Iz varijacijskog principa slijedi da se umjesto rješavanja jednadžbe, rješenje rubnog problema može dobiti rješavanjem problema minimizacije odgovarajućeg funkcionala.
Ima raznih metoda koje koriste varijacijsku formulaciju. Jedna od njih je Ritzova. Pogledajmo kako ona funkcionira kad se radi o rubnom problemu
Izaberemo
linearno nezavisnih funkcija
koje
zadovoljavaju Dirichletov homogeni rubni uvjet. Rješenje se pretpostavi u obliku
Prvi problem s kojim se susrećemo kod Ritzove metode je određivanje
funkcija
koje se često zovu koordinatne funkcije. One
se obično biraju u skladu s problemom koji se rješava. Na pr. ako
iz fizikalnih razloga očekujemo periodičko rješenje, onda ćemo
takvima pretpostaviti i funkcije
Inače se za koordinatne
funkcije mogu koristiti polinomi.
Nakon što smo izabrali funkcije
pretpostavljeno rješenje uvrstimo u funkcional
Matrica
koja se inače zove matrica krutosti, je očito
simetrična, jer je
Kao što smo vidjeli, takva
matrica se može dijagonalizirati i ima pozitivne vlastite
vrijednosti. To znači da je regularna. Zaista, neka su njezine
vlastite vrijednosti
Tada je
Nedostak ove metode je u tome što je matrica
puna matrica, tj.
općenito je svaki njezin element različit od nule.