next up previous contents
Next: Rubni problemi Up: Metode rješavanja Previous: Eulerova metoda   Contents


Dijagonalizacija matrice sustava

Pripadni homogeni sustav

$\displaystyle \boldsymbol{y}'(x)=A\,\boldsymbol{y}(x)
$

možemo vrlo elegantno riješiti, ako se matrica $ {A}$ može dijagonalizirati. Pretpostavimo da je to moguće, i da je

$\displaystyle X^{-1}A\,X=[\lambda_j\,\delta_{ij}].$

Da bismo dobili dijagonalnu matricu pomnožimo jednadžbu s $ X^{-1}$ s lijeva.

$\displaystyle X^{-1}\boldsymbol{y}'(x)=X^{-1}A\,\boldsymbol{y}(x),
$

$\displaystyle X^{-1}\boldsymbol{y}'(x)=X^{-1}A\,X\,X^{-1}\boldsymbol{y}(x),
$

$\displaystyle X^{-1}\boldsymbol{y}'(x)=[\lambda_j\,\delta_{ij}]\,X^{-1}\boldsymbol{y}(x),
$

$\displaystyle \boldsymbol{z}'(x)=[\lambda_j\,\delta_{ij}]\,\boldsymbol{z}(x),
$

gdje smo stavili $ \boldsymbol{z}(x)=X^{-1}\,\boldsymbol{y}(x).$ Ovaj sustav, kad se raspiše, svodi se na $ n$ nezavisnih jednadžbi

$\displaystyle z_i '(x)=\lambda_i\,z_i (x),\hspace{1cm}i=1,2,\ldots, n.
$

Svaka od ovih jednadžbi je homogena linearna jednadžba 1. reda, čije rješenje je

$\displaystyle z_i(x)=C_i\,e^{\lambda_i\,x},\hspace{1cm}i=1,2,\ldots, n.$

Konstanta $ C_i$ se izračuna iz početnog uvjeta, koji je sada

$\displaystyle \boldsymbol{z}(x_0)=X^{-1}\,\boldsymbol{y}(x_0).$

Kad tako dobijemo $ z_i(x),\;i=1,2,\ldots, n,$ rješenje $ \boldsymbol{y}$ nađemo iz formule

$\displaystyle \boldsymbol{y}(x)
= X\,\boldsymbol{z}(x).$

Ova metoda omogućava elegantno rješavanje, ako je matrica simetrična. Neke nesimetrične matrice se također mogu dijagonalizirati. No postoje matrice koje se ne mogu dijagonalizirati. Najjednostavniji oblik na koji se proizvoljna matrica može svesti je Jordanova forma o čemu ovdje nećemo detaljnije govoriti. Recimo tek da u slučaju međusobno različitih vlastitih vrijednosti Jordanova forma je dijagonalna matrica s vlastitim vrijednostima na glavnoj dijagonali, dok u slučaju višestrukih vlastitih vrijednosti, na pr. trostruke vlastite vrijednosti $ \lambda,$ Jordanova forma matrice trećeg reda je jedna od sljedeće tri matrice

% latex2html id marker 24443
$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}
\lambda & 0...
...}
\lambda & 1 & 0 \\
0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & \lambda
\end{array}\right].$


next up previous contents
Next: Rubni problemi Up: Metode rješavanja Previous: Eulerova metoda   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27