next up previous contents
Next: Ravnoteža žice. Up: Poprečne oscilacije žice Previous: Zakon održanja količine gibanja   Contents


Zakoni ponašanja

Označimo s $ \rho(x)$ linearnu gustoću mase žice u točki $ x$ u čas $ t.$ Linearna gustoća mase je masa po jedinici duljine. Tada je količina gibanja po jedinici duljine u točki $ x$ u čas $ t$ jednaka umnošku mase po jedinici duljine u točki $ x$ i brzine u točki $ x$ u čas $ t.$ Tako imamo prvi zakon ponašanja

$\displaystyle \vec{\,\varphi}(x,t) = \rho(x)\,\frac{\partial\vec{\,u}(x,t)}{\partial{}t}.$

Usvojimo sada sljedeća pojednostavljenja. Pretpostavljamo da se gibanje odvija u ravnini $ xy,$ i to tako da je

$\displaystyle \vec{\,u}(x,t) = u(x,t)\,\vec{\,\jmath},$

tj. tako da je komponenta progiba u smjeru osi $ x$ jednaka nuli. U skladu s ovom pretpostavkom možemo progib smatrati skalarnim poljem $ u(x,t).$

Promatrat ćemo male progibe žice, tako da možemo pretpostaviti da je

$\displaystyle \left\vert\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right\vert\ll
1,$   za svaki $\displaystyle x\in \langle
0,\ell\rangle.$

U tom slučaju ćemo reći da je deformacija mala. Odatle

$\displaystyle \vert u(x,t)-u(0,t)\vert = \left\vert\int_0^x
\frac{\partial u(\...
...al u(\xi,t)}{\partial \xi}\right\vert\,d\xi \ll
\int_0^x d\xi = x\leqslant\ell,$

odnosno

$\displaystyle \frac{\vert u(x,t)-u(0,t)\vert}{\ell} \ll
1.$

To znači da je apsolutni prirast progiba u odnosu na progib u ishodištu vrlo malen prema duljini žice.

slika

Budući da je deformacija mala, možemo pretpostaviti da je kontaktna sila $ \vec{\,\psi}(x,t)$ u točki $ P(x)$ kolinearna s jediničnim tangencijalnim vektorom na progib žice $ u(x,t)$ u točki $ P(x),$ tj.

$\displaystyle \vec{\,\psi}(x,t) = p(x,t)\,\vec{\,T}(x,t).$

Funkcija $ p(x,t)$ se zove napetost žice u točki $ P(x)$ u čas $ t.$ U daljnjem ćemo pretpostavljati da napetost ne ovisi o vremenu, i da je u svakoj točki pozitivna, tj. da je

$\displaystyle p(x,t) = p(x) > 0,$   za svaki $\displaystyle x\in [0,\ell].$

Tako je

$\displaystyle \vec{\,\psi}(x,t) = p(x)\,\vec{\,T}(x,t).$

Progib možemo shvatiti kao krivulju u ravnini s parametrizacijom $ ([0,\ell],\vec{\,r}),$ gdje je

$\displaystyle \vec{\,r}(x,t) = x\,\vec{\,\imath}+
u(x,t)\,\vec{\,\jmath}.$

Tada je

$\displaystyle \vec{\,T}(x,t)=
\frac{\vec{\,r}'(x,t)}{\vert\vec{\,r}'(x,t)\vert}...
...}\,\vec{\,\jmath}}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial u(x,t)}{\partial
x}\right)^2}}.$

Budući da je $ \vert\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\vert\ll 1,$ možemo zanemariti $ (\frac{\partial u(x,t)}{\partial x})^2,$ pa imamo

$\displaystyle \vec{\,T}(x,t) = \vec{\,\imath}+ \frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\,\vec{\,\jmath},$

odnosno

$\displaystyle \vec{\,\psi}(x,t) = p(x)\,\vec{\,\imath} +
p(x)\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\,\vec{\,\jmath}.$

Vanjska sila po jedinici duljine djeluje u ravnini $ x\,y,$ pa možemo pisati

$\displaystyle \vec{\,f}(x,t) = f_x(x,t)\,\vec{\,\imath} +
f_y(x,t)\,\vec{\,\jmath}.$

Ako se s ovim vratimo u diferencijalnu jednadžbu, imamo

$\displaystyle \rho(x)\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2}\vec{\,\jmath} -
\f...
...)\vec{\,\jmath}
- f_x(x,t)\vec{\,\imath} - f_y(x,t)\vec{\,\jmath} = \vec{\,0},$

što se raspada na dvije skalarne jednadžbe

$\displaystyle \frac{dp(x)}{dx} + f_x(x,t) =
0,$

$\displaystyle \rho(x)\,\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} =
\frac{\partial}{\partial
x} \left(p(x)\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right) +
f_y(x,t).$

Prva jednadžba omogućava izračunavanje napetosti žice. Da bi napetost bila neovisna o vremenu, nužno mora $ f_x$ biti neovisno o vremenu. Tako imamo

$\displaystyle p'(x) + f_x(x) = 0.$

Integrirajmo ovu jednadžbu

$\displaystyle \int_x^{\ell}
p'(\xi)\,d\xi + \int_x^{\ell} f_x(\xi)\,d\xi = 0,$

$\displaystyle p(\ell) -
p(x) + \int_x^{\ell} f_x(\xi)\,d\xi = 0,$

$\displaystyle p(x) = p(\ell)
+ \int_x^{\ell} f_x(\xi)\,d\xi.$

Ako vanjska sila djeluje poprečno na žicu, onda je $ f_x(x) = 0,$ pa je $ p(x) = p(\ell),$ tj. napetost je konstantna, i jednaka napetosti na desnom rubu. Ako vanjska sila ima komponentu u smjeru osi $ x$ različitu od nule, onda napetosti na desnom rubu treba dodati još doprinos od vanjske sile po jedinici duljine. Druga jednadžba

$\displaystyle \rho(x)\,\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} =
\frac{\partial}{\partial
x} \left(p(x)\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right) +
f_y(x,t).$

se zove valna jednadžba. To je parcijalna diferencijalna jednadžba. Napetost izračunamo iz prve jednadžbe, $ f_y$ je zadano time što je zadana vanjska sila po jedinici duljine. $ \rho$ je zadana linijska gustoća mase žice. Nepoznanica u jednadžbi je progib $ u(x,t).$ Osnovni problem je, dakle, izračunati $ u(x,t)$ iz valne jednadžbe. Ako pretpostavimo da je napetost konstantna duž žice, valna jednadžba poprima oblik

$\displaystyle \rho(x)\,\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} =
p\,\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} + f_y(x,t).$

Također je prirodno pretpostaviti da je $ \rho(x)>0.$ Tada možemo podijeliti jednadžbu s $ \rho(x),$ pa imamo

$\displaystyle \frac{\partial^2
u(x,t)}{\partial t^2} = a(x)^2\,\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} +
b_y(x,t),$

gdje je $ b_y$ sila po jedinici duljine i po jedinici mase u smjeru osi $ y.$

Ako žica oscilira u nekom sredstvu koje pruža otpor gibanju, onda treba uzeti u obzir silu otpora. Budući da su oscilacije male, može se pretpostaviti da sredstvo reagira kao elastično, tj. da je sila otpora proporcionalna progibu i suprotnog smjera $ F_{otp}=-q(x)\,u(x,t),$ gdje je $ q(x)\geq 0,$ za $ x\in [0,\ell]$ faktor proporcionalnosti. U tom slučaju imamo jednadžbu oscilacija

$\displaystyle \rho(x)\,\frac{\partial^2
u(x,t)}{\partial t^2} = \frac{\partial}...
...left(p(x)\,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right) -
q(x)\,u(x,t) + f_y(x,t).$




next up previous contents
Next: Ravnoteža žice. Up: Poprečne oscilacije žice Previous: Zakon održanja količine gibanja   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27