next up previous contents
Next: Neparne i parne funkcije. Up: Fourierovi redovi Previous: Fourierovi redovi   Contents


Konvergencija.

Problemi konvergencije trigonometrijskih, pa prema tome i Fourierovih redova su vrlo složeni. Posebno je to tako kod Fourierovih redova, jer smo kod računanja Fourierovih koeficijenata funkcije $ f$ integralom ulazili pod beskonačnu sumu, što je općenito nedopustiva operacija. Istaknimo ovdje da, ako je funkcija $ f$ neprekidna, onda njezin Fouriereov red konvergira u svakoj točki iz $ [-\ell,\ell]$ i to k vrijednosti funkcije u toj točki, pa za takvu funkciju doista možemo pisati

$\displaystyle f(x)=
\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty} \left(a_k\cos
\frac{k\,\pi\,x}{\ell}+b_k\sin \frac{k\,\pi\,x}{\ell}\right).$

Ako funkcija ima prekid prve vrste u $ x_0\in [-\ell,\ell],$ tj. ako postoje limesi s lijeva i s desna ali nisu jednaki, onda njezin Fourierov red konvergira k aritmetičkoj sredini limesa s lijeva i limesa s desna

$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\lim_{\epsilon{}\rightarrow{}0+} f(x_0+\epsilon{}) +
\lim_{\epsilon{}\rightarrow{}0+} f(x_0-\epsilon{})\right).$

Isto tako se ponaša Fourierov red na rubovima, ako se prilikom proširenja po periodičnosti dogodi skok prve vrste na rubovima.

slika



Salih Suljagic
1999-01-27