Next: Homogenizacija rubnih uvjeta.
Up: Rubni problemi
Previous: Početni uvjeti
  Contents
Linearnost
Opća jednadžba u primjerima koje smo promatrali je
 |
(2.3) |
Funkciju
zovemo slobodnim članom. Ako je
onda
jednadžbu
 |
(2.4) |
zovemo homogenom, u protivnom je zovemo nehomogenom.
Ograničimo razmatranje na one primjere u kojima je
ili |
(2.5) |
Interesira nas kakvu strukturu ima skup svih rješenja ove
jednadžbe. U tu svrhu promatrajmo najprije pripadnu homogenu
jednadžbu.
Teorem 13
Neka su

i

dva rješenja jednadžbe (
2.4), i

i

proizvoljni brojevi. Tada je
također rješenje jednadžbe
(
2.4).
Dokaz. U svrhu dokaza napišimo
jednadžbu drukčije
Bez obzira
koji
iz (2.5) bio u jednadžbi, vrijedi
Također
Prema tome

Iz ovog teorema slijedi da je skup svih rješenja homogene jednadžbe
vektorski prostor. Za skup rješenja nehomogene jednadžbe imamo
sljedeće tvrdnje.
Teorem 14
Neka je

rješenje jednadžbe (
2.3), te

rješenje
jednadžbe (
2.4). Tada je

rješenje jednadžbe
(
2.3).
Dokaz. Koristeći svojstva funkcije
iz dokaza prethodnog teorema, možemo napisati

Teorem 15
Neka su

i

dva rješenja jednadžbe
(
2.3). Tada je

rješenje jednadžbe
(
2.4).
Dokaz.

Ako s
označimo skup svih rješenja jednadžbe (2.3),
a s
skup svih rješenja jednadžbe (2.4), onda ovi
teoremi pokazuju da vrijedi
gdje je
jedno partikularno rješenje nehomogene jednadžbe.
Next: Homogenizacija rubnih uvjeta.
Up: Rubni problemi
Previous: Početni uvjeti
  Contents
Salih Suljagic
1999-01-27