next up previous contents
Next: Varijacijske metode Up: Fourierova metoda Previous: Prisilne oscilacije   Contents


Provođenje topline kroz štap

Rubni problem provođenja je zadan kako slijedi

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 25945
\begin{cases}\frac{\textstyle{\...
...\hspace{1cm} u(\ell,t)=0,& \\  [1mm] u(x,0) = g(x). \end{cases}\end{displaymath} (2.16)

Rješenje tražimo u obliku

$\displaystyle u(x,t) = X(x)\,T(t).$

Uz ovu pretpostavku jednadžba postaje

$\displaystyle X(x)\,T'(t) = c^2\,X''(x)\,T(t).$

Podijelimo s $ c^2X(x)T(t).$ Dobivamo

$\displaystyle \frac{1}{c^2}\,\frac{T'(t)}{T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} =
-\lambda^2.$

Negativnost ove konstante se dokazuje kao kod valne jednadžbe. Na isti način kao kod valne jednadžbe iz rubnih uvjeta dobivamo

$\displaystyle \lambda_n = \frac{n\,\pi}{\ell},\hspace{1cm}X_n(x) =
B_n\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x,\hspace{1cm}n=1,2,3,\ldots\ .$

S druge strane

$\displaystyle \frac{T'_n(t)}{T_n(t)} =
-\left(\frac{n\,\pi}{\ell}\right)^2c^2.$

Rješenje ove jednadžbe je

$\displaystyle T_n(t) =
C_n\,e^{-\left(\frac{n\,c\,\pi}{\ell}\right)^2\,t}.$

Tako je

$\displaystyle u_n(x,t) = X_n(x)\,T_n(t) =
E_n\,e^{-\left(\frac{n\,c\,\pi}{\ell}\right)^2\,t}
\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x.$

Ove funkcije rješavaju jednadžbu, i zadovoljavaju rubne uvjete. Budući da su i jednadžba i uvjeti homogeni, linearne kombinacije također rješavaju taj problem. No početni uvjet će općenito zadovoljavati tek beskonačni red

$\displaystyle u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}
E_n\,e^{-\left(\frac{n\,c\,\pi}{\ell}\right)^2\,t}
\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x.$

Početni uvjet daje

$\displaystyle u(x,0) =
\sum_{n=1}^{\infty} E_n\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x = g(x).$

Dakle $ E_n$ su Fourierovi koeficijenti funkcije $ g$ proširene s $ [0,\ell{}]$ na $ [-\ell,\ell].$ Tako je

$\displaystyle E_n = \frac{2}{\ell}\int_0^{\ell}\,
g(x)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x\,dx,\hspace{1cm}n=1,2,3,\ldots\ .$

Neka je jednadžba nehomogena

$\displaystyle \frac{\textstyle{\partial^2
u(x,t)}}{\textstyle{\partial t^2}} =
c^2\,\frac{\textstyle{\partial^2
u(x,t)}}{\textstyle{\partial x^2}} + f(x,t),$

gdje je $ f$ toplina po jedinici duljine podijeljena s toplinskim kapacitetom jedinice duljine štapa $ \gamma(x).$ Uz iste rubne i početne uvjete rješenje pretpostavljamo u obliku

$\displaystyle u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} E_n(t)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x.$

Neodređene koeficijente $ E_n(t)$ ćemo odrediti tako da $ u$ zadovoljava jednadžbu i početni uvjet.

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}
E'_n(t)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x =
-\sum_{n...
...,E_n(t)\,
\left(\frac{n\,\pi}{\ell}\right)^2 \sin\frac{n\,\pi}{\ell}x +
f(x,t),$

odnosno

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}
\left[E'_n(t) + \left(c\,\frac{n\,\pi}{\ell}\right)^2E_n(t)\right]
\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x = f(x,t).$

Lijeva strana je Fourierov red, ako $ t$ shvatimo kao parametar. Pretpostavimo da je

$\displaystyle f(x,t) =
\sum_{n=1}^{\infty} A_n(t)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x,$

gdje je

$\displaystyle A_n(t) = \frac{2}{\ell}\int_0^{\ell}\,
f(x,t)\,\sin\frac{n\,\pi\,x}{\ell}\,dx.$

Slijedi

$\displaystyle E'_n(t) + \left(c\,\frac{n\,\pi}{\ell}\right)^2E_n(t) = A_n(t).$

Početni uvjet nam daje

$\displaystyle g(x) = u(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty}
E_n(0)\,\sin\frac{n\,\pi}{\ell}x,$

tj.

$\displaystyle E_n(0) = \frac{2}{\ell}\int_0^{\ell}\,
g(x)\,\sin\frac{n\,\pi\,x}{\ell}\,dx.$

Tako smo dobili familiju diferencijalnih jednadžbi s pripadnim početnim uvjetima, čija rješenja daju neodređene koeficijente.


next up previous contents
Next: Varijacijske metode Up: Fourierova metoda Previous: Prisilne oscilacije   Contents
Salih Suljagic
1999-01-27