Next: Metoda separacije varijabli
Up: Rubni problemi
Previous: Rubni problemi
  Contents
Jedinstvenost rješenja rubnih problema
Laplaceova jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja. Dovoljno je
vidjeti da je funkcije oblika
zadovoljavaju, za bilo
kakve vrijednosti parametara
Tako i Poissonova jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja. Realna
fizikalna situacija je membrana određenog oblika, s određenim
uvjetima na rubu. To drastično smanjuje broj rješenja. Razmotrimo
sada problem jedinstvenosti rubnog problema

ili
Taj problem ćemo rješavati pomoću energetske jednadžbe. Pomnožimo
Poissonovu jednadžbu s
i zatim integrirajmo po cijelom području
Za skalarna polja
i
imamo
Stavimo
pa imamo
Po teoremu o divergenciji
pa nakon uvrštavanja dobivamo energetsku jednadžbu
Teorem 18
Neka je

ograničeno područje u

Dirichletov rubni problem
ima najviše jedno rješenje.
Dokaz. Zaista, pretpostavimo da su
i
dva rješenja. Tada funkcija
rješava rubni problem
Uvrstimo
u energetsku jednadžbu umjesto
Imamo
Slijedi
odakle
pa je
konstanta. No,
povlači
tj.

Teorem 19
Neka je

ograničeno područje u

i neka je zadan
Neumannov rubni problem
Rješenje problema postoji samo ako

i

zadovoljavaju uvjet
i tada je rješenje jedinstveno do na konstantu.
Dokaz. Ako je
rješenje, onda
iz jednadžbe slijedi
Po teoremu o divergenciji slijedi
dakle
Ovaj uvjet izražava činjenicu da vanjska sila i Neumannov rubni
uvjet moraju biti pažljivo izabrani, tako da membrana bude u
ravnoteži. Kod Dirichletovog uvjeta nije bio potreban toliki oprez,
jer je u tom slučaju membrana na rubu učvršćena.
Dokažimo sada jedinstvenost do na konstantu. Neka su
i
dva rješenja. Tada funkcija
rješava rubni problem
Uvrstimo
u energetsku jednadžbu umjesto
Imamo
Slijedi
odakle
pa je
konstanta. Tako se
i
razlikuju za konstantu.

Next: Metoda separacije varijabli
Up: Rubni problemi
Previous: Rubni problemi
  Contents
Salih Suljagic
1999-01-27