next up previous contents
Next: Eulerova metoda Up: Metode rješavanja Previous: Metode rješavanja   Contents


Svođenje na jednu jednadžbu višeg reda

Jedna od metoda se sastoji u tome da se višestrukim deriviranjem jednadžbi izbace sve nepoznate funkcije osim jedne. Na taj način dolazimo do jedne linearne diferencijalne jednadžbe $ n$-tog reda, koju zatim rješavamo poznatim metodama.

Primjer 1.17   Treba naći opće rješenje sustava
$\displaystyle y'(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -2y(x)-4z(x)+1+4x$  
$\displaystyle z'(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -y(x)+z(x)+x.$ (1.7)

Rješenje.

$\displaystyle y''(x)=-2y'(x)-4z'(x)+4.$ (1.8)

Iz prve jednadžbe izračunamo $ z(x)$, uvrstimo u drugu i zatim $ z'(x)$ iz druge uvrstimo u (1.8). Dobivamo

$\displaystyle y''(x)+y'(x)-6y(x)=-6x^2-4x+3.$

Opće rješenje ove jednadžbe je

$\displaystyle y(x)=C_1e^{2x}+C_2e^{-3x}+x+x^2.$

Uvrštavanjem u prvu jednadžbu možemo naći $ z$:

$\displaystyle z(x)=-C_1e^{2x}+\frac{1}{4}C_2e^{-3x}-\frac{1}{2}\,x^2.$

Dakle

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 24215
\left[
\begin{array}{c}
y(x) \...
...gin{array}{c}
x+x^2 \\
-\frac{1}{2} x^2
\end{array}\right],\end{displaymath}

pa vidimo da je

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 24217
\boldsymbol{u}_1=e^{2x}\left[
\...
...ft[
\begin{array}{r}
1 \\
-\frac{1}{2}
\end{array}\right]. \end{displaymath}


next up previous contents
Next: Eulerova metoda Up: Metode rješavanja Previous: Metode rješavanja   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27