next up previous contents
Next: Homogenizacija rubnih uvjeta. Up: Slobodne oscilacije žice Previous: Slobodne oscilacije žice   Contents


Interpretacija rješenja.

$\displaystyle E_n\,\cos \frac{c\,n\,\pi}{\ell}t +
F_n\,\sin \frac{n\,\pi}{\ell}t =$

$\displaystyle \sqrt{E_n^2+F_n^2}\left(\frac{E_n}{\sqrt{E_n^2+F_n^2}}\,\cos
\fr...
...\pi}{\ell}t + \frac{F_n}{\sqrt{E_n^2+F_n^2}}\,\sin
\frac{n\,\pi}{\ell}t\right).$

Budući da je

$\displaystyle \left(\frac{E_n}{\sqrt{E_n^2+F_n^2}}\right)^2 +
\left(\frac{F_n}{\sqrt{E_n^2+F_n^2}}\right)^2 = 1,$

postoji $ \varphi_n$ takav da je

$\displaystyle \frac{E_n}{\sqrt{E_n^2+F_n^2}} = \sin\varphi_n,\hspace{1cm}
\frac{F_n}{\sqrt{E_n^2+F_n^2}} = \cos\varphi_n,$

pa je

$\displaystyle E_n\,\cos \frac{c\,n\,\pi}{\ell}t +
F_n\,\sin \frac{n\,\pi}{\ell}t =
\sqrt{E_n^2+F_n^2}\,\sin\left(\frac{c\,n\,\pi}{\ell}\,t + \varphi_n\right).$

Tako je

$\displaystyle u_n(x,t) = A_n\,\sin\left(\frac{c\,n\,\pi}{\ell}\,t +
\varphi_n\right) \,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x,\hspace{1cm}n=1,2,3,\ldots{}\
.$

Za $ n=1$ imamo

$\displaystyle u_1(x,t) = A_1\,\sin\left(\frac{c\,\pi}{\ell}\,t +
\varphi_1\right) \,\sin\frac{\pi}{\ell}x,\hspace{1cm}n=1,2,3,\ldots{}\
.$

U odnosu na varijablu $ x$ ova funkcija ima period

$\displaystyle \tau_1 = \frac{2\,\pi}{\frac{\pi}{\ell}} = 2\,\ell.$

To znači da rubne točke $ x=0$ i $ x=\ell$ miruju, i zbog toga se zovu čvorovi, a ostale se gibaju sinkrono s frekvencijom

$\displaystyle \omega{}_1 = \frac{c\,\pi}{\ell},$

i s amplitudom

$\displaystyle A_1\,\sin\left(\frac{c\,\pi}{\ell}\,t + \varphi_1\right).$

slika

Za $ n=2$ imamo

$\displaystyle u_2(x,t) = A_2\,\sin\left(\frac{2\,c\,\pi}{\ell}\,t +
\varphi_2\right) \,\sin\frac{2\,\pi}{\ell}x,\hspace{1cm}n=1,2,3,\ldots{}\
.$

U odnosu na varijablu $ x$ ova funkcija ima period

$\displaystyle \tau_2 = \frac{2\,\pi}{\frac{2\,\pi}{\ell}} = \ell.$

To znači da su sada čvorovi točke $ x=0,$ $ x=\frac{\ell}{2}$ i $ x=\ell.$ Ostale se gibaju sinkrono s frekvencijom

$\displaystyle \omega{}_2 = \frac{2\,c\,\pi}{\ell},$

i s amplitudom

$\displaystyle A_2\,\sin\left(\frac{2\,c\,\pi}{\ell}\,t + \varphi_2\right).$

slika

Za $ n=3$ imamo čvorove $ x=0,x=\frac{\ell}{3},x=\frac{2\,\ell}{3},x=\ell,$ frekvencija titranja je

$\displaystyle \omega{}_3 = \frac{3\,c\,\pi}{\ell},$

itd.

Ovakva titranja se zovu stojni valovi. Stvarno slobodno titranje je superpozicija ovakvih titranja. Kad se radi o napetoj žici, ona prilikom titranja proizvodi ton. Broj $ \omega{}_1$ se zove frekvencija osnovnog tona, a ostale frekvencije se zovu frekvencije viših harmonika. Amplitude viših harmonika vrlo brzo opadaju prema nuli. Njihova distribucija daje boju proizvedenom tonu. Primijetimo na kraju da je frekvencija osnovnog tona

$\displaystyle \omega{}_1 = \frac{\pi}{\ell}\,\sqrt{\frac{p}{\rho}}\,.$


next up previous contents
Next: Homogenizacija rubnih uvjeta. Up: Slobodne oscilacije žice Previous: Slobodne oscilacije žice   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27