next up previous contents
Next: Jedna interpretacija Gaussovog postupka Up: Gaussov postupak eliminacije Previous: Ekvivalentni sustavi   Contents


Gaussov postupak eliminacije

Gaussov postupak eliminacije je metoda rješavanja sustava linearnih algebarskih jednadžbi. Ideja je sljedeća. Operacijama, koje smo gore naveli, zadani sustav svesti na njemu ekvivalentan, tako da iz dobivenog sustava lako nađemo skup svih rješenja.

Neka je zadan sustav 1.2. Premjestimo jednadžbe u sustavu, ako je potrebno, tako da koeficijent uz $ x_1$ u prvoj jednadžbi bude različit od nule. Zatim prvu jednadžbu podijelimo s koeficijentom uz $ x_1,$ pomnožimo brojem koji je suprotan koeficijentu uz $ x_1$ u drugoj jednadžbi, i dodamo je drugoj jednadžbi, zatim prvu jednadžbu podijelimo s koeficijentom uz $ x_1,$ pomnožimo brojem koji je suprotan koeficijentu uz $ x_1$ u trećoj jednadžbi, i dodamo je trećoj jednadžbi, zatim prvu jednadžbu podijelimo s koeficijentom uz $ x_1,$ pomnožimo brojem koji je suprotan koeficijentu uz $ x_1$ u četvrtoj jednadžbi, i dodamo je četvrtoj jednadžbi, i t.d. Na taj način smo izbacili $ x_1$ iz druge, treće, $ \ldots,$ $ m$-te jednadžbe i došli do ekvivalentnog sustava oblika

% latex2html id marker 22701
$\displaystyle \begin{array}{rrrrrr}
a_{11}\,x_1 & ...
...s & & & \\
& a'_{m2}\,x_2 & +\cdots & +a'_{mn}\,x_n & = & b'_m,
\end{array} $

pri tom je

$\displaystyle a'_{22}=a_{22}-\frac{a_{12}}{a_{11}}\,a_{21},\;\;
a'_{23}=a_{23}-\frac{a_{13}}{a_{11}}\,a_{21},\;\;\ldots,$

odnosno općenito

$\displaystyle a'_{ik}=a_{ik}-\frac{a_{1k}}{a_{11}}\,a_{i1},$   za $\displaystyle i=2,3,\ldots,m.$

Sad učinimo isto s podsustavom, koji se sastoji od druge, treće, ..., $ m$-te jednadžbe. Time iz treće i daljnjih jednadžbi eliminiramo $ x_2.$ Zatim na isti način iz četvrte i daljnjih jednadžbi izbacimo $ x_3,$ i t.d. Budući da sustav ima konačno mnogo jednadžbi, postupak staje nakon konačno koraka. Dobije se ekvivalentan sustav, po obliku ``trokutast''. Sada najprije riješimo zadnju jednadžbu, rješenje uvrstimo u predzadnju, pa nju riješimo, pa uvrstimo u treću straga i t.d. sve do prve jednadžbe. Metoda, koju smo opisali, zove se Gaussova metoda eliminacije.

Primjer 1.5   Treba riješiti sustav

% latex2html id marker 22715
$\displaystyle \begin{array}{rrrrrr}
x_1 & & -\,x_3...
... -\,x_3 & & = & -1 \\
2\,x_1 & +\,x_2 & +\,x_3 & +\,x_4 & = & 3.
\end{array} $

Množenjem prve jednadžbe s $ -1$ i dodavanjem trećoj, i zatim množenjem prve jednadžbe s $ -2$ i dodavanjem četvrtoj, dobivamo

% latex2html id marker 22721
$\displaystyle \begin{array}{rrrrrr}
x_1 & & -\,x_3...
...
& x_2 & & -2\,x_4 & = & 2 \\
& x_2 &+3\,x_3 & -3\,x_4 & = & 9.
\end{array} $

Zamijenimo mjesta treće i druge jednadžbe, i zatim drugu množimo s $ -2$ i s $ -1$ i dodamo redom trećoj i četvrtoj jednadžbi.

% latex2html id marker 22727
$\displaystyle \begin{array}{rrrrrr}
x_1 & & -\,x_3...
... \\
& & x_3 & +5\,x_4 & = & -3 \\
& & 3\,x_3 & -\,x_4 & = & 7.
\end{array} $

Pomnožimo treću jednadžbu s $ -3$ i dodajmo četvrtoj

% latex2html id marker 22731
$\displaystyle \begin{array}{rrrrrr}
x_1 & & -x_3 &...
...= & 2 \\
& & x_3 & +5\,x_4 & = & -3 \\
& & &-16\,x_4 & = & 16.
\end{array} $

Dobili smo ``trokutast'' oblik, i sada rješavamo jednadžbe odozdo prema gore. Iz zadnje slijedi $ x_4=-1,$ uvrstimo to u treću, pa slijedi $ x_3=2,$ uvrstimo u drugu, pa slijedi $ x_2=0,$ uvrstimo u prvu, pa slijedi $ x_1=1.$

Metodu eliminacije možemo upotrebiti i nakon svođenja na ``trokutasti'' oblik da bismo izbacili nepoznanice iznad i došli tako do ``dijagonalnog'' oblika. Ta metoda se zove Gauss-Jordanova metoda. Na sljedećem primjeru pokažimo kako funkcionira ta metoda.

Primjer 1.6   Treba riješiti sustav

% latex2html id marker 22742
$\displaystyle \begin{array}{rrrrrrr}
x_1 & & -\,x_...
...5 & = & -1 \\
2\,x_1 & +\,x_2 & +\,x_3 & +\,x_4 & +\,x_5 & = & 3
\end{array}.$

Kao u gornjem primjeru nakon nekoliko koraka dolazimo do

% latex2html id marker 22744
$\displaystyle \begin{array}{rrrrrrr}
x_1 & & -\,x_...
...x_3 & +5\,x_4 & +\,x_5 & = & -3 \\
& & & x_4 &+1/4\,x_5 & = & -1
\end{array}.$

Množimo četvrtu jednadžbu redom s $ -5, 2, -2,$ i dodajemo redom trećoj, drugoj, prvoj jednadžbi. Dobivamo

% latex2html id marker 22748
$\displaystyle \begin{array}{rrrrrrr}
x_1 & & -\,x_...
...
& & x_3 & &-1/4\,x_5 & = & 2 \\
& & & x_4 &+1/4\,x_5 & = & -1
\end{array}.$

Dodajmo još treću prvoj. Tako dolazimo do ``dijagonalnog'' oblika

% latex2html id marker 22750
$\displaystyle \begin{array}{rrrrrrr}
x_1 & & & &+1...
...
& & x_3 & &-1/4\,x_5 & = & 2 \\
& & & x_4 &+1/4\,x_5 & = & -1
\end{array}.$

Odatle čitamo rješenje $ x_1=1-1/4\,x_5, x_2=-2/4\,x_5, x_3=2+1/4\,x_5,
x_4=-1-1/4\,x_5.$

U ovom primjeru se pojavljuje $ x_5$ kao neodređeni parametar. Tako smo dobili mnogo rješenja, jer uzimajući za $ x_5$ pojedine brojeve, nakon uvrštavanja dobivamo konkretna rješenja. $ x_5$ može biti bilo koji realan broj, pa tako imamo beskonačno mnogo rješenja. Zbog toga što se u rješenju pojavljuje jedan neodređeni parametar, kažemo da sustav ima jednoparametarski skup rješenja.


next up previous contents
Next: Jedna interpretacija Gaussovog postupka Up: Gaussov postupak eliminacije Previous: Ekvivalentni sustavi   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27