Next: Interpretacija rješenja.
Up: Fourierova metoda
Previous: Neparne i parne funkcije.
  Contents
Slobodne oscilacije žice
Pod slobodnim oscilacijama žice podrazumijevamo oscilacije,
koje nastaju uslijed početnih uvjeta, a bez utjecaja vanjske
sile. Tako je
pa imamo sljedeći rubni problem
 |
(2.12) |
Pretpostavimo rješenje u obliku funkcije
Ova
pretpostavka je ključna za metodu koju ćemo sada opisati, a zove se
Fourierova metoda ili metoda separacije
varijabli. Uz ovu pretpostavku jednadžba postaje
a rubni uvjeti
odakle slijedi
jer
za barem jedan
U protivnom bismo imali
za svaki
pa bi žica mirovala, što nije moguće
ako je početnim uvjetima izvučena iz položaja ravnoteže.
U jednadžbi možemo separirati varijable dijeleći je s
Lijeva
strana ove jednadžbe ovisi samo o
a desna samo o
Kako su
varijable
i
nezavisne, slijedi
gdje
je
konstanta. Tako imamo sljedeći rubni problem
Pomnožimo ovu jednadžbu s
i integrirajmo po
po segmentu
Parcijalno
integrirajmo integral na lijevoj strani, i uvrstimo rubne uvjete
pa je
Odavde slijedi da je
pa
možemo staviti
Tako imamo rubni problem
 |
(2.13) |
Ovaj problem smo već riješili u 2.3.1, i dobili
Za svaki
imamo po jednu jednadžbu za
pa je opće
rješenje
odnosno
Tako imamo niz rješenja
međutim nijedno od njih, u općem slučaju, ne zadovoljava početne
uvjete. Zato rješenje pišemo u obliku reda
gdje su
neodređeni koeficijenti, koje određujemo pomoću
početnih uvjeta.
Suma u ovoj formuli je
Fourierov red neparne funkcije definirane na segmentu
Budući da se na
podudara s funkcijom
to znači da je to Fourierov red funkcije koja je iz
dobivena proširenjem po neparnosti s
na
Tako je
Iskoristimo i drugi početni uvjet
Kao gore
imamo
odnosno
Iz ovog razmatranja vidimo da je za upotrebu Fourierove metode nužno
imati početne uvjete koji se mogu razložiti u Fourierov red.
Next: Interpretacija rješenja.
Up: Fourierova metoda
Previous: Neparne i parne funkcije.
  Contents
Salih Suljagic
1999-01-27