next up previous contents
Next: Baza Up: Vektori Previous: Skalarni produkt.   Contents


Produkt matrice i vektora.

Neka je $ A=[a_{ij}]$ matrica tipa $ (m,n),$ i $ \boldsymbol{x}=[x_j]\in {\cal R}_{n}$ proizvoljan vektor. Vektor možemo shvatiti kao jednostupčastu matricu, te možemo pomnožiti $ {A}$ i $ \boldsymbol{x}.$ Dobivamo

$\displaystyle \boldsymbol{y}=A\,\boldsymbol{x},$

ili raspisano

$\displaystyle y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{11}\,x_1+a_{12}\,x_2+\cdots+a_{1n}\,x_n$  
$\displaystyle y_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{21}\,x_1+a_{22}\,x_2+\cdots +a_{2n}\,x_n$  
    $\displaystyle \cdots$  
$\displaystyle y_m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{m1}\,x_1+a_{m2}\,x_2+\cdots +a_{mn}\,x_n.$  

Dakle $ \boldsymbol{y}$ je vektor u $ {\cal R}_m.$ Tako množenje matricom $ {A}$ tipa $ (m,n)$ možemo shvatiti kao funkciju koja preslikava vektore iz $ {\cal R}_{n}$ u vektore iz $ {\cal R}_m.$ To preslikavanje je linearno, jer vrijedi

$\displaystyle A\,(\lambda_1\,\boldsymbol{x}_1+\lambda_2\,\boldsymbol{x}_2)=
\lambda_1\,A\,\boldsymbol{x}_1+\lambda_2\,A\,\boldsymbol{x}_2$

za bilo koje brojeve $ \lambda_1,\lambda_2,$ i bilo koje vektore $ \boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2.$

Definicija 11   Neka su $ V$ i $ W$ dva vektorska prostora, i neka je $ {\cal
A}\,:V\rightarrow W$ funkcija sa svojstvom

$\displaystyle {\cal
A}\,(\lambda\,v+\mu\,w)=\lambda\,{\cal A}\,(v)+ \mu\,{\cal
A}\,(w).$

Takvu funkciju zovemo linearnim operatorom.

U skladu s ovom definicijom, matricu $ {A}$ tipa $ (m,n)$ možemo smatrati linearnim operatorom s prostora $ {\cal R}_{n}$ u prostor $ {\cal R}_m.$


next up previous contents
Next: Baza Up: Vektori Previous: Skalarni produkt.   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27