Next: Galerkinova metoda
Up: Rubni problem
Previous: Ritzova metoda
  Contents
Metoda konačnih elemenata
Metoda konačnih elemenata je modifikacija Ritzove metode u tom smislu
da što više elemenata matrice krutosti bude jednako nuli. Budući da
su elementi matrice krutosti
funkcije
treba birati
tako da međusobni produkti njihovih derivacija budu nulfunkcije u
što više slučajeva.
Pogledajmo na primjeru kako se to radi. Neka je dan rubni problem
Podijelimo segment
na
jednakih dijelova. Time smo dobili
čvorove
gdje je
korak diskretizacije. Rješenje tražimo u obliku
gdje su
koordinatne funkcije definirane formulom
![% latex2html id marker 30003
$\displaystyle v_i(x) = \begin{cases}\frac{x}{h} - ...
...o je }x_i\leqslant{}x\leqslant{}x_{i+1} \\ [1mm] 0,& \text{inače}, \end{cases}$](img2506.gif) |
(3.24) |
za
Koordinatne funkcije
i
se
definiraju ovisno o rubnim uvjetima. Budući da na desnom rubu imamo
prirodni (Neumannov) uvjet, funkcija
se ne definira (iz
varijacijskog principa je jasno da se prirodni uvjet ostvaruje samim
minimiziranjem funkcionala). Na lijevom rubu imamo Dirichletov rubni
uvjet, pa definiramo
![% latex2html id marker 30013
$\displaystyle v_0(x) = \begin{cases}-\frac{x}{h} +...
...ako je }x_{0}\leqslant{}x\leqslant{}x_1 \\ [1mm] 0,& \text{inače}, \end{cases}$](img2510.gif) |
(3.25) |
slika
Kako smo definirali
samo funkcije
rješenje će biti oblika
Navedimo sada neka svojstva koordinatnih funkcija. Najprije
pa je prema tome
Dakle, neodređeni koeficijenti
su upravo vrijednosti
približnog rješenja u odgovarajućim čvorovima. Budući da je uvjet
na lijevom rubu homogen, imamo
pa će, prema tome, rješenje biti oblika
Zatim, iz formule (3.24) slijedi
Odatle dobivamo
![% latex2html id marker 30031
$\displaystyle K_{i\,j} = \int_0^{\ell}\,p\,v'_i\,v...
...x_{i+1}} p(x)\,dx,& \text{ako je }j=i+1 \\ [2mm] 0,& \text{inače}. \end{cases}$](img2518.gif) |
(3.26) |
Dalje radimo isto kao kod Ritzove metode, da bismo na kraju dobili
sustav linearnih algebarskih jednadžbi
Elementi
za fiksni
čine
-ti redak matrice krutosti
Formula (3.26) nam daje sljedeće važno svojstvo
koordinatnih funkcija, a to je da u jednom retku matrica
ima
najviše tri elementa različita od nule. To znatno pojednostavnjuje
rješavanje sustava.
Next: Galerkinova metoda
Up: Rubni problem
Previous: Ritzova metoda
  Contents
Salih Suljagic
1999-01-27