next up previous contents
Next: Zakon održanja. Up: Rubni problemi Previous: Rubni problemi   Contents


Oscilacije membrane

Membrana je tanka ploča od krutog materijala. Promatrat ćemo nategnutu membranu silama koje djeluju u ravnini membrane. Sila djeluje na luk krivulje koja je rub membrane. Zbog krutosti membrane napetost uslijed te sile se prenosi u unutrašnjost, pa tako na svaki komad membrane $ D$ djeluje napetost na rubu $ \partial D.$ Tako, u svakoj točki $ (x,y)$ membrane, i za svaki luk kroz $ (x,y)$ imamo silu $ \vec{\,p}$ po jedinici duljine luka, kojom vanjski dio membrane djeluje na unutarnji dio.

slika
Ta sila se zove kontaktna sila (njezino djelovanje je omogućeno isključivo kontaktom), i paralelna je s ravninom membrane. Osnovna pretpostavka je da je ta sila ista za sve lukove kroz $ (x,y),$ koji imaju zajednički jedinični vektor normale $ \vec{\,n}$ u točki $ (x,y).$ Tako $ \vec{\,p}$ ovisi o točki i jediničnom vektoru normale u točki, tj. $ \vec{\,p} = \vec{\,p}((x,y),\vec{\,n}).$ Ta ovisnost je linearna, tj. vrijedi

$\displaystyle \vec{\,p}((x,y),\alpha\,\vec{\imath}+\beta\,\vec{\jmath}\,) =
\alpha\,\vec{\,p}((x,y),\vec{\imath}\,)+
\beta\,\vec{\,p}((x,y),\vec{\jmath}\,).$

slika

Teorem o divergenciji u $ R^2$ glasi

% latex2html id marker 26635
$\displaystyle \int_{\partial\Omega}\vec{a}\cdot \vec{n}\,ds =
\int\!\!\int_{\Omega} {\rm div\,}\vec{a}\,dxdy,$

gdje je $ \Omega$ područje u ravnini, $ \partial{\Omega{}}$ rub od $ \Omega{},$ koji je po dijelovima glatka krivulja koja samu sebe ne presijeca, $ \vec{a}$ vektorsko polje klase $ C^1$ na nekoj okolini od $ \Omega{},$ i $ \vec{n}$ vektorsko polje vanjskih jediničnih normala na $ \partial{\Omega{}}.$

Specijalno, ako je $ \vec{\,a}(x,y) = p(x,y)\,\vec{\imath},$ onda je

$\displaystyle \int_{\partial\Omega} p(x,y)\,n_x\,ds = \int\!\!\int_{\Omega}\frac{\partial p(x,y)}{\partial x}\,dxdy.$ (2.28)

Slično

$\displaystyle \int_{\partial\Omega} p(x,y)\,n_y\,ds = \int\!\!\int_{\Omega}\frac{\partial p(x,y)}{\partial y}\,dxdy.$ (2.29)

Ove formule se zovu Gaussove formule.

Pretpostavljamo da je membrana homogena i izotropna, što ima za posljedicu da napetost djeluje na rubu u smjeru vektora vanjske normale $ \vec{\,n}.$ Tako je $ \vec{\,p}(x,y) = p(x,y)\,\vec{\,n}(x,y).$ Pretpostavljamo da se $ \vec{\,p}$ ne mijenja s vremenom.

Ako je membrana u ravnoteži, onda ukupna sila na rubu iščezava.

$\displaystyle \int_{\partial\Omega}\,\vec{\,p}\,ds = \int_{\partial\Omega}\,p\,\vec{\,n}\,ds = \vec{\,0}$

Odatle

$\displaystyle \int_{\partial\Omega}\,p\,n_x\,ds = 0,$   i$\displaystyle \hspace{1cm}\int_{\partial\Omega}\,p\,n_y\,ds = 0.$

Budući da to vrijedi za svaki komad membrane $ D,$ imamo

$\displaystyle \int_{\partial D}\,p\,n_x\,ds = 0,$   i$\displaystyle \hspace{1cm}\int_{\partial D}\,p\,n_y\,ds = 0.$

Odatle, po teoremu o divergenciji,

$\displaystyle \iint_{D}\frac{\partial p(x,y)}{\partial x}\,dxdy =
\iint_{D}\frac{\partial p(x,y)}{\partial y}\,dxdy = 0.$

To vrijedi za proizvoljni komad membrane $ D$ (područje u $ \Omega$), pa po osnovnoj lemi zaključujemo da je

$\displaystyle \frac{\partial p(x,y)}{\partial x} = \frac{\partial p(x,y)}{\partial
y} = 0$

za svaki $ (x,y)\in \Omega,$ pa je prema tome $ p(x,y)=$konst.

Osnovnim stanjem membrane smatrat ćemo ravnotežno stanje napete membrane. Ako takvu membranu izvučemo iz položaja ravnoteže, ona se počne gibati (oscilirati, titrati). Vektorska polja koja su nam pri tom interesantna jesu

$ \vec{u}\,(x,y,t)$ - progib membrane u točki $ (x,y),$ u čas $ t.$
$ \vec{\varphi}\,(x,y,t)$ - ukupna količina gibanja membrane po jedinici površine, u točki $ (x,y),$ u čas $ t,$
$ \vec{\psi}\,(x,y,t;\vec{n})$ - količina gibanja, koja se u jedinici vremena prenese kroz jedinični luk izvana prema unutra (smjer suprotan smjeru jediničnog vektora vanjske normale $ \vec{n}$) u točki $ (x,y),$ u čas $ t$ (linijska gustoća kontaktne sile),
$ \vec{f}\,(x,y,t)$ - količina gibanja po jedinici površine, u jedinici vremena, koja se izvana prenese na membranu u točki $ (x,y),$ u čas $ t$ (površinska gustoća vanjske sile).
Polje $ \vec{u}(x,y,t)$ je kinematičko polje, a ostala tri polja su dinamička.




next up previous contents
Next: Zakon održanja. Up: Rubni problemi Previous: Rubni problemi   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27