - \iint_{\Omega}\,
f\,v\,dxdy\right]$

% latex2html id marker 27584
$\displaystyle + \frac{1}{2}\,\lambda{}^2\,\iint_{\Omega}\,({\rm grad\,}v)^2dxdy.$

Ovo je polinom drugog stupnja u $ \lambda,$ koeficijent uz $ \lambda^2$ je pozitivan, pa funkcija doista ima minimum u tjemenu. Apscisa tjemena parabole, koja je graf funkcije

$\displaystyle a\,\lambda{}^2 + b\,\lambda{} + c$

je

$\displaystyle -\frac{b}{2\,a},$

pa ako se minimum dostiže u $ \lambda = 0,$ tj. u točki s apscisom $ 0,$ onda mora biti $ b = 0.$ U našem slučaju slijedi

% latex2html id marker 27600
$\displaystyle \iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}u\cdot{\rm grad\,}v\,dxdy - \iint_{\Omega}\,f\,v\,dxdy = 0$

za svaku dopustivu funkciju $ v.$ Tako smo dokazali da $ u$ zadovoljava (2.32). Iz svega rečenog možemo zaključiti da vrijedi sljedeće.




next up previous contents
Next: Varijacijski princip. Up: Višedimenzionalni problemi Previous: Metoda separacije varijabli za   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27