Next: Varijacijske metode
Up: Fourierova metoda
Previous: Prisilne oscilacije
  Contents
Provođenje topline kroz štap
Rubni problem provođenja je zadan kako slijedi
![\begin{displaymath}
% latex2html id marker 25945
\begin{cases}\frac{\textstyle{\...
...\hspace{1cm} u(\ell,t)=0,& \\ [1mm] u(x,0) = g(x). \end{cases}\end{displaymath}](img1296.gif) |
(2.16) |
Rješenje tražimo u obliku
Uz ovu
pretpostavku jednadžba postaje
Podijelimo s
Dobivamo
Negativnost ove konstante se dokazuje kao kod valne
jednadžbe. Na isti način kao kod valne jednadžbe iz rubnih uvjeta
dobivamo
S druge strane
Rješenje ove
jednadžbe je
Tako je
Ove funkcije rješavaju jednadžbu, i
zadovoljavaju rubne uvjete. Budući da su i jednadžba i uvjeti
homogeni, linearne kombinacije također rješavaju taj problem. No
početni uvjet će općenito zadovoljavati tek beskonačni red
Početni uvjet daje
Dakle
su
Fourierovi koeficijenti funkcije
proširene s
na
Tako je
Neka je jednadžba nehomogena
gdje je
toplina
po jedinici duljine podijeljena s toplinskim kapacitetom jedinice
duljine štapa
Uz iste rubne i početne uvjete rješenje pretpostavljamo u obliku
Neodređene koeficijente
ćemo odrediti tako da
zadovoljava jednadžbu i početni uvjet.
odnosno
Lijeva strana je Fourierov
red, ako
shvatimo kao parametar. Pretpostavimo da je
gdje je
Slijedi
Početni uvjet nam daje
tj.
Tako smo dobili familiju
diferencijalnih jednadžbi s pripadnim početnim uvjetima, čija
rješenja daju neodređene koeficijente.
Next: Varijacijske metode
Up: Fourierova metoda
Previous: Prisilne oscilacije
  Contents
Salih Suljagic
1999-01-27