U općem slučaju se može dogoditi da neke vlastite vrijednosti budu višestruke. Razmotrimo sljedeći primjer.
Rješenje. Vlastite vrijednosti su
Za
imamo vlastiti vektor
Za
imamo
0 | ![]() |
0 | |
![]() |
![]() |
0 | |
![]() |
![]() |
![]() |
Općenito se događa sljedeće. -struka vlastita vrijednost
simetrične matrice vodi na sustav jednadžbi koji ima beskonačno
mnogo rješenja određenih pomoću
parametara. Izborom ovih
parametara tako da jedan bude
a ostali
dobivamo
linearno
nezavisnih vektora. Ako tako napravimo za svaku višestruku vlastitu
vrijednost, i dodamo vlastite vektore koji pripadaju jednostrukim
vlastitim vrijednostima, dobit ćemo
linearno nezavisnih vlastitih
vektora simetrične matrice
Od njih kao stupaca formiramo matricu
Ona je regularna, i vrijedi
Ako među matricama sličnim matrici
postoji dijagonalna, onda
kažemo da se matrica
može dijagonalizirati.
Dijagonalizacija matrice je postupak
nalaženja one regularne matrice
koja ima svojstvo da je
dijagonalna matrica.
U skladu s ovom definicijom, možemo zaključiti da se proizvoljna
simetrična matrica
može dijagonalizirati. U slučaju kad su
vlastite vrijednosti međusobno različite, dijagonalizacija se vrši
pomoću matrice čiji su stupci međusobno okomiti vlastiti
vektori matrice
No, i u slučaju višestrukih vlastitih
vrijednosti matrica
se može izabrati tako da su joj stupci
međusobno okomiti. Doista, ako su
linearno nezavisni vlastiti vektori, koji pripadaju nekoj
-strukoj
vlastitoj vrijednosti onda su vektori
dobiveni po formulama
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
|||
![]() |
![]() |
![]() |
Ako međusobno okomite vlastite vektore normiramo (podijelimo s
njihovom duljinom), onda matrica
čiji su stupci vektori
postaje ortogonalna. U tom slučaju je
pa je