next up previous contents
Next: Sustavi s konstantnim koeficijentima Up: Sustavi običnih diferencijalnih jednadžbi Previous: Uvod   Contents


Sustav običnih linearnih diferencijalnih jednadžbi 1. reda

Mi ćemo ovdje radije varijablu označavati s $ x.$ Tako imamo sljedeću definiciju

Definicija 16   Sustav diferencijalnih jednadžbi oblika
$\displaystyle y'_1(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{11}(x)\,y_1(x)+a_{12}(x)\,y_2(x)+\cdots
+a_{1n}(x)\,y_n(x)+f_1(x)$  
$\displaystyle y'_2(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{21}(x)\,y_1(x)+a_{22}(x)\,y_2(x)+\cdots
+a_{2n}(x)\,y_n(x)+f_2(x)$  
$\displaystyle \cdots$   $\displaystyle \cdots$  
$\displaystyle y'_n(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{n1}(x)\,y_1(x)+a_{n2}(x)\,y_2(x)+\cdots
+a_{nn}(x)\,y_n(x)+f_n(x),$  

gdje su $ a_{ij},f_i$, za $ i,j=1,2,\ldots ,n$, neprekidne funkcije na nekom intervalu $ I$ u $ R,$ zovemo sustavom običnih linearnih diferencijalnih jednadžbi 1. reda.

Riješiti ovaj sustav znači naći funkcije $ y_1,y_2,\ldots,y_n,$ neprekidno derivabilne na intervalu $ I,$ takve da zadovoljavaju svaku od jednadžbi u sustavu. Uređena $ n$-torka funkcija $ (y_1,y_2,\ldots,y_n)$ se zove rješenje.

Cauchyev problem ili problem početnog uvjeta jeste problem da se za dani $ x_0\in I,$ i proizvoljne brojeve $ y_{01},y_{02},\ldots
,y_{0n}$ nađe rješenje sustava tako da vrijedi

$\displaystyle y_1(x_0)=y_{01},\;\; y_2(x_0)=y_{02},\ldots , y_n(x_0)=y_{0n}.$

Ako stavimo

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 23972
\boldsymbol{y}=\left[
\begin{ar...
...c}
f_1(x) \\  f_2(x) \\  \vdots \\  f_n(x)
\end{array}\right],\end{displaymath}

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 23974
A(x)=\left[
\begin{array}{cccc...
... a_{n1}(x) & a_{n2}(x) & \cdots & a_{nn}(x)
\end{array}\right],\end{displaymath}

onda se sustav može zapisati kao

$\displaystyle \boldsymbol{y}'(x)=A(x)\,\boldsymbol{y}(x)+\boldsymbol{f}(x).$ (1.2)

Također Cauchyev problem možemo pisati u obliku

$\displaystyle \boldsymbol{y}'(x)=A(x)\,\boldsymbol{y}(x)+\boldsymbol{f}(x),\hspace{1cm} \boldsymbol{y}(x_0)=\boldsymbol{y}_0.$ (1.3)

Teorem 10   Neka su $ a_{ij},f_i:I\rightarrow R$ neprekidne funkcije na $ I$ za $ i,j=1,2,\ldots ,n$. Neka je $ x_0\in I$ i $ y_{01},y_{02},\ldots ,y_{0n}
\in R$. Tada Cauchyev problem

$\displaystyle \boldsymbol{y}'(x)=A(x)\,\boldsymbol{y}(x),\hspace{1cm}
\boldsymbol{y}(x_0)=\boldsymbol{y}_0$

ima jedno i samo jedno rješenje.


Dokaz. $ \heartsuit$


next up previous contents
Next: Sustavi s konstantnim koeficijentima Up: Sustavi običnih diferencijalnih jednadžbi Previous: Uvod   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27