next up previous contents
Next: Rang matrice Up: Gaussov postupak eliminacije Previous: Gaussov postupak eliminacije   Contents

Jedna interpretacija Gaussovog postupka

Neka je dan štap (greda, ploča, štapna konstrukcija). Pod djelovanjem sila štap doživi progib. Interesira nas iz zadanog progiba naći sile koje koje su uzrokovale taj progib.

Odredimo $ n$ točaka na štapu, koje ćemo zvati čvorovi. Promatrat ćemo štap kao da je njegova masa koncentrirana u tih $ n$ točaka. Prema tome pretpostavljamo da sile mogu djelovati samo u čvorovima. Shodno tome i progib promatramo samo u čvorovima. Pri tom polazimo od dvije osnovne pretpostavke, koje predstavljaju princip superpozicije sila.

1.
Pri istovremenom djelovanju dviju sila progibi se zbrajaju.
2.
Koliko puta povećamo silu, toliko puta se poveća progib.

Označimo s $ a_{ik}$ progib u čvoru $ i$ uslijed djelovanja jedinične sile u čvoru $ k.$ Označimo s $ y_1,y_2,\ldots,y_n$ ukupne progibe, a s $ F_1,F_2,\ldots,F_n$ sile u čvorovima.

slika
Tada vrijede sljedeće jednadžbe
$\displaystyle a_{11}\,F_1+a_{12}\,F_2+\,\cdots\,+a_{1n}\,F_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle y_1$  
$\displaystyle a_{21}\,F_1+a_{22}\,F_2+\,\cdots\, +a_{2n}\,F_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle y_2$  
$\displaystyle \cdots$      
$\displaystyle a_{n1}\,F_1+a_{n2}\,F_2+\,\cdots\, +a_{nn}\,F_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle y_n.$  

Vidimo da problem nalaženja sila iz zadanih progiba vodi na rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi.

Pretpostavimo sada da u čvoru $ 1$ djeluje sila $ R_{1k}$ takva da poništava utjecaj jedinične sile u čvoru $ k$ na čvor $ 1.$

slika
U ovoj situaciji označimo s $ a^{(1)}_{ik}$ progib u čvoru $ i$ uslijed djelovanja jedinične sile u čvoru $ k.$ Tada vrijedi

$\displaystyle a^{(1)}_{ik}=R_{1k}\,a_{i1}+a_{ik},$

za $ i=1,2,\ldots,n.$ Specijalno u čvoru $ 1$ imamo

$\displaystyle 0=R_{1k}\,a_{11}+a_{1k}.$

Odatle slijedi

$\displaystyle R_{1k}=-\frac{a_{1k}}{a_{11}},$

pa je

$\displaystyle a^{(1)}_{ik}=a_{ik}-a_{i1}\,\frac{a_{1k}}{a_{11}},$

za $ i=2,3,\ldots,n.$ Ako tako učinimo za svaki $ k=2,3,\ldots,n,$ dobijemo koeficijente nakon prvog koraka u Gaussovoj metodi. Slično bi se moglo pokazati da se koeficijenti nakon drugog koraka dobiju kad u prva dva čvora djeluju sile koje poništavaju progibe uslijed djelovanja u ostalim čvorovima, itd.


next up previous contents
Next: Rang matrice Up: Gaussov postupak eliminacije Previous: Gaussov postupak eliminacije   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27