next up previous contents
Next: Dijagonalizacija simetrične matrice. Opći Up: Dijagonalizacija simetrične matrice Previous: Dijagonalizacija simetrične matrice   Contents


Dijagonalizacija simetrične matrice. Različite vlastite vrijednosti.

Neka je $ A\in{\cal M}_{n}$ simetrična matrica, i neka su njezine vlastite vrijednosti $ \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n, $ međusobno različite. Tada $ {A}$ ima $ n$ međusobno okomitih vlastitih vektora $ \boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\ldots,\boldsymbol{x}_n,$ i vrijedi

$\displaystyle A\,\boldsymbol{x}_j = \lambda_j\,\boldsymbol{x}_j,\hspace{1cm}j=1,2,\ldots, n.$

Neka je

% latex2html id marker 23488
$\displaystyle \boldsymbol{x}_j = [x_{ij}] = \left[...
...  x_{2j} \\  \vdots \\  x_{nj}\end{array} \right],
\hspace{1cm}j=1,2,\ldots, n,$

i neka je $ X=[x_{ij}],$ matrica čiji su stupci vektori $ \boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\ldots,\boldsymbol{x}_n$

% latex2html id marker 23494
$\displaystyle X = \left[\begin{array}{cccc} x_{11}...
...ots & \ddots & \vdots \\  x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nn}
\end{array}\right].$

Budući da su njezini stupci međusobno okomiti vektori, različiti od nulvektora, oni su linearno nezavisni, i prema tome je matrica $ X$ regularna.

Imamo

% latex2html id marker 23498
$\displaystyle A\,X=A\, \left[\begin{array}{cccc}
...
...x}_1 & A\,\boldsymbol{x}_2 & \ldots & A\, \boldsymbol{x}_n
\end{array} \right]=$

% latex2html id marker 23500
$\displaystyle \left[\begin{array}{cccc}
\lambda_1...
...\, x_{ij}]= [x_{ij}]\,
[\lambda_j\,\delta_{ij}]= X\, [\lambda_j\,\delta_{ij}]. $

Matrica $ [\lambda_j\,\delta_{ij}]$ je dijagonalna s vlasitim vrijednostima matrice $ {A}$ na glavnoj dijagonali. Ako ovu jednadžbu pomnožimo s lijeva s $ X^{-1},$ dobivamo

% latex2html id marker 23508
$\displaystyle X^{-1}A\,X=[\lambda_j\,
\delta_{ij}]...
... & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_n
\end{array}\right].$



Salih Suljagic
1999-01-27