next up previous contents
Next: Interpretacija rješenja. Up: Fourierova metoda Previous: Neparne i parne funkcije.   Contents


Slobodne oscilacije žice

Pod slobodnim oscilacijama žice podrazumijevamo oscilacije, koje nastaju uslijed početnih uvjeta, a bez utjecaja vanjske sile. Tako je $ f(x,t)
= 0,$ pa imamo sljedeći rubni problem

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 25715
\begin{cases}\frac{\textstyle{\...
...artial u(x,0)}}{\textstyle{\partial t}} = \beta(x). \end{cases}\end{displaymath} (2.12)

Pretpostavimo rješenje u obliku funkcije

$\displaystyle u(x,t) = X(x)\,T(t).$

Ova pretpostavka je ključna za metodu koju ćemo sada opisati, a zove se Fourierova metoda ili metoda separacije varijabli. Uz ovu pretpostavku jednadžba postaje

$\displaystyle X(x)\,T''(t) =
c^2\,X''(x)\,T(t),$

a rubni uvjeti

$\displaystyle u(0,t) = X(0)\,T(t) = 0,\hspace{1cm}
u(\ell,t) = X(\ell)\,T(t) = 0,$

odakle slijedi

$\displaystyle X(0) = 0,\hspace{1cm}X(\ell) =
0,$

jer $ T(t)\neq 0,$ za barem jedan $ t.$ U protivnom bismo imali $ u(x,t) = 0$ za svaki $ x,t,$ pa bi žica mirovala, što nije moguće ako je početnim uvjetima izvučena iz položaja ravnoteže.

U jednadžbi možemo separirati varijable dijeleći je s $ c^2X(x)T(t)$

$\displaystyle \frac{1}{c^2}\,\frac{T''(t)}{T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)}.$

Lijeva strana ove jednadžbe ovisi samo o $ t,$ a desna samo o $ x.$ Kako su varijable $ x$ i $ t$ nezavisne, slijedi

$\displaystyle \frac{1}{c^2}\,\frac{T''(t)}{T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = a,$

gdje je $ a$ konstanta. Tako imamo sljedeći rubni problem

$\displaystyle X''(x) - a\,X(x) = 0,\hspace{1cm}X(0) = 0,\,X(\ell) = 0,$

Pomnožimo ovu jednadžbu s $ X(x)$ i integrirajmo po $ x$ po segmentu $ [0,\ell].$

$\displaystyle \int_0^{\ell}\,X''(x)\,X(x)\,dx = a \int_0^{\ell}\,X(x)^2\,dx.$

Parcijalno integrirajmo integral na lijevoj strani, i uvrstimo rubne uvjete

$\displaystyle \underbrace{\left.X'(x)\,X(x)\right\vert _0^{\ell}}_{=0}- \int_0^{\ell}\,
X'(x)^2\,dx = a \int_0^{\ell}\,X(x)^2\,dx,$

pa je

$\displaystyle a = - \frac{\int_0^{\ell}\,
X'(x)^2\,dx}{\int_0^{\ell}\,X(x)^2\,dx}.$

Odavde slijedi da je $ a<0,$ pa možemo staviti $ a = -\lambda^2.$ Tako imamo rubni problem

$\displaystyle X''(x) + \lambda^2\,X(x) = 0,\hspace{1cm}X(0) = 0,\,X(\ell) = 0.$ (2.13)

Ovaj problem smo već riješili u 2.3.1, i dobili

$\displaystyle \lambda_n = \frac{n\,\pi}{\ell},\hspace{1cm}X_n(x) =
B_n\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x,\hspace{1cm}n=1,2,3,\ldots\ .$

Za svaki $ \lambda_{n}$ imamo po jednu jednadžbu za $ T(t)$

$\displaystyle T_n''(t) +
c^2\,\lambda_n^2\,T_n(t) = 0,\hspace{1cm}n=1,2,3,\ldots\ ,$

pa je opće rješenje

$\displaystyle T_n(t) = C_n\,\cos c\,\lambda_n\,t + D_n\,\sin
c\,\lambda_n\,t,$

odnosno

$\displaystyle T_n(t) = C_n\,\cos
\frac{c\,n\,\pi}{\ell}\,t + D_n\,\sin
\frac{c\,n\,\pi}{\ell}\,t.$

Tako imamo niz rješenja

$\displaystyle u_n(x,t) =
X_n(x)\,T_n(t) = \left(E_n\,\cos
\frac{c\,n\,\pi}{\ell}\,t + F_n\,\sin
\frac{c\,n\,\pi}{\ell}\,t\right)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x,$

međutim nijedno od njih, u općem slučaju, ne zadovoljava početne uvjete. Zato rješenje pišemo u obliku reda

$\displaystyle u(x,t) =
\sum_{n=1}^{\infty} \left(E_n\,\cos \frac{c\,n\,\pi}{\ell}t +
F_n\,\sin \frac{c\,n\,\pi}{\ell}t\right)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x,$

gdje su $ E_n,F_n$ neodređeni koeficijenti, koje određujemo pomoću početnih uvjeta.

$\displaystyle u(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty}
E_n\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x = \alpha(x).$

Suma u ovoj formuli je Fourierov red neparne funkcije definirane na segmentu $ [-\ell,\ell].$ Budući da se na $ [0,\ell{}]$ podudara s funkcijom $ \alpha,$ to znači da je to Fourierov red funkcije koja je iz $ \alpha$ dobivena proširenjem po neparnosti s $ [0,\ell{}]$ na $ [-\ell,\ell].$ Tako je

$\displaystyle E_n = \frac{2}{\ell}\int_0^{\ell}\,
\alpha(x)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x\,dx,\hspace{1cm}n=1,2,3,\ldots\ .$

Iskoristimo i drugi početni uvjet

$\displaystyle \frac{{\partial
u(x,t)}}{{\partial t}} = \sum_{n=1}^{\infty}
\le...
...,n\,\pi}{\ell}\,\cos
\frac{c\,n\,\pi}{\ell}t\right)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x,$

$\displaystyle \frac{{\partial
u(x,0)}}{{\partial t}} = \beta(x) = \sum_{n=1}^{\infty}
F_n\,\frac{c\,n\,\pi}{\ell}\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x.$

Kao gore imamo

$\displaystyle F_n\,\frac{c\,n\,\pi}{\ell} = \frac{2}{\ell}\int_0^{\ell}\,
\beta(x)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x\,dx,\hspace{1cm}n=1,2,3,\ldots\ ,$

odnosno

$\displaystyle F_n = \frac{2}{c\,n\,\pi}\int_0^{\ell}\,
\beta(x)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x\,dx,\hspace{1cm}n=1,2,3,\ldots\ .$

Iz ovog razmatranja vidimo da je za upotrebu Fourierove metode nužno imati početne uvjete koji se mogu razložiti u Fourierov red.




next up previous contents
Next: Interpretacija rješenja. Up: Fourierova metoda Previous: Neparne i parne funkcije.   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27